Mathe F14: Potenzfunktionen

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 10., 11. Klasse

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  • F14-1 Potenzfunktionen: Symmetrie, Monotonie, Definitions-/Wertebereich

    Was ist eine Potenzfunktion? Aufbau f(x) = a·x^n. Symmetrie bei geraden und ungeraden Exponenten (Achsensymmetrie und Punktsymmetrie). Gerade und ungerade Funktionen. Monotonieverhalten. Definitionsmenge und Wertebereich.

  • F14-2 Potenzfunktionen: Gemeinsame Punkte, Hyperbel

    Gemeinsame Punkte bei Potenzfunktionen je nach geradem/ungeradem Exponent. Es entsteht eine Hyperbel, wenn der Exponent negativ wird, Beispiel: f(x)=x^(-1). Wie kommt es bei negativen Exponenten zur Definitionslücke bei x=0.

  • F14-3 Potenzfunktionen mit negativen Exponenten

    Eigenschaften von Potenzfunktionen mit negativen Exponenten: Symmetrieverhalten, Monotonieverhalten, Definitionsmenge/Wertebereich, gemeinsame Punkte. Definitionslücken.

  • F14-4 Gleichung der Potenzfunktion aus 2 Punkten bestimmen

    Wir bestimmen aus 2 gegebenen Punkten die Funktionsgleichung einer Potenzfunktion. Lösen per Logarithmus. Lösen mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems.

  • F14-5 Schnittpunkte von 2 Potenzfunktionen

    Wir berechnen die Schnittpunkte von 2 Potenzfunktionen mittels Gleichsetzen. x-Wert zu gegebenem Funktionswert bei einer Potenzfunktion ermitteln. Auswirkungen des Vorfaktors a bei f(x)=a·x^n auf den Graphen der Funktion.

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Wissen zur Lektion

Was sind Potenzfunktionen?

Potenzfunktionen sind Funktionen mit einer Funktionsgleichung der Form f(x)=a·xn, wobei n ∈ Z und a ∈ R.

Je nach Exponent n und Vorfaktor a ergeben sich verschiedene Eigenschaften, die im Folgenden in der Übersicht dargestellt sind.

Erinnert euch bitte vorab, wie die Symmetrie funktioniert, was Monotonie ist, was Definitionsmenge und Wertebereich sind.

Positiver gerader Exponent n (n ≥ 1)

Beispiel: Graph von x4

Potenzfunktion x hoch 4
Symmetrieachsensymmetrisch zur y-Achse
Monotoniestreng monoton fallend für x∈R0- und streng monoton steigend für x∈R0+
DefinitionsmengeD = R
WertebereichW = R0+
Gemeinsame Punkte(-1|+1), (0|0), (1|1)

Positiver ungerader Exponent n (n ≥ 1)

Beispiel: Graph von x5

Potenzfunktion x hoch 5
Symmetriepunktsymmetrisch zum Koordinatenursprung
Monotoniestreng monoton steigend für x∈R
DefinitionsmengeD = R
WertebereichW = R
Gemeinsame Punkte(-1|-1), (0|0), (1|1)

Gegenüberstellung: Positive Exponenten

Potenzfunktion positive Exponenten

Negativer gerader Exponent n (n ≤ -1)

Beispiel: Graph von x-2

Potenzfunktion x hoch minus 2
Symmetrieachsensymmetrisch zur y-Achse
Monotoniestreng monoton steigend für x∈R- und streng monoton fallend für x∈R+
DefinitionsmengeD = R\{0}
WertebereichW = R+
Gemeinsame Punkte(-1|+1), (1|1)
Definitionslückebei x=0

Negativer ungerader Exponent n (n ≤ -1)

Beispiel: Graph von x-1

Potenzfunktion x hoch minus 1
Symmetriepunktsymmetrisch zum Koordinatenursprung
Monotoniestreng monoton fallend für x∈R\{0}
DefinitionsmengeD = R\{0}
WertebereichW = R\{0}
Gemeinsame Punkte(-1|-1), (1|1)
Definitionslückebei x=0

Gegenüberstellung: Negative Exponenten

Potenzfunktion negative Exponenten

Was ist eine Hyperbel?

Der Begriff Hyperbel kommt von "hyperbole" (griech.) und bedeutet "hinübergehen". Die Hyperbel ist ein geschwungener Graph, eine Kurve, die aus zwei zueinander symmetrischen Ästen besteht. Vergleiche Abbildung:

Hyperbel

Die Hyperbel zählt zu den Kegelschnitten, die beim Schnitt einer Ebene mit einem geraden Kreiskegel entstehen.

Merkt euch, dass die ganzrationalen Funktionen aus Potenzfunktionen zusammengesetzt sind. Zum Beispiel besteht die ganzrationale Funktion f(x) = 3·x4 + 2·x3 + x - 2 aus mehreren Potenzfunktionen (3·x4 und 2·x3 und x1 sowie -2·x0)

Lösungen nach Aufgabentypen

Hier noch einige Anleitungen, wie man mögliche Aufgabentypen zum Thema Potenzfunktionen lösen kann.

1. Gleichungen der Potenzfunktion aus 2 Punkten bestimmen

Eine Potenzfunktion hat allgemein die Form f(x) = a·xn. Wir haben nun zwei Punkte gegeben.

1. Wir können diese Punkte in die Gleichung einsetzen. Wir erhalten zwei Gleichungen.

2. Wir formen beide Gleichungen nach a um.

3. Wir setzen die Gleichungen gleich.

4. Wir bringen die Ausdrücke mit dem Exponenten auf eine eigene Seite.

5. Wir fassen die beiden Potenzen nach den Potenzgesetzen zusammen. (bn: cn = (b/c)n )

6. Wir wenden den Logarithmus an.

7. Wir bringen n auf eine eigene Seite und können n nun berechnen.

8 Setzen wir n in eine der Gleichungen ein, so können wir a berechnen.

9. Fertig!

2. Schnittpunkt von zwei Potenzfunktion

Haben wir zwei Potenzfunktionen f(x) und g(x) gegeben und wollen deren Schnittpunkte finden, so machen wir Folgendes:

1. Wir setzen die Funktionen gleich.

2. Wir klammern das x mit dem geringerem Exponenten aus. Wir erhalten ein Produkt.

3. Wir bestimmen die Nullstellen der einzelnen Faktoren des Produktes. (Eventuell mit pq-Formel oder Lösungsverfahren einer kubischen Gleichung oder ähnlichem.)

