Mathe F03: Lineare Funktionen in Normalform

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 8. Klasse

Mathe-Videos

Mathe-Video F03-1 Lineare Funktion in Normalform - Funktionsgleichung

Funktionsgleichung in Normalform f(x) = m·x + n, Lineare Gleichung, Schnittpunkt mit y-Achse, Steigung und Steigungsdreieck

Weitere Videos stehen dir als Kunde zur Verfügung:

  • F03-2 Lineare Funktion in Normalform - Gleichung aus 2 Punkten

    Funktion aus 2 Punkten ermitteln und Funktionsgleichung aufstellen (Schnittpunkt mit y-Achse und Steigung), Achsenschnittpunkte ermitteln

  • F03-3 Lineare Funktion in Normalform - Konstante Funktion, Nullstellen

    Funktionsgleichung und konstante Funktion, Nullstelle und Nullstellenberechnung, senkrechter Funktionsgraph

  • F03-4 Gerade ins Koordinatensystem einzeichnen (Steigung)

    Wie zeichnet man eine Gerade in ein Koordinatensystem ein? Man hat eine Funktionsgleichung und soll diese als Graph zeichnen. Wir klären auf, wie man vorgeht und welche Verfahren es gibt.

  • F03-5 Liegt der Punkt auf dem Graphen (rechnerisch bestimmen)

    Ob ein Punkt auf einem Graphen liegt, lässt sich schnell überprüfen. In diesem kurzen Video zeigen wir, wie man das rechnerisch bestimmen kann.

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Soviel dazu. Das war wirklich viel Neues. Nutzt als nächstes die Lernprogramme zu den linearen Funktionen, um euer Wissen zu testen.

Wissen zur Lektion

Normalform einer linearen Funktion

Die Normalform einer linearen Funktion sieht stets so aus:

f(x) = m·x + n

Dabei entspricht das m der Steigung und das n steht für den y-Achsenabschnitt, beschreibt also in welcher Höhe die y-Achse geschnitten wird.

Für f(x) = 2·x + 4 wird die y-Achse in einer Höhe von 4 geschnitten und die Steigung beträgt 2.

Gerade 1

Die Steigung m

Die Steigung m gibt den Verlauf der Funktion an. Ist m positiv, so steigt der Graph immerfort. Ist m hingegen negativ, so fällt der Graph. Ist m = 0, dann haben wir eine sogenannte konstante Funktion, die Gerade ist also parallel zur x-Achse. Zu sehen ist das auch an den drei folgenden Graphen.

Gerade 2

Die Steigung kann dabei als sogenanntes Steigungsdreieck betrachtet werden bzw. mit einem Steigungsdreieck berechnet werden. Das heißt man zeichnet einen Abstand für x (von links nach rechts) und einen Abstand für y (von unten nach oben) ein und berechnet deren Verhältnis per Division. Der Abstand für x ergibt sich aus einem x-Wert und einem folgenden x-Wert, wir schreiben Differenz Δx = x2 - x1. Die Steigung berechnet sich damit durch m = (y2-y1) / (x2-x1) = Δy -Δ x. Beispielhaft an unserer Funktion f(x) = 2·x+4 gezeigt:

Steigung Gerade

Hier gehen wir mit dem x-Wert um 1 Einheit nach rechts. Die Differenz (das Zeichen Δ steht für Differenz bzw. Abstand) aus x2-x1 ist also 1. Bzw. rechnerisch festgehalten: Δx = x2 - x1 = 1 - 0 = 1. Nun muss noch die Höhe abgelesen werden. Dazu müssen wir 2 Einheiten nach oben gehen. Die Differenz für y ist Δy = 2. Wir können sie berechnen über Δy = y2 - y1 = 6 - 4 = 2. Das m ergibt sich dann mit m = 2/1 = 2.

Der y-Achsenabschnitt

Während m die Steigung angibt, gibt der y-Achsenabschnitt n die "Höhe" der Geraden an, an welcher sie die y-Achse schneidet. Dadurch wird die Gerade also verschoben.

Gerade 3

Die drei Geraden haben die gleiche Steigung, sind aber nach oben bzw. nach unten verschoben. Man spricht hier von "parallelen Geraden".

Spezialformen wie f(x)=x

Eine lineare Funktion hat die Normalform f(x) = m·x + n. Dies ist manchmal nicht sofort zu erkennen, wenn beispielsweise g(x) = x angegeben ist. Hier haben wir m = 1 und n = 0, also eine lineare Funktion in der Form g(x) = 1·x + 0 vorliegen, wobei die 0 und die 1 nicht geschrieben werden. Dies gilt ebenfalls für die bereits erwähnte konstante Funktion, die keine Steigung hat (also m = 0). Hier wird meist notiert: f(x) = n, als Normalform wäre dies: f(x) = 0·x + n. Der Graph einer konstanten Funktion ist parallel zur x-Achse.

Konstante Gerade

Merken wir uns außerdem: Geht der Graph durch den Koordinatenursprung, so ist n = 0 und aus:
f(x) = m·x + n
wird
f(x) = m·x + 0
f(x) = m·x

Oder andersherum: Gibt uns der Lehrer zum Beispiel die Gleichung: f(x) = x, so wissen wir, dass sie sich ebenfalls in die Normalform bringen lässt: f(x) = 1·x + 0

Wir finden die Normalform auch bei Gleichungen, die keine Steigung haben. So lässt sich z. B. f(x) = 2 auch darstellen als f(x) = 0·x + 2. Hier gibt es keine Steigung und wir erhalten eine Parallele zur x-Achse, die die y-Achse bei 2 schneidet. Solche Funktionen heißen konstante Funktionen.

Interessant ist noch, dass g(x) = x auch unter dem Namen "1. Winkelhalbierende" bekannt ist, da sie im ersten Quadranten (also dort wo x und y positiv sind, rechts-oberer Bereich des Koordinatensystems), den Winkel von 90° halbiert und auf 45° verläuft. Neben der 1. Winkelhalbierenden gibt es noch die "2. Winkelhalbierende", die von links oben nach rechts unten verläuft, sie hat die Funktionsgleichung h(x) = -x.

Winkelhalbierende

Anwendungen

Punktprobe

Es mag Situationen geben, wo von euch gefordert wird zu überprüfen, ob ein bestimmter Punkt Teil einer linearen Funktion ist, also auf der entsprechenden Geraden liegt. Die sogenannte „Punktprobe“ fordert von euch, dass ihr das überprüft. Eine Möglichkeit dies zu tun, ist es den x-Wert des Punktes P(x|y) in die lineare Funktion einzusetzen und den y-Wert zu überprüfen. Beispielhaft sieht das so aus:

"Überprüfe ob A(1|2) oder B(1|4) auf der linearen Funktion mit f(x) = x + 3 liegt."

