Mathe F02: Einführung Lineare Funktionen

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 7. - 8. Klasse

Mathe-Videos

Nachdem ihr jetzt verstanden habt, wie das Kartesische Koordinatensystem funktioniert, legen wir gleich richtig los! Es folgt die Einführung zu den Linearen Funktionen. Viel Spaß mit dem Lernvideo.

Mathe-Video F02 Lineare Funktionen - Einführung

Was ist f(x), gesprochen "f von x". Wie entsteht eine Funktionsgleichung und wie ergibt sich die Steigung eines Graphen. Was ist ein Steigungsdreieck. Steigung einer linearen Funktion ermitteln.

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- Funktionsgleichung in Normalform f(x) = m·x + n, Lineare Gleichung, Schnittpunkt mit y-Achse, Steigung und Steigungsdreieck
- Funktion aus 2 Punkten ermitteln und Funktionsgleichung aufstellen (Schnittpunkt mit y-Achse und Steigung), Achsenschnittpunkte ermitteln
- Funktionsgleichung und konstante Funktion, Nullstelle und Nullstellenberechnung, senkrechter Funktionsgraph

Wissen zur Lektion

Graph im Koordinatensystem

Zur Einführung in die linearen Funktionen schauen wir uns zuerst einen Graphen in einem Koordinatensystem an. Die Anforderung an ein solches Koordinatensystem: Es besteht immer aus zwei Achsen mit Beschriftung der Achsen. Außerdem ist eine Einteilung der Achsen ("Skalierung") notwendig, damit man weiß, in welchen Abständen wir Punkte und Graphen einzeichnen müssen. Nun können wir uns die erste lineare Funktion anschauen: eine Gerade. "Gerade" ist die Abkürzung für "gerade Linie", also eine gerade verlaufende Linie ohne Knicke oder Kurven.

lineare funktion beispiel

Punkt auf Graphen bestimmen

Wenn wir nun einen bestimmten Punkt auf diesem Graph untersuchen möchten, so müssen wir den Betrachtern klar machen, von welchem Punkt wir sprechen. Dazu nehmen wir uns die die beiden Achsen als Anhaltspunkte, um dem Punkt zwei Werte zuzuordnen (Koordinaten), die ihn eindeutig identifizieren. Gerne wird dabei die waagerechte Achse als “Breite” und die senkrechte Achse als “Höhe” bezeichnet. Meistens wird die waagerechte Achse mit der Variablen "x" bezeichnet und die senkrechte Achse mit "y". Je nach Situation kann man aber auch andere Variablen verwenden. So wird bei Zeitangaben auch gerne der Buchstabe "t" statt "x" verwendet.

Um einen Punkt zu bestimmen bleiben wir bei dem Bild mit der Breite und der Höhe. Suchen wir uns hierzu einen beliebigen Punkt aus.

Lineare Funktion mit Punkt P

Um anderen zu verdeutlichen, von welchem Punkt gerade die Rede ist, müssen wir ihn spezifizieren. Dazu schauen wir uns an, wie weit dieser vom Schnittpunkt der beiden Achsen (Ursprung) entfernt ist. Gehen wir nun vom Ursprung so weit nach rechts (im Bedarfsfall nach links), wie der Punkt entfernt ist. Sind wir genau unter dem gesuchten Punkt, haben wir die Breite gefunden. Die Höhe finden wir, wenn wir von dem angekommenen Wert an der unteren Achse nach oben gehen. Die Höhe kann anhand der senkrechten Achse abgelesen werden. Der Punkt wird also mit P(Breite|Höhe) wiedergegeben, was in unserem Beispiel P(2|4) ist.