4. Fertig!

3. x-Wert bestimmen

Auch hier hat man die Potenzfunktion in der Form f(x) = a·xn und dazu einen y-Wert gegeben und soll den dazugehörigen x-Wert bestimmen, so macht man Folgendes:

1. y-Wert mit der Funktion gleichsetzen. (y = a·xn )

2. Durch den Vorfaktor a teilen.

3. Die n-te Wurzel auf beiden Seiten ziehen.

4. Fertig!

Mathe-Programme zu Potenzfunktionen

  • Potenzfunktionen Potenzfunktionen
    Hier könnt ihr beliebige Potenzfunktionen erstellen. Einfach Exponent einstellen und Vorfaktor.
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Übungsaufgaben

Nachfolgend findet ihr Aufgaben zu den Potenzfunktionen, mit denen ihr euer neues Wissen testen könnt.

A: Funktionsuntersuchung

Bestimme bei den folgenden Funktionen die Definitionsmenge und den Wertebereich. Untersuche auf Symmetrie und Monotonieverhalten. Berechne zu den gegebenen y-Werten den dazugehörigen x-Wert. Prüfe, ob die gegebenen Punkte auf dem Graphen liegen. Fertige eine Skizze mit den jeweiligen Funktionsgraphen an.

1. f(x) = 3·x3 und y = 81 und A(6|29) und B(1|3)

2. f(x) = 5·x-1 und y = 1/4 und A(1|1) und B(2,5|2)

3. f(x) = 2·x4 und y = 512 und A(2,9|3,4) und B(2|1)

4. f(x) = x-2 und y = 1/64 und A(1/12|24) und B(5|1/25)


B: Funktionsgleichung bestimmen Funktionensuche

Bestimme eine Funktionsgleichung der Form f(x) = a · xn aus den gegebenen Punkten.

1. P1(2|-224) und P2 (1|-7)

2. P1(5|12,5) und P2 (9|40,5)

3. P1(4|160) und P2 (1,2|4,32)


C: Schnittpunkte zweier Potenzfunktionen

Berechne die Schnittpunkte der jeweils angegebenen Funktionen.