Herangehensweise:

1. Funktion aufstellen:
f(x) = x + 3

2. Wert 1 für x einsetzen und berechnen:
f(1) = 1 + 3 = 4

Man nimmt sich den x-Wert 1 und setzt ihn ein. Der errechnet Wert ist der y-Wert. Dieser wird nun mit dem y-Wert des/der Punkt(e) verglichen. In diesem Falle haben wir y = 4 erhalten, was dem y-Wert von B entspricht. Folglich liegt B auf der Geraden, wohingegen A abseits der Geraden liegt.

Punktprobe

Gleichung einer linearen Funktion aufstellen

Es ist möglich, eine lineare Funktion aus gewissen gegebenen Bedingungen selbst aufzustellen. Dazu ist es nötig, mindestens zwei Bedingungen zu kennen. Das können entweder zwei Punkte sein, oder aber die Steigung und ein weiterer Punkt. Für letzteres wird die Punktsteigungsform benutzt für ersteres die Zweipunkteform. Beides schauen wir uns im Detail in der Lektion F09 Gleichung einer Linearen Funktion bestimmen an. Im Folgenden findet ihr zwei Beispielrechnungen. Übrigens kann man alternativ auch ein Lineares Gleichungssystem aus den Bedingungen aufstellen, dies unten als drittes Beispiel.

1. Punktsteigungsform

Werden ein Punkt und die Steigung einer linearen Funktion vorgegeben, so kann man die Normalform mittels der Punktsteigungsform angeben. Diese lautet:

f(x) = m·(x - x1) + y1

wobei m die bekannte Steigung ist und sich P bildet aus P(x1|y1).

An einer Beispielaufgabe sieht das dann so aus:

„Gib die Normalform der linearen Funktion an. Bekannt sei m = 2 und P(-1|3).“
f(x) = 2·(x - (-1)) + 3
f(x) = 2·(x + 1) + 3
f(x) = 2·x + 2·1 + 3
f(x) = 2·x + 5

Die Normalform lautet also f(x) = 2·x + 5.

2. Zweipunkteform

Hat man nicht die Steigung gegeben, sondern stattdessen nur zwei Punkte, so kann man trotzdem die Gleichung für die lineare Funktion aufstellen, auch wenn eine andere Formel verwendet werden muss, und zwar die Zweipunkteform. Diese lautet:

f(x) = (y2-y1) / (x2-x1) · (x - x1) + y1

Dabei ist der erste Faktor (y2-y1) / (x2-x1) nichts anderes als die Steigung m wie wir sie im entsprechenden Kapitel kennen gelernt haben. Also:

f(x) = m · (x - x1) + y1

An einer Beispielaufgabe sieht das dann so aus:

„Bestimme die lineare Funktion, die durch die Punkte A(1|2) und B(4|5) geht“.
f(x) = (5 - 2) / (4 - 1) · (x - 1) + 2
f(x) = 3/3 · (x-1) + 2
f(x) = 1 · (x-1) + 2
f(x) = x - 1 + 2
f(x) = x + 1
Die Gleichung lautet also f(x) = x + 1

3. Mittels eines linearen Gleichungssystems

Eine weitere Möglichkeit eine lineare Funktion aufzustellen und dabei nicht auf einer der obigen Formel zurückgreifen zu müssen, ist die Verwendung eines linearen Gleichungssystems, das wir später noch genauer kennenlernen. Zur Lösung nehmen wir die beiden Punkte von oben A(1|2) und B(4|5). Mit dem Wissen, dass eine Geradengleichung die Form f(x) = m·x + n hat, kann man nun zwei Gleichungen aufstellen. Mit zwei Unbekannten und zwei Gleichungen kann man die Parameter m und n bestimmen.

2 = m·1 + n
5 = m·4 + n

Beide Seiten nach n umgestellt:

n = 2 - m
n = 5 - 4·m

Nun sieht man, dass n durch zwei Arten ausgedrückt werden kann, also durch zwei Gleichungen beschrieben wird. Die beiden Terme (2-m) und (5-4·m) müssen also dem gleichen Wert entsprechen. Nutzen wir zur Auflösung das sogenannte Gleichsetzungsverfahren und setzen beide Gleichungen gleich:

	n = n
2 - m = 5 - 4·m |+4·m -2
3·m = 3 |:3
m = 1

Diesen ermittelten Wert für m nutzen wir nun und setzen ihn in eine der beiden oberen Gleichungen ein, um das n zu bestimmen:

n = 2 - m     | m=1
n = 2 - 1
n = 1

Es ergibt sich damit insgesamt:

f(x) = m·x + n | m=1 und n=1
f(x) = 1·x + 1
f(x) = x + 1

Das gleiche Resultat, das wir auch bei der Zweipunkteform ermittelt hatten.

Nullstelle und y-Achsenabschnitt bestimmen

Eine Aufgabenstellung bezüglich linearer Funktionen mag lauten, dass die Schnittpunkte mit den Achsen bestimmt werden sollen. Da es zwei gibt, seien beide Verfahren zur Bestimmung der Schnittpunkte vorgestellt.

y-Achsenschnittpunkt

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist schnell bestimmt. Dieser wird durch den y-Achsenabschnitt direkt angegeben. Sprich für f(x) = m·x + n haben wir direkt den Schnittpunkt mit Sy(0|n) bestimmt. Das kann man auch schnell zeigen, denn der Schnittpunkt mit der y-Achse verlangt, dass wir die lineare Funktion für x = 0 anschauen, das heißt der Punkt muss auf jeden Fall den x-Wert 0 haben, um auf der y-Achse zu liegen. Richtig, die y-Achse verläuft durch x = 0. Wir setzen also für x die 0 ein: f(0) = m·0 + n = n. Nur n bleibt übrig und damit ist unser Schnittpunkt Sy(0|n).

x-Achsenschnittpunkt: Nullstelle berechnen

Um den Schnittpunkt mit der x-Achse (die sogenannte "Nullstelle") zu bestimmen, muss der y-Wert 0 sein. Denn ein Punkt, der auf der x-Achse liegt, hat die y-Koordinate 0 (also die Höhe 0). Erinnern wir uns: Die x-Achse verläuft stets in der Höhe 0 (y = 0) und alle Punkte auf ihr haben ebenso die Höhe 0. Es muss also f(x) = m·x + n = 0 bestimmt werden, um den Punkt S(x|0) zu erhalten. Dabei ist die x-Koordinate dieses Punktes die Nullstelle. Das heißt, wir wissen, dass Punkt S(x|y) mit y = 0, also S(x|0) die Nullstelle x enthält. Rechnet man dies allgemein aus, führt dies zu einer allgemeinen Berechnungsformel:

f(x) = m·x + n = y
f(x) = m·x + n = 0
m·x + n = 0 |-n
m·x = -n | :m
x = -n:m
x = -n/m (Bruchschreibweise)

Der Schnittpunkt einer linearen Funktion kann also mit Sx (-n/m | 0) angegeben werden.

