Videos zu Pyramiden

Pyramide aus zwei Werten berechnen

TeX Link

Abbildung:

Pyramide Grafik 3d Quadratische Pyramide

Ergebnisse:

Zwei Werte für die Pyramide eingeben:

Tasten und für Wertänderungen

Rechts daneben stehen die Formeln zum Berechnen einer Pyramide.

a h ha = √(h2 + (a/2)2) s = √(h2 + a2/2) d = √(a²+a²) u = 4·a G = a2 M = 2·a·ha O = a2+2·a·ha V = 1/3·a2·h

Präzision mit 3 Nachkommastellen

Interaktive 3D-Pyramide

Entwickelt von Matheretter
"Wir machen auch Mathevideos."

Hinweis: Der Pyramidenrechner berechnet auch den halben Öffnungswinkel und den Mittelpunktswinkel.

Alle Pyramideformeln auf einen Blick:

Dies sind die notwendigen Formeln zum Berechnen einer quadratischen Pyramide:

pyramide formeln

Link zur Grafik: http://www.matheretter.de/formeln/geometrie/pyramide/formeln.png

Erläuterungen:

Höhe ha: ha = √(h2 + (a/2)2)

Höhe ha ist Wurzel aus(Höhe² + (halbe Seite a)²).

Seitenkante (Mantellinie): s = √(h2 + a2/2) oder s = √(ha2 + a2/4)

Seitenkante ist Wurzel aus(Höhe² + Seite a² / 2) --- Alternative Berechnung über Höhe ha.

Diagonale: d = √(a²+a²)

Diagonale ist Wurzel aus (Seite a ins Quadrat + Seite a ins Quadrat).

Umfang: u = 4·a

Umfang ist 4 mal Seite a.

Grundfläche: G = a²

Grundfläche ist Seite a mal Seite a.

Mantelfläche: M = 2·a·ha

Mantelfläche ist zwei Mal Seite a mal Höhe ha.

Oberfläche: O = Grundfläche + Mantelfläche → O = a² + 2·a·ha

Volumen: V = 1/3 · Grundfläche · Höhe → V = 1/3·a2·h

Neigung der Seitenfläche: α = arctan( h/a/2 )

Die Neigung der Seitenfläche ergibt sich aus Arkustangens von Höhe zur halben Seite a.

Neigung der Seitenkante: β = arctan( h/d/2 )

Neigung der Seitenkante ergibt sich aus Arkustangens von Höhe zur Seite a.

Seitenfläche (gleichschenkliges Dreieck): AS = 1/2 · a · ha

Seitenfläche ist ein gleichschenkliges Dreieck. Die Fläch erhält man mit: einhalb mal Seite a mal Höhe ha.

Was ist ein Pyramide?

Definition:

Eine quadratische Pyramide (es gibt auch schiefe Pyramide) ist ein geometrischer Körper. Er besteht aus einer quadratischen Grundfläche am Boden und einer umlaufenden Mantelfläche, die aus vier gleichschenkligen Dreiecken besteht. Diese Dreiecke stehen in spitzem Winkel auf der Grundfläche und treffen sich oben in einem Punkt (die Spitze der Pyramide). Da bei diesem Körper Dreiecke, die in rechtwinklige Dreiecke zerlegt werden können, eine wesentliche Rolle spielen, braucht man für die Berechnungen an der Pyramide vor allem den Satz des Pythagoras.

Pyramide mit Flächen - Grafik Pyramide mit Durchmesser - Grafik Pyramide mit Winkel Seitenfläche und Seitenkante - Grafik

Weitere Merkmale einer Pyramide:

  • Der Pyramide hat 5 Einzelflächen (1 Quadrat und 4 Dreiecksflächen), 5 Ecken (inklusive der Spitze) und 8 Seiten (4 Kanten der Grundfläche plus 4 Kanten der Mantelfläche).
  • Die Quadratsfläche am Boden nennt man Grundfläche und die 4 Dreiecksflächen ergeben zusammen die Mantelfläche.
  • Die Pyramide ist achsensymmetrisch zur Pyramidenhöhe, also der Senkrechten, die durch die Pyramidenspitze und den Mittelpunkt der Grundfläche (auch "Fußpunkt" genannt) verläuft.
  • Die Diagonale verläuft diagonal auf der Grundfläche, sie wird über den Satz des Pythagoras berechnet.
  • Die Seitenkanten (auch Mantellinien genannt) sind alle Linien, die sich auf den Kanten der Mantelfläche befinden und von den Ecken der Grundfläche direkt zur Pyramidenspitze führen.
  • Die direkte Strecke vom Mittelpunkt der Grundfläche zur Spitze der Pyramide wird "Höhe der Pyramide" bezeichnet. Die Höhe steht stets senkrecht auf der Grundfläche.
  • Die Höhe ha meint die Strecke, die auf der Seite a steht und direkt zur Pyramidenspitze führt, dabei verläuft sie auf der Mantelfläche.
  • Die Pyramidenoberfläche ergibt sich aus Addition der Grundfläche mit der Mantelfläche.
  • Das Pyramidenvolumen ist der Rauminhalt, der durch die Pyramidenoberfläche begrenzt wird.

Wortherkunft:

Das Wort "Pyramide" kommt vom lateinischen "pyramis" und ging aus dem Ägyptischen hervor (wahrscheinlich "pmr", gesprochen "pimar"). Die Bedeutung des Wortes konnte nicht eindeutig geklärt werden. Die Ägypter nannten Pyramiden "pr.ntr" (gesprochen "per-neter"), wobei "per" Haus bedeutet und "neter" Gott. Demzufolge war mit Pyramide wahrscheinlich ein Gotteshaus gemeint.

Pyramide in anderen Sprachen:

Chinesisch: 棱锥. Dänisch: Pyramide. Englisch: Pyramid. Finnisch: Pyramidi. Französisch: Pyramide. Indonesisch: Limas. Italienisch: Piramide. Latein: Pyramis. Litauisch: Piramidė. Niederländisch: Piramide. Norwegisch: Pyramide. Polnisch: Piramida. Rumänisch: Piramidă. Russisch: Пирамида. Spanisch: Pirámide. Türkisch: Piramit. Ungarisch: Piramis. Vietnamesisch: Hình chóp.

Beispiele aus dem Alltag (Pyramidenform):

Cheops-Pyramide, Dach eines Kirchturms, Küchenreibe, Metronom, Dach eines Partyzeltes, einige Arten von Teebeuteln, Schmuck, Kerzen.

Pyramide-Animationen in 3D

Flächenberechnung bei der Pyramide (Grafik):

