Mathe F06: Quadratische Funktionen (Parabeln)

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:

Voraussetzung:

Klassenstufe laut Lehrplan: 9. Klasse

Mathe-Videos

Nachdem wir nun die Linearen Funktionen vollständig verstanden haben, können wir uns als nächstes die Quadratischen Funktionen betrachten. Am Ende der Lektion werdet ihr fit im Thema sein und zur nächsten Mathematik-Klassenarbeit bessere Noten schreiben.

Weiter unten findet ihr die Lernprogramme für Parabeln, mit der ihr euer Wissen testen könnt, und zwar bezüglich Streckung/Stauchung, Scheitelpunktform, Allgemeinform, Quadratische Ergänzung und mehr.

Mathe-Video F06-1 Quadratische Funktionen - Einführung Parabel

Einführung zur Quadratischen Funktion über die Fläche eines Quadrats, Hinleitung zur Normalparabel, Streckung und Stauchung einer Parabel

Mathe-Video F06-2 Quadratische Funktionen - Parabel und Scheitelpunkt

Scheitelpunkt und Scheitelpunktform, Verschiebung der Parabel, Auswirkung von Streckung und Stauchung auf die Gleichung der Funktion

Mathe-Video F06-3 Quadratische Funktionen - Quadratische Ergänzung

Scheitelpunkt bestimmen, Scheitelpunktform und Allgemeinform, Erklärung der Quadratischen Ergänzung unter Anwendung der Binomischen Formeln.

Weitere Videos stehen dir als Kunde zur Verfügung:

  • F06-4 Quadratische Funktionen - Nullstellen bei Scheitelpunktform

    Quadratische Ergänzung bei einem Faktor vor x², Ermittlung von Nullstellen bei der Scheitelpunktform

  • F06-5 Quadratische Funktionen - p-q-Formel und Nullstellen

    p-q-Formel zur Ermittlung der Nullstellen einer Quadratischen Funktion, Anwendung und Herleitung

  • F06-6 Quadratische Funktionen - Diskriminante + Satz von Vieta

    Begriff Diskriminante, Lösungsmöglichkeiten bei der Diskriminante (p-q-Formel), Satz von Vieta (Anwendung und Herleitung)

  • F06-7 Quadratische Funktionen - Linearfaktoren

    Linearfaktoren bei der Quadratischen Funktion, Funktionsgleichung aufstellen über Nullstellen und Linearfaktoren

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Wissen zur Lektion

Einführung

Eine quadratische Funktion wird als solche bezeichnet, wenn eine Funktion in der Form f(x) = a·x² + b·x + c vorliegt. Das bedeutet, dass der höchste Exponent eine 2 sein muss, wie hier der Fall. Die vorgestellte Funktion liegt dabei in der sogenannten Allgemeinform vor. Später werden wir noch weitere Formen kennen lernen.

Man kann den Begriff „quadratische Funktion“ auch als Beschreibung der Parabel mit einer Funktionsgleichung verstehen. Der Begriff „Parabel“ meint den zugehörigen Graphen. Eine Parabel sieht so aus:

Normalparabel

Bei der Parabel oben handelt es sich um einen Spezialfall, die Parabel trägt daher den besonderen Namen "Normalparabel", die die kurze Funktionsgleichung f(x) = x2 aufweist.

Parabel

Erarbeiten wir uns anhand der Normalparabel, was es für Besonderheiten bei der Parabel gibt. Dabei berücksichtigen wir, dass die Allgemeinform f(x) = a·x²+b·x+c lautet, wobei für die Normalparabel a = 1, b = 0, sowie c = 0 ist und sich damit für den Spezialfall Normalparabel ergibt: f(x) = 1·x²+0·x+0 = x²

Parameter a

Konzentrieren wir uns deshalb zu Beginn, was eine Änderung des Koeffizienten a (Koeffizient ist immer der Parameter/die Zahl vor dem x) bei f(x) = a·x² bewirkt.

Fall: a > 0
Ist a > 0, dann sind alle Werte der Parabel größer 0, denn bei f(x) = a·x2 ist für jedes x das x² positiv. Erinnert euch daran, dass eine negative Zahl ins Quadrat ebenfalls positiv wird. Da nun auch a positiv ist (mit a > 0) und wir eine Multiplikation haben, ist auch das Produkt stets positiv (oder 0). Zeichnet man diese Funktion ergibt sich eine nach oben geöffnete Parabel.

Fall: a < 0
Hier liegen die gleichen Gedanken zu Grunde. Wiederum ist x² bei f(x) = a·x2 stets positiv. Nun aber ist der Vorfaktor (also der Koeffizient) negativ, was dazu führt, dass die Werte immer kleiner gleich 0 sind. Die Parabel ist also nach unten geöffnet.

Schauen wir uns den Koeffizienten a genauer an, so stellen wir fest, dass man folgende Unterscheidungen machen kann:
1. a > 1
2. a = 1
3. 0 < a < 1
4. -1 < a < 0
5. a = -1
6. a < -1

1. Fall: a > 1
Setzt man ein paar Zahlen ein, oder vergleicht den Graphen mit einer Normalparabel, dann fällt auf, dass für a > 1 die Parabel „schmaler“ wird. Man spricht auch von „in y-Richtung gestreckt“.

2. Fall: a = 1
Für a = 1 haben wir die nach oben geöffnete Normalparabel.

3. Fall: 0 < a < 1
Setzt man ein paar Zahlen ein oder vergleicht den Graphen mit einer Normalparabel, dann fällt auf, dass für 0 < a < 1 die Parabel „breiter“ wird. Man spricht auch von „in y-Richtung gestaucht“.

4. Fall: -1 < a < 0
Es ergibt sich Entsprechendes wie beim 3. Fall, nur ist die gestauchte Parabel nach unten geöffnet.

5. Fall: a = -1
Hier haben wir die nach unten geöffnete Normalparabel.

6. Fall: a < -1
Es ergibt sich Entsprechendes wie beim 1. Fall, nur ist die gestreckte Parabel nach unten geöffnet.

Die Fälle mit allen a > 0 nachstehend veranschaulicht in einem Schaubild:

Gestreckte und gestauchte Parabel sowie Normalparabel

Parameter b

Der Parameter b ist bei f(x) = a·x² + b·x + c der am schwierigsten zu fassende Parameter. Er hat keine direkte Beziehung, die es sich abzulesen lohnen würde. Mit anderen Worten, verändert ihr den Parameter b, so verschiebt sich zwar die Parabel, aber die Verschiebung ist nicht so einfach wie beim Parameter c.

Parameter c

Der Parameter c ist bei f(x) = a·x² + b·x + c insofern wichtig, als dass er uns erlaubt den y-Achsenabschnitt sofort abzulesen. Zur Erinnerung: Der y-Achsenabschnitt beschreibt den Schnittpunkt mit der y-Achse, also an der Stelle x = 0. Für c > 0 haben wir demnach eine nach oben verschobene Parabel. Für c = 0 eine Parabel, die durch den Nullpunkt geht und für c < 0 haben wir eine nach unten verschobene Normalparabel.

Scheitelpunktform

Neben der Allgemeinform f(x) = a·x²+b·x+c gibt es noch eine weitere Form, die sehr wichtig ist. Dies ist die Scheitelpunktform. Dabei ist zu wissen, dass jede Parabel einen Hochpunkt bzw. einen Tiefpunkt hat. Hochpunkt meint, der Punkt ist der höchste Punkt der Parabel. Tiefpunkt meint, der Punkt ist der tiefste Punkte der Parabel. Welcher Punkt vorliegt, kann man übrigens direkt am Vorzeichen des ersten Koeffizienten erkennen, also am a·x². Denn wenn a > 0 ist, ist die Parabel nach oben geöffnet. Sie geht also „unendlich“ weit nach oben aber es gibt irgendwo einen Tiefpunkt. Entsprechendes gilt für a < 0. Diese besonderen Punkte haben auch eine besondere Bezeichnung und heißen „Scheitelpunkt“. Hat man nun die Scheitelpunktform vorliegen, so kann man den Scheitelpunkt direkt an dieser ablesen. Diese lautet:

f(x) = a·(x - v)² + n, wobei der Scheitelpunkt S(v|n) lautet.

Hat man also nun die quadratische Funktion mit f(x) = 4·(x-3)² + 2 vorgegeben, so kann der Scheitelpunkt direkt mit S(3|2) abgelesen werden. Achtet bitte immer darauf, dass ihr beim (x - v) ein Minus vor dem v zu stehen habt, demnach achtet bitte darauf, das richtige Vorzeichen bei S(v|n) zu wählen.

Abbildung der Beispielfunktion (eine verschobene gestreckte Parabel):

Verschobene gestreckte Parabel

Quadratische Ergänzung

Um mit dem Scheitelpunkt arbeiten zu können, sprich Aufgaben à la „Bestimme den Scheitelpunkt aus der Allgemeinform“ bestimmen zu können, ist es sicher hilfreich, über das Mittel der Quadratischen Ergänzung zu verfügen. Um quadratisch ergänzen zu können, muss man sich der Binomische Formeln bewusst sein. Zeigen wir anhand eines Beispiels, wie das auszusehen hat:

Es sei eine Funktion in Allgemeinform gegeben: f(x) = 3·x² + 6·x + 5. Die Aufgabe laute nun, dass man mit Hilfe der Scheitelpunktform den Scheitelpunkt bestimmen soll.

Schrittweises Vorgehen zur Lösung:

3·x²+6·x+5 | nach rechts schreiben des konstanten Glieds
3·x²+6·x+5 | “vorne“ ausklammern der 3
3·(x²+2·x)+5 | in der Klammer ergänzen, sodass man eine Binomische Formel bilden kann

Es ist hier wichtig, dass man die 1, die man hinzuaddiert, um eine binomische Formel zu erhalten, auch gleich wieder subtrahiert. Sonst würde man die Funktion ändern, also eine andere Funktion erschaffen.

3·(x²+2·x+1-1)+5 | aus dem Term in der Klammer (ohne die -1) die Binomische Formel bilden
3·((x+1)² - 1)+5 | ausmultiplizieren
3·(x+1)² - 3·1 +5 | verrechnen
3·(x+1)² + 2

Die Funktion f(x) = 3·x²+6·x+5 kann also auch durch 3·(x+1)²+2 ausgedrückt werden. Hier kann der Scheitelpunkt direkt abgelesen werden. Er lautet S(-1|2), wenn wir uns daran erinnern, dass sich dieser ergibt aus:

f(x) = a·(x-v)² + n, wobei der Scheitelpunkt S(v|n) lautet.

Hinweis: Ist man nicht in der Lage, die passende Ergänzung zur binomischen Formel zu erkennen, so sei hier noch eine Alternative für die Berechnung genannt.