Berechnung am Beispiel: „Bestimme die Nullstelle von f(x) = 2·x + 3.“

Der lange Rechenweg, indem wir y = 0 setzen:
f(x) = 2·x + 3 = y   | y=0
f(x) = 2·x + 3 = 0
2·x + 3 = 0 |-3
2·x = -3 |:2
x = -3:2
x = -3/2 (Bruchschreibweise)

Oder der kurze Rechenweg, indem wir die Berechnungsformel x = -n/m verwenden.

f(x) = 2·x + 3 = y
x = -n/m
x = -3/2

Beide Berechnungen führen zum gleichen Ergebnis, dem Schnittpunkt Sx (-3/2 | 0). Es ist letztlich die gleiche Berechnung. Hinweis: Der Schnittpunkt wird statt mit Sx auch als N angegeben.

Schnittstelle

Soweit die Lektion zu den linearen Funktionen in Normalform.

Wenn ihr den Stoff verstanden habt, so versucht, die linearen Funktionen als nächstes euren Freunden zu erklären. :-)

Mathe-Programme Lineare Funktionen

Die Steigung eines linearen Graphen wird allgemein meist mit m bezeichnet (einer sogenannten Variablen). m steht vor dem x. Die Steigung ergibt sich aus dem Verhältnis von Höhe zu Breite. Eine Steigung kann positiv, negativ, null oder sogar "nicht definiert" sein. Im Folgenden könnt ihr die Lernprogramme nutzen, um euer Wissen zu den linearen Funktionen zu testen:

1. Lineare Funktion - Mit Steigung spielen! 2. Lineare Funktion - Erst die Steigung wählen, dann den Schnittpunkt! 3. Lineare Funktion - Zwei Punkte setzen und Gleichung selbst erstellen! 4. Nullstelle finden beim linearen Graphen 5. Funktion ermitteln aus 2 Punkten
  • Steigung eines linearen Graphen Steigung eines linearen Graphen
    Bewegt die Maus und seht die Abstände für Breite (grün) und Höhe (blau) und die sich ergebende Steigung m (der Wert, der vor dem x steht).
  • Steigung und Schnittpunkt mit y-Achse
    Steigung und Schnittpunkt mit y-Achse
    Zuerst die Steigung wählen (mit Mausklick bestätigen) und danach die Höhe auf der y-Achse einstellen. Die Normalform wird dabei angezeigt.
  • Lineare Funktion in Normalform
    Lineare Funktion in Normalform
    Hier könnt ihr euch die Normalform einer Funktion: f(x) = m*x + n erstellen, indem ihr zwei Punkte A und B setzt.
  • Nullstellen des linearen Graphen
    Nullstellen des linearen Graphen
    Mit diesem Programm könnt ihr zwei Punkte A und B setzen und erhaltet die Funktionsgleichung sowie die schrittweise Berechnung der Nullstelle angezeigt.
  • Lineare Funktion aus 2 Punkten Lineare Funktion aus 2 Punkten
    Dieses Programm berechnet aus zwei Punkten die Funktionsgleichung einer linearen Funktion. Gebt auch eigene Punkte ein. Zusätzlich wird euch der Rechenweg angezeigt.
Weitere Lernprogramme aufrufen

Übungsaufgaben

Nachfolgend findet ihr Aufgaben zu linearen Funktionen in Normalform, mit denen ihr euer neues Wissen testen könnt.

A: Lies die Funktionsgleichung in Normalform aus den gegebenen Graphen ab.

A1. Graph
Lineare Funktionen Aufgabe A1


A2. Graph
Lineare Funktionen Aufgabe A2


A3. Graph
Lineare Funktionen Aufgabe A3


A4. Graph
Lineare Funktionen Aufgabe A4


B: Bestimme die Schnittpunkte mit den Achsen
1. f(x) = 2·x + 3
2. g(x) = 6·x - 4
3. h(x) = -x + 3
4. k(x) = 12·x - 4
5. m(x) = -2·x - 4


C: Punktprobe
Liegen die Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion?

1. f(x) = 2·x + 2 → Punkte A(1|4), B(2|4), C(3|4)
2. g(x) = -3·x + 1 → Punkte A(0|2), B(1|2), C(1|-2)
3. h(x) = -x + 1 → Punkte A(0|0), B(5|0), C(1|0)
4. k(x) = 3·x + 12 → Punkte A(1|15), B(2|18), C(3|21)


D: Punktsteigungsform und Zweipunkteform
Bestimme die lineare Funktion aus den Angaben.

1. A(1|0) und B(2|1)
2. A(-3|4) und B(3|8)
3. A(2|17) und m = 3
4. A(1|2) und m = 12

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Untertitel

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Video Teil 1: Lineare Funktion in Normalform