Lineare Funktion mit Punkt P(2|4)

Die Funktionsgleichung f(x) = m·x = y

Wenn wir nun tatsächlich eine Gerade vorzuliegen haben, mehrere Punkte dieser Geraden untersuchen wollen und die Werte nicht genau ablesen können, müssen wir ein anderes Hilfmittel nutzen: Die Funktionsgleichung. Hat man die Funktionsgleichung der Geraden, kann man jeden Punkt auf der Geraden exakt rechnerisch bestimmen, solange man entweder die Breite oder die Höhe hat. Eine Funktionsgleichung einer linearen Funktion hat dabei die Form:

f(Breite) = Steigung · Breite = Höhe

Oder mathematisch allgemein aufgeschrieben:

f(x) = m·x = y, wobei m die Steigung ist.

Man spricht dies als: “f von x ist gleich m · x gleich y.” Oder fachlicher bezogen auf f(x) = y: “Der Funktionswert an der Stelle x ist gleich y”. Der Wert an der waagerechten Achse (x-Achse) wird als Stelle bezeichnet!

Funktionsgleichung über Wertetabelle aufstellen

Hat man nur einen Graphen vorliegen, nicht aber die Funktionsgleichung, muss man diese erst bestimmen. Dazu liest man sich markante Wertepaare ab (also zugehörige x- und y-Werte), mit denen man die unbekannte Steigung m berechnen kann. Da wir bei unserer allgemeinen Funktionsgleichung nur eine Unbekannte haben, reicht schon ein Wertepaar aus, um m zu bestimmen. Ein Hilfsmittel ist dabei die Wertetabelle. Ein Beispiel eines Graphen:

Graph bestimmen

Für die Tabelle haben wir nun eine Zeile, in der wir die x-Werte eintragen und in die Zeile darunter tragen wir die zugehörigen y-Werte ein. Das sieht dann so aus:

x 0 0,5 1 2
y 0 1 2 4

Wir haben hier mehr Paare als nötig bestimmt, was nur der Veranschaulichung dienen soll. Die Funktionsgleichung bestimmt sich nun mit Aufstellen einer Gleichung. Dazu nehmen wir ein Wertepaar aus der Wertetabelle und ersetzen x bzw. y entsprechend.

f(x) = m · x = y

f(1) = m·1 = 2

m·1 = 2

m = 2/1 = 2

Wir haben nun m = 2 ermittelt und setzen dies in unsere Funktionsgleichung ein:

f(x) = m· x = y

f(x) = 2 · x = y

Mit der bestimmten Funktionsgleichung können wir nun die Gerade untersuchen. Wollen wir beispielsweise die Höhe des Graphen an der Stelle x = 2,5 erfahren, so ersetzen wir den x-Wert durch die 2,5 und das Ergebnis entspricht dem y-Wert, also der Höhe.

f(x) = 2 · x = y

f(2,5) = 2 · 2,5 = 5

Der Punkt des Graphen an der Stelle x = 2,5 hat also die Höhe y = 5. Wir schreiben: Q(2,5|5).

Punkte eines Graphen über Funktionsgleichung berechnen

Haben wir die Funktionsgleichung f(x) = 2·x, dann können wir nun die Koordinaten jeden beliebigen Punktes konkret berechnen, indem wir einen Wert für x einsetzen und das y ausrechnen:

f(Breite) = 2·Breite = Höhe
f(x) = 2·x = y
f(0) = 2·0 = 0
f(1) = 2·1 = 2
f(2) = 2·2 = 4

Die hieraus entstehenden Punkte können wir nun in ein Koordinatensystem einzeichnen, für unser Beispiel wären das: A(0|0) und B(1|2) und C(2|4). Verbinden wir diese Punkte, so erhalten wir unseren Graphen (die eingezeichnete Funktion).

Funktion ersten Grades

Wir sprechen übrigens von einer linearen Funktion, wenn es sich bei f(x) = m·x um eine Funktion “ersten Grades” handelt, wir also keinen Exponenten (Hochzahl einer Potenz) bei x haben. Hätten wir x² oder x³, würde keine lineare Funktion mehr vorliegen. Der Vorfaktor bzw. die Steigung m ist hier hingegen nicht von Bedeutung und kann auch 3495493·x sein, trotzdem bleibt es bei einer Geraden.

