Lektion Parallelogramm

Parallelogramm aus zwei Werten berechnen

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Parallelogramm-Grafik:

Parallelogramm Grafik 2d

Ergebnisse:

Zwei Werte eingeben:

Tasten und für Wertänderungen

a b α = 180°-β β = 180°-α e=√(a2+b2-2·a·b·cos(β)) f=√(a2+b2-2·a·b·cos(α)) ha = b·sin(α) hb = a·sin(β) u = 2·a + 2·b A=a·ha=b·hb=a·b·sin(α)

Dies sind die Formeln zum Berechnen eines Parallelogramms. Kontrolliere deine Hausaufgaben auf Richtigkeit!

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Interaktives Parallelogramm

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Alle Parallelogrammformeln auf einen Blick

Dies sind die notwendigen Formeln zum Berechnen eines Parallelogramms:

parallelogramm formeln

Link zur Grafik: http://www.matheretter.de/formeln/geometrie/parallelogramm/formeln.png

Erläuterungen:

Winkel α = 180° - Winkel Beta = Arkussinus(Höhe a/Seite b) → α = 180°-β = sin-1(ha/b)

Winkel β = 180° - Winkel Alpha = Arkussinus(Höhe b/Seite a) → β = 180°-α = sin-1(hb/a)

Diagonale e = Wurzel aus (Seite a² + Seite b² - 2 mal Seite a mal Seite b mal Kosinus(Beta)) → e = √(a2 + b2 - 2·a·b·cos(β))

Diagonale f = Wurzel aus (Seite a² + Seite b² - 2 mal Seite a mal Seite b mal Kosinus(Alpha)) → f = √(a2 + b2 - 2·a·b·cos(α))

Höhe a = Seite b mal Sinus(Alpha) → ha = b·sin(α) = b·sin(β)

Höhe b = Seite a mal Sinus(Alpha) → hb = a·sin(α) = a·sin(β)

Umfang = 2 mal Seite a + 2 mal Seite b → u = 2·a + 2·b

Flächeninhalt = Seite a mal Höhe a = Seite b mal Höhe b → A = a·ha = b·hb = a·b·sin(α)

Was ist ein Parallelogramm?

Definition:

Ein Parallelogramm (auch "Rhomboid") ist ein Viereck, eine geometrische Figur, die aus 4 Seiten besteht. Dabei sind die 2 jeweils gegenüberliegenden Seiten gleich lang und parallel zueinander. Aneinanderliegende Seiten bilden jeweils Winkel, die Größen zwischen 0° und 180° annehmen können. Die Summe aller Innenwinkel beträgt 360°.

Weitere Merkmale:

  • Das Parallelogramm hat 4 Ecken, 4 Seiten und 1 Fläche.
  • Alle Innenwinkel sind zwischen 0° und 180° groß.
  • Die gegenüberliegenden Winkel sind gleich groß.
  • Das Parallelogramm ist punktsymmetrisch zu seinem Ursprung.
  • Die Flächendiagonalen haben unterschiedliche Längen, sofern alle Winkel ungleich 90° sind.
  • Die Flächendiagonalen schneiden sich in einem Punkt, der beide Diagonalen halbiert.
  • Betrachtet man den Schnittpunkt der beiden Flächendiagonalen und alle Punkte des Parallelogramms, so erkennt man jeweils 2 zueinander kongruente (deckungsgleiche) Dreiecke.
  • Ein Parallelogramm gehört zur Gruppe der Polygone (Vielecke).
  • Stehen beim Parallelogramm alle Seiten im rechten Winkel zueinander (bzw. sind alle Innenwinkel rechte Winkel), so spricht man von einem Rechteck. Sind zusätzlich noch alle Seiten gleich lang, so spricht man von einem Quadrat.
  • Sind beim Parallelogramm alle Seiten gleich lang und die Innenwinkel keine rechten Winkel, so spricht man von einer Raute (Rhombus).
  • Die Parallelogrammgleichung lautet e2+f2 = 2·(a2+b2).
  • Es gibt keinen Inkreis und keinen Umkreis*.