Wir hatten gerade den Klammerinhalt von x²+2x vor uns. Zudem kennen wir die binomische Formel zu a²+2ab+b² = (a+b)²

Vergleichen wir das:
a²+2·a·b+b²
x²+2·x

Es muss aus dem ersten Summanden im Vergleich gelten:
a² = x²
a = x

Damit wissen wir aus dem folgenden Summanden:
2·a·b = 2·x | da a = x bekannt ist, können wir das weglassen bzw. x=a setzen und dann :a dividieren
2·b = 2 | :2
b = 1

Wir können also b zu 1 identifizieren, indem wir den zweiten Summanden gleichgesetzt haben. Aus der binomischen Formel ergibt sich damit: (x+1)², genau wie wir es oben hatten.

Nullstellen

Eine der häufigsten Aufgaben wird es sein, die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu suchen, also die Schnittpunkte mit der x-Achse anzugeben. Es gibt bei quadratischen Funktionen viele Möglichkeiten diese zu untersuchen.

Nullstellen aus der Scheitelpunktform

Die Nullstellenbestimmung sei wieder anhand eines Beispiels erklärt: „Bestimme die Nullstellen von f(x) = 3·(x-1)² - 3.“

Das erste, was nun gemacht wird, ist die Funktion 0 zu setzen. Warum dies nötig ist, haben wir bereits in den Videos kennengelernt, zur Wiederholung, wenn f(x) = 0, dann ist die Höhe also 0 und damit wird der Punkt auf der x-Achse liegen:

3·(x-1)² - 3 = 0 | +3
3·(x-1)² = 3 |:3
(x-1)² = 1 | ±√ nun wird die Wurzel gezogen. Doppeltes Vorzeichen beachten.
√(x-1)² = ±√1
x-1 = ±1 | +1
x = 1±1
x1,2 = 1±1

Es ergibt sich: x1 = 1 + 1 = 2 und x2 = 1 - 1 = 0

Nochmals kurz die Lösungsschritte zusammengefasst:
1. Funktion 0 setzen, f(x) = … = 0
2. Konstantes Glied (also ohne x) nach rechts bringen
3. Durch etwaigen Vorfaktor vor der Klammer dividieren
4. Wurzel ziehen (dabei Plus-Minus-Vorzeichen berücksichtigen)
5. Lösungen ausrechnen und aufschreiben

Nullstellen mit Hilfe der pq-Formel

Eine Alternative zur Nullstellenbestimmung ist die pq-Formel. Hierfür muss die Funktionsgleichung allerdings in Normalform vorliegen. Die Normalform einer quadratischen Gleichung ist x²+p·x+q = 0. Wichtig ist dabei, dass der Koeffizient von x² eine 1 ist, erst dann ist es eine Normalform. Auch eine Gleichung in Allgemeinform kann in die Normalform überführt werden. Man muss nur durch a dividieren.

Die pq-Formel lautet:

$$ {x}_{1,2}=-\left(\frac{p}{2}\right) \pm \sqrt{ \left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q} $$

Machen wir wieder eine Beispielaufgabe:

„Bestimme die Nullstellen der Funktion f(x) = 3x²+6x-9 mit Hilfe der pq-Formel.“

Das erste was nun gemacht wird, ist die Funktion 0 zu setzen:
3·x² + 6·x - 9 = 0 | :3, denn wir müssen dafür sorgen, dass vor x² eine 1 steht
3·x²:3 + 6·x:3 - 9:3 = 0:3
1·x² + 2·x - 3 = 0 | pq-Formel anwenden, wobei p = 2 und q = -3

$$ { x }_{ 1,2 } = -\left(\frac { 2 }{ 2 } \right) \pm \sqrt { \left(\frac { 2 }{ 2 } \right)^{ 2 }-(-3) } $$

x1,2 = -1 ± √( 1 + 3) = -1 ± √4 = -1 ± 2

Es ergibt sich: x1 = -1 + 2 = 1 und x2 = -1 - 2 = -3

Nochmals kurz zusammengefasst:
1. Funktion 0 setzen, f(x) = … = 0
2. Etwaigen Vorfaktor von x² durch dividieren entfernen (bzw. er wird 1)
3. pq-Formel zur Lösung verwenden
4. Lösung aufschreiben

Nullstellen bei speziellen quadratischen Funktionen

Es gibt Situationen, in denen man weder die Scheitelpunktform noch die pq-Formel braucht, um eine Lösung anzugeben, da es anderweitig viel einfacher geht. Einige seien nachstehend kurz vorgestellt.

Nullstellen bei f(x) = ax² - c (kein lineares Glied)

a·x² - c = 0 | +c
a·x² = c | :a
x² = c / a | ± Wurzel ziehen
x1,2 = ±√( c / a )

Nullstellen bei f(x) = ax² + bx (kein konstantes Glied)

Anstatt mit der pq-Formel zu arbeiten (was auch gehen würde), kann man sich hier an das Ausklammern erinnern:
a·x² + b·x = 0
x·(a·x+b) = 0

Nun denke man an den „Satz vom Nullprodukt“, der besagt, dass ein Produkt dann 0 ist, wenn nur ein Faktor 0 ist. Damit können wir die Gleichung faktorweise anschauen:
x·(a·x+b) = 0

Entweder ist x1 = 0
oder aber a·x+b = 0   →   a·x = -b   →   x2 = – b / a

Linearfaktoren

Der gerade erwähnte „Satz vom Nullprodukt“ ist sehr hilfreich, wenn man eine Funktion in Linearfaktoren aufschreiben will. Denn die Linearfaktordarstellung ist nichts weiter als die Aneinanderreihung der Nullstellen.

Wird die Aufgabe gestellt, die Linearfaktordarstellung von f(x) = x²+2x-3 anzugeben, so kann man die Nullstellen mit der pq-Formel oder der quadratischen Ergänzung errechnen. Diese seien hier zu x1 = -3 und x2 = 1 bestimmt. Damit lautet die Linearfaktordarstellung der Funktion:
f(x) = x²+2x-3 = (x+3)·(x-1)

Man beachte, dass, wenn man nun die Nullstellen einsetzt, das Produkt jeweils 0 ist. Also aufpassen, dass man die Nullstellen im Vorzeichen „gedreht“ einsetzt.

Weiterhin ist Vorsicht geboten, wenn man von beispielsweise f(x) = 3x²+6x-9 die Nullstellen bestimmen soll. Wir hatten die Aufgabe ja oben bereits gelöst und zur Anwendung der pq-Formel zuvor durch 3 dividiert. Das muss bei der Angabe der Linearfaktoren berücksichtigt werden. Die Nullstellen waren ja: x1 = 1 und x2 = -3. Damit ergibt sich nun für die Linearfaktordarstellung:
f(x) = 3·x²+6·x-9 = 3·(x+3)·(x-1)

Der Vorfaktor ist dabei leicht zu erkennen, es ist der Vorfaktor zugehörig zu dem x².

Formelübersicht

Nachfolgend in Kürze alle Formeln, scrollt weiter nach unten, um zu den ausführlichen Erklärungen zu kommen.

Scheitelpunktform: f(x) = a·(x - v)2 + n

Bitte beachtet, dass euch die Variable n nicht wie bei den linearen Funktionen den Schnittpunkt mit der y-Achse angibt, sondern die y-Koordinate des Scheitelpunktes S(v|n). Damit ihr hier nichts verwechselt, empfehlen wir die Schreibweise mit: S(xS|yS) und f(x) = a·(x - xS)2 + yS

Allgemeinform: f(x) = a·x2 + b·x + c

Normalform: 0 = x2 + p·x + q

p-q-Formel:

$$ { x }_{ 1,2 } = -\left(\frac { p }{ 2 } \right) \pm \sqrt { \left(\frac { p }{ 2 } \right)^{ 2 }-q } $$

Diskriminante:

$$ D = \left(\frac { p }{ 2 } \right)^{ 2 }-q $$

Satz von Vieta: p = –(x1 + x2) und q = x1 · x2

Quadratische Funktion in Linearfaktoren: f(x) = (x - x1) · (x - x2)

Quadratische Funktion in Linearfaktoren mit Streckung/Stauchung a: f(x) = a·(x - x1) · (x - x2)

In den Videoteilen 4 - 7 erfahrt ihr Folgendes:

Umwandlung von der Allgemeinform in die Scheitelpunktform bei der quadratischen Gleichung f(x) = 4x² - 16x + 14,5 mittels quadratischer Ergänzung. Und die Ermittlung von Nullstellen aus einer gegebenen Scheitelpunktform mittels Wurzelziehen.

Wir lernen die Normalform einer quadratischen Gleichung kennen:

0 = x2 + p·x + q

Wir leiten die p-q-Formel her, mit der sich die Nullstellen bei der Allgemeinform (bzw. Normalform) schnell finden lassen, und wenden sie an:

$$ { x }_{ 1,2 } = -\left(\frac { p }{ 2 } \right) \pm \sqrt { \left(\frac { p }{ 2 } \right)^{ 2 }-q } $$

Außerdem betrachten wir Sinn und Zweck der Diskriminante, die uns die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung verrät (zwei, eine oder keine Lösungen):

$$ D = \left(\frac { p }{ 2 } \right)^{ 2 }-q $$

Und wir werden sehen, wie uns der Satz von Vieta helfen kann, der aus zwei Aussagen für p und q besteht:

p = -(x1 + x2)

q = x1 · x2

Zusätzlich lernen wir in Teil 7 die Schreibweise einer quadratischen Funktion in Linearfaktoren kennen:

f(x) = (x - x1) · (x - x2)

Auch unter Berücksichtigung einer Streckung a:

f(x) = a·(x - x1) · (x - x2)

Falls ihr die abc-Formel (sogenannte Mitternachtsformel) in den Videos vermisst, diese findet ihr sehr gut erklärt in der Lektion G26: Quadratische Gleichungen. Die Formel lautet:

$$ { x }_{ 1,2 }=\frac { -b\pm \sqrt { { b }^{ 2 }-4ac}}{2a}$$

Mathe-Programme Parabeln

  • Parabel der Form a·x²+n erstellen
    Parabel der Form a·x²+n erstellen
    Verschiebt die Parabel entlang der y-Achse (mit Mausklick bestätigen) und stellt danach ihre Steigung ein.
  • Scheitelpunkt- und Allgemeinform Scheitelpunkt- und Allgemeinform
    Verschiebt die Parabel und seht dabei ihre Gleichung in Scheitelpunktform f(x)=(x-v)²+n. Ein Klick mit der Maus verrät euch dann die Allgemeinform f(x)=x²+bx+c.
  • Parabel mit Streckung/Stauchung Parabel mit Streckung/Stauchung
    Hier erkennt ihr den Zusammenhang zwischen Scheitelpunktsform mit f(x)=a*(x-v)²+n und Allgemeinform f(x)=ax²+bx+c bei beliebigem Scheitelpunkt und beliebiger Streckung/Stauchung.
  • Quadratische Ergänzung
    Quadratische Ergänzung
    Beim Verschieben der Parabel wird live die Quadratische Ergänzung berechnet. Die Allgemeinform lässt sich mit Hilfe der Quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunktsform zurückführen.
  • Nullstellen der Parabel finden (p-q-Formel) Nullstellen der Parabel finden (p-q-Formel)
    Hier könnt ihr die Nullstellen einer Parabel mittels p-q-Formel ermitteln. Versetzt die Parabel mit der Maus und seht live die sich ergebenden Nullstellen!
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Übungsaufgaben

Nachfolgend findet ihr Aufgaben zu den quadratischen Funktionen, mit denen ihr euer neues Wissen testen könnt.

