Mathe F05: Lineare Gleichungssysteme

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:

Klassenstufe laut Lehrplan: 9. Klasse

Mathe-Videos

Eine Abkürzung, auf die man im Mathematik-Unterricht oft stößt, ist "LGS". LGS steht für Lineares Gleichungs-System. Damit ist allgemein das Lösen von linearen Gleichungen gemeint, die in Verbindung gebracht werden und dadurch im Normalfall nur eine Lösung für x und y haben.

Im Video Teil 1 zeigen wir euch in Kürze wie man ein Lineares Gleichungssystem löst, das aus zwei Gleichungen besteht. Wir schauen uns dazu drei Verfahren an: Gleichsetzungsverfahren | Einsetzungsverfahren | Additionsverfahren. In den Videos 2 bis 5 wird das Lösen von linearen Gleichungssystemen mit Funktionen veranschaulicht. Hier ist es notwendig, dass ihr die Lektion Schnittpunkt von zwei linearen Graphen gesehen und verstanden habt. In Video 6 lösen wir schließlich eine anspruchsvolle Textaufgabe.

Mathe-Video F05-1 Lineare Gleichungssysteme - Die drei Lösungsverfahren

Die 3 Lösungsverfahren in Kürze erklärt: Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren und Additionsverfahren

Mathe-Video F05-2 Lineare Gleichungssysteme - Einsetzung und Gleichsetzung

Einsetzungsverfahren und Gleichsetzungsverfahren im Detail, Schnittpunkt von Graphen, Lineare Gleichungssysteme (LGS) mittels Funktionen dargestellt

Weitere Videos stehen dir als Kunde zur Verfügung:

  • F05-3 Lineare Gleichungssysteme - Additionsverfahren und Funktionen

    Additionsverfahren mithilfe von Summenfunktion und Differenzfunktion erklärt

  • F05-4 Lineare Gleichungssysteme - Lösen mit Additionsverfahren

    Additionsverfahren im Detail, Lösen mit dem Additionsverfahren inklusive vorheriger Umformung der linearen Gleichungen

  • F05-5 Lineare Gleichungssysteme - Subtraktionsverfahren

    Additionsverfahren als Subtraktionsverfahren (Betrachtung als Differenzfunktion), mögliche Lösungen für lineare Gleichungssysteme (Lösungsmenge/Lösungspaar)

  • F05-6 Lineare Gleichungssysteme - Sachaufgabe

    Anwendung des linearen Gleichungssystems bei einer Sachaufgabe (Stausee), Lösung mit dem Subtraktionsverfahren

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Wissen zur Lektion

Einführung

Oberstes Ziel beim Lösen von LGS ist stets: Beseitige eine der beiden Unbekannten. Nutze dazu eines der Verfahren:

1. Gleichsetzungsverfahren

Beide Gleichungen sind so umzustellen, dass y jeweils auf einer Seite des Gleichheitszeichens steht:

I. y = (...)
II. y = (...)

Anschließend darf man die y gleichsetzen und die beiden Terme (...) jeweils für y einsetzen:

y = y
(...) = (...)

Die entstehende Gleichung enthält dann nur noch die Unbekannten x und lässt sich, wie wir bereits gelernt haben, lösen.

2. Einsetzungsverfahren

Es ähnelt dem Gleichsetzungsverfahren, man stellt jedoch nur eine Gleichung nach y um (die zweite Gleichung lässt man unverändert):

I. y = (...)
II. y + (...) = (...)

Dann darf man den Term der Gleichung I, also y = (...) in die II. Gleichung einsetzen. Man ersetzt also y von Gleichung II mit y = (...) von Gleichung I.

II. y + (...) = (...)
II'. (...) + (...) = (...)

Schließlich enthält die neu entstehende Gleichung keine y mehr, sondern nur noch Unbekannte x und lässt sich lösen.

* Anstatt nach y kann man stets auch nach x umstellen. Das funktioniert entsprechend. Im letzten Schritt bleiben dann nur Terme mit y übrig.

3. Additionsverfahren

Das Additionsverfahren wird auch Subtraktionsverfahren genannt.

Hier addiert man beide Gleichungen miteinander und beseitigt dadurch eine der beiden Variablen x oder y. Wenn sich durch die Addition keine Variable zu Null wegaddieren sollte, so muss man die Gleichung vorher umformen (mit einer entsprechenden Multiplikation ihrer Elemente).

Wer sich fragt, weshalb man die Gleichungen untereinander zusammenaddieren darf, soll sich einmal das LGS ohne Unbekannte vorstellen, zum Beispiel:

LGS ohne Unbekannte

Mögliche Lösungen für Lineare Gleichungssysteme

A: Genau eine Lösung

Für x und für y erhalten wir jeweils einen konkreten Wert. Das Lineare Gleichungssystem hat ein eindeutiges Lösungspaar.

L = { (x|y) } Beispiel: L = { (15|25) }

Betrachtung als Funktion: Die beiden Graphen haben einen gemeinsamen Schnittpunkt.

B: Keine Lösung

Das Lineare Gleichungssystem hat keine Lösung. Für x und y erhalten wir beim rechnerischen Lösen keinen konkreten Wert, sondern eine falsche Aussage wie zum Beispiel: 3 = 4

L = { } keine Lösung → leere Menge

Betrachtung als Funktion: Die beiden Graphen sind parallel zueinander und haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt.

C: Unendlich viele Lösungen

Das Lineare Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Ihr setzt also bei beiden Gleichungen einen beliebigen Wert für x ein und erhaltet dann stets bei beiden Gleichungen den selben Wert für y. Beim rechnerischen Lösen der Gleichungen werdet ihr auf eine sogenannte Identität stoßen, zum Beispiel: 2 = 2

Für die Lösungsmenge (die Menge aller möglichen Lösungen) schreibt man dann: L = { (x|y) | Gleichung }

Beispiel: L = { (x|y) | y=x+10 }

Der Mathematiker würde sagen: Zur Lösungsmenge gehören alle x und y, die "die Gleichung y=x+10 erfüllen". Das heißt, alle x und y gehören zur Lösung, wenn man sie in die Gleichung y=x+10 einsetzen kann... na klar, das klappt mit allen Zahlen.

Betrachtung als Funktion: Die beiden Graphen liegen aufeinander und haben dadurch unendlich viele gemeinsame Schnittpunkte.

Und richtig, die Zusammenhänge mit den Funktionen/Schnittpunkten hatten wir schon in der Lektion F04: Schnittpunkt von zwei linearen Graphen behandelt. Die linearen Gleichungssysteme sind eine entsprechende Anwendung dieses Wissens.

Hinweis: LGS lassen sich auch über andere Wege lösen, so zum Beispiel mithilfe der Cramerschen Regel oder dem Gauß-Verfahren. Für die Einführung ins Thema sind diese Verfahren jedoch nicht so gut geeignet und werden daher erst später vorgestellt ;)

Mathe-Programme

Zu den Linearen Gleichungssystemen haben wir einen hilfreichen Online-Rechner entwickelt, mit dem ihr eure Lösungen in Windeseile überprüfen könnt. Er ist hier aufzurufen: Lineare Gleichungssysteme online lösen

LGS Löser
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Übungsaufgaben

Nachfolgend findet ihr Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen, mit denen ihr euer neues Wissen testen könnt.

A: Gleichsetzungsverfahren
Löse unter Verwendung des Gleichsetzungsverfahrens.

1. Aufgabe
y = 3·x + 6
y = 4·x + 8

2. Aufgabe
y = 1,5·x - 20
y + x = 5

3. Aufgabe
5·x + y = 1
5·x - 2·y = 13

4. Aufgabe
6·x = -18·y
2·x = -5·y + 4

5. Aufgabe
3·y = 2·x - 7
3·y = x - 3

B: Einsetzungsverfahren
Löse unter Verwendung des Einsetzungsverfahrens.

1. Aufgabe
6·x + 2·y = 6
y = -0,5·x - 0,5

2. Aufgabe
7·x - 2·y = 4
3·x + y = 11

3. Aufgabe
2·x + 3·y = 6
2·x + y = -4

4. Aufgabe
5·x + 6·y = 15
x + 2·y = 5

5. Aufgabe
9·x - y = 41
3·x - 11 = y

C: Additionsverfahren
Löse unter Verwendung des Additionsverfahrens.