Flächenformel:

Die Fläche des Parallelogramms erhält man, wenn man eine Seite mit deren Höhe multipliziert, in etwa so wie beim Rechteck, nur dass die "Höhe" beim Rechteck einer Seite entspricht. Warum funktioniert dies? Stellt euch das Parallelogramm wie folgt zerlegt vor:

Parallelogramm Fläche

Hier erkennt ihr, dass durch die eingezeichnete Höhe das blaue Dreieck entsteht. Verschieben wir dieses nun nach rechts, erkennen wir, dass sich ein Rechteck ergibt. Mit anderen Worten, die Flächen des Parallelogramms (oben) und des Rechtecks (unten) sind gleich. Wir können also beide Flächen berechnen, indem wir Seite mal Höhe rechnen.

Wortherkunft:

Das Wort "Parallelogramm" ist ein zusammengesetztes Wort aus "parallelo" und "gramm". "parallel" kommt von griechisch "parallelos" und heißt "nebeneinanderstehend, gleichlaufend" ("para" = "neben" und "allelon" = "einander, gegenseitig"), "gramma" kommt auch aus dem Griechischen und heißt "Zeichen, Geschriebenes". Das Wort "Rhomboid" kommt vom griechischen "rhomboeidés", das "einen Rhombus ähnelnd" meint. Rhombus (siehe Raute) heißt wiederum "verschobenes Quadrat".

*Warum gibt es keinen Inkreis und keinen Umkreis beim Parallelogramm?

Der Inkreis ist definiert als Kreis, der einen Mittelpunkt hat, welcher zu allen Seiten der Figur den gleichen Abstand hat. Da wir zwei unterschiedlich lange Seiten beim Parallelogramm haben (Ausnahme: Quadrat), gibt es laut Definition keinen Inkreismittelpunkt und auch keinen Inkreis. Für den Umkreis gilt, dass der Kreisring durch alle Punkte der geometrischen Figur verlaufen muss, was beim Parallelogramm nicht möglich ist (sofern es kein Rechteck ist).

Parallelogramm in anderen Sprachen

Chinesisch: 平行四边形. Dänisch: Parallelogram. Englisch: Parallelogram. Finnisch: Suunnikas. Französisch: Parallélogramme. Indonesisch: Jajar genjang. Italienisch: Parallelogramma. Latein: Parallelogrammum. Litauisch: Lygiagretainis. Niederländisch: Parallellogram. Norwegisch: Parallellogram. Polnisch: Równoległobok. Rumänisch: Paralelogram. Russisch: Параллелограмм. Spanisch: Paralelogramo. Türkisch: Paralelkenar. Ungarisch: Paralelogramma. Vietnamesisch: Hình bình hành.

Hinweise für Parallelogramm-Werte - Mögliche Kombinationen
Eingabe 1 Eingabe 2 Seiten a und b
berechenbar
Seite a Seite b ja
Seite a Diagonale e ja
Seite a Diagonale f ja
Seite a Höhe a ja
Seite a Höhe b nein
Seite a Umfang ja
Seite a Flächeninhalt ja
Seite b Diagonale e ja
Seite b Diagonale f ja
Seite b Höhe a nein
Seite b Höhe b ja
Seite b Umfang ja
Seite b Flächeninhalt ja
Diagonale e Diagonale f ja
Diagonale e Höhe a nein
Diagonale e Höhe b nein
Diagonale e Umfang ja
Diagonale e Flächeninhalt ja
Diagonale f Höhe a nein
Diagonale f Höhe b nein
Diagonale f Umfang ja
Diagonale f Flächeninhalt ja
Höhe a Höhe b ja
Höhe a Umfang ja
Höhe a Flächeninhalt ja
Höhe b Umfang ja
Höhe b Flächeninhalt ja
Umfang Flächeninhalt ja
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