A: Zeichnen
Zeichne die Parabel.

1. f(x) = 1/3·x²
2. g(x) = 3·x² + 2
3. h(x) = 2·x² + 3·x + 1
4. k(x) = 2·(x-2)² + 3


B: Scheitelpunkt
Überführe in die Scheitelpunktform und gib den Scheitelpunkt an.

1. f(x) = x² - 4·x + 9
2. g(x) = 3·x² - 6·x + 1
3. h(x) = 5·x² + 110·x + 574
4. k(x) = 0,5·x² + x - 3,5
5. m(x) = 2·x² + 4·x + 2


C: Nullstellenbestimmung
Nutze die pq-Formel:
1. f(x) = x² + x - 6
2. g(x) = 5·x² + 5·x - 30
3. h(x) = 3·x² - 12·x + 15
4. k(x) = 2·x² + 12·x + 18

Nutze nicht die pq-Formel:
5. m(x) = x² - 5
6. n(x) = 4·x² + 16·x
7. r(x) = x² - 16
8. s(x) = (x - 151512)·(x + 56483)


D: Linearfaktordarstellung
Überführe in Linearfaktordarstellung:

1. f(x) = x² + 2·x + 1
2. g(x) = 2·x² + 4·x + 2
3. h(x) = x² - 3·x - 10
4. k(x) = x² - x/2 - 5


E: Textaufgaben
1. Der Bogen einer parabelförmigen Brücke lässt sich beschreiben durch die Funktion mit der Gleichung f(x) = -0,02·x² + 1,4·x - 12.
a) Fertige eine Skizze an.
b) Berechne die Höhe der Brücke.
c) Berechne die Länge der Brücke (die Brücke sei bei y = 0 aufgelegt (also der x-Achse))
d) Wie lang ist ein Pfeiler, wenn er 10 Meter von einem Anfangspunkt entfernt steht.

2. Ein Bogenschütze schießt einen Pfeil senkrecht in die Höhe. Die Höhe h (in Metern) des Pfeils in Abhängigkeit der Zeit t (in Sekunden) wird beschrieben durch:
h(t) = -4·t² + 15·t + 2
a) Was genau beschreibt die Gleichung? Was bedeutet h(t) = 0. Löse dies.
b) Welche maximale Höhe erreicht der Pfeil?
c) Zeichne den Graphen.

3. Bestimme die Funktionsgleichung einer verschobenen Normalparabel (also der Koeffizient vor dem x² ist 1), die den Scheitel S(2|3) hat. Gib die Funktionsgleichung in Scheitelpunktform und Allgemeinform an.

4. Eine Lumme (ein Vogel, der sich ins Wasser stürzt, um Fische zu fangen) beschreibt bei ihrem Tauchgang die Bahn einer Parabel mit der Funktionsgleichung f(x) = x² + 2•x - 15. Die Wasseroberfläche sei die x-Achse.
a) Zeichne die Parabel.
b) Wie viele Meter neben dem Eintauchpunkt taucht die Lumme wieder auf?
c) Wie tief taucht die Lumme?

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Untertitel

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Video Teil 1: Einführung Parabel

Hallo liebe Schüler und willkommen zur nächsten Lektion! Heute betrachten wir uns die „quadratischen Funktionen“. Was benötigt ihr, um diese Lektion zu verstehen? Ihr solltet zum Einen die „Einführung zu linearen Funktionen“ gesehen haben, so dass ihr wisst, was f(x) bedeutet. Außerdem ist es hilfreich, wenn ihr die Lektion „Lineare Funktion in Normalform“ gesehen habt, denn dann wisst ihr, dass dieses „m“ hier vorne für die Steigung steht und dieses „n“ hier hinten den Schnittpunkt mit der y-Achse angibt. Wenn ihr das alles wisst, können wir schon mit den quadratischen Funktionen loslegen.
Man sieht, dass im Wort „quadratische“ sich das Wort Quadrat versteckt. Und dieses tolle Quadrat soll uns jetzt helfen. Als Erstes beschriften wir die Seiten, die Breite sei ein Meter und die Länge auch ein Meter. Und ihr solltet euch dran erinnern, dass wir, wenn wir diese Fläche hier berechnen wollen, beide Seiten miteinander multiplizieren, also ein Meter mal ein Meter. Tragen wir das in eine Tabelle hier drüben ein. Wir haben also eine Seitenlänge von jeweils einem Meter, und ein Meter mal ein Meter sind 1² und Quadratmeter. Und 1² ist natürlich 1, also bei einem Meter erhalten wir einen Quadratmeter Fläche. Was passiert nun, wenn wir hier drüben 2 Meter hätten? Gucken wir einmal. Dann haben wir also 2 Meter mal 2 Meter, und wir ihr sehen könnt, sind das 1, 2, 3, 4 Flächen, also 4 Quadratmeter. Das können wir auch in die Tabelle eintragen. 2 Meter ist natürlich 2 ins Quadrat, und dann Quadratmeter. Und 2², 2 mal 2 sind 4. Bei 2 Metern haben wir 4 Quadratmeter. Machen wir das noch mit 3 Metern: Erweitern wir dieses Quadrat noch, jetzt haben wir 3 mal 3 Meter, und wie ihr sehen könnt, sind es insgesamt 9 Felder. Tragen wir das hier ein. 3 Meter sind 3² Quadratmeter, also 3 mal 3 sind 9 Quadratmeter. So, wenn wir das jetzt noch mit 4 Metern machen würden, hätten wir 16 Quadratmeter und so weiter und so fort. Ändern wir doch mal diese Tabelle hier. Sagen wir mal, diese Länge hier, also diese 3 Meter, sei jetzt mal die Unbekannte x. Also Länge wird zu x. Und hier drüben natürlich auch. Und jetzt sagen wir, die Fläche ergibt sich ja aus x mal x, und x mal x sind x², x zum Quadrat.
Und jetzt machen wir noch was: Wir sagen, das ist nicht nur x², sondern das ist jetzt eine Funktion, das ist jetzt f(x) = x². Wir sagen, dieses x² soll jetzt eine Funktion sein. In diese Seite einsetzen, erhalten wir diese Fläche. Und das Ding hier zeichnen wir jetzt einmal in ein Koordinatensystem ein! Und damit unsere Werte genauer werden, nehmen wir doch noch ein paar weitere hier hinzu, wie zum Beispiel die 0 Meter. Was ist 0 ins Quadrat? Ganz einfach: 0. Also 0 Quadratmeter. Als nächstes nehmen wir 0,5 Meter, und 0,5 ins Quadrat, das sind 0,25. Dann nehmen wir noch 1,5 hinzu, und 1,5 ins Quadrat ergibt 2,25. Und als Letztes nehmen wir noch 2,5 hinzu, und eine Seitenlänge von 2,5 ergibt schließlich 6,25 Quadratmeter. So, und jetzt tragen wir unsere xe, und unsere Ypsilons hier in das Koordinatensystem ein. Also für 0 erhalten wir 0 Quadratmeter, tragen wir das ein. Als nächstes nehmen wir 0,5 und 0,25; 1 und 1; 1,5 und 2,25; 2 und 4; 2,5 und 6,25; und schließlich 3 und 9. Wenn wir jetzt all diese Punkte miteinander verbinden, stellen wir folgendes fest: Es ergibt sich so etwas wie eine Kurve. Das heißt, unsere Funktion im Gegensatz zu den linearen Funktionen, die ja immer gerade waren, ist diesmal gekrümmt! Und wenn wir uns jetzt mal hier drüben die Werte nochmal für x angucken, und wir wissen ja, dass dieses Koordinatensystem auch negative Bereiche hat, also hier für x geht die Achse nach links weiter, dann müssten wir dann hier mal negative Werte einsetzen, wie zum Beispiel -0,5. Und bei -0,5 mal -0,5 kommt +0,25 heraus. Wenn wir hier mal die -1 für x einsetzen, dann wissen wir, -1 mal -1 ist wiederum +1. Und wenn wir hier -1,5 draus machen, minus mal minus ergibt wieder plus. Das zieht sich so durch, und das heißt, wir haben zwar jetzt negative x, aber die Werte hier drüben sind gleich geblieben für y. Tragen wir das mal in das Koordinatensystem ein. Das heißt also, -0,5 hat 0,25; und -1 1; -1,5 hat die 2,25; und für -2 die 4; -2,5 und 6,25, und -3 und 9. Wir zeichnen wieder unseren Graphen ein und erkennen, dass er sich genauso verhält wie der auf der anderen Seite. Und wenn wir jetzt von der y-Achse aus gucken, zwar nach rechts und nach links, stellen wir fest, wie zum Beispiel hier bei der Höhe 4, dass wir nach rechts einen Abstand von 2 haben, und dass wir nach links einen Abstand von 2 haben! Das heißt, die y-Achse hat nach rechts und links zu dem Graphen immer die gleichen Abstände. Und so etwas nennen wir dann „achsensymmetrisch“, wobei „sym“ aus dem Griechischen kommt und „gleich“ heißt, und „metrisch“ von „Metria“, das „Maß“. Also „gleiches Maß“. Und das finden wir hier auf beiden Seiten zur y-Achse. Okay, diesen Funktionsgraphen nennt man übrigens „Parabel“. „Parabel“ kommt aus dem Griechischen und heißt „Gleichnis“. Natürlich – man sieht das schon – der ist auf der linken Seite und auf der rechten Seite „gleich“. Gut, untersuchen wir unsere Parabel ein bisschen genauer. Unsere Funktionsgleichung war ja, zur Wiederholung, f(x) = x². So, was können wir jetzt damit machen? Wir hatten bei den linearen Funktionen gesehen, wir können jetzt zum Beispiel hier unten ein +1 dazurechnen. Dann wird jeder Wert +1 erhöht, also 0 geht auf die 1, dieser Wert bei der 1 war ja 1, der geht auf die 2 und so weiter und so fort, also alles bewegt sich 1 nach oben! Und würden wir anstatt +1 jetzt +2 rechnen, müsste das Ding natürlich 2 nach oben gerückt werden. Und selbstverständlich, das Ding, wenn wir hier hinten eine -1 hinsetzen würden, müssten wir es komplett nach unten verschieben, zu -1 und so weiter und so fort.
Jetzt fragt sich der Eine oder Andere vielleicht: Was passiert denn, wenn wir das x² hier mal nehmen und jetzt einen Wert davor multiplizieren? Also eigentlich steht ja hier 1 * x², denn das ist ja x². Und wir könnten jetzt statt 1 mal eine 2 * x² schreiben. Was passiert jetzt? Schauen wir uns nochmal ein paar Werte dazu an, und zwar für x 0, 1 und 2. Schauen wir, was sich ergibt. x², also hier in dem Fall jetzt 0² ist ja wiederum 0, und 0 mal 2 sind 0. Jetzt ist x 1, dann steht da also 1² ist natürlich 1, mal 2 sind 2. Und 2² ist 4, mal 2 sind 8. Wenn wir das jetzt mal hier rechts eintragen im Koordinatensystem, sieht das etwa so aus. Und nehmen wir für x jetzt noch negative Werte, dann erhalten wir diesen Teil. Zur besseren Veranschaulichung gucken wir uns einmal ein Beispielprogramm an, das ihr zum Ausprobieren auf unserer Webseite findet. Hier könnt ihr die Parabel hoch und runter bewegen und entsprechend die Höhe auf der y-Achse ablesen. Gehen wir zurück zu der 0. Und hier seht ihr, dass da steht:
1x² + 0, und das ist natürlich x², unsere Normalparabel. Wenn wir jetzt mit der Maus klicken und die nach oben bewegen, strecken wir die Parabel, und ihr seht, unten beim x² wird der Wert immer höher. Sobald wir die Maus unter einem Wert von einem x² bewegen, stauchen wir sie! Die Werte steigen also viel langsamer. Und wenn wir die Parabel jetzt soweit stauchen, dass wir ein 0x² zu stehen haben, richtig, dann ergibt sich: 0 mal x² sind 0 plus 0 sind 0. Dann haben wir eine konstante Funktion, die wir bereits bei den linearen Funktionen behandelt hatten.