Bitte die Einführungslektion vorher anschauen, du solltest zum Beispiel wissen was f von x bedeutet. Hallo liebe Schüler und willkommen zum nächsten Teil, zu den Linearen Funktionen. Betrachten wir uns noch einmal was wir in der vorigen Lektion gelernt hatten. Wir hatten ausprobiert, wie die Steigung sich verhält wenn man den Punkt hier, den ich gerade bewege, verändert. Und, nehmen wir mal diesen konkreten Fall, für diese Lineare Funktion hier, für diesen Graphen, und der hat offensichtlich hier an dieser Seite eine Höhe von 2 und eine Breite von 1. Und diese setzt man ja ins Verhältnis, um die Steigung heraus zu bekommen. Das heißt die Höhe schreibt man nach oben und die Breite schreibt man nach unten. Und Höhe durch Breite, also 2 durch 1 ergibt 2. Das heißt also, unsere Funktion hat die Steigung 2. Diese Steigung kann ich also verändern, ich kann sie klein machen, wenn ich jetzt mit der Maus herunter gehe, sinkt auch die Steigung, und hier gerundet sind wir bei 0x. Und das erste was ihr jetzt neu lernt ist, es gibt auch negative Steigung. Ich geh jetzt also hier herunter, und ihr seht das sich oben bei f von x der Wert jetzt negativ ergibt. Wir können also mal machen hier, 1 nach rechts für die Breite und 2 nach unten. Die Höhe ist -2, die Breite ist 1, und -2 durch 1 ist -2. Also ist die Steigung negativ mit -2. Gut. Dieses Schema hatten wir schon in der letzten Lektion, gucken wir uns jetzt nochmal einige Details an. Betrachten wir uns also f von x gleich 2 mal x ist gleich y. Erinnert ihr euch, x war nichts weiter als die Breite. Jetzt für ein paar Werte. Wenn wir f von 1, also x wird jetzt 1, einsetzen, steht da 2 mal 1 und wir kriegen die Höhe von 2 heraus. Wenn wir f von 2 einsetzen haben wir 2 mal 2 hier zu stehen und wir kriegen eine Höhe von 4. Und wenn wir natürlich hier oben noch die 0 einsetzen für x, steht dann 2 mal 0 und da kommt 0 heraus. Da hatten wir gesagt, das sind ja alles nichts weiter als Punkte. Dieser Punkt, nennen wir ihn mal A hätte also den x-Wert 0 und den y-Wert 0. Also die Höhe 0. Breite 0, Höhe 0. Dieser hier hätte also den x-Wert 1 und die Höhe 2. Und der nächste hätte den x-Wert 2 und die Höhe 4. Gut, das hatten wir auch in der letzten Lektion. Gut, tragen wir diese Punkte nochmal in das Koordinatensystem ein. Da haben wir also A bei x 0 und y 0. Dann haben wir B bei x 1 und y 2. Und dann haben wir C bei 2 und 4. 2 und 4. Gut, und wenn wir jetzt A, B und C miteinander verbinden hatten wir den Funktionsgraphen. Was ihr jetzt bemerkt ist, auch wenn wir jetzt die Steigung hier ändern würden, das immer der Mittelpunkt hier 0 / 0 unverändert bleibt. So wie wir das gerade gesehen hatten, bei dieser Aufgabe, wir können hier die Steigung ändern und herumspielen, doch hier der in der Mitte bleibt immer 0. Was passiert jedoch, wenn ich jetzt diesen Mittelpunkt einen nach oben verschiebe? Und das nicht nur für diesen 0 / 0 – Punkt A, sondern für jeden Punkt dieses Graphen. Das heißt der y-Wert bei A ist nicht mehr 0 sondern 0 plus 1. Und 0 plus 1 ist 1. Und hier plus 1 und hier plus 1, weil jeder Punkt soll hoch. 2 plus 1 ist 3 und 4 plus 1 ist 5. Das heißt A ist jetzt nicht mehr für die Höhe 0 sondern 1, müssen wir einen nach oben setzen. B ist jetzt für die Höhe nicht mehr 2 sondern 3. Müssen wir einen nach oben setzen. Und C ist für die Höhe nicht mehr 4 sondern 5, ebenfalls einen nach oben. Tun wir das gerade. Und erinnern wir uns, diese Funktionsgleichung war vorher f von x gleich 2 mal x, doch jetzt schlagen wir ja auf jeden Wert einen drauf, also plus 1. Das heißt, auch das gleiche müssen wir für unsere Funktionsformel hier machen, immer einen draufschlagen. Also plus 1. Dadurch haben wir also unsere Funktionsgleichung verändert. Und jetzt können wir auch diese neue Formel anwenden und jeden beliebigen Punkt herausbekommen, indem wir ein x einsetzen und dann eben als Ergebnis y erhalten. Veranschaulichen wir das gerade nochmal mit unserer Formel, beziehungsweise wir testen es. Die allgemeine Form hier notiert und jetzt machen wir jede konkret. Für das A war es eine 0 einzusetzen, 2 mal 0, der alte Wert war 0, und jetzt kommt ja die plus 1 dazu, und das ergibt natürlich 1. Und die findet sich natürlich hier wieder. Für B war x 1 einzusetzen, 1, 2 mal 1 ist 2 plus 1 ist gleich 3. Und die 3 findet sich hier wieder. Und bei C war 2 einzusetzen für x, f von 2 ist gleich 2 mal 2, das sind 4, und 4 plus 1 ist 5. Und diese 5 findet sich natürlich hier auch wieder. Also unsere Funktion f von x gleich 2 mal x plus 1 beschreibt unseren Graphen. Und richtig, wir können das auch allgemein machen, das heißt diese plus 1 kann natürlich auch plus 2 sein, dann würden wir den ganzen Graphen 2 nach oben verschieben. Wir können ihn auch 3 nach oben verschieben oder einem beliebigen Wert. Gleichfalls können wir ihn auch nach unten verschieben, so zum Beispiel zu minus 1. Dann wird aus der plus 2 hier links eine minus 1. Und für die Steigung merken wir uns 2 mal x bleibt ja immer gleich. Wenn wir jetzt jedoch diese Funktion in ihrer Steigung verändern würden, zum Beispiel in etwas so, dann würden wir sehen, hätte wir hier eine Steigung von 1 und dann hätten wir vorne nicht 2 mal x sondern 1 mal x. Und wenn wir den Graphen jetzt durch unseren 0/0-Punkt, beziehungsweise durch den Koordinatenursprung laufen lassen, haben wir nicht mehr minus 1 zustehen sondern 0. Und damit fällt die minus 1 hier drüben weg zu plus 0. Und ihr wisst 1 mal x plus 0 ist 1 mal x. Daher hatten wir auch unsere Lektionen hierzu mit der einfachen Steigung 1 begonnen. Jedoch versteckte sich dahinter 1 mal x plus 0. Und diese Form einer Linearen Funktion, eine Steigung mal einem x-Wert plus dem Wert dem Schnittpunkt hier auf dieser y-Achse, der letzte Wert, das ist die Normalform einer Linearen Funktion. Schreiben wir das verallgemeinert auf. Wir haben also vorne die Steigung, die jeden beliebigen Wert annehmen kann und man schreibt m und hinten die plus 0 bezeichnen wir als n. Und diese beiden Parameter m und n bestimmen schließlich wie unser Graph zu zeichnen ist. Das heißt m, m ergab sich ja aus Abstand, man nimmt dieses Zeichen hierfür, man sagt auch Delta, also Abstand der Höhe. Nehmen wir als Beispiel mal die Höhe 2 und dann diesen Abstand der Höhe dividiert durch den Abstand der Breite. Und der wäre hier unten in dem Beispiel auch 2. Und die beiden zusammen, in unserem Beispiel 2 durch 2, ergeben 1, also für Steigung hier oben wäre einzutragen 1x. Das heißt ich gehe 1 nach rechts 1 nach oben, 1 nach rechts 1 nach oben, 1 nach rechts 1 nach oben und so weiter und dieses plus n hier hinten befähigt uns also den gesamten Graphen zu verschieben. Wobei n 0 ist wenn der Graph durch den Koordinatenursprung, also 0 / 0 geht. Wenn wir den Graphen 1 nach oben schieben, dann wäre n jetzt nicht mehr 0 sondern, in dem Beispiel, 1. Also würden wir hier oben eine plus 1 hinschreiben. Das n gibt uns also die Verschiebung wieder des Graphen entlang der y-Achse.