1. Aufgabe
15·x - 2·y = 44
10·x - 3·y = 16

2. Aufgabe
8·x - 3·y = 100
7·x + 4·y = 167

3. Aufgabe
4·x + 3·y = 5
-4·x - 5·y = -11

4. Aufgabe
3·x - 13·y = -2
2·x + 6·y = 160

5. Aufgabe
7·x + y = 10
-3·x - y = -6

D: Drei Unbekannte

1. Aufgabe
3·x - 2·y + 5·z = 13
-x + 3·y + 4·z = -1
5·x + 6·y - z = 3

2. Aufgabe
6·x + 4·y - z = 0
- 7·x - 8·y - 3·z = 5
4·x - 2·y + z = 22

3. Aufgabe
2·x + 3·y + 4·z = 20
3·x + 2·y + 5·z = 22
4·x + 5·y + z = 17

E: Textaufgaben
1. Gesucht ist eine zweistellige Zahl. Vertauscht man ihre Ziffern, so erhält man eine um 9 größere Zahl. Die Quersumme der gesuchten Zahl ist 15.
2. Herr Müller und sein Enkel Maier sind zusammen 100 Jahre alt. Vor 10 Jahren war Herr Müller genau dreimal so alt wie sein Enkel. Wie alt sind die beiden heute?
3. In einem Stall befinden sich 27 Tiere, darunter Hasen und Hennen. Insgesamt haben die Tiere 72 Füße. Wie viele Hasen und Hennen sind es jeweils?
4. Die Summe aus 3 Zahlen ist 186. Subtrahiert man die Hälfte der zweiten Zahl vom Doppelten der ersten Zahl und addiert dann die dritte Zahl, erhält man 2. Addiert man jedoch die Hälfte der zweiten Zahl zur ersten Zahl, erhält man 80.
5. Auf einem Fest kauft Familie Müller 2 Portionen Pommes, 2 Würstchen und 4 Waffeln. Sie bezahlen 14,60€. Familie Schulze kauft sich 2 Pommes, 4 Würstchen und 1 Waffeln. Sie bezahlen 13,60€, Für 13,50€ bekommt Familie Langhorn 1 Portion Pommes, 3 Würstchen und 3 Waffeln. Wie viel kosten eine Portion Pommes, ein Würstchen und eine Waffel?
6. Ein Hotel hat insgesamt 20 Zimmer mit 64 Betten. Je Zimmer gibt es entweder 2 oder 4 Betten. Wie viele 2- und wie viele 4-Bettzimmer gibt es?

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Untertitel

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Video Teil 1: Die drei Lösungsverfahren

Hallo liebe Schüler! In diesem Video zeige ich euch kurz, wie ihr Lineare Gleichungssysteme löst. Und zwar habt ihr dazu drei Verfahren zur Auswahl, die da heißen: Gleichsetzungsverfahren, Einsetzungsverfahren und Additionsverfahren.
Vorab jedoch noch gesagt: Was ist ein lineares Gleichungssystem? Da muss man erst mal wissen, was eine lineare Gleichung ist. Und das ist so was wie y = beispielsweise x + 2. Also lineare Gleichung: Ihr habt eine Unbekannte x und eine Unbekannte y.
Und ein System ergibt sich, wenn ihr zwei Gleichungen habt, wie zum Beispiel y = 2x – 1 dazu.
Und diese beiden Gleichungen, die erste, also I., und die zweite, II. werden in Verbindung gebracht.
Und so ein Gleichungssystem lässt sich lösen, indem man die Werte findet für x und y, mit denen sich beide Gleichungen dann berechnen lassen. Und um die Werte für x und y zu ermitteln, also um das System zu lösen, kann man eins der drei Verfahren anwenden.
Benutzen wir als erstes das Gleichsetzungsverfahren. Wie der Name schon sagt, setzt man hier die beiden Gleichungen gleich. Das heißt, hier steht y = x + 2, und hier steht y = 2x – 1. Man kann also jetzt sagen, y = y, und dann kann man sagen, dieses y hier ist x + 2, okay. Das y ist auch hier, also schreiben wir hier hin x + 2, denn das ist gleich, und dann sagen wir, dieses y = 2x – 1, dies y ist dann 2x – 1, und jetzt können wir mit der Äquivalenzumformung diese Gleichung verändern. Wir sagen dann zum Beispiel -x auf beiden Seiten, dann fällt es links weg, hier bleibt die 2 stehen, hier steht dann 2x – x, und die -1 da hinten. 2x – x bleibt ein x übrig, jetzt noch die -1 mit +1 auf die linke Seite rüber, steht hier 2 + 1, das ist natürlich 3, und hier rechts bleibt das x übrig; x = 3 wäre also die erste Lösung. Jetzt wollen wir natürlich noch wissen, was y ist. Und dann setzen wir dieses x in die erste Gleichung ein oder aber auch, das ist egal, in die zweite Gleichung. Testen wir die erste. Die erste Gleichung ist hier oben mit y = x + 2, schreiben wir das mal da hin, und ihr seht, x steht jetzt hier schon konkret mit 3, x = 3, das heißt, wir setzen jetzt hier die 3 ein. Und 3 + 2 ist 5. Und jetzt nehmen wir uns mal die zweite, gucken, ob das auch wirklich funktioniert, was ich gesagt habe, setzen jetzt für dieses x die 3 hier ein, dann steht hier 2 mal 3; 2 mal 3 sind 6, und 6 minus 1 sind, richtig, 5. Das heißt, y ist 5. Und das ist auch schon die Lösung für unser Gleichungssystem:
x = 3 und y = 5. Und nur mit diesen beiden Werten funktionieren unsere beiden Gleichungen. Und wenn ihr euch dann unsicher seid, könnt ihr die Probe machen, und die hier oben einsetzen. x ist 3, y ist 5, x ist 3, und wenn ihr es ausrechnet, stellt ihr fest, dass hier steht 5 = 5 und hier im Ergebnis 5 = 5. Beides stimmt.