1. f(x) = x3 und g(x) = x5

2. f(x) = 3·x3 und g(x) = 1,5·x2

3. f(x) = 6 ·x4 und g(x) = -2,5·x3

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Untertitel

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Video Teil 1

Hallo liebe Zuschauer und willkommen zur Lektion Potenzfunktionen. Wir schauen uns an was das ist und was wir damit machen können. Als erstes definieren wir mal was eine Potenzfunktion ist. Das ist eine Funktion der Form a mal x^n. x^n, das ist unsere Potenz und a ist ein Vorfaktor. Wir dürfen für a alle reellen Zahlen einsetzen - das schreiben wir dann so hin - und für unser n hier oben dürfen wir alle ganze Zahlen einsetzen. Das notieren wir dann so: n Element aus Z. In einigen Quellen findet ihr auch die Definition, dass n eine natürliche Zahl sein soll und für die ersten beiden Videos hier halten wir uns an diese Definition. An gegebener Stelle sagen wir, wann es mit den ganzen Zahlen weitergeht. Setzen wir ein paar Werte für n ein. Wie zum Beispiel n = 1. Hier schreiben wir einen kleinen Index ran, eine kleine 1, damit wir sehen, dass das nicht die gleiche Funktion ist. Also unsere Funktion f1 hat die Gleichung a mal x^1. Und um es uns einfach zu machen, legen wir uns für diese Lektion fest, a soll 1 sein. Wir sehen es ergibt sich x und das kennen wir. Das ist eine lineare Funktion, uns also bekannt. Setzen wir für n weitere natürliche Zahlen ein ist n = 2 haben wir hier unser x^2, das wäre dann unsere quadratische Funktion. Die kennen wir ebenfalls. Nehmen wir n = 3, dann haben wir unsere kubische Funktion und so weiter. Das heißt so unbekannt ist uns das Thema gar nicht. Wir kennen ja schon lineare, quadratische, kubische und weitere Funktionen aus der Familie der ganzrationalen Funktionen, also a mal x^n ist uns bereits bekannt. Wir betrachten uns jetzt jedoch diesen Potenzterm einzeln und schauen was für Eigenschaften so eine Funktion hat. Und das machen wir am besten anhand des Graphen. Hier ist ein kleines Programm mit dem wir Graphen von Potenzfunktionen zeichnen können. Hier haben wir eingestellt 1 mal x^3, gehen wir mal runter auf 1 mal x^1 und wir sehen den Graphen der linearen Funktion. Da wir hinten keinen weiteren Wert haben wie zum Beispiel plus 1 verlaufen alle Graphen, die wir jetzt zeichnen übrigens immer durch den Koordinatenursprung. Wir könnten dort auch plus 0 schreiben. x^2, unsere bekannte Parabel, von den quadratischen Funktionen. x^3, der bekannte geschwungene Graph der kubischen Funktion. x^4, wieder eine Art Parabel, die jedoch schneller steigt als die von x^2. x^5, so ähnlich wieder wie x^3, die Werte steigen jedoch ebenfalls schneller, hier in dem Bereich usw. Betrachten wir uns die einzelnen Eigenschaften. Zuerst: Symmetrie. Dieser lineare Graph ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, also der Punkt P(2|2) ist punktsymmetrisch zum Punkt Q(-2|-2). Und das gilt für alle Punkte auf diesem Graphen. x^2, wie wir gelernt haben ist dieser Graph achsensymmetrisch zur y-Achse. Das heißt, wenn wir hier schauen von der y-Achse hier nach rechts und nach links haben wir immer die gleichen Abstände. x^3, wir sehen der Graph ist wieder punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. x^4, wieder achsensymmetrisch. x^5, wieder punktsymmetrisch usw. Wir sehen also, dass wenn der Exponent gerade ist, wir Achsensymmetrie haben, wenn der Exponent ungerade ist Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung vorliegt. Das ist das erste Merkmal von Potenzfunktionen. Tragen wir das ein. Hier die 1 ist ungerade, die 3 ist ungerade, die beiden sind also punktsymmetrisch zum Ursprung. Und wenn wir ein x^2 haben oder ein x^4, dann haben wir Achsensymmetrie zur y-Achse. Und wenn wir das jetzt verallgemeinern wollen, wie müssen wir dann hier den Exponenten schreiben, so dass er immer gerade ist? Und das hatten wir schon einmal in der Lektion Teilbarkeit gesehen: Wenn wir wollen, dass eine Zahl gerade ist, dann multiplizieren wir eine Zahl mit 2, also egal welche Zahl ihr jetzt für k einsetzt, sie wird immer gerade sein. Setzt ihr eine 4 ein, 2 mal 4 sind 8: Gerade. Setzt ihr eine 11 ein, 11 mal 2 sind 22: Gerade. Das heißt 2 mal k garantiert uns, dass eine gerade Zahl vorliegt. Und genau das tragen wir auch hier ein: 2 mal k. Jetzt können wir das hier wegnehmen. Jetzt gilt es noch die ungeraden auszudrücken mit Hilfe einer Variablen und das machen wir ganz einfach in dem wir von einer geraden