Video Teil 2: Parabel und Scheitelpunkt

Bei einem x², also in diesem Zustand hier, haben wir die Normalparabel, und wenn wir jetzt runtergehen, unter 1, haben wir eine gestauchte Parabel! Wenn wir jetzt die Parabel negativ machen, seht ihr, dass sie auch noch gestaucht ist, aber gespiegelt, und zwar gespiegelt an der x-Achse. Wenn wir sie jetzt auf -1x² machen, haben wir die gespiegelte Normalparabel! Also genau andersherum gedreht. Und natürlich, wenn wir jetzt weiter runtergehen, würde der Wert weiter fallen, und sie würde sich nach unten strecken. Ihr könnt dieses Programm übrigens selbst auf unserer Webseite ausprobieren. Halten wir also allgemein fest: Wenn wir einen Wert hier vormultiplizieren, nennen wir ihn mal „a“, dann bestimmt dieses a, ob die Parabel gestreckt ist nach oben oder gestaucht ist nach unten. Wenn also dieses a hier größer als 1 ist, dann ist sie gestreckt, das heißt, die Werte steigen schneller, hier seht ihr zum Beispiel 2x²; und wenn dieses a zwischen 0, also größer als 0 ist, aber kleiner als 1, also zwischen 0 und 1 sich befindet, dann haben wir hier eine gestauchte Parabel, beispielsweise 0,5x². Ist das a hingegen = 1, dann haben wir eine Normalparabel, und ist das a 0, na, das haben wir gesehen, dann fällt hier oben durch das 0 * x² das Ding weg und wir haben eine konstante Funktion, also keine quadratische Funktion mehr.
Gut, da hatten wir grad noch am Anfang gesagt, wenn wir hinten einen Wert hinzuaddieren, nennen wir ihn mal „n“, damit können wir dann die Parabel verschieben nach oben und nach unten.
So, nach dieser kleinen Zusammenfassung schauen wir uns mal weitere Sachen an. Und zwar schauen wir uns als nächstes die „Scheitelpunktsform“ an, klingt erst mal komisch, aber ist gar nicht so schwer. Scheitelpunkt, den können wir mal mit „S“ beschriften, das ist immer der Punkt, der sich in der Mitte der Parabel befindet. Bei dieser Normalparabel ist der Scheitelpunkt also (0|0), er liegt genau im Koordinatenursprung. Und wenn wir jetzt mal das hier oben ein bisschen verändern, dann könnt ihr euch Folgendes merken: Dieses x² können wir nämlich auch schreiben als (x + 0)². Warum geht das? Ganz einfach, x + 0 = x, und dann hätten wir wieder das x². Und jetzt können wir hinten noch wieder dieses +n hinzuschreiben. Wenn also hier oben n 1 wäre, dann, wie wir grad gelernt haben, können wir die Parabel auf 1 verschieben. Der Scheitelpunkt hat dann die Koordinate x = 0 und y = 1. Das heißt, wir können allgemein sagen, dieses n hier hinten findet sich im Scheitelpunkt wieder. Jetzt fragt sich der Eine oder Andere wahrscheinlich: Was passiert, wenn wir diese 0 jetzt hier verändern? Verschieben wir unsere Parabel nochmal auf 0 und tun wir das. Sagen wir jetzt einfach, diese 0 sei jetzt mal +1. Die Frage ist: Was passiert jetzt? Betrachten wir uns, wie sich die Werte verändern. Nutzen wir hierzu eine kleine Wertetabelle. Tragen wir hier links x-Werte ein, und dann gucken wir, was für f(x) herauskommt. Nehmen wir uns mal entsprechend ein paar schöne Werte: -2, -1, 0 und 1, und die setzen wir jetzt ein. -2 soll x jetzt sein, dann hatten wir hier -2 einzutragen, und -2 plus 1 sind -1. Das ins Quadrat ist natürlich 1. Das heißt, hier schreiben wir die 1 hinein. Was kommt heraus, wenn wir -1 für x einsetzen? Tun wir das gerade: -1 plus 1 sind, richtig, 0. Und 0 ins Quadrat ist natürlich 0. Tragen wir die hier ein. Was passiert, wenn wir die 0 einsetzen für x? Dann steht hier oben 0 plus 1 ist 1, und 1² ist wieder 1. Tragen wir die hier ein: 1. Und was passiert, wenn wir hier unten die 1 eintragen? Dann steht hier oben 1 plus 1, das sind 2, und 2² sind natürlich 4. Tragen wir die 4 hier ein. Gut, und jetzt noch die Punkte hier jeweils einzeichnen. Okay, das sind die Punkte: (-2|1), (-1|0), (0|1) und (1|4). Verbinden wir sie als nächstes. Und was erkennen wir? Das ist wieder unsere Normalparabel, nur dass sie um einen nach links verschoben wurde, also von 0 auf -1. Und gucken wir hier oben, wir hatten hier +1 auf das x draufaddiert, und der Effekt war, dass wir den Scheitelpunkt -1 nach links verschieben mussten.
Lasst uns doch als nächstes prüfen, was passiert, wenn wir hier oben nicht +1, sondern -1 einsetzen.
Wie verhalten sich die Werte denn nun? Prüfen wir wieder und setzen ein: -2, dann steht hier -2 minus 1 sind -3, und -3 ins Quadrat sind 9. Als nächstes die -1 eingesetzt in der Formel oben: Dann steht da -1 minus 1 sind -2, das ins Quadrat sind natürlich 4; 4 eingesetzt. Nehmen wir als nächstes die 0, die 0 eingesetzt: 0 minus 1 ist -1, und -1 ins Quadrat ist +1, eingesetzt für f(x). Und nun als letztes die 1, 1 hier eingesetzt: 1 minus 1 sind 0, und 0² ist 0. Wunderbar. Nehmen wir jetzt ausnahmsweise noch schnell die 2 hinzu: 2 minus 1 ist 1, ins Quadrat ist 1. So, und jetzt zeichnen wir den gesamten Graphen mal ein. Ihr erkennt, dass sich wieder eine Normalparabel ergibt, die jedoch um +1 nach rechts verschoben wurde. Hier oben hatten wir -1 gerechnet, aber das Ding wurde +1 nach rechts verschoben. Was wir also erkennen ist, dass die Verschiebung der Parabel immer entgegengesetzt dieser Zahl hier oben erfolgt! Heißt, steht hier eine -2, müssen wir, beispielsweise, nicht zur -2, sondern zur +2 verschieben. Steht hier eine +3, müssten wir die Parabel nicht auf die 3, sondern auf die andere Seite zur -3 verschieben. Das bitte merken!
Und erinnert euch, hier hinten stand ja eigentlich +n, also die Verschiebung nach oben oder unten, und wenn wir jetzt hier beispielsweise ein +1 dazuschreiben würden, dann würde sich ja jeder Wert hier um 1 erhöhen. Also 9 würde zu 10; 4 zu 5; 1 zu 2; 0 zu 1 und 1 zu 2. Graphisch heißt das: Wir verschieben jeden Punkt 1 nach oben. Und wenn wir jetzt hier eine 2 hinschreiben würden, so würde sich der Scheitelpunkt hier auf die 2 hoch bewegen.
Das heißt also, für unseren Scheitelpunkt können wir festhalten, dass sich seine Koordinaten ergeben aus dem x-Wert, der sich aus der Zahl hier oben ergibt, die in der Klammer steht, jedoch mit umgekehrtem Vorzeichen. Also heißt das allgemein, wenn wir sagen, hier soll also die Variable „v“ stehen für Verschiebung, links oder rechts, dann muss hier oben ein -v eingetragen werden. Wir haben jetzt hier für den Scheitelpunkt den Wert 1 offensichtlich, und hier oben stand vorher eine -1, also genau der Wert mit umgedrehtem Vorzeichen. Und ganz einfach, der y-Wert hier hinten, nennen wir ihn wieder „n“, der ergibt sich aus dem letzten Wert hier hinten.
Also nochmal anders dargestellt, der Wert in der Klammer wird der x-Wert des Scheitelpunktes, jedoch mit umgedrehtem Vorzeichen, und hinten das n ist auch die Höhe des Scheitelpunktes, also der y-Wert.
Damit ihr das besser verinnerlichen könnt, schauen wir uns noch grad noch ein Beispielprogramm an, das ihr zum Ausprobieren auf unserer Webseite findet. Bewegen wir die Parabel einmal auf x = 1,0, und ihr erkennt, unten in der Scheitelpunktsform steht jetzt -1,0; genau der entgegengesetzte Wert. Wenn wir jetzt nach links gehen, zum Beispiel zu -2, seht ihr, unten in der Gleichung steht: x + 2. Wenn wir jetzt die Funktion nach unten verschieben würden, seht ihr, dass der Wert der Höhe -1 ist, und diese rote Zahl -1 sich unten in der Formel wiederfindet. So könnt ihr verschiedene Varianten ausprobieren und beliebige Parabeln erstellen. Gehen wir mal auf 3 und -2 und klicken mit der Maus. Jetzt seht ihr, dass sich links unten neben der Scheitelpunktsform auch noch die „Allgemeine Form“ ergibt. Was es damit auf sich hat, gucken wir uns im nächsten Teil an.