Okay, das zweite Verfahren ist das Einsetzungsverfahren. Nehmen wir uns hierzu zwei neue Gleichungen, und jetzt sagt man: Hier gibt’s eine Variable, hier gibt’s eine Variable, und man kann diesen Term hier für y einsetzen. Tun wir das mal. Wir nehmen also die erste hier runter, das ist die erste Formel, und hier steht ja y = 2x – 1. Das schreiben wir also jetzt hier y in Gleichung I. Also 2x – 1 setzen wir jetzt hier für dieses y ein. Und wie ihr seht, haben wir jetzt hier nur noch xe. Eine Unbekannte ist rausgefallen, und dadurch können wir jetzt x ausrechnen. Und das ist ganz einfache Termumformung, 2 * 2x und hier -2*1, nehmen wir die Klammern weg, und dann steht hier 2 mal 2 sind 4x, 2 mal 1 sind 2, und die -2 schreiben wir grad noch nach hinten, und jetzt steht hier x + 4x sind natürlich 5x, und die -2, die ziehen wir rüber mit +2, und dann steht hier 5x, -2 fällt weg, hier drüben 4 + 2, und das sind 6. Dann steht da noch 5 mal x, und die 5 kriegen wir weg, indem wir einfach durch 5 dividieren. Dann steht da x = 6 durch 5, und das ergibt 1,2. Gut, damit haben wir das Ergebnis für x. Wie schon zuvor, setzen wir x jetzt in Gleichung I. oder II. Machen wir das gerade, x in, nehmen wir mal die II., und gehen hier runter, dann steht hier 2 mal x, und x ist ja 1,2. 2 mal 1,2 sind 2,4, und 2,4 minus 1 sind 1,4. Gut, y haben wir auch, und die Aufgabe wäre erledigt. Natürlich könnt ihr jetzt noch die Probe machen, für y 1,4 einsetzen, für x 1,2. Und die beiden Gleichungen müssten dann ihrer Berechnungen richtig sein.
Und als letztes das Additionsverfahren. Nehmen wir uns auch zwei Gleichungen hierfür und wenden wir dieses Verfahren bei diesen beiden Gleichungen an. Beim Additionsverfahren geht es darum, mit geschickter Umformung und anschließender Addition von der ersten und der zweiten Gleichung eine Unbekannte wegfallen zu lassen. Also y muss weg, oder x muss weg. Und die Addition erfolgt hier direkt untereinander, das heißt, ihr rechnet y zusammen, wir rechnen die x zusammen, und die beiden Werte zum Schluss zusammen. Machen wir das gerade mal. Das hieße, wir könnten jetzt schreiben: Gleichung I. + Gleichung II. wäre dann y + 2y, dann als nächstes immer ein + schreiben, jetzt kommt +2x + jetzt kommt -x, dann kommt das =, und hier die -4 + die -1. Und wenn wir das zusammenfassen würden, würde hier stehen 3y und hier x, und wir hätten immer noch beide Variablen. Das Ziel ist jedoch, dass eine von beiden wegfällt, so dass wir sie berechnen können. Das heißt, wir müssen hier etwas umformen. Wie wir wissen, dürfen wir Gleichungen umformen, indem wir zum Beispiel auf beiden Seiten das Gleiche multiplizieren, als Äquivalenzumformung. Und das machen wir hier in unserem Beispiel mal bei der zweiten Gleichung. Warum? Wir können jetzt nämlich diese 2x hier wegbekommen, indem wir hier -2x rechnen. Und das -x muss dafür zu -2x werden. Und wie macht man das? Man muss dazu die gesamte Gleichung mit 2 multiplizieren und verändert sie damit. Kopieren wir sie nochmal runter, dann steht hier 2y * 2 – x * 2 und -1 * 2.
2y * 2 = 4y, – 2x und hier -2. Und dann, da sie verändert ist, schreibt man einen Strich darüber. Nehmen wir jetzt die erste Gleichung nochmal runter, und vergleichen noch einmal. Hier steht jetzt +2x, und hier steht jetzt -2x. Und tatsächlich, wir dürfen jetzt beide nochmal addieren. Also schreiben wir I. + II'. und rechnen:
y + 4y, dann +, als nächstes 2x +, und dann kommt -2x. Dann kommt das =, und jetzt steht da -4 +, und dann kommt die -2. So, und jetzt schauen wir mal, ob x wegfällt, fassen wir das mal zusammen. y + 4y sind 5y, dann kommt 2x, hier steht +-, macht -, und dann haben wir hier 2x – 2x, und das ist natürlich 0. Wunderbar, x ist weggefallen. Und hier drüben haben wir noch -4 +- ist natürlich -, und -4 – 2 sind -6. Nehmen wir die Klammern weg, dann steht hier 5y + 0, können wir auch wegnehmen, ist gleich -6. Und um die 5 wegzukriegen, dividieren wir durch 5 auf beiden Seiten, und dann steht hier y = -6/5, und 6 durch 5 sind 1,2. Das ist unser Ergebnis für y. So, und dieses Ergebnis, diese -1,2 für y setzen wir jetzt in die I. oder die II. ein und können dann x ermitteln. Machen wir das für die I.
y in Gleichung I. Nehmen wir sie hier runter, dieses y ist jetzt die -1,2, dann können wir umformen, indem wir auf beiden Seiten 1,2 addieren, dann fällt die hier weg, hier bleibt 2x stehen, ist gleich -4 + 1,2. Und -4 + 1,2 sind natürlich -2,8. Jetzt noch die 2 beim x weg, indem wir auf beiden Seiten durch 2 dividieren. Dann steht hier 2 * x durch 2 sind x, und hier drüben -2,8 dividiert durch 2 sind natürlich -1,4. Und schon haben wir die Lösung für x. Und jetzt könntet Ihr, wie schon zuvor, die Werte für x und y in die beiden Gleichungen einsetzen.
Noch eine Ergänzung zum Schluss, die zeigen soll, wie man sich das Additionsverfahren mit konkreten Werten vorstellen kann: Da können wir uns einfache Zahlen nehmen wie hier 5 + 7 = 12 und in einer zweiten Gleichung 2 + 3 = 5, und wenn wir jetzt die einzelnen Zahlen untereinander addieren, 5 + 2 = 7, dann +, dann 7 + 3 = 10, dann das =, und jetzt hier oben 12 + 5 = 17; und wie wir sehen: Bei der Addition haben wir jetzt hier auf der linken Seite 7 + 10 zu stehen, und das ergibt ja 17, genau die Summe, die wir jetzt auch auf der rechten Seite zu stehen haben. Das heißt, wenn wir beide Gleichungen auf der linken Seite addieren, und beide Gleichungen auf der rechten Seite addieren, bleiben beide Seiten immer noch äquivalent, also im Werte gleich.
Gut, noch der Hinweis zum Schluss: Um lineare Gleichungssysteme zu lösen, habt ihr immer die Möglichkeit, euch eins der Verfahren auszusuchen, denn sie führen stets zum gleichen Ergebnis.
In diesem Video habe ich euch gezeigt, wie diese drei Verfahren funktionieren. In den folgenden Teilen dieser Lektion werde ich euch zeigen, warum das überhaupt funktioniert und was dahinter steckt, insbesondere mit Bezug auf die linearen Funktionen.