Video Teil 2: Funktionsgleichung aus 2 Punkten ermitteln

Das n der Schnittpunkt mit der y-Achse ist, kann man sich auch rechnerisch denken. Gucken wir uns ein paar Punkte auf der y-Achse einmal an. Betrachten wir uns ihre Koordinaten für x und y. Hier sehen wir, dass jeder dieser Beispielpunkte den x-Wert 0 hat. Oder anders ausgedrückt, sobald bei der Funktionsgleichung x gleich 0 ist, befindet sich der Punkt den wir erhalten auf der y-Achse. Betrachten wir das einmal bei der Normalform. Wir setzen für x jetzt also die 0 ein und es ergibt sich m mal 0 plus n, m mal 0 fällt natürlich weg, denn erinnert ihr euch, jede Zahl mit 0 multipliziert ergibt wieder 0, und übrig bleibt schließlich nur n. Unser Schnittpunkt hat also die Koordinaten x gleich 0 und y ist n. Merken wir uns also, das n verrät uns, wo sich der Schnittpunkt mit der y-Achse befindet. Also nochmal mit anderen Worten, wir können einer Funktion an diesem Wert hier hinten ablesen, wo sie in unserem Koordinatensystem den Schnittpunkt mit der y-Achse hat. Schauen wir uns hierzu eine kleine Beispielaufgabe an. Sagen wir, unsere Funktion die uns der Lehrer gibt heißt -2x plus 1. Da können wir unser bisheriges Wissen einsetzen und -2 als Steigung einzeichnen. Also die Steigung ist -2 und dann können wir an der Stelle hier sagen -2, erinnern wir uns an die Bruchrechnung, ist ja das gleiche wie -2 Eintel. Und wir hatten gesagt, der obere Wert entspricht der Höhe für y und der untere Wert entspricht dem Abstand für x, der Breite. Okay, zeichnen wir das ein. Wir gehen also hier 1 nach rechts, das ist der Abstand für x, und 2 nach unten. Und von diesem Punkt aus können wir erst einmal zum 0/0-Punkt oder durch den 0/0-Punkt unsere Gerade zeichnen. Nun sagen wir aber auch, wir haben hier hinten ein plus 1 zustehen. Und wie wir gerade gelernt hatten, müssen wir unsere Gerade hier jetzt 1 nach oben verschieben. Von der y-Achse hier bei 0 auf 1. Und das ist schon der fertige Funktionsgraph. Der Verlauf des Graphen stellt also unsere Funktionsgleichung dar. Wir können auch spaßeshalber mal einen Wert einsetzen, sagen wir x soll 0 sein dann steht hier -2 mal 0 sind 0, plus1 ist 1. Also der Punkt wäre 0 und die 1, 0 und die 1. Und die haben wir hier und das trifft genau unseren Graphen. Wir könnten aber auch sagen wir setzen für x 0,5 ein, x wird also 0,5, damit suchen wir die Höhe bei x 0,5 an der Stelle, und dann steht hier -2 mal 0,5, 2 mal 0,5 sind 1, also minus 1 bleibt stehen, und minus 1 plus 1 ist 0. Das heißt die Höhe bei 0,5 ist 0. Und das ist hier auch die sogenannte Nullstelle. Ermitteln wir als nächstes eine Funktionsgleichung aus einem Graphen. Stellen wir uns vor der Lehrer gibt uns eine Aufgabe zu einer Linearen Funktion und sagt, die Lineare Funktion hat 2 Punkte, A mit minus 1 und 1, und B mit 3 und 3. Dann gilt es für euch als erstes diese beiden Punkte einzuzeichnen. Für A wäre das minus 1 für x und 1 für y also wäre das hier. Und B hat Koordinaten 3, 3, also 3 nach rechts auf der x-Achse und 3 nach oben auf der y-Achse. Gut, danach verbindet ihr beide Punkte miteinander um den Graphen zu erhalten. Also von A zu B. Als nächstes schreibt ihr euch die Normalform der Linearen Funktion auf, f von x ist gleich Steigung m mal x plus n. Jetzt gilt es für euch m heraus zu bekommen. Und wir sagten m ergibt sich aus einem Abstand der Höhe zu einem Abstand der Breite. Delta y zu Delta x. Was heißt das jetzt hier für unsere Funktion? Wir brauchen eine Höhe und eine Breite die wir ins Verhältnis setzen können. Und dazu bedienen wir uns der Koordinaten der beiden Punkte. Grafisch eingezeichnet wäre das hier Delta y und das hier unten wäre Delta x. Und jetzt hatten wir auch schon gesagt, das nennt man auch Steigungsdreieck. Wir setzen in ein Verhältnis den Abstand der Höhe zum Abstand der Breite. Und wir hatten auch gesagt, dass bei der Linearen Funktion das Steigungsdreieck beliebig angesetzt werden darf, denn die Steigung ist überall gleich. Okay, machen wir es jetzt konkret, was ist denn jetzt Delta y für uns? Da kann man ein Blick hier oben auf unsere Koordinaten werfen für die beiden Punkte, und hier die zweite Koordinate ist ja der y-Wert. Die wäre für A 1 und für B 3. Also spannen wir den Abstand von 1 zu 3. Und was ist der Unterschied von 1 zu 3? Das ist relativ einfache Mathematik, der ist 2. Und jetzt können wir natürlich noch den Abstand von dem x-Wert zu dem x-Wert, also die gesamte grüne Linie wollen wir haben, wie lang ist die? Und die ist von A minus 1, das ist hier unten, zu B 3, also hier. Und von minus 1 zu plus 3 ist wie viel Abstand? Richtig, das ergibt 4. Jetzt haben wir beide Abstände und können die hier unten für Delta y und Delta x einsetzen. Delta y ist also die Höhendifferenz 2 und Delta x ist die Differenz der Breite, die wir mit 4 ermittelt haben. Und 2 Viertel das ist ein schöner Bruch, da kann jetzt 1 Halb ausrechnen oder wir sagen jetzt einfach mal 0,5. Okay, die Steigung ist also 0,5. Das heißt für unsere Funktion f von x gleich m mal x plus n können wir sagen, die wird jetzt schon konkreter mit f von x gleich 0,5 mal x plus n. Der erste Schritt ist hiermit getan. Jetzt gilt es noch das n heraus zu bekommen. Das ist ja an dieser Stelle der Schnittpunkt mit der y-Achse. Und anstatt ihn jetzt abzulesen wollen wir es natürlich konkret machen, wir wollen den Wert für n berechnen. Und da wir nur die Koordinaten für A haben und für B aber jetzt dadurch auch die Steigung, ist das relativ einfach möglich. Wir nehmen uns also unsere Funktion und wir können jetzt die Koordinaten von A oder von B hier einsetzen um auf n zu gelangen. Nehmen wir mal die Koordinaten von A. Minus 1 und 1. Der Wert x bei A ist minus 1, dadurch wird dieses x hier auch minus 1 und heraus kommt ein y-Wert die Höhe, also kommt heraus ist gleich 1. Und erinnert euch an die erste Lektion zu den Linearen Funktionen, da hatten wir gesagt wir haben ein x-Wert, den setzen wir ein, dann steht da irgendwas, und dann kommt ein y-Wert raus. Also das war damals die Breite und dann kommt die Höhe heraus. Jetzt haben wir ja schon einen Bestandteil der Gleichung jedoch mit einem unbekannten Teil n. Die Höhe wissen wir auch schon, die ist 1 bei unserem Punkt A und der x-Wert natürlich minus 1 bei unserem Punkt A. Als nächstes stellen wir die Formel der Funktion und der 1 gegenüber. Und rechnen aus, 0,5 mal minus 1 ist, richtig, minus 0,5 plus n gleich 1. Und das ist eine simple Gleichung, die wir bei der Äquivalenzumformung auch schon gelöst hatten. Jetzt sagen wir auf beiden Seiten plus 0,5 dann steht hier links minus 0,5 plus 0,5 plus n ist gleich 1 plus 0,5. Die beiden heben sich auf zu 0 und rechts steht jetzt 1 plus 0,5 und das ist natürlich 1, 5. Und an dieser Stelle haben wir schon den Wert für n heraus bekommen. Der ist 1,5. Vergrößern wir nochmal unsere Grafik und überprüfen ob das in etwa übereinstimmt. Und tatsächlich der Wert liegt bei 1,5. Und an dieser Stelle haben wir schon die fertige Funktionsgleichung in Normalform. Die für diesen Graph lautet 0,5 x plus 1,5.