Video Teil 3: Allgemeinform und Quadratische Ergänzung

Willkommen zurück zum nächsten Teil! Schauen wir uns als nächstes an, wie sich die Allgemeinform ergibt und nutzen hierzu unser Beispiel:
Die Scheitelpunktsform des Beispiels ist also f(x) = (x – 3,0)² – 2,0. Und jetzt wenden wir das an, was wir schon kennengelernt haben: Hier verbirgt sich die binomische Formel, und zwar die zweite wieder; und die war, als Erinnerung: a² – 2ab + b². Das „a“ ist hier das „x“, das heißt, hier können wir x eintragen und hier auch. Das „b“ ist hier die 3, das heißt, dieses b wird zu 3, und dieses b wird zu 3. Und dann können wir ganz locker multiplizieren, 2 * x * 3, dann geht die nach vorne, 2 mal 3 sind 6, also hier steht 6x. Und 3² sind natürlich 9. Und die -2 nicht vergessen, die muss noch runter. Und jetzt können wir die 9 mit der -2 verrechnen, und das sind +7. Und blicken wir hier mal zurück auf unsere Gleichung, richtig, hier unten steht's: Es war x² – 6x + 7. Also so entsteht diese Berechnung. Und das hier nennt man dann die „Allgemeine Form“ im Vergleich zur Scheitelpunktsform, wo wir ja gesagt hatten, dass wir hier den x-Wert für den Scheitelpunkt ablesen können und hier den y-Wert des Scheitelpunktes, ist bei der allgemeinen Form das direkt nicht möglich. Hier haben wir übrigens folgende Bezeichnungen: Man sagt zu dem hier vorne, zu dem x² beziehungsweise 1x² „quadratisches Glied“, die -6x ist das „lineare Glied“ und die +7 in dem Fall das „absolute Glied“.
Falls ihr also mal eine Aufgabe bekommt, wo die Scheitelpunktsform nicht gegeben ist, dann müsst ihr irgendwie von dieser allgemeinen Form auf den Scheitelpunkt kommen. Wie macht man das? Der einfachste Weg ist natürlich, von der Allgemeinform wieder die Scheitelpunktsform zu bilden, bei der wir ja dann direkt wieder den Scheitelpunkt ablesen können. Die Frage, die sich uns stellt ist: Wie kommen wir denn von der Allgemeinform nun zur Scheitelpunktsform? Und eine Möglichkeit ist über die „Quadratische Ergänzung“. Was das ist, sehen wir sofort.
Gut, gestalten wir das mal ein bisschen anders hier. Allgemeine Form → Quadratische Ergänzung → Scheitelpunktsform, unser Ziel. Nehmen wir unsere Formel, die wir grad hatten, und überlegen wir einmal. Wir wollen hier also eine Formel zum Schluss rausbekommen, die da lautet: (x minus einem Wert)² + n. Und zu Beginn dieses Videos hatten wir ja so eine Form schon gehabt, hatten die ausgerechnet über die binomische Formel und sind dann auf diese Form gekommen. Und „binomische Formel“ ist hier auch das Stichwort, denn genau die müssen wir anwenden, aber in einer anderen Art und Weise. Wir wählen f(x) = …, und jetzt interessieren uns diese beiden Terme hier vorne: x² und -6x. Denn die beiden sind der Anfang der – in dem Fall – zweiten binomischen Formel! Also erinnert euch: Zweite binomische Formel war a² – 2ab + b². Das heißt, diese beiden Terme hier vorne sollen diesen beiden Termen entsprechen! Setzen wir einmal eine Klammer drum, dass man es besser erkennen kann. Und wenn wir jetzt diese binomische Formel hätten, könnten wir aus der ja dann machen (a – b)². Die Frage ist jetzt: Wie kommen wir von x² – 6x auf eine Form
(a – b)² ? Schauen wir einmal. Wir haben hier x², und hier haben wir a², also mathematisch können wir jetzt schreiben x² = a², können jetzt auf beiden Seiten die Wurzel ziehen, und dann würde da stehen x = a. Das heißt, x ist a, wunderbar, können wir hier eintragen. Tragen wir es auch gleich hier ein, und tragen wir es gleich hier ein. Jetzt steht da -6x, und hier steht -2xb. Wenn wir das jetzt gegenüber setzen, also hier unten, -6x = -2xb; könnten wir jetzt auf beiden Seiten durch x dividieren, dann würde das hier wegfallen und hier wegfallen. Wenn wir jetzt auf beiden Seiten durch -2 rechnen, dann fällt die hier weg und taucht hier wieder auf. Und bei -6 durch -2 haben wir dann +3. Das heißt, b wäre in dem Fall 3. Und dann wäre das b hier hinten auch 3, und dieses b auch 3. Wenn wir nämlich jetzt dieses mal 3 hier vormultiplizieren, haben wir ja 2 mal 3 sind 6. Und das ist ja auch der Teil hier oben. Das heißt, hier haben wir jetzt eine direkte Übereinstimmung: x² – 6x und hier ebenfalls x² – 6x.
Wenn wir jetzt als nächstes diese +7 hier herunternehmen, und dann hier mal rechnen würden, 3² sind 9, und 9 plus 7 sind ja 16, sehen wir, dass sich die Formel hier unterscheidet: Hier ist die +7, und hier ist die +16. Also irgendwas stimmt noch nicht.
Nochmal zurück. Das heißt, wenn wir hier +7 zu stehen haben wollen genau wie hier, müssen wir diese 3² sozusagen komplett vernichten. Wie machen wir das? Ja, ganz einfach: Wir ziehen sie einfach wieder ab mit -3². Dieser Wert hier sorgt dann dafür, dass sich dieser Wert aufhebt zu 0 und dass wir dann die gleiche Gleichung haben wie hier oben.
Und da wir hier etwas ergänzen, wir ergänzen nämlich ein Quadrat, sprechen wir natürlich von der „Quadratischen Ergänzung“! Und wenn wir jetzt die Klammer mal auflösen hier, auch gleich hier oben, und diese -3² mit der +7 verrechnen, 3² sind 9, und -9 plus 7 sind natürlich -2, dann haben wir an der Stelle den Wert, der sicherstellt, dass -2 + 9 = 7 herauskommt! Und hier hatten wir ja grad dafür gesorgt, dass sich dieser Term hier zu diesem Quadrat ergibt, zu dieser Scheitelpunktsform, wo jedoch noch diese -2 fehlt. Und dann haben wir die fertige Scheitelpunktsform, bei der wir wiederum jetzt ganz bequem den Scheitelpunkt ablesen könnten!
So haben wir also aus der allgemeinen Form mit Hilfe der binomischen Formel und der quadratischen Ergänzung die Scheitelpunktsform gebildet.

Video Teil 4: Nullstellen bei Scheitelpunktform

Bevor wir uns auf die Nullstellen stürzen, betrachten wir uns doch noch kurz ein erweitertes Beispiel zu den quadratischen Ergänzungen, die wir ja bereits im letzten Teil kennengelernt hatten.
Sagen wir, ihr bekommt die Aufgabe f(x) = 4x² -16x + 14,5; und in der Aufgabe ist gesucht der Scheitelpunkt. Das heißt, wie kommen wir von dieser Formel hier auf den Scheitelpunkt beziehungsweise auf die Scheitelpunktsform? Und da benutzen wir, was wir gerade kennengelernt haben, und zwar die quadratische Ergänzung.
Vorher müssen wir jedoch noch eine Sache beachten, und zwar steht ja hier eine 4 mal x². Und wir hatten bei der quadratischen Ergänzung gelernt, dass wir immer x² da stehen haben wollen. Das heißt, wir müssen diese „4 mal“ hier ausklammern. Tun wir das gerade. Wenn wir die ausklammern, dann heißt es 4 mal Klammer auf, und dann, schreiben einfach die 4 nochmal hin, müssen wir jeden einzelnen Wert hier vorne durch 4 teilen, also 4 durch 4 ist 1; -16 durch 4 ist -4; und 14,5 durch 4 ergibt 3,625.
Als nächstes betrachten wir uns wieder das hier drin, und wir hatten gesagt, wir müssen uns das quadratische Element angucken und das lineare Element. Und wenn das der Anfang der binomischen Formel sein soll, also a² – 2ab + b², wo dann nachher rauskommt (a – b)², dann haben wir also für das a hier das x zu stehen, tragen wir das ein, und für das b haben wir hier 4x, und hier sind 2ab. Das „a“ ist das „x“, und die „2b“ sind jetzt die „4“. Also kurze Nebenrechnung: 4 = 2b, auf beiden Seiten durch 2, dann fällt die hier weg, und hier 4 durch 2 sind 2. Das heißt, b ist 2. Also (x – 2)² wäre der quadratische Term, den wir für die Scheitelpunktsform benötigen. Wenn wir jetzt jedoch (x – 2)² ausrechnen, dann hätten wir x² – 2*ab, also 2*x*2, + b², also + 2². Und hier vorne: 2 mal 2 sind natürlich 4x, und wenn wir jetzt den Term mit dem hier vergleichen, richtig, wir stellen fest, dass die +2² zu viel sind. Und daher jetzt an der Stelle, wie wir es gelernt haben, die quadratische Ergänzung, die wir wiederum hier unten ebenfalls ergänzen müssen, damit dieser Teil und dieser Teil übereinstimmen. Ja, und die hier tragen wir jetzt oben bei f(x) ein. Also f(x) = 4 *, das bleibt ja unberührt, jetzt ersetzen wir diesen Teil hier mit der quadratischen Ergänzung, und jetzt kommen noch die +3,625 hinunter. Als nächstes ganz einfach verrechnen wir die -2² mit der +3,625, und das ergibt -0,375. Und jetzt, wie wir beim Distributivgesetz gelernt haben, multiplizieren wir die 4 und die beiden Elemente, in das Quadrat und in die 0,375. Das heißt 4 mal die (x – 2)² und -4 mal 0,375. Und 4 * 0,375 ergibt 1,5. Und an der Stelle haben wir unsere Scheitelpunktsform. Wir haben eine Streckung von 4, wir haben die Unbekannte x, wir haben hier die x-Koordinate des Scheitelpunktes, also +2, und wir haben hier den y-Wert des Scheitelpunktes, also -1,5. Und testen wir noch, ob dieser Scheitelpunkt wirklich stimmt mit dieser Funktion. Gucken wir eins meiner Programme an, Scheitelpunkt hat x 2 und den y-Wert -1,5; und unsere Parabel hat eine Streckung von 4. Und wie ihr gut seht: Unten steht 4 * (x – 2)² – 1,5; und die allgemeine Form ist 4x² – 16x + 14,5. Und das war auch die Ausgangslage unserer Aufgabe. Also haben wir sie richtig gelöst.
Für die quadratische Ergänzung findet ihr auf unserer Webseite ein kleines Beispielprogramm. Hier könnt ihr den Scheitelpunkt der Parabel verschieben, wählt euch einen aus, klickt mit der Maustaste, und hier unten erscheint die quadratische Ergänzung. Außerdem seht ihr die Scheitelpunktsform und die allgemeine Form. Vielleicht könnt ihr so auch einige Hausaufgaben von euch kontrollieren auf Richtigkeit.
Als nächstes schauen wir uns mal die Nullstellen an. Das sind die Stellen, wo der Graph die x-Achse schneidet. Also zum Beispiel, wenn wir den Graph hier hätten, wären die Schnittpunkte 1 und 0, und -1 und 0, also Nullstelle 1 wäre x = 1, und die andere wäre x = -1. Gleich vorab gesagt: Es gibt auch die Möglichkeit, wie in diesem Fall hier, dass wir gar keine Nullstelle haben! Der Standardfall ist aber, dass wir zwei Nullstellen haben. Und der besondere Fall ist, dass wir eine doppelte Nullstelle haben! Das heißt, wir haben die Nullstelle 0 zweimal vorhanden.
Gucken wir uns das mal genauer an. Wir nehmen uns als Beispielfunktion mal diese hier:
(x – 1)² – 2. Und die sollte ja nach unserer Graphik hier zwei Nullstellen haben. Schauen wir einmal! Übertragen wir also die Scheitelpunktsform, die wäre ja (x – 1)² – 2. Und erinnert euch an die Lektion „Normalform der linearen Funktion“: Um die Nullstelle zu bekommen, müssen wir die Funktion gleich 0 setzen. Für die, die sich nicht erinnern können: Sobald wir f(x) 0 setzen, also das ist ja hier die Höhe y, also wenn y = 0 ist, dann befinden wir uns auf dieser Ebene hier. Die y-Höhe ist 0 hier, hier 1, hier 2 und so weiter. Und wenn wir uns hier drauf befinden, dann haben wir nur Nullstellen auf der x-Achse.
Okay, versuchen wir also den Wert zu finden für x, der dazu führt, dass die gesamte Gleichung 0 wird. Dazu nehmen wir den Teil hier vorne weg und können loslegen mit der Äquivalenzumformung auf beiden Seiten +2. Dadurch fällt diese -2 hier weg, und auf der anderen Seite kommt die +2 dazu. 0 + 2 = 2, und dann können wir als nächstes auf beiden Seiten die Wurzel ziehen, und zwar plus/minus die Wurzel. Wir benötigen hier das „plus“ als auch das „minus“, da ein positiver Wert und ein negativer Wert ins Quadrat das gleiche Ergebnis ergeben. Deswegen müssen wir „plus“ und „minus“ berücksichtigen. Dann steht da also: Wurzel aus (x – 1)², und auf der rechten Seite ± (Wurzel 2). Erinnert euch an die Lektion „Rechnen mit Wurzeln“, da hatten wir gesagt: Wenn etwas quadriert wird und dann wieder die Wurzel gezogen wird, bleibt der Radikand erhalten.
Das heißt, hier kommt beim Linksterm x – 1 heraus. Wurzel und Quadrat heben sich also gegenseitig auf. Und hier rechts lassen wir ± (Wurzel 2) erstmal so stehen. Dann nehmen wir hier noch die Klammern weg, und da wir die -1 hier noch weghaben möchten, rechnen wir auf beiden Seiten +1. Dann fällt die hier drüben weg, und hier steht dann ± (Wurzel 2) + 1. So, und durch dieses plus/minus haben wir natürlich zwei Lösungen! Eine plus und eine minus. Und das zeigen wir an, indem wir hier vor das x eine kleine 1 und eine kleine 2 schreiben. So, das heißt:
Nullstelle x1 = +(Wurzel 2) + 1; und x2 = -(Wurzel 2) + 1.
Und genau das sind unsere beiden Lösungen! Und da (Wurzel 2) eine irrationale Zahl ist, runden wir an dieser Stelle ausnahmsweise. (Wurzel 2) ist rund 1,414; dann noch hinten die +1 dazu, und wir kommen auf rund 2,414. Und darunter, hier steht ja -(Wurzel 2), also schreiben wir -1,414; jetzt wieder die +1 rangezogen, und wir kommen auf -0,414.
Wenn wir uns jetzt nochmal unsere Graphik angucken, stellen wir folgendes fest: Hier sind die 2,414; und hier sind die -0,414.
Im nächsten Teil betrachten wir uns die Berechnung der Nullstellen über die pq-Formel.