Video Teil 2: Einsetzungs- und Gleichsetzungsverfahren

Nachdem wir uns das Lösen von linearen Gleichungssystemen kurz angeschaut hatten, folgt nun die ausführliche Erklärung. Was benötigt Ihr, um diese Lektion verstehen zu können? Ihr müsst zum Einen die Lektion gesehen haben „Einführung zu linearen Funktionen“, dann wisst Ihr, was f(x) ist. Außerdem müsst ihr wissen, was eine „Normalform“ ist, dazu gibt es auch eine Lektion. Und ihr müsst wissen, wie sich Schnittpunkte ergeben von linearen Funktionen, und zwar durch das so genannte „Gleichsetzen“. Hierzu hatten wir uns auch eine Lektion betrachtet.
Okay, legen wir los. Wenn wir uns das Wort „lineares Gleichungssystem“ mal angucken, stellen wir fest, dass hier steht „linear“, hier „Gleichung“ und hier „System“. Wir haben also ein System von linearen Gleichungen. Was das bedeutet, werden wir jetzt im Folgenden feststellen, und zwar an einer Beispielaufgabe.
Wir haben zwei nette Mädels, die heißen Susi und Petra. Und Susi und Petra sind zusammen 40 Jahre alt. Und außerdem wissen wir, dass Susi 10 Jahre jünger ist als Petra. Und mit Hilfe dieser Aufgabe werden wir uns jetzt die linearen Gleichungssysteme angucken.
Formen wir dieses Ding hier mal um in eine Gleichung. Vorher sagen wir jedoch: Susis Alter sei jetzt für uns die Variable x, und dann haben wir noch Petras Alter, und das sei für uns die Variable y. Dann können wir hier oben Susi mit x ersetzen und Petra mit y. Und x und y zusammen 40 kann man also schreiben: x + y = 40. Dann steht hier weiter: Susi, also x, ist („ist“ ist immer das Zeichen =) 10 Jahre jünger als Petra. Und 10 Jahre jünger als Petra, da machen viele Schüler den Fehler und schreiben gleich 10 – Petra, also minus y. Doch das wäre nicht richtig! Gehen wir noch mal zurück und überlegen uns: 10 Jahre jünger als Petra. Also noch mal hingeschrieben. Was ist dann mit Petra? Aus Petras Perspektive ist sie doch offensichtlich selbst 10 Jahre älter als Susi! Schreiben wir das grad mal: Petra ist 10 Jahre älter als Susi. Diese Aussage stimmt ja immer noch. Und dann sehen wir, wenn Petra y ist, und 10 Jahre älter, älter ist natürlich plus, Susi ist x, und dann können wir das hier wegnehmen, also muss hier stehen: 10 + x. Und wenn wir das jetzt umstellen, dann seht Ihr, hier auf beiden Seiten -10, dass hier steht:
y – 10 = x, also x = y – 10 und nicht 10 – y. Die Aussage ist also: Petras Alter ergibt sich aus Susis Alter + 10 Jahre, beziehungsweise man sagt: Susi ist Petras Alter -10 Jahre, denn Susi ist ja 10 Jahre jünger. Nutzen wir für unsere Aufgabe diese Variante. Und als Erinnerung lassen wir oben hier Susi mit x und Petra mit y stehen, damit wir den Zusammenhang besser merken können. Und mit diesen beiden Formeln arbeiten wir jetzt. Ihr müsst dabei an dieser Stelle sehen, dass, wenn wir ein bisschen umformen, sagen wir die I. Formel, da wollen wir nur y = zu stehen haben, dann ziehen wir das x ja hier zu der 40 rüber, also steht da 40 – x. Und hier unten ist das y ja schon auf der linken Seite, schreiben wir es nochmal so. Ihr seht jetzt an dieser Stelle, dass wir hier ja und hier eine lineare Funktion haben. Wir haben ein unbekanntes x, wenn wir hier einen Wert einsetzen, dann erhalten wir einen Wert für y. Gleiches gilt natürlich hier unten: Ein y-Wert und ein x-Wert, die beide im Zusammenhang stehen. Um es noch richtig zu machen für die Normalform, drehen wir das hier mal um und das hier ebenfalls. So, jetzt erkennt man es schon besser, dass es sich um eine lineare Funktion handelt. Und natürlich können wir noch schreiben f(x), dann haben wir auch einen Namen, das y schreiben wir einfach nach hinten und die hier unten das Gleiche, und die nennen wir g(x), und y nach hinten. Und diese beiden linearen Funktionen, die f(x) und die g(x) stehen im Zusammenhang. Warum? Weil in beiden Susi mit x und Petra mit y vorkommen. Und nicht nur das, das Alter von Susi soll hier in der ersten Gleichung und hier in der zweiten Gleichung gleich sein, als der x-Wert hier und hier sollen den gleichen Wert haben, und Petras Alter hier und Petras Alter hier soll den gleichen Wert haben. Ist also die Frage: Wie schaffen wir es, f(x) und g(x) auf die gleichen Werte für x und y zu führen? Und richtig, erinnern wir uns an die Lektion „Schnittpunkte von linearen Funktionen“, da mussten wir f(x) und g(x) gleichsetzen, und wir haben einen einzigen Punkt rausbekommen, wo x übereinstimmt und y übereinstimmt, und den hatten wir dann „Schnittpunkt“ genannt. Und damit, wenn wir das auf unsere Aufgabe hier oben anwenden, unsere beiden Gleichungen, erhalten wir also mit dem Schnittpunkt die beiden Lösungen, Petras Alter und Susi Alter. Okay, machen wir es einfach mal konkret:
Wir setzen also gleich: f(x) = g(x). Dann tragen wir die Formeln ein. f(x) steht hier oben, hat die Formel -x + 40, und g(x) steht hier oben, hat die Formel x + 10. Jetzt formen wir ein bisschen um, auf beiden Seiten +x sowie –10, dann rechnen wir links –x + x sind 0, +40 –10 sind 30; hier drüben x + x sind 2x, und die +10 minus die 10 ist natürlich 0, also 30 = 2 * x. Um die 2 * weg zu kriegen, dividieren wir natürlich durch 2, wie wir es gelernt haben, und dann steht da: 30 durch 2 ist 15, und 2x durch 2 sind x. So ist also Susi, Susi hier oben ist x, 15 Jahre alt. Und um jetzt Petra heraus zu bekommen, also y, setzen wir diese x in f oder g ein, das ist egal, denn bei beiden kommt jetzt das gleich y raus. Und da haben wir hier –x + 40, und hier hätten wir x + 10. x ist jetzt nicht mehr x, sondern 15, dann steht hier -15 + 40, und das ist natürlich 25, prüfen wir es noch bei g: x wird konkret mit 15, 15 + 10 sind, richtig, 25. Das heißt, hier können wir schreiben: y = 25. Also Petras Alter ist 25. Und weil wir für diesen ganzen Lösungsweg f(x) und g(x) gleich gesetzt haben, nennt man das ganze Ding hier „Gleichsetzungsverfahren“. Und in der Schule erspart ihr euch diesen Weg, den ich euch erklärt habe, denn ihr schreibt einfach nur hier I. Gleichung davor, hier II. Gleichung davor, und anstatt f(x) und g(x) zu schreiben, stellt ihr in der Schule eine der Formeln um nach y, also hier wäre es dann y = 40 – x, und die zweite kann man so lassen, und dann setzen wir beide gleich: 40 – x = 10 + x. Und dann könnten wir die Werte berechnen.
Das zweite Verfahren nennt sich „Einsetzungsverfahren“, und eigentlich ist das das Gleiche wie das Gleichsetzungsverfahren, jedenfalls im Endeffekt. Was macht man beim Einsetzungsverfahren? Man nimmt sich eine der beiden Gleichungen, die I. oder die II., stellt diese um, dass eine Variable allein auf einer Seite steht, die andere kann man jedoch dabei so lassen, die muss man nicht umstellen, kopieren wir die hier mal runter, steht hier die I. nochmal, und wir setzen jetzt dieses y hier, das ja 10 + x ist, setzen wir hier ein, in Gleichung I. Man schreibt „y in I“. x bleibt, und dieses y wird jetzt zu 10 + x. Und dann kann man hier auch, einfach mit einer Term- und Äquivalenzumformung loslegen und das ganze Ding umbauen. Und dann steht jetzt hier x + x, also 2x, die 10 ziehen wir rüber nach rechts, wird -10, steht hier 30, auf beiden Seiten durch 2 dividiert, da steht hier x = 15. Und das war ja auch Susis Alter. Und warum ist es das Gleiche wie das zuerst behandelte Gleichsetzungsverfahren? Wenn ihr euch jetzt nochmal diese Gleichung hier anguckt, das hatten wir aus dem Gleichsetzungsverfahren, und das aus dem Einsetzungsverfahren. Wenn wir jetzt mal auf beiden Seiten -x rechnen, dann fällt das auf der linken Seite weg und taucht hier drüben wieder auf, und wenn wir jetzt die Klammer noch wegnehmen und das ganze Ding hier jetzt mal drehen, also die 10 + x auf die rechte Seite schreiben, dann seht Ihr: Das Ding stimmt genau mit dem von dem Gleichsetzungsverfahren überein. Im Endeffekt sind Einsetzungs- und Gleichsetzungsverfahren also sehr ähnlich.
Betrachten wir uns als Nächstes das "Additionsverfahren".

Video Teil 3: Additionsverfahren (Summenfunktion)