Pyramiden-Umrechnungen - Mögliche Kombinationen und Umformungen
Gegeben 1 Gegeben 2 Seite a
berechenbar
Höhe
berechenbar
Lösungsformel für Seite a
Seite a ist stets direkt berechenbar
Lösungsformel für die Höhe h
Seite a wird als bekannt vorausgesetzt
Seite a Höhe h Seite a gegeben Höhe gegeben Seite a gegeben Höhe h gegeben
Seite a Höhe ha Seite a gegeben ja Seite a gegeben h = √(ha - /4 )
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Seite a Seitenkante s Seite a gegeben ja Seite a gegeben h = √( s² - /2 )
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Seite a Diagonale d Seite a gegeben nein Seite a gegeben Höhe h nicht berechenbar - Details
Seite a Umfang u Seite a gegeben nein Seite a gegeben Höhe h nicht berechenbar - Details
Seite a Grundfläche G Seite a gegeben nein Seite a gegeben Höhe h nicht berechenbar - Details
Seite a Mantelfläche M Seite a gegeben ja Seite a gegeben h = √( (M/2·a )² - ( a/2 )² )
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Seite a Oberfläche O Seite a gegeben ja Seite a gegeben h = √( (O-a²/2·a )² - ( a/2 )² )
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Seite a Volumen V Seite a gegeben ja Seite a gegeben h = 3·V/
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Höhe h Höhe ha ja Höhe gegeben a = 2·√(ha² - h²)
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Höhe h gegeben
Höhe h Seitenkante s ja Höhe gegeben a = √(2·s² - 2·h²)
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Höhe h gegeben
Höhe h Diagonale d ja Höhe gegeben a = √(d²/2)
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Höhe h gegeben
Höhe h Umfang u ja Höhe gegeben a = u/4
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Höhe h gegeben
Höhe h Grundfläche G ja Höhe gegeben a = √G
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Höhe h gegeben
Höhe h Mantelfläche M ja Höhe gegeben a1,2 = ±√(-√(4·h4+M²)-2·h²)
a3,4 = ±√(√(4·h4+M²)-2·h²)
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Höhe h gegeben
Höhe h Oberfläche O ja Höhe gegeben a1,2 = ±O / √(4·h²+2·O)
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Höhe h gegeben
Höhe h Volumen V ja Höhe gegeben a = 3·V/h
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Höhe h gegeben
Höhe ha Seitenkante s ja ja a = √(-4·ha² + 4·s²)
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h = √(ha - /4 )
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Höhe ha Diagonale d ja ja a = √(d²/2)
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h = √(ha - /4 )
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Höhe ha Umfang u ja ja a = u/4
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h = √(ha - /4 )
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Höhe ha Grundfläche G ja ja a = √G
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h = √(ha - /4 )
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Höhe ha Mantelfläche M ja ja a = M/(2·ha)
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h = √(ha - /4 )
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Höhe ha Oberfläche O ja ja a1,2 = -ha ± √(ha² + O)
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h = √(ha - /4 )
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Höhe ha Volumen V ja ja h³ - ha²·h + (3/4)·V = 0
Komplexe Lösung aufrufen
h = √(ha - /4 )
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Seitenkante s Diagonale d ja ja a = √(d²/2)
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h = √(s² - /2 )
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Seitenkante s Umfang u ja ja a = u/4
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h = √(s² - /2 )
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Seitenkante s Grundfläche G ja ja a = √G
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h = √(s² - /2 )
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Seitenkante s Mantelfläche M ja ja a1,2 = ±√(2·s² - √(4·s4 - M²))
a3,4 = ±√(2·s² + √(4·s4 - M²))
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h = √(s² - /2 )
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Seitenkante s Oberfläche O ja ja a1,2 = ±√( -√(-O²+4·O·s²+4·s4)+O+2·s²) / √2
a3,4 = ±√( √(-O²+4·O·s²+4·s4)+O+2·s²) / √2
Umformung anschauen Lösung via Wolfram
h = √(s² - /2 )
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Seitenkante s Volumen V ja ja 0 = (-1/18)·a6 + (1/9·s)·a4 + (-V²)
Umformung anschauen Lösung via Wolfram
h = √(s² - /2 )
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Diagonale d Umfang u ja nein a = √(d²/2)
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Höhe h nicht berechenbar - Details
Diagonale d Grundfläche G ja nein a = √(d²/2)
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Höhe h nicht berechenbar - Details
Diagonale d Mantelfläche M ja ja a = √(d²/2)
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h² = (M/(2·a))² - (a/2)²
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Diagonale d Oberfläche O ja ja a = √(d²/2)
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h = √( (O-a²)/(2·a) - (a/2)² )
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Diagonale d Volumen V ja ja a = √(d²/2)
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h = 3·V/a²
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Umfang u Grundfläche G ja nein a = u/4
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Höhe h nicht berechenbar - Details
Umfang u Mantelfläche M ja ja a = u/4
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h² = (M/(2·a))² - (a/2)²
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Umfang u Oberfläche O ja ja a = u/4
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h = √( (O-a²)/(2·a) - (a/2)² )
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Umfang u Volumen V ja ja a = u/4
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h = 3·V/a²
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Grundfläche G Mantelfläche M ja ja a = √G
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h² = (M/(2·a))² - (a/2)²
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Grundfläche G Oberfläche O ja ja a = √G
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h = √( (O-a²)/(2·a) - (a/2)² )
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Grundfläche G Volumen V ja ja a = √G
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h = 3·V/a²
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Mantelfläche M Oberfläche O ja ja a = √(O-M)
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h² = (M/(2·a))² - (a/2)²
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Mantelfläche M Volumen V ja ja 0 = a6 - M²·a² + 36·V²
Umformung anschauen Lösung via Wolfram
h = 3·V/a²
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Oberfläche O Volumen V ja ja a1,2 = ±1/2 · √(O - √(O·(O³ - 288·V²)) / O )
a3,4 = ±1/2 · √(O + √(O·(O³ - 288·V²)) / O )
Umformung anschauen Lösung via Wolfram
h = 3·V/a²
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