Zahl immer einen abziehen. Abziehen ist minus und dann einen ist 1. Das heißt 2 mal k garantiert, dass eine gerade Zahl rauskommt, ziehen wir von der geraden Zahl einen ab ist das eine ungerade Zahl. 2 mal k minus 1 können wir also hier für den Exponenten einsetzen und das meint dann ungerade Zahlen. Und aufpassen, dass steht alles im Exponenten, also auch die -1 ist oben zu schreiben. Um es deutlich zu machen könnt ihr auch die Klammern darum setzen. Das ist der Exponent. Gut, nehmen wir das weg. Und das ist die erste Eigenschaft, die ihr euch bitte merkt. Ungerader Exponent - Punktsymmetrisch. Gerader Exponent - Achsensymmetrisch. Übrigens nennt man den ersten Typ der Funktion auch ungerade Funktion und den zweiten Typ nennt man gerade Funktion. Das bitte merken. Jetzt haben wir die Symmetrie, schauen wir uns als nächstes die Monotonie an. Monotonie, da hatten wir die entsprechende Lektion schon angesehen und hier können wir das jetzt anwenden: Wir sehen jeder Folgewert ist größer als der vorhergehende und das ist immer so, das heißt x^1 ist streng monoton steigend. Schauen wir uns x^3 an. Hier steigt ebenfalls jeder Wert und hier wie wir bei der Monotonie gelernt haben wird die 0 nur durchlaufen, das heißt der vorherige Wert ist kleiner, der folgende Wert ist größer, also auch hier haben wir eine streng monoton steigende Funktion. Gleiches bei x^5, x^7, etc. Also alle Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten sind streng monoton steigend. Wie sieht es aus mit den geraden Exponenten? Unsere Parabel ist offensichtlich hier streng monoton fallend bis x = 0 und ab x = 0 streng monoton steigend. x^4, hier gilt das gleiche: Streng monoton fallend und ab hier streng monoton steigend. x^6 das gleiche. x^8 das gleiche etc. Halten wir das allgemein fest. Für unsere Potenzfunktion mit ungeraden Exponenten haben wir gerade gesagt, sie sind streng monoton steigend. Und zwar für alle x-Werte die wir einsetzen. Wir schreiben also: Für alle x Element aus R, also alle reellen Zahlen. Und wir hatten gesehen bei den Potenzfunktionen mit geraden Exponenten: Sie sind streng monoton fallend und steigend. Streng monoton fallend für alle negativen x-Werte und streng monoton steigend für alle positiven x-Werte. Halten wir das fest: Streng monoton fallend für alle negativen reellen Zahlen und streng monoton steigend für alle positiven reellen Zahlen. Und wichtig in beiden ist die 0 enthalten. Wir schreiben das mit einer kleinen 0 an den R’s. Fassen wir nochmals zusammen: Ungerader Exponent - streng monoton steigend für alle x-Werte. Und für die Potenzfunktionen mit geradem Exponenten - streng monoton fallend für alle negativen x-Werte und 0. Und streng monoton steigend für alle positiven x-Werte und 0. Also einen Monotoniewechsel gibt es bei x = 0. Sehr schön. Treffen wir noch Aussagen über Definitionsmenge und Wertemenge, bzw. Definitionsbereich und Wertebereich. Die Definitionsmenge ist das was wir für x einsetzen dürfen und hier gibt es keine Einschränkung, hier dürfen wir alle reellen Zahlen einsetzen. Was für y-Werte kommen heraus, also was für einen Wertebereich haben wir? Und da sehen wir dieser Graph geht hier unten bis ins negativ Unendliche für die y-Werte und hier geht er nach oben ins positiv Unendliche. Und auch hier haben wir keine Lücke, das heißt es werden alle y-Werte angenommen und wir können also schreiben: Zum Wertebereich gehören alle reellen Zahlen. Halten wir das fest. Die Definitionsmenge sind alle reellen Zahlen. Und jetzt fehlt noch der Wertebereich. Das sind ebenfalls alle reellen Zahlen. Und wie sieht es aus bei den geraden Funktionen? Blicken wir auf die Graphen: Hier sind offensichtlich alle x-Werte möglich. Wir haben keine Definitionslücken oder dergleichen, nur was wir erkennen ist: Der Graph nimmt keine negativen Werte an, also er verläuft nicht in den dritten und vierten Quadranten hier unten. Auch nicht x^4, auch nicht x^6 usw. Alle y-Werte sind also immer positiv. Das müssen wir berücksichtigen. Wir schreiben: Die Definitionsmenge sind alle reellen Zahlen. Beim Wertebereich müssen wir einschränken, es kommen ja nur positive y-Werte heraus, wir schreiben also: Wertebereich ist gleich R plus - alle positiven reellen Zahlen - inklusive der 0. Fertig. Definitionsmenge und Wertebereich ebenfalls bestimmt. Jetzt untersuchen wir noch, ob besondere Punkte vorliegen, die alle geraden Graphen oder ungeraden Graphen gemeinsam sind.