Das dritte Verfahren, das wir kennen lernen, nennt sich „Additionsverfahren“. Was passiert hier? Man addiert ganz einfach die I. und die II. Gleichung miteinander. Im ersten Teil hatten wir gesehen, wie man Additionsverfahren rechnet, nun versuche ich euch zu zeigen, wie man sich das in Form von Funktionen vorstellen kann.
Als Erstes solltet ihr wissen, was eine „Summenfunktion“ ist. Dazu können wir uns mal eine Funktion f(x) nehmen und eine Funktion g(x). Und um es relativ einfach zu lassen, sagen wir, f(x) sei mal 2, und g(x) sei 1. Gucken wir mal ins Koordinatensystem, und erinnern wir uns an eine der letzten Lektionen, da hatten wir gesagt: Wenn hier ein konstanter Wert ist, dann ist es eine Parallele zur x-Achse. Tragen wir f einmal ein, und tragen wir g einmal ein. Und jetzt macht man Folgendes: Man sagt ganz einfach, man addiert f(x) + g(x), und heraus kommt dann schließlich eine neue Funktion, und die heißt dann h(x). f(x) ist hier oben, 2, tragen wir die 2 ein, g(x) ist die 1, tragen wir die 1 ein, und h(x) ist dann also 2 + 1, also 3. Zeichnen wir h(x) in unser Koordinatensystem. Und da sich h(x) aus der Addition von f und g ergibt, spricht man hier von einer Summenfunktion. Und man kann sich das so vorstellen, wir können g nehmen und einfach auf f herauf addieren. Grafisch sieht das dann so aus. Und noch als Hinweis, das brauchen wir oft für das Additionsverfahren: f(x) ist eine Höhe, und g(x) ist eine Höhe, das heißt, in h(x) befinden sich zwei Höhen! Und wollen wir nun die gemittelte Höhe haben, den Durchschnitt von beiden, dann müssen wir h(x) durch 2 dividieren. Dann steht links 1,5 und rechts h(x)/2. Und die können wir auch einzeichnen. Das heißt, diese h/2 ist die gemittelte Höhe von f + g. Also man könnte auch schreiben: f(x) + g(x) und dann das ganze Ding dividiert durch 2. Und wie ihr seht, hier zur Wiederholung, das ist 2, das ist 1, dann haben wir die 3, und 3 durch 2 sind 1,5.
Gut, ihr werdet gleich sehen, warum wir das brauchen.
An dieser Stelle sei erwähnt, dass es nicht nur eine Summenfunktion gibt, es gibt auch eine „Differenzfunktion“. Und dann nehmen wir für f(x) mal 3, g(x) lassen wir bei 1, und dann macht man das Gleiche: Man sagt, f(x) minus, weil es ja eine Differenz sein soll, g(x). Und da kommt auch eine h(x) heraus. Dann setzt man die Werte ein, f(x) ist 3, und g(x) ist 1, das heißt, h(x) wäre 2. Also in dem Fall genau hier.
Okay, schauen wir uns als nächstes an, ob die Summenfunktion auch bei Steigungen funktioniert. Für die f(x) wählen wir 1,5x, das wäre dieser Graph, und dann nehmen wir g(x) mit 0,5x, also sieht der Graph für g so aus. Okay, jetzt schaffen wir wieder eine Summenfunktion, das heißt wir addieren f(x) + g(x). Das ergibt dann für f(x) eingesetzt 1,5x und für g(x) eingesetzt 0,5x. Und zusammen addiert erhalten wir 2x. Wie ihr seht, haben sich die Steigungen 1,5 und 0,5 zu einer Steigung von 2 addiert. Und auch hier kann man erkennen, dass wir jedes Mal die Höhe von f und die Höhe von g zusammen addieren und sich die Höhe von h ergibt. Beispielsweise gucken wir uns mal die Stelle x = 2 an, da hat die Höhe g diesen Wert, also 1, und diese 1 schieben wir jetzt einfach nach oben auf f. Und ihr seht, wir treffen genau auf h.
Schauen wir, wie wir das gerade gewonnene Wissen für die Darstellung des Additionsverfahrens nutzen können. Wählen wir ein neues Beispiel für f(x) mit x + 1, und g(x) -x + 2. Dann können wir jetzt erstmal die Funktionen einzeichnen, dann wäre x + 1 diese Funktion, und für g hätten wir diese Funktion. Und wenn wir jetzt hier eine h(x) bilden wollen, dann addieren wir also f(x) und g(x) zusammen. Heißt also, ist gleich f(x), steht ja hier oben ist x + 1, und g(x) ist -x + 2. Tragen wir das ein. Und richtig, jetzt können wir die Klammern mal auflösen, das ist ja alles hier Addition, plus minus ist minus, und das bleibt übrig für h(x). Und drehen wir jetzt mit dem Kommutativgesetz die Dinger hier mal um, da steht hier x – x = 0, und 1 + 2 = 3. Und h(x) ist also 3. Die Steigung interessanterweise ist also weg gefallen, und wenn wir uns diese Funktion jetzt einmal grafisch betrachten, wäre das ja eine Parallele zur x-Achse, und zwar, die bei 3 durch geht. So, und das grafisch jetzt noch mal können wir uns wie folgt vorstellen: Wir haben zum Beispiel bei x -1 hier unten für f die Höhe 0, und für g die Höhe 3. Und 0 + 3 = 3. Die Höhe, die sich ergibt, ist 3. Gucken wir bei x = 0, also hier. Da hat f die Höhe 1, und g hat die Höhe 2. 1 + 2 = 3. Bei 0,5 haben wir für f 1,5, und für g gleichfalls 1,5. Und 1,5 + 1,5 = 3. Wie ihr seht, entsteht h, wenn wir f und g jedes Mal addieren. Und was jetzt noch viel interessanter ist: Der Schnittpunkt ist ja bei 1,5, hier drüben. Und erinnern wir uns, in h(x) verstecken sich die Höhen von f und g, also zwei Höhen. Wenn wir diese zwei Höhen einmal dividieren, dann steht 3 durch 2 hier rechts, und da kommt dann 1,5 heraus. Und diese 1,5 ist genau unser Schnittpunkt, also die Höhe des Schnittpunktes, die y-Koordinate. Und das ist keine Zauberei, denn beide Funktionen bewegen sich aufeinander zu. Wir haben die g-Funktion, die bewegt sich nach unten, und die f bewegt sich nach oben. Und zwar beide mit dem gleichen Steigungsbetrag, also in gleichem Maße. Grafisch sieht das dann so aus: Wir gehen bei g einen nach rechts und einen nach unten, und gleichzeitig gehen wir hier von f einen nach rechts und einen nach oben. Und jetzt wieder: Wenn wir einen halben Schritt von g gehen, dann müssen wir auch einen halben Schritt runter gehen, und gleiches für f: Wir gehen einen halben Schritt nach rechts und einen halben nach oben. Und beide treffen sich auf dem jeweils halben Weg. Wir sind also hier 1,5 runter gegangen und in der gleichen Zeit hier 1,5 hoch gegangen und haben uns dann in der Mitte getroffen. Das war also möglich, weil die Werte von f und g für die Steigung sich aufeinander zu bewegen und zwar im gleichen Maße.
Wir merken uns also: Wenn sich zwei Graphen mit einer Steigung gleichmäßig aufeinander zu bewegen, dann treffen sie sich immer auf der Höhe, die sich ergibt, wenn wir die Höhen von f und g zusammen addieren und danach durch 2 dividieren, also halbieren. Also in unserem Fall bei 1,5, was wiederum der Höhe des Schnittpunktes entspricht.
Und genau das nutzen wir für unser Additionsverfahren. Wir sagen, wir haben eine Gleichung
y = x + 1, und wir haben eine zweite Gleichung y = -x + 2. Jetzt addieren wir beide Gleichungen miteinander, also Gleichung I. + Gleichung II. heißt dann y + y, dann das =, dann +x +(-x) + die 1 hier + die 2. Und dann y + y = 2y, und mit dieser Addition haben wir jetzt dafür gesorgt, dass die Steigung weg fällt. Grafisch kann man sich das so vorstellen: Die Steigung fällt hier weg, und die Steigung fällt für diese hier auch weg, dann addieren wir die beide, die verschiebt sich so zu sagen nach oben auf 3, jetzt dividieren wir hier auf beiden Seiten durch 2, so dass da steht: y = 1,5, und das heißt durch 2, wir müssten hier die Höhe auch halbieren. Also die geht runter auf 1,5, was unserer Lösung für y entspricht. Und blenden wir noch mal f und g ein, dann sehen wir, dass sich diese Höhe genau auf der Höhe des Schnittpunktes beider Funktionen befindet.
Und wer immer noch Probleme mit der Vorstellung hat, denkt sich einfach, dass wir hier beim Schnittpunkt uns festhalten, und f und g sich jetzt stückweise aufeinander zu bewegen. Wir verringern die Steigung von f und gleichzeitig die Steigung von g, bis schließlich die Steigung 0 erreicht wurde. Und das könnt ihr euch vorstellen, sofern ihr x und -x miteinander addiert.

Video Teil 4: Lösen mit Additionsverfahren

Wenden wir das gerade Gelernte auf unsere ursprüngliche Aufgabe an: Da hatten wir diese beiden Gleichungen, Susi und Petra sind 40 Jahre alt, Petra ist 10 Jahre älter als Susi. Und jetzt machen wir das Additionsverfahren. Wir müssen hierzu jedoch noch umstellen, dass sich die y und x untereinander befinden. Dazu ziehen wir hier die x einfach auf die rechte Seite rüber, dann steht hier -x. Jetzt Additionsstrich darunter, und wir rechnen: y plus y sind 2y, 40 plus 10 untereinander sind 50, und -x plus x sind natürlich 0. Jetzt haben wir hier 2 mal y, auf beiden Seiten durch 2, und dann steht hier y = 25. Das hatten wir schon gesagt: Das Alter von Petra ist 25. Um jetzt das Alter von Susi zu erhalten, also den x-Wert, sagen wir einfach, y in I oder in II, das ist egal; dann steht da – erst mal die I. nochmal hingepinselt: y = 40 – x und y ist jetzt 25, und 25 = 40 – x, dann ziehen wir mit -40 die auf die linke Seite rüber, 25 – 40 = -15; und wie ihr wisst, wenn hier minus steht und hier minus steht, dann rechnen wir auf beiden Seiten einfach * (-1), dadurch steht hier
-15 * (-1) = 15, und -x * (-1) = x, und wir haben das Alter von Susi, und zwar 15 Jahre. Also wie ihr seht: Ein relativ zügiger Weg mit dem Additionsverfahren. Und wir kommen mit allen drei Verfahren auf das gleiche Ergebnis.