Video Teil 3: Konstante Funktion, Nullstellenberechnung

Unsere ermittelte Funktionsgleichung können wir uns graphisch auch anders denken. Zuerst gucken wir uns den Wert für n an, also hier 1,5. Den finden wir auf der y-Achse wieder. Und dann gehen wir von dort einen Schritt nach rechts und dann muss auch die Steigung um 0,5 nach oben gehen. Dann wieder 1 nach rechts und dann wieder 0,5 nach oben. Und wieder 1 nach rechts und 0,5 nach oben. Und tatsächlich, wir erreichen Punkt B. Das heißt unsere Funktionsgleichung findet sich in diesem Graph wieder.
Gucken wir uns als letztes noch einen Spezialfall an, bei dem die meisten Schüler etwas verwirrt sind. Wenn da zum Beispiel steht f(x) ist gleich 2. Da wissen die meisten Schüler jetzt nicht, was sie machen sollen. Aber das ist eigentlich relativ einfach, wenn man sich denkt, dass hier eigentlich steht 0·x, denn 0·x ist ja 0. Plus 2. Und dann sieht man, das ist wieder die Normalform. Wir haben eine Steigung von 0 und der Graph geht bei der y-Achse bei 2 durch. Gucken wir uns das kurz in der Graphik an. Erinnern wir uns an unsere kleine Hilfe hier und gucken uns hier oben den Wert an bei der Steigung. Und wir hatten gesagt, wenn man runter geht, wird der Wert immer kleiner. Das heißt die Steigung 0 erreichen wir, wenn unser Graph direkt auf der x-Achse liegt, wie ihr hier schön sehen könnt. Das heißt für uns also, der Graph ist, bei einer Steigung von 0, auf der x-Achse bzw. Parallel zur x-Achse. Und jetzt hatten wir gesagt, hier oben, +2. Das heißt wir verschieben den ganzen Graphen hier 2 nach oben. Und das ist auch schon der fertige Graph. f(x) gleich 2 ist eine Parallele zur x-Achse. Und egal welchen Wert ich für x einsetze es kommt immer 2 heraus.
Gucken wir uns noch einen Spezialfall an. Was passiert, wenn die Steigung zunimmt, zunimmt, zunimmt und sich irgendwann auf der y-Achse befindet. Dann steht ja hier, wie ihr sehen könnt: Keine Steigung. Division durch 0. Und diese 0 meint ja die Breite. Und das Division durch 0 nicht funktioniert, haben wir schon in einer anderen Lektion kennengelernt.
Gucken wir uns als letztes noch die Punkte an, die sich auf der x-Achse befinden. Nennen wir sie hier mal A, B und C und schauen uns ihre Koordinaten an, dann erkennen wir, dass jeder dieser Punkte immer den y-Wert 0 hat. Bzw. anders formuliert. Sie sind alle bei der Höhe 0. Wenn ihr also mal einen Punkt auf der x-Achse suchen sollt, man sagt da meist „finde die Nullstelle einer Funktion“, dann geht ihr wie folgt vor. Ihr nehmt euch die Normalform einer Funktion mit f(x) = m·x+n. Und jetzt wisst ihr, hinten dieser y-Wert, soll, wie wir gerade festgestellt haben, immer 0 sein. Also die Höhe soll immer 0 sein. Dann könnt ihr euch das hier vorne wieder wegdenken. Und jetzt steht da m·x+n gleich 0. Anhand eines Beispiels schauen wir uns das mal an. f(x) soll der Graph sein, -1,5x+3. 1,5 ist die Steigung nach unten. Und +3, das ist die Höhe bei dem Schnittpunkt mit der y-Achse. Und jetzt sagen wir, das ganze Konstrukt hier soll 0 sein. Und jetzt seht ihr wahrscheinlich schon, dass es einfach wird. Wir können die Äquivalenzumformung machen, auf beiden Seiten -3 rechnen. Dann steht hier -1,5x+3-3, löst sich auf zu 0. Ist gleich 0-3. Und das sind ja -3. Jetzt dividieren wir auf beiden Seiten durch -1,5. Dann fällt links die -1,5 weg. x bleibt übrig. Und rechts steht -3/(-1,5). Und das ergibt 2. So, da steht x gleich 2. Was sagt uns das? Das sagt, wenn wir unsere Funktionsgleichung haben f(x) gleich -1,5·x+3 und wir setzen jetzt für x 2 ein, haben wir -1,5·2+3. Und dann können wir ausrechnen: -1,5·2 ist -3. Plus 3 ist 0. Damit hat dieser Punkt die Koordinate P(2|0). Er wäre also im Koordinatensystem hier zu finden. Und ja richtig, das ist die Nullstelle des Graphen f, der die Funktionsgleichung hat -1,5x+3.
Zum Abschluss möchten wir euch noch auf ein paar Programm aufmerksam machen, die ihr bei uns auf der Webseite findet. Zum einen habt ihr so etwas Schönes wie den Steigungsmesser. Das heißt ihr habt die Möglichkeit die Maus zu bewegen und hier die Höhe und Breite selbst festzulegen. Und auf der rechten Seite erhaltet ihr die Steigung im Verhältnis von Höhe zu Breite und darunter auch gleich den Wert der Steigung. Das ist eine Möglichkeit bei der ihr herumspielen könnt. Die zweite Möglichkeit bietet euch dieses Programm. Hier wählt ihr als erstes die Steigung, indem ihr einfach nur die Maus hoch und runter bewegt. Hier oben ist der Wert zu erkennen. Wir können uns eine sehr starke Steigung machen, eine sehr geringe Steigung. Anschließend klickt ihr mit der Maus und hier habt ihr jetzt die Möglichkeit den y-Wert für den Schnittpunkt mit der x-Achse zu bestimmen. Und ihr seht, wie sich hier oben der Wert für n gleichfalls ändert. Und als letztes habt ihr noch die Möglichkeit euch über zwei Punkte, die ihr selbstständig setzt eine Normalform zu schaffen. Also setzen wir den mal bei A(-2|-1). Jetzt könnt ihr euch einen Punkt B aussuchen und gleichzeitig seht ihr die Höhe und die Breite die sich ergeben. Und auch den Schnittpunkt mit der y-Achse. Nehmen wir uns jetzt mal für B(3|3). Dann haben wir also Schnittpunkt bei 0,6. Und die Steigung ist 4/5. Das findet man hier unten wieder und fahrt ihr mit der Maus herüber, bekommt ihr das Ergebnis 0,8. Also 4/5, oder 0,8 ist die Steigung dieser Funktion. Viel Spaß beim Rumspielen. Testet es! Probiert euch aus! Und ich denke ihr habt so eine gute Gelegenheit die Linearen Funktionen besser zu verstehen.