Video Teil 2

Betrachten wir die besonderen Punkte. Hier ist x^1, also wir fangen mit den ungeraden an. Er geht durch den Ursprung. x^3 genauso. x^5 genauso. Also wir schlussfolgern daraus, dass die Graphen der Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten immer durch (0|0) gehen, was wir auch rechnerisch begründen können, indem wir f(x) zu 0 machen und dann x^5 = 0 ausrechnen und dann sehen, dass dort 0 rauskommt für unser x. Also erster gemeinsamer Punkt für alle Graphen ist (0|0). Dann schauen wir mal hier auf (1|1), das sieht auch interessant aus. Gehen wir mal auf x^3, wie wir sehen ist das hier ebenfalls ein gemeinsamer Punkt. x^5 ebenfalls. x^7 ebenfalls. Also auch (1|1) ist allen Potenzen mit positiven ganzzahligen Exponenten gemeinsam. Und dann, wie sieht es aus bei (-1 |-1), also hier? x^7 hat den Punkt, x^5 hat den Punkt, x^3 hat den Punkt und x^1 hat den Punkt. Also auch dieser Punkt ist allen gemeinsam. Wir haben also drei Punkte die all diesen Graphen gemeinsam sind. Also die Potenzfunktion mit ungeraden Exponenten hat die gemeinsamen Punkte (-1|-1), (0|0) und (1|1). Wie sieht es aus bei den geraden Exponenten? Bei den Graphen. Hier schauen wir uns Probeweise die gleichen Punkte an. (1|1) ist richtig, (0|0) ist richtig. (-1|+1). Hier haben wir einen positiven Wert. Bei x^4: (1|1), (0|0), (-1|+1), okay. Und bei x^6 das gleiche. Also hier kann man folgern, dass (1|1), (0|0) und (-1|+1) gemeinsame Punkte sind. Wir haben also hier gemeinsame Punkte: (-1|+1) - ich habe jetzt extra ein Plus angeschrieben, damit der Unterschied hierzu deutlich wird -, (0|0), (1|1). Wir sehen also bei den Potenzfunktionen sind die Punkte (0|0) und (1|1) gemeinsam unabhängig davon ob es ein gerader oder ungerader Exponent ist. Die Punkte bei x = -1 unterscheiden sich jedoch. Jetzt haben wir uns die Eigenschaften angeschaut. Noch ein Wort zur Beschränktheit. Die Potenzen mit ungeraden Exponenten sind nicht beschränkt, also sie gehen immer von -unendlich bis +unendlich. Jedoch die Graphen der Potenzfunktionen mit geraden Exponenten sind beschränkt. Sie gehen nur bis y = 0, also das ist die größte untere Schranke. Gut, und noch der Hinweis zum Verlauf des Graphen. Wir sehen, je höher der Exponent ist, also 4, 6, 8, 10, 12 desto steiler verläuft unser Graph. Aber Achtung, das gilt nur für die x-Werte größer als 1 und kleiner als -1. Und bei den ungeraden genauso. Fangen wir an mit Exponent 3, dann 5, dann 7, dann 9, dann 11, auch hier verläuft der Graph umso steiler. Jetzt haben wir uns angeschaut wie die Graphen aussehen, wenn der Exponent positiv ist, was passiert denn, wenn der Exponent negativ wird? Bzw. gehen wir erst einmal auf die 0. Da haben wir schon einen Sonderfall, denn hier haben wir eine konstante Funktion. Und der Vorfaktor bestimmt, wo diese Funktion verläuft. Also wenn wir jetzt hier für x eine Zahl einsetzen, wie zum Beispiel die 1, die 2, die 3, alles hoch 0 ist immer 1. Das heißt 3 mal 1, egal für welchen x-Wert ergibt immer 3, deshalb haben wir hier eine Parallele zur x-Achse. Und es sei wieder der Spezialfall erwähnt 0^0 kann unter Umständen nicht definiert sein! Für unsere Lektion sagen wir jedoch 0^0 ist 1. Gut, jetzt gehen wir dazu über, dass wir den Exponenten negativ machen, also x^(-1). Unser n ist jetzt also eine ganze negative Zahl. Jetzt sehen wir, dass sich hier ein sehr interessanter Graph ergibt. Und zwar ein Graph der von links kommt, streng monoton fallend ist und dann offensichtlich bei x = 0 eine Definitionslücke hat. Es gibt also bei x = 0 keinen y-Wert. Wir haben dort keinen Punkt. Und dann bei den Werten über 0, von oben wieder kommt und wieder streng monoton fallend ist. Der Graph ist über den ganzen Bereich streng monoton fallend. Zusätzlich sehen wir, dass hier Punktsymmetrie existiert. Hierfür einige Punkte eingezeichnet. Dieser besondere Verlauf des Graphen wird Hyperbel genannt. Also bei den quadratischen sagten wir ja Parabel dazu und hier sagen wir Hyperbel dazu. Hyperbel kommt übrigens aus dem griechischen Hyperbole was hinübergehen heißt. Denn der Graph geht von hier auf die andere Seite nach oben hinüber. Eine Hyperbel. Und das besondere bei Hyperbeln ist, wir haben zwei Äste, zwei Teile des Graphen. Und wenn die x-Werte von rechts gegen 0 gehen, gehen die y-Werte gegen +unendlich. Und wenn die x-Werte von links gegen 0 gehen, dann gehen die y-Werte ins -unendliche. Wenn die x-Werte gegen +unendlich laufen, gehen die y-Werte gegen 0. Und wenn die x-Werte gegen -unendlich laufen, dann gehen die y-Werte gegen 0. Und sie sind vor allem punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Erinnern wir uns, was x^(-1) eigentlich bedeutet. Da brauchen wir die Potenzen. Das sei hier hingeschrieben a·x^(-1). Und jetzt wissen wir x^(-1) bedeutet nichts anderes als einen Bruch zu erstellen und x mit dem positiven Exponenten in den Nenner zu schreiben. Also entsteht da a·1/x^1. Also 1/x. Und jetzt können wir auch die Frage beantworten, warum wir denn diese Definitionslücke haben. Warum unser Graph bei x = 0 keinen Wert hat, keinen Wert annimmt. Das liegt daran, dass wenn wir hier für x unsere 0 einsetzen, dann würde ja 1/0 da stehen und die Division durch 0 ist nicht definiert. Daher haben wir eine sogenannte Definitionslücke. Hier kurz festgehalten. Und jetzt fragt sich noch, warum der Graph hier weiter fällt im Wert und warum er dann hier oben auf einmal sehr hohe Werte annimmt. Und das sieht man am besten, wenn man versteht, dass der negative Exponent zu einer 1/x mit positiven Exponenten führt. Schauen wir uns das rechnerisch an. Wenn wir als x^(-1) haben, was ja dann 1/x ist, müssen wir wissen, wie sich die Werte von 1/x entwickeln. Nehmen wir mal ein paar Beispielwerte. Wenn wir bei 1/x x = 1 wählen, dann erhalten wir 1/1 also 1. Gut, jetzt stellen wir fest, desto größer wir unser x wählen, wie zum Beispiel 100, dann erhalten wir als Wert 1/100, also 0,01. Wir sehen also, desto größer unser x-Wert ist, desto kleiner der Wert des Bruches. Und wenn wir x kleiner als 1 wählen, zum Beispiel 0,5, dann erhalten wir 1/0,5 also 2. Der Wert wird also größer, wenn wir hier für x einen Wert kleiner als 1 einsetzen. Bedingung er muss positiv sein. Also wenn wir hier einen Wert zwischen 0 und 1 einsetzen, erhalten wir Werte die größer als 1 sind. Aber aufpassen: 0 dürfen wir natürlich nicht einsetzen. Das wäre nicht definiert. Also nehmen wir jetzt hier mal 0,1 als Wert, dann ergibt sich hier 1/0,1 = 10. Also wir sind von 0,5 auf 0,1 runter gegangen und dann sind wir hier im Wert von 2 auf 10 hoch gegangen. So erklärt sich dann auch der Verlauf unseres Graphen der Hyperbel, dass hier, wenn x größer als 1 ist, die Werte gegen 0 gehen, also ½, 1/3, ¼ etc. Und hier zwischen 1 und 0, je mehr sich die x-Werte in diesem Bereich von rechts der 0 annähern, desto größer werden die entsprechenden y-Werte. Und bei den negativen x-Werten gilt das gleiche, nur der Unterschied, dass hier negative Werte entstehen, das Prinzip ist jedoch das gleiche.