In der nächsten Lektion schauen wir uns die linearen Funktionen nochmals genauer an und vertiefen diese. Unter anderem verschieben wir die Gerade, die wir bisher nur durch den Ursprung betrachtet haben, was auf die allgemeine Funktionsgleichung f(x) = m·x + n führt (für uns war bisher n = 0).

Definitionsmenge

Als Definitionsmenge bezeichnet man übrigens all die Zahlen, die man für x einsetzen kann. Zwei Beispiele:

f(x) = x

Man kann bei dieser Funktion alle (reellen) Zahlen als Lösung einsetzen und schreibt dann: x ∈ ℝ.

f(x) = 1/x

Diese Funktion hat als Definitionsmenge: x ∈ ℝ / 0. Das heißt alle reellen Zahlen außer der 0, da 1:0 nicht definiert ist (vgl. Division durch Null).

Wertebereich

Als Wertebereich bezeichnet man übrigens das, was für y herauskommen kann, also all die möglichen Lösungen.

Abschließender Hinweis: Die Graphen von linearen Funktionen nennt man auch "Geraden", also gerade Linien.

In der nächsten Lektion behandeln wir die sogenannte "Normalform" einer Funktionsgleichung, sie lautet:
f(x) = m·x + n
m ist die Steigung
n ist der y-Wert des Schnittpunktes mit der y-Achse

Damit ihr das verstehen könnt, schaut euch die nächste Lektion an: Lineare Funktionen in Normalform

Mathe-Programme Lineare Funktion

In dem folgenden Koordinatensystem könnt ihr selbst die Steigung betrachten. Bewegt die Maus und ihr seht die Abstände für x und y und die sich ergebende Steigung m - das ist der Wert, der vor dem x steht. Die Werte können auf ganze Zahlen gerundet werden. Dazu unten links im Programm "Werte runden" aktivieren.

  • Steigung eines linearen Graphen Steigung eines linearen Graphen
    Bewegt die Maus und seht die Abstände für Breite (grün) und Höhe (blau) und die sich ergebende Steigung m (der Wert, der vor dem x steht).

Da der Graph (die rote Linie) durch den Koordinatenursprung (0 | 0) geht, können wir die einfache Form von f(x) = m·x verwenden. Wann wir die Form f(x) = m·x + n benutzen, erfahrt ihr in der nächsten Lektion.

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Übungsaufgaben

A: Allgemeine Fragen zu Linearen Funktionen

1. Was bedeutet f(x)? Was ist das f und was das x?

2. Wie nennt man so etwas: f(x) = 2·x ?

3. Was gibt uns bei f(x) = 2·x = y das y an?

4. Kann man von f(3) = 2·3 = 6 die Koordinaten eines Punktes P(x|y) ablesen?

5. Was ist ein Graph?

6. Was ist eine Funktion?

7. Was ist eine Funktionsgleichung?


B: Berechne bzw. zeichne die Graphen, wenn gefordert.

1. Erstelle eine Wertetabelle für die Funktion f(x) = -2,5·x für die x-Werte 1, 2, 3 und 4.

2. Zeichne den Graphen der Funktion g(x) = 0,5·x

3. Zeichne den Graphen der Funktion h(x) = -x

4. Zeichne die Graphen k(x) = 2x und m(x)=x:2, was stellst du fest? Wie kannst du x:2 noch schreiben?

5. Zeichne den Graphen n(x) = 1,5x und trage danach ein Steigungsdreieck ein. Wähle Koordinaten mit ganzen Zahlen!

6. Zeichne den Graphen der Funktion p(x) = 2, was erkennst du?

7. Überlege, was passiert, wenn du bei einer Funktionsgleichung x=0 einsetzt, wo wird der Punkt immer sein?

8. Überlege, was passiert, wenn du bei einer Funktionsgleichung y=0 wählst, wo wird der Punkt immer sein?