Video Teil 4: Gerade in das Koordinatensystem einzeichnen

Wie zeichnet man eine Gerade in das Koordinatensystem ein? Ich gehe mal davon aus, dass ihr wisst, was ein Koordinatensystem ist und was eine Gerade ist, eine gerade Linie. Die Gerade ist der Graph einer linearen Funktion, aber auch von einer konstanten Funktion. Hier haben wir zwei Funktionsgleichungen gegeben, sie ordnen jedem x einen y-Wert zu. Mein Hinweis an dieser Stelle, schaut euch die Funktionsvideos an, dort benutzen wir eine Schreibweise, die häufiger benutzt wird und zwar mit f(x). Dann setzen wir hier ein x ein, das kommt dann hier auch vor. Dann rechnet man diesen Term aus und dann kommt ein Wert raus, den man y nennt. Und dann kann man mit dem x-Wert und dem y-Wert einen Punkt ins Koordinatensystem einzeichnen. Machen wir das hier genauso. So und jetzt schauen wir mal wie wir die 3x + 1 ins Koordinatensystem einzeichnen können. Die 3 hier vorne gibt die Steigung an und der 1, da können wir den y-Achsenabschnitt ablesen, also da wo der Graph die y-Achse schneidet. Stellen wir mal die Steigung 3 ein, können wir hier ganz gut mit dem Programm machen. Hier oben seht ihr den Wert: 1, 2, 3. Und wenn wir hier auf 3 gehen. Auf Höhe 3, dann sehen wir 1 nach rechts und 3 nach oben und jetzt können wir noch das +1 einstellen. Ihr seht hier, wie sich der Wert verändert, entsprechend des Wertes auf der y-Achse. Und jetzt gehen wir auf +1. Das ist unsere Gerade. Wir sehen also, zum Selbstzeichnen gucken wir als erstes hier hinten, was steht denn da für eine Zahl, das konstante Glied bzw. Absolutglied. Wenn es eine 1 ist, wissen wir schon mal, müssen wir bei 1 auf der y-Achse den Punkt setzen. Von diesem gehen wir einen Schritt nach rechts, und jetzt schauen wir hier. Hier steht eine 3, das heißt wir müssen jetzt 1, 2, 3 nach oben gehen. Und können dort den nächsten Punkt setzen. Anschließend verbinden wir beide Punkte miteinander, zeichnen vor allen Dingen durch und haben dann unsere Gerade eingezeichnet. Fertig. Wie sieht es hier aus, bei der Geraden g? Hier können wir das gleiche machen, wir müssen nur klären, was -x bedeutet. Und bei -x, erinnert euch, können wir ein -1•x daraus machen. Das heißt hier geht es nach unten und das stellen wir jetzt mal hier ein. Die Steigung ist negativ, die Gerade geht nach unten. Und -1 bedeutet 1 nach rechts und 1 nach unten. Oder 2 nach rechts, 2 nach unten usw. Und jetzt müssen wir den Graphen noch auf 2 verschieben. Auf der y-Achse. Und fertig. -1x + 2. -1x + 2. Auch hier gilt wieder das gleiche. Auf der y-Achse bei 2 den Punkt setzen. Die Steigung ist -1, also einen nach rechts und einen nach unten und dort den Punkt setzen. Man kann auch weitere Punkte setzen. Einen nach rechts, minus eins. Einen nach rechts, minus eins usw. Gut und das ist es schon. So zeichnet man Geraden ins Koordinatensystem ein. Für das Einzeichnen gibt es bei Geraden noch eine Alternative. Und zwar ist eine Gerade ja durch zwei Punkte bestimmt, das heißt wir müssen hier einfach nur zwei x-Werte einsetzen und die y-Werte ausrechnen. Und da haben wir freie Auswahl. Nehmen wir als erstes x = 1, dann haben wir 2•1 stehen und Ergebnis ist 5. Und nehmen wir einen anderen x-Wert, nehmen wir die 3. Dann haben wir 2•3 stehen und es ergibt sich 9. Und jetzt haben wir die Punkte x = 1, y = 5. Nennen wir diesen Punkt A. Und hier haben wir den Punkt 3 und 9. Nennen wir ihn B. Die beiden zeichnen wir jetzt ins Koordinatensystem ein. Hier bei 1 und 5 und hier 3 und 9. Und jetzt verbinden wir diese beiden einfach. Zeichnen eine Gerade durch. Und das ist schon unsere Gerade f. Also auch eine schnelle Methode. Aber bitte daran denken, das Zeichnen auf der Grundlage von zwei Punkten, geht nur bei linearen Funktionen, bei Geraden. Bei Funktionen höheren Grades geht das nicht. Ein Tipp: Ihr findet auf unserer Webseite einen kleinen Plotter, mit dem ihr Funktionen zeichnen könnt. Da könnt ihr hier oben ganz einfach alles herauslöschen und gebt dann eure Funktion ein. Wir hatten ja 3x + 1, dann seht ihr auch, der geht hier bei der y-Achse durch 1 durch. Ein nach rechts und drei nach oben. Oder der nächste: -x + 2. Geht bei 2 durch. Ein nach rechts, zwei nach unten. Also mit diesem Programm könnt ihr auch ganz schnell eure Zeichnungen erstellen bzw. kontrollieren. Viel Erfolg dabei.