Video Teil 3

Wir hatten uns Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten angeschaut, jetzt betrachten wir die negativ ganzzahligen Exponenten. Setzen wir ein Minus vor das n. Damit soll angezeigt sein, dass wir hier negative Exponenten haben, also wir dürfen jetzt für n nur natürliche Zahlen einsetzen. Und setzen wir hier noch ein Minus davor, damit es ungerade negativ wird und setzen wir hier noch ein Minus davor, damit es gerade negativ wird. Jetzt fragt sich: Gelten unsere Aussagen hier noch? Punktsymmetrie zum Ursprung: Ja oder Nein? Gucken wir uns x^(-3) und x^(-5) einmal an. Das ist der Graph von x^(-3), also 1/x^3 hatten wir ja gesagt, das ist also die Hyperbel. Und jetzt der Graph von x^(-5) dazu. Das ist dieser hier. Also sie verlaufen sehr ähnlich. Nehmen wir mal x^(-7) und x^(-9) noch dazu. Dann entsteht dieses Bild. Es lässt sich also sagen, die Graphen sind punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Also diese Aussage gilt. Schauen wir auch, ob bei den geraden Funktionen die Achsensymmetrie erhalten bleibt. Das ist x^(-2), das ist x^(-4) und das ist x^(-6). Wie wir sehen gilt bei allen Achsensymmetrie zur y-Achse. Die Abstände des Graphen zu beiden Seiten der y-Achse sind gleich. Auch diese Aussage ist also richtig. Das heißt wir können allgemein festhalten: Wenn wir hier für k ganze Zahlen einsetzen, dann können wir nämlich hier auch das Minus wegnehmen. Wenn k ganzzahlig ist, egal ob negativ oder positiv, wir haben immer Punktsymmetrie. Und hier, wenn k ganzzahlig ist, positiv und negativ, dann haben wir immer Achsensymmetrie. Ungerade - Punktsymmetrie. Gerade - Achsensymmetrie. Schauen wir uns die Monotonie an. Es gilt wieder der Exponent ist jetzt negativ. Nehmen wir uns zwei Beispiele für ungerade Funktionen. Das ist x^(-3) mit den zwei Ästen. Und nehmen wir noch x^(-5) hinzu. Wir sehen beide Graphen sind hier streng monoton fallend. Wir haben eine Definitionslücke bei x = 0 und bei allen x-Werten größer als 0 sind sie streng monoton fallend. Halten wir das fest: Streng monoton fallend für alle reellen Zahlen außer der 0. Und das „außer der 0“ schreiben wir so hin: Querstrich für „außer“ bzw. „ohne“ und jetzt die Mengenklammer und dort sagen wir 0. Also alle reellen Zahlen ausgenommen die 0. Und schauen wir jetzt noch bei den ungeraden Funktionen mit negativen Exponenten was sich hier für eine Monotonie ergibt. Als Beispiel hier x^(-2) und dazu noch x^(-4) und hier sehen wir bei beiden für negative x-Werte sind die Graphen streng monoton steigend. Auch hier haben wir eine Definitionslücke bei x = 0. Und bei allen x-Werten größer als 0 haben wir streng monoton fallend. Halten wir das auch fest: Streng monoton fallend für alle negativen reellen Zahlen. Und wenn wir das so schreiben ist die 0 nicht inklusive. Also mit dieser Notation ist sie nicht mit dabei. Und jetzt noch streng monoton fallend für alle positiven reellen Zahlen. Auch hier ist die 0 nicht enthalten. Gut, soviel zur Monotonie. Es fehlen jetzt noch Definitionsmenge und Wertebereich, sowie gemeinsame Punkte. Definitionsmenge: Das war die bei den positiven Exponenten. Und jetzt schauen wir mal auf unsere Graphen. Hier der Graph von x^(-3) als Beispiel. Offensichtlich sind alle x-Werte erlaubt bis auf die 0, unsere Definitionslücke. Und y-Werte nehmen wir an hier alle positiven, hier alle negativen, aber die 0 wird nicht angenommen. Das heißt bei beiden müssen wir die 0 ausschließen. Wird der Exponent also negativ, müssen wir bei der Definitionsmenge also die 0 ausschließen. Die Definitionslücke. Und beim Wertebereich ebenso. Wird unser Exponent der geraden Funktionen negativ; betrachten wir das Beispiel x^(-2). Wir sehen alle x-Werte sind erlaubt bis auf x = 0. Und bei den y-Werten, da sind keine negativen Werte dabei, sondern nur positive Werte und auch nicht die 0. Wir müssen also bei der Definitionsmenge die 0 ausschließen, wie hier, und beim Wertebereich alle unsere y-Werte sind positiv. Und die 0 müssen wir wegnehmen, die wird nicht mehr angenommen. Und schauen wir uns noch die gemeinsamen Punkte an. Das ist bei den negativ ungeraden Exponenten (-1|-1) und (1|1) und bei den negativ geraden Exponenten (-1|+1) und (1|1). Schauen wir nochmal: Hier der Graph einer Potenzfunktion mit geraden Exponenten (1|1) und (-1|+1). Und jetzt nehmen wir mal x^(-3), da haben wir (1|1) und (-1|-1). Sehr schön. Haben wir das! Hier nochmal das Wissen in der Übersicht: Haben wir eine Potenzfunktion mit positiven Exponenten - natürlich ganzzahlig - und ist dieser gerade, das wäre zum Beispiel wenn n = 2 ist die Parabel, dann ist dieser Graph symmetrisch zur y-Achse, streng monoton fallend und streng monoton steigend. Und die Definitionsmenge sind alle reellen Zahlen, wir können für x also alles einsetzen. Wertebereich sind alle positiven Zahlen und 0. Es gibt also keinen negativen y-Wert. Und die gemeinsamen Punkte sind, denkt an die Parabel, links bei (-1|1), dann bei 0 der Ursprung und rechts (1|1). Und ist unser Exponent ungerade, wie zum Beispiel bei der kubischen Funktion, dieser geschwungene Graph, dann haben wir Punktsymmetrie zum Ursprung. Er ist stets streng monoton steigend für alle x-Werte. Die Definitionsmenge sind die reellen Zahlen. Wir dürfen für x alles einsetzen. Der Wertebereich sind ebenfalls die reellen Zahlen, das heißt y nimmt alle Werte an. Und gemeinsame Punkte sind (-1|-1), (0|0) und (1|1). Denkt hier an die Punktsymmetrie, wenn wir (1|1) haben muss (-1|-1) ebenfalls ein Punkt sein. Und wie sieht es aus, wenn der Exponent negativ ist? Schauen wir: Dann haben wir eine Hyperbel. Das nennt man bei beiden Graphen so und wenn n gerade ist, wie zum Beispiel -2, ist der Graph symmetrisch zur y-Achse. Streng monoton steigend für alle negativen und streng fallend steigend für alle positiven x. Bei x = 0 ist die Definitionslücke. Dann Definitionsmenge: Alle x-Werte sind erlaubt außer der 0. Und Wertebereich; alle positiven reellen Zahlen werden angenommen außer der 0. Und gemeinsame Punkte sind (-1|+1) und (1|1), wie bei der Parabel. (-1|+1), (1|1). Und wenn der Exponent ungerade ist. Hier zum Beispiel x^(-3). Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Er ist streng monoton fallend. Definitionsmenge: Wir dürfen alles für x einsetzen außer der 0, weil sonst hätten wir eine Division durch 0; die Definitionslücke. Und Wertebereich: Alle Werte werden angenommen außer der 0. Und gemeinsame Punkte (-1|-1) und (1|1). (-1|-1) und (1|1). Sehr schön. Das wie gesagt die kurze Übersicht. Guckt auf unsere Webseite, dann könnt ihr euch das ausdrucken und nochmal wiederholen. Gut, dass war jetzt eine ganze Menge neues Wissen. Als nächstes wollen wir eine Aufgabe lösen bei der wir aus zwei Punkten die Funktionsgleichung einer Potenzfunktion bestimmen können.