Video Teil 5: p-q-Formel und Nullstellen

Hallo und willkommen zurück zur nächsten Lektion! Wir hatten im vorigen Video gesehen, wie man von der Scheitelpunktsform auf die Nullstellen kommt. Außerdem hatten wir betrachtet, wie man von der Allgemeinen Form über Umwandlung mit Hilfe der quadratischen Ergänzung zur Scheitelpunktsform kommt und damit dann zu den Nullstellen.
Jetzt schauen wir uns an, wie man von der Allgemeinform ohne diese Umwandlung zur Scheitelpunktsform direkt zu den Nullstellen kommt! Und hierzu benutzen wir ein Hilfsmittel, und dieses Hilfsmittel heißt „p-q-Formel“. Schauen wir uns die p-q-Formel einmal an. Sie lautet:
x1,2 = -p/2 ± Wurzel aus ((p/2)² – q)
Auf den ersten Blick scheint es etwas schwierig, aber wir werden gleich sehen, dass diese Formel doch sehr praktisch ist.
Nehmen wir uns einmal ein Beispiel und wenden diese Formel an.
f(x) = x² - 4x + 3
Und der Lehrer sagt, wir sollen die Nullstelle finden. Nullstelle finden, hatten wir schon gesagt, immer 0 setzen. Und jetzt können wir hier direkt auf die Nullstellen kommen, und zwar, indem wir die p-q-Formel jetzt anwenden. Wir müssen p und q bestimmen. Und p ergibt sich aus diesem Wert hier vorne und q aus diesem Wert hier hinten. Und jetzt braucht ihr nichts weiter machen als die
p-q-Formel anzuwenden. Ihr schreibt sie also einfach hin und setzt -4 und 3 bei p und q ein. Also bei p kommt jetzt hier -4 rein, hier drüben auch, und für q setzt ihr einfach die 3 ein. Tun wir das. So, dann hier die Klammer nicht vergessen, der Form halber, und jetzt einfach ausrechnen: Von links nach rechts, minus und minus ist plus, und 4 durch 2 sind 2. Hier drin, unter der Wurzel: -4 durch 2 sind -2, und (-2)², dann bekommen wir 4. Und jetzt wird’s einfach: 4 – 3 ist natürlich 1. Und die Wurzel aus 1 ist 1. Jetzt haben wir also zu stehen: x1,2 = 2 ± 1. Das schreiben wir jetzt nochmal hin, und wie wir gelernt haben, schreiben wir nun x1 hier oben, x2 hier unten, und bei x1 machen wir aus dem ± ein +, und bei dem x2 machen wir aus dem ± ein -. Und jetzt steht hier:
x1 = 2 + 1, und 2 + 1 sind 3. Und hier unten x2 = 2 – 1, und das ergibt 1.
Und das sind auch unsere beiden Nullstellen für unsere Funktionen: x² – 4x + 3 hat die Nullstellen 3 und 1.
Und wie ihr hier in der Graphik sehr gut sehen könnt: Die Funktion hat die Nullstellen bei 1 und 3.
Wie ihr sehen könnt, ein relativ schneller Weg, um auf die Nullstellen zu kommen. Man muss eben nur die Formel auswendig lernen.
Als nächstes schauen wir uns an, wie sich diese Formel überhaupt ergibt! Gut, versuchen wir, die
p-q-Formel selbständig herzuleiten. Entfernen wir sie hier und legen wir mit einem Beispiel los. Nehmen wir dazu die Gleichung
x² + 6x + 5 und setzen diese 0.
Gleichseitig schreiben wir auf der rechten Seite die allgemeine Variante: Wie wir es vorhin gesagt hatten, der Wert von dem x ist das p, und der Wert hier hinten, das absolute Glied, ist das q. Und legen wir los. Was müssen wir als erstes beachten? Hier steht x² + 6x, und das hier, wie wir es auch schon im vorigen Teil gesehen hatten, wollen wir jetzt mit einer quadratischen Ergänzung umwandeln, dass nachher hier eine Klammer mit Quadrat steht. Und wenn das hier vorne jetzt der Anfang einer binomischen Formel sein soll, dann wissen wir, dass es die 1. binomische Formel ist, denn hier ist ein +; und wir schreiben erstmal die binomische Formel hin: a² + 2ab + b². Und dann können wir hier unten gleich eintragen (a + b)². x² a², also wird a zu x, wie wir es bereits gelernt hatten; und jetzt stellen wir mal 6x und die 2ab gegenüber, also 6x = 2ab; wobei ja dieses a bereits als x definiert wurde von uns, also 2xb, das hatten wir hier noch nicht eingetragen. Wenn wir also jetzt auf beiden Seiten durch x dividieren, fällt es rechts weg, und es fällt links weg. Und jetzt, was machen wir hier? Wir dividieren durch 2, um auf dieses b zu kommen; also 6 : 2 = b. Und anstatt jetzt das auszurechnen und die 3 hinzuschreiben, behalten wir ausnahmsweise diese Division einmal bei und schreiben die als Bruch. Und diesen Bruch 6/2 tragen wir mal hier oben ein für b und setzen ihn noch nach vorne. Und b² wird dann natürlich zu (6/2)². Und da das ja hier der quadratische Teil ist, der zu viel ist, müssen wir diesen – wie gelernt – nochmal abziehen. Und jetzt müssen wir das natürlich auch hier eintragen, das b wird jetzt zu 6/2. Und diese -(6/2)² müssen wir natürlich hier noch abziehen. Und nicht vergessen: Die +5 muss auch noch runter. Und auch die ist gleich 0.
Okay, jetzt gucken wir, wie wir das allgemein ausdrücken können. Wir hatten hier x² + 6x, das ist für uns der Teil hier vorne x² + px. Da hatten wir draus gemacht x, das machen wir hier drüben auch, x, und jetzt +, und hier diese 6x wurde ja zu 6/2, das heißt, das x ist weggefallen, das fällt also hier auch weg, und es bleibt nicht nur p übrig, sondern, wie wir hier sehen, 6/2, also hier drüben p/2 !
Dann die Klammer zu und das Quadrat. Wie wir hier sehen, müssen wir jetzt diesen Teil nochmal abziehen, also nicht -(6/2)², sondern -(p/2)². Und richtig, jetzt kommt hinten noch die +5, das ist bei uns ja +q, die tragen wir jetzt hier runter, und schreiben = und die 0 dahin. So sieht es allgemein aus. Jetzt rechnen wir ausnahmsweise diesen Teil nicht aus und zusammen, sondern schreiben wir jetzt nochmal hin und formen um. Wir wollen ja nachher das x heraushaben, das heißt, dieser Teil und dieser Teil soll auf die rechte Seite. Dazu müssen wir die Gleichung umstellen. Das heißt, wir rechnen +(6/2)², damit diese hier links wegfallen und hier rechts hingeschrieben werden. Und jetzt wollen wir noch die +5 da weg haben, das heißt, wir müssen rechnen auf beiden Seiten -5. Dann fällt die +5 hier weg und taucht hier drüben wieder auf mit -5. Ja, und die 0 kann man natürlich dann auch hier mal wegnehmen. Und jetzt machen wir das Gleiche allgemein.
Wir haben also jetzt die -(p/2)² auf beiden Seiten zu addieren, das heißt, sie fällt links weg und taucht rechts wieder auf als +(p/2)². Außerdem, das war die +5, die haben wir mit -5 auf die rechte Seite rübergeholt und hier also jetzt -q auf beiden Seiten, dann fällt die hier links weg und taucht hier rechts wieder auf. Und die 0 hatten wir entfernt. Schreiben wir also unsere Formel nochmal hin und jetzt auf beiden Seiten ± die Wurzel, so wie wir es auch im letzten Teil gemacht hatten. Das heißt, hier drüben bei dem x einfach nur die Wurzel ziehen und hier rechts bei unseren absoluten Werten ± die Wurzel. Gut, im nächsten Schritt wissen wir, dass sich die Wurzel mit dem Quadrat auflösen, das heißt, hier links bleibt stehen (x + 6/2), und dann kann man auch die Klammern wegnehmen, und den Rechtsterm, den lassen wir so stehen. Übertragen wir das wieder ins Allgemeine, das heißt, es ist nicht 6/2, sondern p/2, und unter der Wurzel haben wir jetzt auch nicht 6/2, sondern p/2, und die -5 ist natürlich -q. Ja, und der allerletzte Schritt, wahrscheinlich sehen das schon die meisten: Wir müssen noch die 6/2 beziehungsweise die p/2 auf die rechte Seite rüberholen, und das mit der normalen Umformung, das heißt auf beiden Seiten -6/2. Dann fällt die hier links weg und taucht rechts wieder auf. Außerdem schreiben wir die -6/2 jetzt nach vorne vor die Wurzel. Und genau das jetzt für unseren allgemeinen Teil: Wir subtrahieren die -p/2 und schreiben sie dann bei der rechten Seite vor die Wurzel. Und dann sind wir auch schon fast am Ende. Es fehlt jetzt nur noch der Hinweis darauf, dass wir wegen des ± zwei Ergebnisse haben, also x1 und x2! Dies natürlich auch für die allgemeine Variante. Und schon haben wir unsere fertige p-q-Formel.
Und wer Zweifel hat, kann sich natürlich die Formel hier links nehmen, unsere konkrete Formel, und die einfach mal ausrechnen für x1 und für x2. Das heißt, x1 nehmen wir hier mal das +, und für x2 -. Und dann würde sich ergeben, rechnen wir das unter der Wurzel aus: 6/2, 6 : 2 sind natürlich 3, gleiches gilt hier unten übrigens, 3² sind 9, und 9 – 5, ganz einfach, sind 4. Ja, und Wurzel aus 4 ist natürlich die 2. Und hier vorne noch, -6/2, 6/2 hatten wir schon gesagt, sind 3. Gleiches hier unten. -3 + 2 = -1, und hier unten -3 – 2 = -5. Und genau das sind unsere Nullstellen!
Schauen wir noch, ob das auch grafisch übereinstimmt: Unsere Funktion war f(x) = x² + 6x + 5. Betrachten wir uns hierzu den Funktionsgraphen, und wir erkennen hier sehr gut, dass die Nullstellen bei -1 und -5 liegen.