C: Graphen und Steigungen

1. Wie groß ist die Steigung bei der Funktion f(x) = 12·x?

2. Welche Steigung ist größer, die bei der Funktion a(x) = -x·5 oder bei b(x) = -x·(-5)?

3. Welcher der Graphen stellt die Funktion f(x) = 2,5x dar?

Drei lineare Funktionen


4. Wie ergibt sich die Steigung, aus dem Verhältnis Differenz Breite / Differenz Höhe oder Differenz Höhe / Differenz Breite?

5. Welche Steigung hat die folgende Gerade?

Steigung der Gerade


6. Lies die Steigung der Geraden g und h ab. Wie lauten ihre Funktionsgleichungen?

Steigung von Geraden ablesen


7. Wenn zwei Graphen parallel sind, siehe Grafik, was haben sie dann gemeinsam?

Parallele Graphen


8. Welche Funktionsgleichung f(x)=3x; g(x)=2x; h(x)=-x passt zu folgendem Graphen:

Linearer Graph einer Funktion


D: Anwendungen für lineare Funktionen

1. Zur Wiederholung: Welche Achse ist die Abszisse und welche die Ordinate?

2. Zeichne die Punkte A(0|0), B(2|3) und C(-3|-4,5) in ein Koordinatensystem ein. Welche lineare Funktion kannst du erkennen?

3. Liegt der Punkt A(3|6) auf dem Graphen der Funktion f(x) = 2·x + 3 oder auf dem Graphen der Funktion g(x) = 2·x? Begründe.

4. Stell dir vor, die x-Achse ist die Zeit und die y-Achse der zurückgelegte Weg. Ein Auto fährt los und ist nach 1 Stunde 100 km gefahren, nach 2 Stunden 200 km und nach 3 Stunden 300 km. Kannst du eine Funktionsgleichung hierfür aufstellen? (Wenn nicht im Kopf, dann trage die Punkte doch einmal in ein Koordinatensystem ein.)

5. In einem Koordinatensystem ist die y-Achse der Wert in Euro und die x-Achse die Menge eines Produktes. 3 Produkte kosten 39 Euro, 4 Produkte kosten 52 Euro, 5 Produkte kosten 65 Euro. Wie lautet die Funktionsgleichung hierfür?

Die Übungsaufgaben findet ihr hier:

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Untertitel

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Hallo und herzlich willkommen zur Lektion über die Linearen Funktionen. Betrachten wir uns die Linearen Funktionen anhand eines Beispiels. Hier seht ihr einen Berg vor euch im Querschnitt. Beschriften wir einmal diesen Berg und zwar mit einer Breite am unteren Rand und schreiben wir noch eine Höhe dazu. Das heißt wir könnten jetzt die Höhe abmessen von der Seite und von unten die Breite des Berges abmessen. Nun stellen wir uns vor, dass wir uns auf diesem Berg irgendwo positionieren, das heißt, wir stellen uns zum Beispiel hier hin und wollen zum Beispiel wissen, wie hoch sind wir und wie weit vom Ursprungspunkt hier unten entfernt. Dazu beschriften wir einmal die beiden Achsen Breite und Höhe. Wenn wir hier stehen fragen wir uns, wie können wir das beschreiben, wir können sagen, dass wir ein sogenanntes Lot nach unten ziehen. Das heißt wir treffen auf die 15 und dann nach links zur Achse der Höhe ebenfalls ein Lot ziehen. Wir stoßen auf die 5. Aus Gründen der Übersichtlichkeit würde ich gerne diese Bäume entfernen und den Boden, damit wir nur noch die eine Achse hier, die Bodenoberfläche sehen können. Nun ist es ein wenig klarer und wir beschriften unseren Punkt hier in der Mitte, wo wir stehen, einfach mal mit groß P. Wenn wir unsere Position beschreiben sollen, wo wir uns direkt auf dem Berg befinden, können wir also diesen Punkt P angeben und sagen, wir haben die Breite und die Höhe und können das sogar konkret machen und lesen also die Breite ab von diesem Lot, das ist bei 15, das tragen wir jetzt hier ein und lesen die Höhe ab von diesem Punkt, und der ist bei 5 und den tragen wir ebenfalls hier ein. Das ist alles definitiv einfach. Aber was passiert wenn ich zum Beispiel einen Punkt hier setzen würden, wo mein Mauszeiger gerade ist? Dann wäre es hier irgendwo dazwischen und wir könnten es nicht direkt ablesen. Daher benötigen wir eine andere Beschreibung, nicht die grafische, sondern die in Form einer Gleichung, bei der wir einen Zahlenwert einsetzen, eine Breite, und dann automatisch durch eine Formel die Höhe ausrechnen können. Schauen wir uns das kurz an. So, verkleinern wir unsere Grafik einmal, das wir ein bisschen mehr Platz haben. Die Frage, die sich uns jetzt stellt: Kann man einen beliebigen Punkt ohne konkretes Ablesen direkt bestimmen? Diese Frage wollen wir jetzt klären und bedienen uns dazu erst einmal einer Wertetabelle. Links die Breite, rechts die Höhe. Tragen wir ein paar Werte ein. Wenn wir die Breite bei Null haben, hier unten, wo der Mauszeiger gerade ist, dann haben wir oft auch eine Höhe von Null. Das können wir also so eintragen. Wenn wir jedoch bei einer Breite von 15 sind, tragen wir die 15 ein, haben wir offensichtlich eine Höhe von 5. Und bei einer Breite von 30 haben wir eine Höhe von 10. Das ist hier leider nicht ganz so gut zu erkennen aber hätten wir die weiter gezeichnet, noch ein Lot gefällt, wäre das ablesbar gewesen. Also wir nehmen uns drei Punkte die man leicht ablesen kann. Jetzt fragt sich also wie komme ich von dieser 0 hier oben auf diese 0? Wie komme ich von dieser 15 auf diese 5? Und wie komme ich von dieser 30 auf diese 10? Es muss ja ein Zusammenhang bestehen, und den wollen wir jetzt herausfinden. Wir wollen also eine Formel finden oder eine Funktion, mit klein f bezeichnet, die wenn wir die Breite einsetzen, f von Breite, uns eine Höhe angibt. Das heißt also wir wollen den Funktionswert, das ist in unserem Fall die Höhe, von einer gegebenen Breite bekommen. Wir können das auch so schreiben, wenn die Breite das x wäre, dann wäre die Höhe das y. Das heißt auf unsere Tabelle angewendet, wenn ich also die Breite 0 einsetze dann kommt, welche Höhe, richtig, die Höhe 0 raus. Wenn ich die Breite 15 einsetze, kommt die Höhe 5 heraus. Und wenn ich die Breite 30 einsetze, kommt die Höhe 10 heraus. Und wenn ihr so wollt, ist das hier eine andere Darstellung unserer bestehenden Tabelle. Und