Jetzt wird der Eine oder Andere fragen: Was muss ich denn machen, wenn hier so etwas Gemeines steht wie zum Beispiel „-2x“ ? Denn in diesem Fall werden sich die Steigungen nicht gleichmäßig aufeinander zu bewegen, und wir können das Additionsverfahren so direkt nicht anwenden! Das Einsetzungsverfahren geht ohne Probleme, und das Gleichsetzungsverfahren auch, ich könnte jetzt einfach hier die 40 – 2x hier einsetzen und dann entsprechend umstellen und hätte den x-Wert.
Doch beim Additionsverfahren geht das nicht. Wenn ich jetzt beim Additionsverfahren beide miteinander addiere, dann hätte ich hier y + y = 40 + 10 und dann da drüben noch + (-2x) + x. Und wenn ich jetzt 40 + 10 rechne, habe ich 50 und hier -2x + x = -x, und y + y = 2y. So, und hiermit haben wir nichts gekonnt, wir haben immer noch zwei Unbekannte enthalten, und wir können das Ding nicht auflösen. Daher ist es uns erlaubt, die Gleichung I oder II umzuformen, so dass sich bei der Addition nachher eine der Variablen auflöst. Und was meine ich an dieser Stelle mit „umformen“? Ich meine die Äquivalenzumformung. Erinnert euch, wie das funktionierte: Wir dürfen eine Gleichung mit einem beliebigen Wert multiplizieren, wobei die Lösung für x und y erhalten bleibt.
Gucken wir uns nochmal ein Beispiel an, so etwas wie 3 + 5 = 8, sagen wir, 5 ist jetzt mal x, 8 ist y, und jetzt multiplizieren wir mal auf beiden Seiten mit 2. Das heißt hier links mal 2, und hier hinten bei der zweiten auch mal 2. Dann steht hier 3 * 2 + 5 * 2 = 8 * 2. Und hier drüben steht
3 * 2 + x * 2 = y * 2. Und wenn wir das ausrechnen, 6 + 10 = 16, würdet ihr sehen, dass sich hier
x * 2 ja in der 10 versteckt, also in 5 * 2, das heißt soviel, dass x immer noch 5 ist, trotzdem wir augenscheinlich die Werte verändert hatten mit mal 2. Und hier das Gleiche, y mal 2, wir hatten ja hier 8 mal 2, das heißt: y ist immer noch 8.
Die Erfahrung sagt mir, dass an dieser Stelle nicht alle die Äquivalenzumformung verstanden haben, daher noch ein zweites Beispiel nachgeschoben:
Nehmen wir unsere II. Gleichung und sagen einfach, dass y jetzt mal 15 sein soll, einfach nur mal als Beispiel. Das heißt, hier wird y zu 15 = 10 + x. Und jetzt frage ich euch: Was ist x? Richtig, x wird automatisch zur 5. Merken wir uns also, x ist 5. Jetzt machen wir Folgendes: Wir nehmen uns nochmal die II. Gleichung und rechnen jetzt auf beiden Seiten mal, nehmen wir mal 4; wie gesagt, nur ein Beispiel. Dann steht hier 4y = 10 * 4 sind 40, + 4 * x. Und jetzt hatten wir gesagt, hier oben, wir setzen für y 15 ein. Das hatten wir ja festgelegt. Dann steht hier mal 15. Und 4 * 15 sind 60. Wenn wir jetzt umformen, auf beiden Seiten -40 rechnen, dann fällt die 40 auf dieser Seite weg, und hier drüben steht jetzt -40. Und 60 – 40 sind 20. Wenn wir jetzt auf beiden Seiten durch diese 4 dividieren, steht hier 20 durch 4, und hier bleibt x übrig. Und 20 durch 4 sind, richtig, 5. Tauschen wir die Seiten: x = 5. Und dieses x = 5 ist das Gleiche wie vorher das x = 5. Das heißt, bei dieser Gleichung hier als auch bei der veränderten Gleichung hier haben wir für beide die Lösung y 15 und x = 5, obwohl wir an dieser Stelle diese Funktion verändert hatten. Da x und y gleich bleiben, dürfen wir also diese Umformung machen.
Und das wenden wir jetzt für unser System an.
Wenn wir jetzt also die x miteinander verrechnen wollen, so dass 0 heraus kommt, müssen wir offensichtlich eins der beide xe verändern. Und es wäre natürlich schön, wenn hier steht 2x, denn -2x und +2x wäre 0. Das heißt, wie können wir hier die 2 hinzaubern? Und ganz klar, wir hatten ja grad gesehen, wie das geht, wir rechnen alles mal 2. Dadurch erhalten wir eine veränderte II. Funktion II', die dann heißt: 2y, dann steht hier 2 * 10, und dann steht hier 2 * x. Die Malzeichen wieder weg, 2 * 10 = 20, und wenn wir jetzt nochmal die I herunterziehen, uns das Ding jetzt angucken, werdet ihr sehen, dass wir die -2x und die +2x zu 0 wegaddieren, machen wir das gerade. Dann wären das y + 2y, dann wären das 40 + 20, und dann wären das -2x + 2x. -2x + 2x = 0, wunderbar, fällt weg, und dann steht hier 40 + 20 = 60, und hier haben wir 3y. Wir wollen ja nur y haben, also rechnen wir jetzt noch durch 3 auf beiden Seiten, und dann steht hier 60 durch 3, und 60 durch 3 sind natürlich 20. Und für dieses Beispiel wäre also die Lösung y = 20, und die könnten wir jetzt in die I oder in die II einsetzen und würden dann den x-Wert herausbekommen. Setzen wir also das y in I zum Beispiel ein, dann steht hier 40 – 2x, y sei 20, setzen wir 20 ein, ziehen die 40 rüber mit -40, dann steht hier 20 – 40 sind natürlich -20, die -2, auf beiden Seiten durch -2, dann steht hier x = -20 durch -2, sind 10.
Schauen wir kurz, ob beim Gleichsetzungsverfahren das Gleiche herauskommt: Schreiben wir die also nebeneinander, setzen wir sie gleich, rechnen wir auf beiden Seiten -40, dann fällt die hier links weg, bleibt -2x stehen. 10 – 40 + x, 10 – 40 sind natürlich -30, und jetzt noch die +x mit -x auf die linke Seite rüber, steht hier -3x, jetzt noch auf beiden Seiten durch -3, dann steht hier x = 10. Setzen wir jetzt noch den Wert für x in Gleichung I ein, dann wird hinten die 2 * x zu 2 * 10, und dann ergibt sich 40 – 20, und das sind dann schließlich 20. Wie ihr seht, hat das Gleichsetzungsverfahren und das Additionsverfahren, bei dem wir ja hier oben die Umformung gemacht hatten mit mal 2, zum gleichen Ergebnis geführt.