Video Teil 4

Willkommen zum nächsten Teil. In diesem Video wollen wir uns anschauen, wie wir eine Potenzfunktion berechnen können und zwar aus zwei gegebenen Punkten. Für unsere Aufgabe lauten die Punkte P(1|0,25), sowie Q(2|4). Wie gehen wir jetzt an die Aufgabe ran? Stellen wir als erstes die Funktionsgleichung einer Potenzfunktion auf und schauen wie viele Unbekannte wir haben. x ist ja unsere Variable. a ist ein Vorfaktor den wir beachten müssen und das hoch n, dieser Exponent, ist unbekannt. Hier haben wir mit dem Punkt P x- und y-Wert gegeben. Das heißt wir können hier so vorgehen, wie wir es auch bei den linearen und quadratischen Funktionen gemacht hatten, wenn ein Punkt vorliegt. Wir können den x- und y-Wert übernehmen und ihn in diese Gleichung einsetzen. Schreiben wir hier noch hin, dass hier y raus kommt und jetzt übertragen wir unsere x- und y-Werte von P. x ist 1, also setzen wir hier die 1 ein und y ist 0,25. Den Teil hier vorne können wir wegnehmen und wir sehen wir haben hier jetzt nur noch zwei Unbekannte a und n. Gleiches machen wir mit Q mit 2 und 4. Wir nehmen unsere Gleichung herunter. Wir setzen für x diese 2 ein. Hier und hier. Und y, der Wert der herauskommt, ist 4, den setzen wir hier ein. Jetzt nehmen wir das hier vorne weg und jetzt haben wir zwei Gleichungen. Gleichung Nummer 1 und Gleichung Nummer 2. Und wir wissen: Zwei Unbekannte, zwei Gleichungen, dieses Gleichungssystem lässt sich berechnen. Und jetzt können wir uns eines dieser Verfahren aussuchen oder wir können es uns sogar noch einfacher machen, denn wenn man hier schaut: a·1^n. 1 hoch jede beliebige Zahl ist immer 1. Also hier können wir einfach nur 1 schreiben und 1·a ist a. Das heißt an dieser Stelle brauchen wir gar kein Gleichungssystem, wir haben jetzt tatsächlich schon a bestimmt. Das war möglich aufgrund dieses angenehmen Wertes. Und jetzt können wir a = 0,5 hier einsetzen und das dann ausrechnen. a wird zu 0,25, dann dividieren wir auf beiden Seiten durch 0,25 und erhalten 2^n = 16. Und jetzt können wir den Logarithmus benutzen, aber das sieht man 2 hoch was ist 16? Das haben wir im Kopf, das sind 4. Denn 2 mal 2 sind 4, mal 2 sind 8, mal 2 sind 16. Wenn es nicht so eine angenehme Zahl gewesen wäre, hättet ihr den Logarithmus benutzen müssen. Hättet hier log schreiben müssen. Dann hätte das so dagestanden und dann hätten wir das hoch n mit der Logarithmusregel nach vorne ziehen dürfen. Dann auf beiden Seiten durch log(2). Und das hätten wir in den Taschenrechner eingegeben mit log(16)/log(2) und wären ebenfalls auf 4 gekommen. Gut, und schon haben wir beide Werte bestimmt. a = 0,25 und n = 4 und die setzen wir hier ein. a wird 0,25 und hoch n, das ist unsere 4. Und fertig ist unsere Funktionsgleichung. Die da lautet f(x) = 0,25·x^4. Schauen wir uns noch den Graphen an und prüfen ob die Punkte wirklich auf dem Graphen liegen. Das ist der Graph unsere Funktion und das sind unsere beiden Punkte P(1|0,25) und Q(2|4). Stimmt! Rechnen wir als nächstes noch eine Aufgabe zu den Potenzfunktionen. Die nächste Aufgabe soll lauten. Es sind zwei Punkte gegeben: P1(1,5|6,75), sowie P2(2|16). Wie lautet die Funktionsgleichung dieser Funktion? Und da es wieder eine Potenzfunktion ist können wir wieder die allgemeine Form hinschreiben mit f(x) = a·x^n = y. Jetzt nehmen wir wieder x- und y-Werte hier und hier und setzen die von diesem Punkt ein. Also die 1,5 für unser x und 6,75 für unser y. Jetzt nehmen wir uns diese Gleichung nochmal runter und setzen hier für den nächsten Punkt die 2 ein und für unser y nehmen wir die 16. So und jetzt gilt es das wieder auszurechnen, indem wir ein Gleichungssystem aufstellen. Als erstes können wir nach a umstellen, also rechnet bei der ersten Gleichung durch 1,5^n. Machen wir das hier unten. Schreiben also durch 1,5^n. Dann haben wir a = 6,75/1,5^n. Das ist also die I‘. Und jetzt nehmen wir uns hier die 2te herunter. Machen dort das gleiche Verfahren: Durch 2^n auf beiden Seiten, dann erscheint die hier. Und das ist unsere II‘. Jetzt haben wir a =, a =, wir können also jetzt die beiden a’s gleichsetzen. Schreiben jetzt auf der rechten Seite a = a, dann der erste Term für a. Und der Term für a auf der rechten Seite ist dieser hier. Jetzt multiplizieren wir beide Seiten zum Beispiel mit 1,5^n. Dann ergibt sich 6,75 = 16/2^n und dann können wir hier vorne noch die 1,5^n in Multiplikation davor schreiben. Sinnvoll ist es sogar noch, wenn wir die 16 nach vorne ziehen und dann steht das so da: 16·1,5^n/2^n. Jetzt durch 16 auf beiden Seiten, dann fällt die hier weg und taucht hier wieder auf. Jetzt fragt sich, was ist denn 1,5^n/2^n. Und wenn wir das jetzt mal als Bruch schreiben, dann sieht man das gleich: Wir dürfen laut Potenzregeln das n hier herausziehen. Also wir setzen eine Klammer um den Bruch und schreiben das n außen ran. Jetzt dürfen wir 1,5/2 rechnen. Das ergibt 0,75. Und hier drüben 6,75/16. Das können wir in den Taschenrechner eingeben: 6,75/16 und wir erhalten 0,421875. Und wir lösen jetzt diese Exponentialgleichung. Wie können wir jetzt das n bestimmen? Ganz einfach wieder mit Hilfe des Logarithmus. Nehmen wir das mal weg, damit wir mehr Platz haben. Wir schreiben jetzt also log. Damit ergibt sich log von dieser Zahl ist gleich log(0,75^n). Jetzt wieder das n nach vorne ziehen. So wie wir es bei dem Logarithmus gelernt hatten und bei den Exponentialgleichungen mehrfach geübt haben. Jetzt bei beiden Seiten durch log(0,75). Und jetzt können wir das n bestimmen. Geben wir die Logarithmen ein, in den Taschenrechner: log(0,421875)/log(0,75) und wir erhalten 3. Wunderbar, die erste Unbekannte haben wir bestimmt. Und jetzt heißt es die noch einsetzen und unser a ausrechnen. Also setzen wir hier n = 3 ein, dann ergibt sich dieser Funktionsterm hier und jetzt können wir wieder diesen oder diesen Punkt nehmen, einsetzen und wir bekommen unser a heraus. Nehmen wir die Werte von P2, 2 und 16, setzen die hier ein. x ist 2 und y ist 16. Jetzt lösen wir diese Gleichung auf. Nach a. 2^3 sind 8. Durch 8 auf beiden Seiten und wir erhalten a = 2. Und können das a hier in dieser Funktionsgleichung eintragen und sind damit fertig. Das ist unsere fertige Funktionsgleichung f(x) = 2·x^3. Auf dieser liegen die beiden Punkte. Gucken wir uns das graphisch an. Hier ist unser Punkt P1(1,5|6,75) und unser Punkt P2 muss bei 16 liegen, gehen wir nach oben, ja ist richtig, er liegt auf der Höhe 16. Somit haben wir diese Aufgabe korrekt gelöst.