diesen Teil hier unten nochmal jetzt nochmal aufgesplittet, das heißt der Funktionswert von der Breite 0 ist gleich, irgend eine Formel, ist gleich 0. Der Funktionswert an der Stelle 15, also bei der Breite 15, ist gleich irgendetwas, ist gleich 5. Und der Funktionswert an der Stelle 30, das heißt also die Höhe bei einer gegebenen Breite von 30, ist irgendetwas, ist gleich 10. Und dieses Irgendetwas hier in der Mitte, das gilt es jetzt herauszubekommen. Schauen wir uns die Unterschiede an, die sich ergeben wenn ich von 0 auf 15 springe, von der Breite. Und wenn ich von 0 auf 5 springe von der Höhe. Von 0 auf 15 das sind plus 15 und wir springen von 0 auf 5 mit plus 5. Wenn ich also die 15 Schritte nach rechts gehe bei der Grafik hier, 5, 10, 15, muss ich gleichzeitig 5 Schritte hoch gehen. 5 hoch. Das heißt doch, hier liegt eine Steigung vor, offensichtlich beeinflusst die Steigung unsere Funktion, beziehungsweise deren Verlauf. Modifizieren wir kurz unser Beispiel hier, reduzieren es ein wenig, und vergrößern es ein wenig. Wenn wir uns nun die Steigung angucken, gucken wir uns eigentlich nur dieses Dreieck hier an. Das heißt wir gucken uns die Seite an, wir gucken uns diese Seite an und gucken uns die Seite an. Das andere können wir erst einmal ignorieren. Dann haben wir hier eine Höhe des Dreiecks und wir haben hier eine Breite des Dreiecks. Jetzt sag ich euch das sich die Steigung ergibt aus Höhe dividiert durch die Breite. Dann können wir ja mal spaßeshalber die Werte einsetzen, dann haben wir für die Höhe 5 und für die Breite immer noch 15. Und 5 durch 15, das wisst ihr noch aus der Bruchrechnung, sind ein Drittel. Das heißt also die Steigung auf dieser Geraden hier beträgt ein Drittel. Mit anderen Worten: Wir gehen also 3 Schritte nach rechts, hier mit blau dargestellt, und einen kleinen Schritt nach oben; 3 Schritte wieder nach rechts, einen Schritt nach oben; 3 Schritte nach rechts, einen nach oben; und so weiter und so fort und kommt endlich bei 15 und 5 an. Die Frage die sich uns jetzt stellt ist, wie finden wir eine Beschreibung, beziehungsweise Formel dafür? Gucken wir uns an wie wir mit dem Wert der Steigung den Graphen direkt beeinflussen können. Wenn wir also nun, eine beliebige Breite einsetzen und diese Breite dann in der Formel mit ein Drittel multiplizieren, müsste sich theoretisch unser Graph ergeben. Testen wir das gerade. Nehmen wir mal eine Breite von 5, dann würde da stehen, ein Drittel mal die eingesetzte 5, und ein Drittel mal 5 sind 5 Drittel. Und also damit rund 1,667 und da wäre es uns wirklich schwer gefallen diesen Wert hier links auf der Höhe abzulesen. Nehmen wir das hier gerade nochmal weg. Ich kann jetzt also jeden beliebigen Wert hier einsetzen und mit ein Drittel multiplizieren und kriege jeweils die Höhe an der linken Seite heraus. Und was passiert, wenn ich diesen ein Drittel verändern würde, wie sieht es dann mit unserer Funktion aus? Schreiben wir einmal 2 anstatt ein Drittel x hin. Das hieße, wenn ich jetzt eine 5 hier einsetzen würde, würde dann zweimal 5 stehen, und das ergibt eine Höhe von 10. Heißt wenn die 2x unsere Funktion wäre, dann könnt ich jetzt bei dieser 5, 10 nach oben gehen und da einen Punkt setzen. Und den mit dem 0 / 0 – Punkt verbinden. Das hieße so steil wäre unsere Funktion. Einfacher wie wenn wir eine Funktion haben f von x, 1 mal x, dann würde ich jetzt hier auch solch eine 5 eintragen, und dann würde stehen 1 mal 5 und das ist 5. Und dann gucken wir uns das jetzt mal an, die geht also durch den Punkt 5 / 5 und verläuft weiter nach oben. Und wie ihr hier vielleicht seht, bei einer Funktion von 1 mal x kommt letztlich immer der eingesetzte Wert auf der rechten Seite raus. Also immer die Breite entspricht der Höhe. Deswegen haben wir einen idealen Verlauf. In der nächsten Lektion zeige ich euch wie wir diese Formel von einer beliebigen Funktion, also einem beliebigen Graphen in einem Koordinatensystem, linear natürlich, ermitteln können.

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