Video Teil 5: Subtraktionsverfahren (Differenzfunktion)

Das Additionsverfahren kann auch noch anders angewendet werden, indem man die beiden Gleichungen nämlich subtrahiert! Deswegen sagt man zum Additionsverfahren auch manchmal „Subtraktionsverfahren“. Machen wir das für unsere ursprüngliche Aufgabe. Dann steht hier y von dem hier oben minus y von dem hier unten = 40 minus, dann kommt die 10, dann kommt plus, und jetzt kommt -x minus und dann das x. Ihr könnt euch auch immer hier ein Minuszeichen dazwischen vorstellen, ist vielleicht einfacher zu verstehen. Also y – y, 40 – 10 und -x – x.
Okay, was passiert jetzt? Wir haben y – y, ist natürlich 0, 40 – 10 ergibt 30, und -x – x sind -2x. Und was ist jetzt passiert? Jetzt ist das y weggefallen, und wir haben nur noch eine Variable übrig, und das ist das x. Drehen wir das noch um: Die 30 rübergezogen mit -30, dann steht hier -30 – 2x, und das noch durch -2, dann fällt das hier weg, und -30 : -2 sind natürlich 15. Richtig, das ist das Alter von Susi, wie wir oben gesehen hatten. Wie wir also feststellen können, erhalten wir auch eine Lösung beim Subtrahieren von Gleichungen.
Der Eine oder Andere wird jetzt fragen: Warum geht das denn überhaupt? Na ja, das kann man sich auch grafisch vorstellen: Nehmen wir noch mal kurz das Koordinatensystem zur Hand und zeichnen jetzt unsere Graphen nochmal ein. 40 – x beziehungsweise -x + 40, haben wir hier bei y die 40, und -x ein runter, ein rechts, ein runter, ein rechts und so weiter, ergibt diesen Graphen. Und dann haben wir 10 + x, also wir starten bei der +10, und die Steigung ist immer ein nach rechts, ein nach oben und so weiter ergibt diesen Graphen. Und wir hatten schon gesagt: Der Schnittpunkt von beiden ist die Lösung für unser Gleichungssystem. Also gucken wir mal hier, da hatten wir ja für x 15 für den Schnittpunkt, und y wäre 25, also unsere beiden Ergebnisse.
So, wenn wir jetzt also beide subtrahieren, die I. Gleichung und die II. Gleichung beziehungsweise den ersten Graphen und den zweiten Graphen, dann erhalten wir eine sogenannte „Differenzfunktion“. Das heißt, wir addieren jetzt nicht beide Höhen, wie zum Beispiel hier 40 + 10 wären 50, das machen wir jetzt nicht, wir subtrahieren die Höhen. Also 40 – 10 ergibt eine Differenz von 30. Und es wäre dann 30 einzutragen. Verschieben wir die hier runter. Hier oben wäre der Punkt. Bei x = 10 beispielsweise hätten wir für die I. Gleichung den Wert 30 und für die II. Gleichung den Wert 20, die Differenz hier zwischen wäre also 10. Verschieben wir die runter auf die x-Achse, das heißt, hier wäre der nächste Punkt, und so weiter. Nennen wir diese Differenzfunktion h(x) und berechnen sie einmal. h(x), die sich ergibt aus der I., also f(x) minus der II. g(x). Wir hatten ja jetzt nicht f und g, sondern I und II geschrieben, aber das können wir ja jetzt zuordnen, dann wäre f 40 – x, tragen wir das hier ein, und g wäre ja 10 + x, tragen wir das hier ein, und wenn wir das jetzt mal auflösen, ausrechnen, dann können wir hier die Klammer wegnehmen, hier steht minus vor der Klammer, das heißt, wir müssen hier drin das Vorzeichen wechseln, und dieses plus wird dann auch zu minus, dann können wir das hier wegnehmen, und es steht da: -x – x und die 40 ziehen wir mal nach hinten, +40, haben wir also -x – x sind -2x, -10 + 40 sind +30. Das ist also eine komplett neue Funktion, die sich ergibt, h(x), und die hat sogar noch eine Steigung. Tragen wir mal h(x) in unser Koordinatensystem ein: +30 können wir hier ansetzen, und jetzt mit einer Steigung von -2, das heißt, ein nach rechts, zwei runter, ein nach rechts, zwei runter und so weiter. Zeichnen wir diesen Graphen einmal ein. Und wie schon gesagt: Diese Funktion ergibt sich, indem wir die Höhen von f und g jeweils miteinander subtrahieren. Und hier beim Schnittpunkt stellen wir fest: f und g haben die gleiche Höhe, und zwar 25. Und 25 – 25 ergibt natürlich 0. Das heißt, wir haben hier eine Nullstelle für h(x), für unsere Differenzfunktion. Und diese Nullstelle von h(x) ist der x-Wert des Schnittpunktes beider Graphen, das heißt, diese Nullstelle für x ist die Lösung für Susi!
Um nun die Nullstelle für h(x) rechnerisch zu ermitteln, setzen wir h(x) = 0. Und man sieht auch, das ist das Gleiche, als ob wir y – y zu 0 subtrahieren. Dann können wir umformen: -2x nach links rüber mit +2x, durch 2 auf beiden Seiten, steht hier x = 30 : 2, und 30 : 2 sind natürlich 15. Und 15 ist die Nullstelle von h(x). Wer das nicht glaubt, kann es natürlich gerne einsetzen; wenn wir also h(15) haben wollen, ist das -2 * 15, -2 * 15 = -30, -30 + 30 = 0. Die Koordinate ist also 15 x,
und y 0. Und das ist genau der Punkt (15|0). Und so haben wir also schon wieder einen Wert heraus bekommen, indem wir das Additionsverfahren angewendet haben, aber auf die umgekehrte Variante als Subtraktionsverfahren, und natürlich müsstet ihr dann jetzt noch wie immer die x = 15 hier einsetzen oder hier einsetzen und würdet den Wert für y heraus bekommen, also die 25.
Abschließend noch ein paar letzte Hinweise, und zwar bezüglich der Lösungsmenge, also den beiden Ergebnissen für x und y. Bei den Aufgaben, die wir uns angeschaut hatten, kam jeweils nur ein Wert für x und ein Wert für y raus. Also beispielsweise bei der ersten Aufgabe waren das 15 für x und 25 für y. Man schreibt das dann wie folgt: Ein großes L für „Lösungsmenge“, also die Menge aller Lösungen = geschweifte Klammer { jetzt der x-Wert zuerst, das ist bei uns die 15, dann ein Strich | und dann die 25, der y-Wert, Klammer zu ), geschweifte Klammer zu }, und das ist das eindeutige Ergebnis unseres Gleichungssystems L = { (15|25) }
Doch es gibt Aufgaben, bei denen es passieren kann, dass ihr für x und für y keine Lösung heraus bekommt. Man verwendet dann dieses Zeichen: Ø. Jetzt fragt ihr euch: Wann ist das der Fall? Nehmen wir hierzu mal zwei Gleichungen, zum Beispiel y = 2x + 2 und y = 2x + 1. Und dieses Gleichungssystem hat keine Lösung. Wir können das ja jetzt gerne mal mit dem Gleichsetzungsverfahren probieren. Dann steht da also y = y, und jetzt 2x + 2 = 2x + 1. Jetzt auf beiden Seiten -2x, dann fällt das hier weg, die +2 bleibt stehen, dann fällt diese 2x hier weg, und da drüben bleibt 1 stehen. Und hier steht 2 = 1. Und das ist ja auf jeden Fall falsch, denn 2 ist ja ungleich 1. Das heißt, es gibt hier keine Lösung. Wie kann man sich das grafisch vorstellen? Erinnert euch an die Lektion „Schnittpunkte von Graphen“, da hatten wir gesagt: Wenn zwei Graphen parallel sind, hier habe ich mal die Gleichung I und die Gleichung II eingezeichnet, so haben wir keine Lösung. Und das ist hier genau der Fall.
Es kann aber genauso gut passieren, dass ihr unendlich viele Lösungen habt, also jede beliebige Zahl kann eingesetzt werden. Dann wird es so sein, dass die beiden Gleichungen im Endeffekt identisch sind. Und „identisch“ heißt: Die Graphen liegen aufeinander. 2x + 2 heißt, wir verschieben den roten auf den blauen Graphen. Es gibt unendlich viele Lösungen. Und ihr könntet dann schreiben: Groß L, das für die Lösungsmenge = alle x und y, die die Gleichung erfüllen
y = 2x + 2; L = { (x|y) | y = 2x + 2 }
Und selbstverständlich führt jede Zahl, die wir für x einsetzen, zu einem y-Wert. Das heißt, wir haben hier unendlich viele Lösungen. Wenn ihr übrigens solche Gleichungen einmal rechnet, werdet ihr Folgendes feststellen: Setzen wir mal diese hier für y ein, dann steht hier 2x + 2 = 2x + 2, und wenn wir jetzt auf beiden Seiten -2x rechnen, bleibt da stehen 2 = 2. Man sagt dazu auch „Identität“. Das heißt, sobald wir eine Identität haben, haben wir den Fall, dass wir unendlich viele Lösungen haben.
Nachdem wir uns jetzt die drei Verfahren zum Lösen von Gleichungssystemen angeschaut haben, lösen wir im letzten Teil noch eine letzte Textaufgabe.