Video Teil 6: Diskriminante + Satz von Vieta

Bevor wir uns als nächstes auf den „Satz von Vieta“ stürzen, betrachten wir uns noch einmal die
p-q-Formel. Schreiben wir sie noch einmal hin. Bei dieser p-q-Formel haben wir ja hier hinten die Wurzel zu stehen und ein paar Werte unter der Wurzel. Diesen Teil hier, (p/2)² – q, nennt man „Diskriminante“. Und „Diskriminante“, das Wort, kommt aus dem Lateinischen und heißt „sich unterscheiden“. Was kann man hier unterscheiden? Ganz einfach: Anhand dieses Wertes, der sich hier ergibt, können wir feststellen, wie viele Nullstellen wir haben werden, beziehungsweise welches Ergebnis x1 und x2 haben. Hierzu gibt es insgesamt drei Möglichkeiten:
Die erste Möglichkeit ist, wie wir es auch im letzten Teil gesehen hatten, dieser gesamte Wert hier unten wird positiv. Ich habe jetzt mal (p/2)² – q mit D für Diskriminante ersetzt. Also die Diskriminante ist positiv, damit haben wir eine Wurzel aus einem positiven Wert, und wir erhalten, richtig, zwei Ergebnisse: x1 und x2.
Schauen wir uns die zweite Variante an, wenn der Wert unter der Wurzel 0 ist. Dann haben wir für x1 und x2 das gleiche Ergebnis.
Und bei der dritten Variante haben wir kein Ergebnis. Das ist der Fall, wenn die Diskriminante negativ wird! Und wir sagen x1,2 = nicht definiert. Denn wir ihr wisst, Wurzel aus einem negativen Wert ist nicht definiert.
Schauen wir uns zu diesen drei Varianten Beispiele an.
Für die erste Variante, wie haben zwei Nullstellen, können wir zum Beispiel hier die Funktion nehmen x² + 2x + 0. Kurz übertragen: f(x) = x² + 2x + 0; p ist damit 2, und q ist in unserem Fall 0.
Jetzt p-q-Formel angewendet und dann für p und q die beiden Werte eingesetzt. Jetzt rechnen wir die Diskriminante aus, 2/2 ist 1, und 1² ist 1, – 0 ist 1. Da der Wert unter der Wurzel jetzt positiv ist, bekommen wir zwei Lösungen für x. Und zwar, x1 wäre dann hier + die Wurzel aus 1 und hier bei x2 – die Wurzel aus 1. Die Wurzel aus 1 ist 1, und 2/2 ist 2 : 2, also auch 1. Und dann haben wir hier oben -1 + 1 = 0 und hier unten -1 – 1 = -2. Und das sind auch unsere beiden Nullstellen: -2 und 0.
Betrachten wir uns als nächstes, was passiert, wenn die Diskriminante 0 ist. Schauen wir uns das graphisch an. Nehmen wir die Funktion x² – 2x + 1. Diese da schnell hingeschrieben und jetzt p und q bestimmen: p ist -2 und q ist 1. Die p-q-Formel hingeschrieben, jetzt p und q eingesetzt, also für p -2 und q die 1. Und jetzt sehen wir schon: -2/2 = -1, ins Quadrat ist +1, und 1 – 1 = 0. Die Diskriminante ist 0, und wir haben hier zweimal das gleiche Ergebnis. Schauen wir: x1,2. Bei x1 nehmen wir wieder das +, und bei x2 das -. Wurzel aus 0 ist 0, auch hier unten, und -2/2 = -1, das – davor noch, also kommen wir auf +1. Gleiches gilt hier unten. Und wie ihr sehen könnt: 1 + 0 ist natürlich 1, und 1 – 0 ist auch 1 ! x1 und x2 haben den gleichen Wert, was wiederum einer doppelten Nullstelle entspricht auf der x-Achse.
So, zurück zur Übersicht: Jetzt haben wir die ersten beiden Fälle abgegessen. Jetzt kommt der dritte Fall: Wir haben eine negative Diskriminante und damit keine Nullstelle! Also x1 und x2 sind nicht definiert. Das ist der Fall, wenn ihr oberhalb der x-Achse den Scheitelpunkt habt und die Parabel nach oben geöffnet ist. Bei einer Öffnung nach unten hättet ihr zwei Nullstellen, hier aufpassen, oder andersrum: Ihr habt unterhalb der x-Achse den Scheitelpunkt, und die Parabel ist nach unten geöffnet. In beiden Fällen wäre die Diskriminante negativ. Und die Wurzel aus einem negativen Wert ist nicht definiert. Daher sind auch x1 und x2 nicht definiert. Hier bitte ich euch, selbst eine Funktionsgleichung zu finden und diese mit der p-q-Formel zu testen.
Gut, gehen wir als nächstes über zum „Satz von Vieta“, beziehungsweise man sagt auch „Satzgruppe“, denn wir haben hier zwei Aussagen, die da wären:
p ergibt sich immer aus -(x1 + x2) und
q ergibt sich immer aus x1 * x2
Warum brauchen wir das? Diese beiden Formeln eignen sich sehr gut, um Ergebnisse schnell zu überprüfen. In der Lektion „p-q-Formel“ hatten wir diese Gleichung hier gelöst und hatten als Ergebnis ermittelt: x1 = -1, und x2 = -5. Mit Hilfe der beiden Formeln Satz von Vieta können wir jetzt die Probe ganz schnell ausführen. Das heißt, wir nehmen uns p = -(x1 + x2) und setzen jetzt ein: x1 = -1 und x2 = -5. Plus/minus ist minus, und -1 – 5 = -6. Minus/minus ist plus, +6, und richtig, der Koeffizient, das hier vor dem x, ist 6, und zwar +6. Und jetzt nehmen wir den Satz für q und setzen hier auch ein für x1 = -1 und für x2, richtig, -5. Und jetzt rechnen wir: Minus mal minus ist plus, und 1 * 5 = 5. Und die 5 findet sich hier wieder, unser q. Wie ihr seht, eine schnelle Variante, um die Ergebnisse zu überprüfen.
Für die Neugierigen unter euch möchte ich kurz den Satz herleiten. Nehmen wir den ersten Teil:
p = -(x1 + x2). An der Stelle braucht ihr die p-q-Formel, und die p-q-Formel braucht ihr sogar zweimal. Einmal für x1, dann wird das hier drin wieder zu +, und einmal hier x2, dann wird das hier drin wieder zum -. Und jetzt nehmen wir uns die Formel hier oben und setzen ganz einfach die beiden Formeln ein, für x1 den Teil, und für x2 diesen Teil. Jetzt nutzen wir das Kommutativgesetz, das heißt, wir nehmen diesen Teil hier nach vorne. Und dann seht ihr vielleicht schon, es gibt hier einmal positiv, diesen Teil, und es gibt ihn einmal negativ, diesen Teil. Und das kann man sich vorstellen als +3 – 3, das ergibt natürlich 0. Und was bleibt übrig? -p/2 + (-p/2). Und wenn wir das jetzt mal umschreiben, steht hier -1/2 * p und hier drüben genauso – ½ * p. Dann geht das + weg, und, Bruchrechnung müsst ihr beherrschen, -1/2 – ½ sind -2/2. Und -2/2 sind, 2 : 2, ganz einfach 1. Und jetzt als letztes minus/minus ist wiederum plus. +1p, also +p. Das heißt, wie ihr seht, kommt hier die richtige Lösung raus! Das heißt also, der Teil hier oben ergibt p, oder man kann auch so sagen, der Teil ergibt dieses p. Die beiden Teile sind also identisch, und die Aussage stimmt.
Gleiches gilt für den zweiten Teil des Satzes q = x1 * x2. Und jetzt machen wir genau das Gleiche, wie wir's grad gemacht haben: Wir wollen nachweisen, dass das hier den Wert q hat. Das heißt, wir nehmen uns das ganze Teil hier runter und tragen jetzt ein: Hier ist x1, hier ist x1, das heißt, der Teil wird hier eingesetzt; setzen wir noch Klammern drum herum, das ist ganz wichtig, weil wir eine Multiplikation haben. Und als nächstes x2, setzen wir auch hier gleich die Klammer, und setzen x2 ein. Der Eine oder Andere erschreckt sich jetzt vielleicht: Oh mein Gott, so viele Variablen! Aber es ist gar nicht mal so schwer. Warum? Wir sehen hier die 3. binomische Formel: (a plus den ganzen Teil als b) * (a minus den ganzen Teil als b). Schreiben wir noch mal schnell die binomische Formel hin, die da lautet: (a + b) * (a – b) = a² - b². Und jetzt können wir ganz bequem umwandeln beziehungsweise einsetzen: Für dieses a hier nehmen wir -p/2, und für dieses b hier setzen wir die gesamte Wurzel ein. Tun wir das. Dadurch hebt sich jetzt die Wurzel und das Quadrat gegenseitig auf, und wir erhalten (p/2)² – q. Jetzt noch die Klammer hier auflösen mit dem – davor, dann müssen wir dieses +(p/2)² zu -(p/2)² machen und das -q zu +q; und jetzt wissen wir, dass (-p/2)²
p²/4 sind, und das Gleiche gilt hier: (p/2)² sind auch p²/4. Und p²/4 - p²/4 sind natürlich 0.
0 + q = q. So haben wir nachgewiesen, dass auch hier q herauskommt, also x1 * x2 q ergibt.
Die Aussage ist richtig!