Video Teil 5: Liegt der Punkt auf dem Graphen

Liegt der Punkt auf dem Graphen? Das sollen wir rechnerisch bestimmen. Wie macht man das? Gegeben sei der Punkt P(3|2) und die Funktionsgleichung f(x) = 2•x + 4. Und jetzt sollen wir gucken, ob dieser denn darauf liegt. Auf dem Graphen. Und das sollen wir nicht zeichnen, das sollen wir berechnen. Dazu nehmen wir uns diese Gleichung hier runter, schreiben hinten = y dazu. Und jetzt setzen wir die x-Koordinate für P, die 3, hier ein für diesen x-Wert und damit wird sie hier ebenfalls 3. Jetzt berechnen wir das. 2•3 = 6. 6 + 4 = 10. y ist also 10. Das heißt, wenn wir x = 3 haben, wird y = 10. Unser Punkt, nennen wir ihn mal A, hat die Koordinaten 3 und 10. Und nicht 3 und 2. Das heißt dieser Punkt P liegt nicht auf unserem Graphen f. Zur Kontrolle könnt ihr das natürlich in ein Koordinatensystem einzeichnen. Dann ist also unser blauer Graph und wir sehen hier ist unser Punkt P(3|2). Unser Punkt P liegt nicht auf dem Graphen. Unser Punkt A(3|10), als A, liegt auf dem Graphen. Das schöne ist, dieses rechnerische Bestimmen des Punktes funktioniert für alle Funktionen. Also nicht nur für die linearen, sondern auch für die quadratischen, kubischen oder auch trigonometrischen Funktionen. Nehmen wir eine Funktion dritten Grades. Schauen wir nochmal. Gleiches Prinzip: Wir nehmen die Gleichung hier runter, schreiben ein = y hier ran. Jetzt setzen wir für x unsere 2 ein und berechnen den Term. 8 + 2 + 4 = 14. Und schon hier erkennen wir, der Punkt muss lauten A(2|14), doch der gegebene Punkt ist P(2|11), das heißt er liegt nicht auf dem Graphen dieser Funktion. Hier ist der gegebene P(2|11) und hier der errechnete A(2|14). Und ganz wichtig, zur Wiederholung, zu jedem x-Wert gibt es immer nur einen y-Wert. Deswegen dürfen wir auch nur einen Punkt für x = 2 einzeichnen, der auf dem Graphen liegt. Das war die Voraussetzung für Funktionen. Jedem x-Wert wird nur ein y-Wert zugeordnet. Das bitte merken. Diesmal eine Sinusfunktion. Wir sollen prüfen ob der Punkt P(π/4|2) auf der Funktion f(x) = sin(2x) + 1 liegt. Und hier sieht es zwar schwierig aus, aber es ist auch relativ einfach. π ist ein Wert von rund 3,1416, also hier steckt auch nur eine Zahl hinter. Und π/4 ist damit rund 0,7854. Und jetzt nehmen wir uns die Funktionsgleichung runter. Wir wissen, da soll wieder eine y rauskommen. Und wir wissen für x setzen wir jetzt die y-Koordinate von P ein. Also hier und hier. Und jetzt können wir das berechnen. Brauchen dazu den Taschenrechner. Und hier aufpassen, das ist nicht Grad, sondern Radiant, das Bogenmaß. Also wir gehen auf „MODE“, klicken auf 2 für „RAD“. Und jetzt geben wir ein 2•π/4. Und jetzt davon den Sinus, also Sinus-Taste von dem Wert ist gleich 1. Und jetzt noch die + 1 dazu. y-Wert ist also 2. An dieser Stelle noch der Hinweis, das lässt sich auch ohne Taschenrechner lösen. Denn wir wissen ja, 2•π/4 können wir kürzen zu π/2. Und sin(π/2) entspricht ja dem sin(90°) und da sollte euch sofort der Einheitskreis einfallen und wir sehen sin(90°) = 1. Hier nochmals kurz zu erkennen. Schaut auf den blauen Wert, der sich zu 1 ergibt. Und dann wissen wir als, hier kommt 1 heraus und 1 + 1 = 2. Wie lautet also unser Punkt? A mit x-Koordinate π/4 und y-Koordinate 2. Und schauen wir, es war gegeben π/4 und 2. Das heißt, ja, der Punkt P liegt auf unserem Graphen f(x) = sin(2x) + 1. Und nochmal der graphische Nachweis. Hier ist dieser Graph von f(x) = sin(2x) + 1. Und wir sehen bei π/4, also bei rund 0,7854, dort haben wir den y-Wert 2. Also hier liegt unser Punkt so wie es sein soll.
Tags: Formel Lineare Gleichung, Lineare Funktionen in Normalform, Funktionsgleichungen/Lineare Gleichungen aufstellen, Schnittpunkt mit y-Achse und x-Achse, Achsenschnittpunkte, Schnittpunkt, linear, Steigung, Steigungsdreieck, Geradengleichung, Punktsteigungsform

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