Video Teil 6: Sachaufgabe Stausee

Machen wir als Letztes noch eine Aufgabe, die mir selbst in meiner Schulzeit begegnet ist; sie ist gar nicht mal so einfach, sie ist aber eine Anwendung der linearen Gleichungssysteme. Die Aufgabe heißt:
Es gibt einen Stausee mit 5 Turbinen, und wenn 3 der 5 gleichstarken Turbinen in Betrieb sind, so nimmt der Inhalt des Stausees pro Stunde um 30000 Kubikmeter Wasser zu. Und da gibt es noch eine zweite Information: Wenn 5 Turbinen an sind, also alle Turbinen, so verringert sich der Wasservorrat um 50000 Kubikmeter pro Stunde.
Frage 1: Wieviel Wasser fließt in einer Stunde zu?
Und 2.: Welche Wassermenge benötigt eine Turbine pro Stunde?
Und wie ihr schon seht, ist das ganze Ding gar nicht mal so leicht! Die Schwierigkeit hierbei ist, den Inhalt komplett zu verstehen und sich die richtigen Sachen auszuwählen.
Bevor wir uns jetzt darauf stürzen, würde ich euch bitten: Versucht doch einmal selbst, diese Aufgabe jetzt zu lösen, drückt einfach bei diesem Video auf „Pause“, und macht euch Euren eigenen Kopf. Anschließend könnte ihr wieder auf „Play“ drücken und seht dann die Lösung, die ich euch vorgebe.
Am Besten ist es hierfür, sich erstmal eine Grafik zu machen. Zeichnen wir schematisch mal einen Stausee aus der Vogelperspektive, von oben, dann haben wir hier den Staudamm mit insgesamt 5 Turbinen, und, ja vergrößern wir unseren See noch ein bisschen; und jetzt haben wir natürlich noch einen Fluss, eine Wasserzufuhr, die in den Stausee hereingeht. Das heißt, hier haben wir Wasserzufuhr, und hier haben wir Wasserabfuhr.
Okay, das ist also ein ganz wichtiger Gedanke, und mit diesem Gedanken machen wir weiter. Hier steht: Wenn 3 der 5 gleichstarken Turbinen in Betrieb sind, so nimmt der Inhalt des Stausees pro Stunde um 30000 Kubikmeter Wasser zu. Also haben wir eine Wasserzunahme, wenn hier nur 3 abpumpen sozusagen, und wir haben, wenn 5 Turbinen an sind, eine Abnahme von dem Wasser hier in dem See um 50000 Kubikmeter. Das heißt, um was es geht, ist zum Einen die Wasserzufuhr, und dann das Wasser, was von den Turbinen abgesaugt wird, und das sind unsere beiden Unbekannten x und y. Wir sagen also: x sei jetzt mal die Wasserzufuhr, und y sei jetzt die Wasserabfuhr durch die Turbine, und dann können wir hier anstatt ein „+“ ein x setzen, und hier statt ein „-“ ein y setzen. Und jetzt sagen wir: Wenn 3 der 5 Turbinen an sind, also 3 Turbinen an sind, so nimmt der Inhalt des Stausees pro Stunde um 30000 Kubikmeter Wasser zu. Grundsätzlich haben wir also in einer Stunde eine Wasserzufuhr und eine Wasserabfuhr. Also wir haben die Wasserzufuhr durch den Fluss und die Wasserabfuhr durch die Turbinen. Und dann haben wir hier eine gewisse Differenz. Entweder ist die Differenz positiv, das heißt, das Stauseevolumen nimmt zu; oder sie ist negativ, das heißt, der Stausee nimmt ab. In diesem Fall fließt mehr Wasser durch die Turbinen ab als durch den Fluss zufließt. Und diesen Zusammenhang müssen wir hier darstellen. Wenn 3 Turbinen an sind (Turbine haben wir gesagt, ist y), Wasserabfuhr. Wenn 3 Turbinen an sind, also 3y, so nimmt der Inhalt des Stausees pro Stunde um 30000 Kubikmeter Wasser zu. Also ist = 30000 Kubikmeter Wasser die Differenz, und hier nicht vergessen, wir haben ja auch Wasser, das zufließt. Der gesamte Zufluss des Wassers ist x minus die 3 Turbinen, die das absaugen, ergibt die Differenz von 30000. Jetzt haben wir auch den Wasserzufluss wieder, aber diesmal haben wir 5 Turbinen, nicht nur 3, also 5y. Und was ist jetzt die Differenz? Der Wasservorrat des Sees nimmt um 50000 Kubikmeter ab. Und da es sich verringert, also abnimmt, minus 50000. Und mit dieser Formel lässt sich jetzt arbeiten.
Nochmal zur Wiederholung: Die Wasserzufuhr minus 3 Turbinen Wasserabfuhr ergibt 30000, die auf den Stausee draufgeschlagen werden, also das Volumen des Stausees nimmt zu. Jedoch wenn wir x, die Wasserzufuhr des Flusses, die im übrigen ja immer gleich ist, minus die 5 Turbinen Wasserabfuhr subtrahieren, stellen wir fest, dass das Volumen des Sees um 50000 Kubikmeter abnimmt!
Die Fragen waren:
Wieviel Wasser fließt in einer Stunde zu? Und welche Wassermenge benötigt eine Turbine pro Stunde?
Gut, haben wir also hier unsere I. Gleichung, hier unsere II. Gleichung, und lösen wir die Fragen. Dazu können wir uns ein Verfahren jetzt aussuchen: Gleichsetzungs-, Additions- oder Einsetzungsverfahren. Ich würde vorschlagen, wir nehmen das Additionsverfahren und wenden das an, was wir bereits gelernt haben. Wir, in dem Fall, subtrahieren alle Werte miteinander, so dass die beiden xe wegfallen. Also Gleichung I minus Gleichung II, dann erhalten wir
x minus x plus Klammern auf, jetzt -3y, dann das Minus, und dann die minus 5y, dann das „=“, und jetzt 30000 Kubikmeter minus die -50000 Kubikmeter. Sieht auf den ersten Blick vielleicht schwierig aus, wird aber gleich ganz einfach, weil x – x lösen sich auf zu 0, plus -3y minus minus ist natürlich plus, und -3 plus 5 sind natürlich plus 2. Dann das „=“, und hier 30000 minus minus, dann haben wir natürlich plus 50000, und das kann man auch zusammenfassen: Die 0 fällt weg, plus und plus ist immer plus, 2y und hier drüben 30000 plus 50000 sind natürlich 80000. Jetzt noch auf beiden Seiten durch 2 dividiert, dann bleibt links y stehen und rechts 80000 durch 2, und 80000 durch 2 sind natürlich 40000.
So, und das ist schon das erste Ergebnis: Eine Turbine schafft 40000 Kubikmeter abzupumpen pro Stunde.
Und jetzt gucken wir noch, was die Wasserzufuhr sagt. Da setzen wir y in I oder II ein, das ist egal, nehmen wir doch einfach die I, y in I, und dann kommen wir auf
x – 3 * y, und y ist jetzt nicht mehr y, sondern konkret 40000 Kubikmeter; 3 mal 40000 sind 120000 Kubikmeter, und dann wollen wir die 120000 noch auf die rechte Seite haben, also plus 120000, dann fällt die hier links weg, und hier drüben steht dann plus 120000, und 120000 plus 30000 sind 150000.
Heißt also konkret: Der Fluss hat eine Wasserzufuhr von 150000, und eine Turbine saugt 40000 Kubikmeter ab. Gucken wir uns jetzt nochmal die Fragen an, die da waren:
1. Wieviel Wasser fließt in einer Stunde zu? Da haben wir jetzt gesagt, das sind 150000. Frage erledigt! 2. Und zweitens: Welche Wassermenge benötigt eine Turbine pro Stunde? Und dann sagen wir: Das sind 40000 Kubikmeter pro Stunde, die eine Turbine absaugt.
Damit wäre die Aufgabe erledigt!
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