Video Teil 7: Linearfaktoren

Hallo zurück zum letzten Teil zu den quadratischen Funktionen. Fassen wir noch einmal zusammen, was wir bisher kennengelernt haben. Wir hatten zum einen begonnen mit der Scheitelpunktsform. Die Scheitelpunktsform lautet f(x) = a*(x-v)² + n, wobei a die Streckung bzw. Stauchung war, -v die Verschiebung entlang der x-Achse und n die Verschiebung auf der y-Achse. Dann hatten wir die Allgemeinform kennengelernt. Und die lautete: f von x = ax² +bx + c. Und wir hatten gelernt, wie man von der Scheitelpunktform auf die Allgemeinform kommt. Aber auch andersherum von der Allgemeinform auf die Scheitelpunktform. Und zwar mittels Quadratischer Ergänzung. Dann hatten wir mit der p-q-Formel eine andere Gleichungsform kennengelernt, die man übrigens Normalform nennt. Das ist nichts weiter als die Allgemeinform mit a = 1. Und dann hatten wir hier nicht b, sondern wir hatten hier p zu stehen. Und hier hinten war q zu finden. Und dann hatten wir gesagt x² + px + q und dann können wir die pq-Formel anwenden, um die Nullstellen zu finden. Sobald ihr eine Allgemeinform habt, müsst ihr also den gesamten Term hier durch a dividieren, damit ihr auf die Normalform kommt und dann die pq-Formel anwenden könnt. Ihr habt zum Beispiel 4x² + 6x + 1 und ihr sollt die NST finden. Dann müsst ihr Folgendes machen: Ihr müsst den ganzen Term durch 4 dividieren und dann bleibt da stehen 4:4 = 1, also x²6:4 sind 1,5 .. das x und 1:4 sind 0,25 ist gleich 0 und das hier ist nun die Normalform für die p-q-Formel und ihr habt das p und ihr habt das q. Als nächstes zeige ich euch, was es mit den Linearfaktoren auf sich hat. Und gleich vorab: Linearfaktoren ist eine Schreibweise der folgenden Art: (x - x1) * (x - x2)und was das bedeutet, das zeige ich euch jetzt. Okay, betrachten wir uns als erstes den Begriff "Linearfaktoren". Da steckt zum einen das Wort linear drin und zum anderen das Wort Faktoren. Was meint nun linear? Da erinnert euch an die linearen Funktionen. Da hatten wir diese Normalform kennengelernt: m*x + n und gesagt, x ist die Unbekannte. Also wir hatten hier nur ein x bzw. mit anderen Wort: Wir hatten nur eine Unbekannte. Und das merken wir uns an dieser Stelle: Linear meint hier eine Unbekannte. Bei Faktoren könnt ihr euch an die Multiplikation zurückerinnern. Da hatten wir so etwas Schönes wie 3 * 5 = 15. Und 3 hatten wir als Faktor bezeichnet, dann hatten wir die 5 ebenfalls als Faktor bezeichnet und ganz zum Schluss kam natürlich das Produkt heraus. Und "Linearfaktoren" meint jetzt, wir bilden Faktoren also jetzt nicht 3 und 5, sondern wir bilden so etwas wie x-3 und x-5. Hier haben wir einen Faktor mit einer Unbekannten und hier haben wir einen Faktor mit einer Unbekannten. Wobei wir bei den quadratischen Funktionen von x1 und x2 sprechen. Und x1 und x2 uns schließlich die Nullstellen verraten. Wie das funktioniert, sehen wir gleich...Betrachten wir uns einfach noch mal die Funktion, die wir bereits als Beispiel hatten. Das war x² + 6x + 5. Die hatten wir Null gesetzt und wir hatten ermittelt, dass die Nullstelle x1 = -1 ist und x2 = -5 ist. Und sobald ihr diese beiden Nullstellen ermittelt habt, nehmt ihr euch die Schreibweise der Linearfaktoren und setzt einfach x1 mit -1 für x1 ein und für x2 die -5 hier für x2 ein. Als nächstes können wir die Vorzeichen ändern. Minus und minus wird zu plus, und hier auch: minus und minus wird zu plus. Das heißt, wenn wir jetzt nur diese Funktion hätten und wir wissen, dass eine Nullstelle -1 ist und die andere Nullstelle -5 dann sehen wir schon, wenn wir hier für dieses x eine -1 einsetzen würden, dass sich der gesamte Term hier: -1 +1 zu Null ergibt. Und 0 * irgendetwas ist immer 0. Das heißt, wir hätten automatisch eine Nullstelle. Gleiches gilt hier rechts, wenn wir hier jetzt die -5 einsetzen, ist hier -5 und +5 = 0. und alles * 0 ergibt 0. Das heißt wieder eine Nullstelle. Und so könnt ihr bereits an so einer Linearfaktorschreibweise erkennen, welches die Nullstellen sind. Und zwar immer der Wert, der hier diese Klammer zu Null ergibt. -1 hier und -5 hier. Eine sehr große Hilfe. Wenn wir jetzt davon ausgehen, dass ihr eine Aufgabe bekommt, nehmen wir ein Beispiel hierzu und wählen wir uns einfach mal zwei Nullstellen. Hier können wir ja mal -1 und -3 nehmen. Dann können wir jetzt diese beiden Nullstellen benutzen und die Funktionsgleichung aufstellen. Die da lauten würde: F von x = Klammer auf ( x und jetzt hatten wir ja gesehen, dass eine Nullstelle -1 war und wir hatten gesehen, dass die andere -3 war. Minus minus ist plus und hier drüben auch minus minus ist plus. Das heißt das ist unsere Funktionsgleichung. Und wenn wir die jetzt ausrechnen würden, dann wissen wir: Jedes Element in der Klammer muss mit dem anderen Element multipliziert werden. Oder man kann das auch anders machen, indem man einfach sagt, man teilt das auf in x* diese Klammer und 1* diese Klammer. Schreiben wir das gerade mal so hin. Nehmen wir die 1 hier weg und dann hier drüben + jetzt die 1 wieder und dann eben noch mal diese Klammer. Und jetzt können wir rechnen, x*x ist x² und x*3 sind 3x und der rechte Teil ist jetzt einfach 1*x+3 ist natürlich selbst x+3. Jetzt noch zusammenfassen: x + 3x sind natürlich 4x und schon haben wir unsere allgemeine Form. Schauen wir in der Grafik, ob die Gleichung x² + 4x + 3 auch wirklich stimmt und tatsächlich, wie ihr hier unten sehen könnt, steht da x² + 4x + 3. Und noch der Hinweis an dieser Stelle, ihr könnt aus den Nullstellen sofort die Linearfaktoren bilden und damit die Funktionsgleichung, sofern die Streckung Eins ist. Wenn wir eine andere Streckung haben, und damit dann auch auf die Nullstellen -3 und -1 kommen, ist die Funktionsgleichung nicht mehr die selbe. Für diesen Fall müsste man die Streckung beachten, denn die fehlt jetzt noch in unserer Gleichung und verändert diese. D. h. die Streckung müsste hier mit a* hineinmultipliziert werden. Um nun den Wert für die Streckung herauszubekommen, benötigen wir einen Punkt auf dem Funktionsgraphen. Warum seht ihr gleich, machen wir das erstmal. Wie ihr sehen könnt, haben wir den Scheitelpunkt mit -2 und -2,8 und den können wir jetzt benutzen, um die Streckung herauszukriegen. Wir sagen: Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten -2 und -2,8 und das ist ja ein Punkt unserer Funktion, das heißt, wir haben hier das x und hier haben wir das f(x) bzw. man könnte genausogut schreiben: das y. Und wenn wir das jetzt benutzen, also nehmen wir unsere Funktion noch mal herunter. Und wir setzen jetzt für x die -2 ein, hier ist die -2, hier ist dann die -2 und hier ist dann die -2, Und wir sagen für y kommt -2,8 heraus, können wir hier schreiben istgleich -2,8. Dann lässt sich jetzt das a bestimmen, das ja immer noch gesucht ist, die Streckung. Wir rechnen also, -2 plus 1, das ergibt -1. Und dann rechnen wir hier drüben: -2 plus 3 und das ergibt 1. Und 1* -1 ist wiederum -1 und -1*a ist -a. Dann natürlich auf beiden Seiten * oder : (-1), dann haben wir hier - mal - ist + und hier auch - mal - ist +. Das heißt, unsere Streckung a beträgt 2,8 und noch mal der Blick auf die Grafik, tatsächlich, wir sehen vor der Klammer eine 2,8. Doch verwechselt nicht diese 2,8 mit der Höhe -2,8, es ist nur ein Zufall, dass der Wert ähnlich ist. Und jetzt können wir natürlich die 2,8 benutzen, hier oben einsetzen für a, und jetzt das ganze Ding ausrechnen und wir würden auf eine andere Allgemeinform kommen. Also das können wir noch schnell machen: Die 2,8 hier mit davor gesetzt, dann eine große Klammer drumherum, um das ganze Ding hier, und dann hatten wir gesagt, das hier in der Klammer ergibt das hier, das heißt wir können genausogut die 2,8 hierhin schreiben und hier auch wieder die Klammer setzen und jetzt ganz einfach ausmultiplizieren, tun wir das: 2,8 * x² einfach herangesetzt + 2,8 * 4 ergibt 11,2x und als letztes 2,8 * 3 ergibt 8,4. Das ist also jetzt unsere Allgemeinform. Kucken wir noch mal auf die Grafik, und tatsächlich, hier seht hier unten: 2,8x² + 11,2 x + 8,4 absolut korrekt.
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