Video Teil 5

In dieser Aufgabe sollen wir die Schnittpunkte von zwei Potenzfunktionen berechnen. Einmal haben wir 2•x^3 und einmal 1,5•x^2. Erinnern wir uns an die Lektion Schnittpunkte von linearen Graphen. Da haben wir gelernt, dass man allgemein zwei Funktionsgleichungen gleichsetzt, also den gleichen y-Wert herstellt und dann den Schnittpunkt ausrechnen kann. Also das war f(x) = g(x). Man sucht den gleichen y-Wert. Und jetzt setzen wir einfach die Funktionsgleichungen ein. f(x) ist 2•x^3, dann das ist gleich, und g(x) ist 1,5•x^2. Und das können wir jetzt lösen. Wie macht man das? Ganz klar, man zieht erst einmal alles auf eine Seite damit wir = 0 stehen haben. Dazu subtrahieren wir mit 1,5•x^2. Dann steht dort diese Gleichung dritten Grades. Und wir haben hier ein x^3 und ein x^2, das lässt sich mit Hilfe des Ausklammern lösen. Denn wir können x^2 aus beiden Termen herausziehen. Und damit ergibt sich: x^2 davor, dann müssen wir hier x^3/x^2 rechnen, das ist x^1. Und hier x^2/x^2 ist 1, also fällt das weg und wir haben ausgeklammert. Jetzt erinnern wir uns an den Satz vom Nullprodukt. Hier ist die Multiplikation, wir haben also ein Produkt und wenn einer der Faktoren 0 ist, kommt 0 raus. Das heißt diese Gleichung ist gültig, wenn x^2 = 0 ist. Das ist der Fall wenn x = 0 ist. Und da x im Quadrat ist, müssen wir zwei Lösungen angeben. x_(1,2) ist 0. Und jetzt fragt sich, wann ist diese Klammer hier 0. Das müssen wir als Nebenrechnung machen: Schreiben also 2x - 1,5 = 0 dahin, ziehen die 1,5 auf die rechte Seite und dividieren durch 2. Und wir haben dann x = 0,75. Und das ist unsere dritte Lösung. Wir haben also drei x-Werte und jetzt gilt es noch die entsprechenden y-Werte auszurechnen. Nehmen wir uns eine der beiden Gleichungen runter. Nehmen wir die von f(x). Schreiben hin = y. Jetzt wenn wir hier die 0 einsetzen, dann haben wir 2•0^3, also 0. Und jetzt nehmen wir das nochmal hier hin. Wenn wir jetzt die 0,75 einsetzen für x, dann steht da 2•0,75^3. Das geben wir in den Taschenrechner ein. Und zwar 0,75^3 = 0,421875. Mal 2 und wir erhalten 0,84375. Und schon können wir unsere Schnittpunkte benennen. Der erste Schnittpunkt liegt bei S_1(0|0) und der zweite Schnittpunkt liegt bei S_2(0,75|0,84375). Fertig! Schauen wir uns das noch graphisch an. Der rote Graph ist der der Funktion 1,5•x^2. Der blaue ist der von 2•x^3 und wir sehen hier bei (0|0), den Wert hatten wir zweimal, also den Punkt, damit ist es ein Berührpunkt! Die Graphen schneiden sich hier nicht, stattdessen berühren sie sich. Und hier bei (0,75|0,84375) haben wir unseren Schnittpunkt. Aufgabe also richtig gelöst. Hier noch „Berührpunkt“ ergänzt und das ist die Lösung unserer Aufgabe. Die abschließende Aufgabe soll lauten: Wann nimmt f(x) = x^4 den Wert 10 an? Wir suchen den x-Wert, der den y-Wert 10 ergibt. Und das ist relativ einfach. Wir schreiben also diese Funktionsgleichung nochmals dahin, sagen hier kommt y raus und y ist ja jetzt bekannt mit 10. Also schreiben wir hier einfach die 10 rein. Und diese x^4 = 10, diese Gleichung lässt sich lösen. Wie? Wir ziehen auf beiden Seiten die vierte Wurzel. Und…da es eine gerade Wurzel ist, müssen wir auch die negativen Werte berücksichtigen. Hier gehört ein Plusminus davor. Es ergibt sich also ± 4te Wurzel(10). Und hier durch das Plusminus muss hier in den Index noch 1,2, weil wir ja zwei Werte erhalten. Einen positiven und einen negativen. Und die 4te Wurzel(10), das ist kein so schöner Wert, deshalb könnt ihr das so stehen lassen, ihr müsst es nicht ausrechnen. Wenn jedoch gefordert ist „Rechne aus und runde!“, dann nehmt ihr den Taschenrechner und tippt ein: Erst die 10 und dann um die 4te Wurzel zu bekommen, erinnert euch die 4te Wurzel(10) ist das gleiche wie 10^(1/4). Das heißt wir nehmen hier die Potenz, hoch, und jetzt (1/4), oder wir hätten auch 0,25 eingeben können. Ist gleich dieser Wert. Und vor allem Plusminus. Und das ist eine irrationale Zahl, das heißt die geht hinten immer weiter, deswegen setzen wir ein Rundungszeichen. Fertig! Wir sehen also, der Wert 10 wird an der Stelle 1,778 angenommen. Gucken wir uns das graphisch an. Das ist unser Graph von x^4. Und hier die 10 haben wir bei rund 1,778. Richtig! Der einfachhalber hatten wir ja festgelegt, dass a = 1 sein soll. Betrachten wir doch mal kurz, was passiert, wenn a andere Werte annimmt. Hier der Graph von x^2. Und wenn wir hier unser a größer als 1 machen, sehen wir, dass jeder Wert, der für x eingesetzt wird, verdreifacht wird und dadurch natürlich viel schneller steigt. Nehmen wir x^3. Hier steigt ebenfalls jeder Wert dreimal schneller als wenn das 1 wäre. Und hier, wenn wir nach unten schauen, jeder Wert ist dreimal kleiner. Also was ja die (-1|-1) war, ist jetzt (-1|-3). Und das gilt für alle Graphen. Auch für negativ, schauen wir mal. Nehmen wir mal x^(-3), setzen den wieder auf 1 und jetzt sehen wir, wie sich der Graph verändert. Wir erhöhen a einmal auf 2. Und wir erkennen auch hier wieder jeder Wert verdoppelt. Gleiches gilt für die negativen Werte, bloß in die andere Richtung. Und nehmen wir x^(-4). Jetzt erhöhen wir a = 1 auf a = 2 und auch hier steigen die Werte entsprechend schneller. Gut, was passiert, wenn wir einen Wert zwischen 0 und 1 nehmen? Zum Beispiel 0,5, für unseren Vorfaktor. Dann ist die Parabel gestaucht, also die Werte steigen nur noch halb so schnell. Gleiches gilt für x^3. Was vorher (1|1) war ist jetzt (1|0,5). Also durch 0,5 sind die Werte jetzt nur noch halb so groß. Und gleiches gilt natürlich für die Funktionen mit negativen Exponenten. Vorher sah die 1 so aus, guckt auf diese zwei Punkte hier. Jetzt gehen wir auf 0,5 und jeder Wert wird halbiert. Hier ebenfalls. Und das gilt zum Beispiel auch für x^(-4). a = 1 sieht so aus und a = 0,5 sieht so aus. Und was passiert, wenn der Vorfaktor negativ wird? Dann zeigt unser Graph in die andere Richtung. Also er wird an der x-Achse gespiegelt. Und hier gilt das ebenfalls was wir gesagt haben mit -0,5. Also ein Wert zwischen 0 und -1. Dann wird der Graph gestaucht und durch das Minus gespiegelt. Und bei einem Wert kleiner als Minus 1 wird der Graph gestreckt und ist auch gespiegelt. Hier auch nochmal für x^(-1). Wenn der Vorfaktor 1 ist, sieht das so aus. Und wenn der Vorfaktor -1 wird, dann sehen wir, wir haben beide Teile des Graphen an der x-Achse gespiegelt. Bei x^(-3) das gleiche. So sieht der Graph aus, wenn der Vorfaktor -1 ist und so sieht der Graph aus, wenn der Vorfaktor 1 ist. Um noch ein besseres Gefühl zu bekommen empfehlen wir euch dieses Programm zu benutzen und entsprechend viele Werte einzustellen und euch vorher selbst zu fragen, wie sieht denn dieser Graph aus und danach zu kontrollieren ob die eingestellten Werte eurer Version entsprechen. So viel zu den Potenzfunktionen. Ihr habt wieder neues Wissen gesammelt, das ihr hoffentlich gut in den Arbeiten anwenden könnt. Wir wünschen euch viel Erfolg dabei und vor allen Dingen gute Noten.
Tags: Polynomfunktionen

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