Mathe F04: Schnittpunkt von zwei linearen Graphen

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 8. Klasse

Mathe-Videos

In fast jeder Matheprüfung kommt das Ermitteln von Schnittpunkten beim Themenblock Funktionen. Damit ihr dieses Thema in Zukunft komplett beherrscht und gute Mathenoten schreibt, erklären wir es euch kurz und knapp und vor allem leicht verständlich. Viel Spaß mit den Mathematik-Videos.

Testet euer Wissen im Anschluss mit dem Matheprogramm für Schnittpunkte.

Weitere Videos stehen dir als Kunde zur Verfügung:

  • F04-1 Schnittpunkt linearer Graphen - Punkte finden, Gleichsetzen

    Schnittpunkte von linearen Graphen finden, Funktionsgleichungen gleichsetzen zur Ermittlung des Schnittpunktes, Lineare Gleichungen in Normalform ermitteln

  • F04-2 Schnittpunkt linearer Graphen - Lösungsvarianten

    Lösungsvarianten: 1 Schnittpunkt, kein Schnittpunkt, unendlich viele Schnittpunkte. Danach Lösung einer Bewegungsaufgabe: Aufstellen von Funktionsgleichungen zu Auto hat 100 km Vorsprung vor Motorrad.

  • F04-3 Zueinander orthogonale Geraden

    Schneiden sich zwei lineare Funktionsgraphen rechtwinklig, so spricht man von zueinander orthogonalen Geraden. Wir untersuchen Geraden auf Orthogonalität, indem wir ihre Steigungen betrachten.

  • F04-4 Zueinander orthogonale Geraden - Herleitung

    Wir leiten her, weshalb beide Graphen senkrecht zueinander (orthogonal) sind, wenn ihre Steigungen multipliziert -1 ergeben. Anschließende Aufgabe: Orthogonale zu einer Geraden bestimmen, die durch einen bestimmten Punkt geht.

Zugriff auf alle Videos bestellen

Wissen zur Lektion

Schnittpunkte bei linearen Funktionen

Wie bereits bekannt ist, ist die Normalform einer linearen Funktion anzugeben als:

f(x) = m·x + n

Wenn man nun zwei lineare Funktionen hat, kann man die gegenseitige Lage zueinander untersuchen. Es ergeben sich drei Fälle:

  1. Genau einen Schnittpunkt
  2. Keinen Schnittpunkt
  3. Unendlich viele Schnittpunkte

Schauen wir uns die Fälle genauer an.

Lösungsmöglichkeiten

Hat man zwei lineare Graphen und ist an ihrer Lage zueinander interessiert, so müssen die Funktionsgleichungen gleichgesetzt werden. Gleichsetzen heißt, ihr müsst sie in Form einer Gleichung nebeneinander schreiben: f(x) = g(x). Löst man die sich daraus ergebende Gleichung, können mehrere Fälle auftreten:

1. Es kommt genau eine Lösung heraus. → Wir haben genau einen Schnittpunkt.

2. Die Gleichung ist unwahr (keine Lösung). → Wir haben keinen Schnittpunkt. Man spricht von parallel.

3. Die Gleichung ist immer wahr (unendlich viele Lösungen). → Die Geraden sind identisch.

Im Folgenden ein paar Beispiele um alle Fälle durchzusprechen:

1. Eine Lösung

f(x) = 2·x + 4 und g(x) = 7·x + 2 sind gegeben. Um die Lage zueinander zu überprüfen wird nun gleichgesetzt.

f(x) = g(x)
2·x + 4 = 7·x + 2 |-2 - 2·x
5·x = 2 |:5
x = 0,4

Die Gleichung hat also genau eine Lösung. Das spricht für einen Schnittpunkt. Wir haben bisher den x-Wert des Punktes gefunden. Um den gemeinsamen Punkt vollständig anzugeben, muss man den x-Wert in eine der beiden Geradengleichungen einsetzen (in welche ist egal, bei beiden kommt das gleiche heraus, probiere es einfach aus).

f(0,4) = 2·0,4 + 4 = 4,8
Der gemeinsame Punkt lautet also: S(0,4 | 4,8).

2. Keine Lösung

f(x) = 2·x + 4 und h(x) = 2·x + 1 sind gegeben. Um die Lage zueinander zu überprüfen wird nun wieder gleichgesetzt.

f(x) = h(x)
2·x + 4 = 2·x + 1 |-2·x
4 = 1

Die Aussage passt so nicht, sie ist falsch, die Gleichung hat also keine Lösung. Graphisch bedeutet dies, dass die beiden Geraden parallel zueinander liegen. Das hätte man auch direkt zu Beginn daran gesehen, dass beide lineare Funktionen in der Normalform vorliegen (also f(x) = m·x + n) und die Steigung bei beiden dieselbe ist mit m=2, während sich der y-Achsenabschnitt unterscheidet. Das sollte man sich merken, da das ein gleichsetzen unnötig macht. Schau also zuerst direkt auf die Steigung m und sieh dir den y-Achsenabschnitt n an.

3. Unendlich viele Lösungen

f(x) = 2·x + 4 und k(x) = 2·x + 4 sind gegeben. Setzen wir beide wieder gleich:
f(x) = k(x)
2·x + 4 = 2·x + 4
0 = 0

Diese Gleichung ist also für jedes x erfüllt, das heißt, egal welchen x-Wert wir einsetzen, auf beiden Seiten der Gleichung kommt immer der gleiche Wert heraus. Wie man auch direkt zu Beginn gesehen hat, sind die beiden Funktionen genau gleich. Die Geraden sind also identisch.

Veranschaulichung am Graphen

In der folgenden Abbildung sind alle Funktionsgraphen zu sehen.

Schnittpunkt linearer Graphen

Spezialfall: Zueinander orthogonale Geraden

Ein besonderer Fall bei sich schneidenden Graphen soll noch erwähnt werden. Wenn bei einem Schnittpunkt die beiden linearen Graphen (die Geraden) senkrecht zueinander stehen, so spricht man von "orthogonal" zueinander (Orthogonalität von Geraden). In diesem besonderen Fall gilt m1·m2 = -1. Das heißt, wenn es Aufgabe ist, auf Orthogonalität zu überprüfen, dann müsst ihr überprüfen, ob das Produkt der beiden Steigungen m1·m2 = -1 ist.

Ein Beispiel:

Orthogonale Graphen

f(x) = 2·x + 4 und p(x) = -0,5·x - 2 sind gegeben. Überprüfen wir, ob ein Schnittpunkt vorliegt und ob die beiden Geraden orthogonal zueinander stehen (also senkrecht zueinander sind).

f(x) = p(x)
2·x + 4 = -0,5·x - 2 |-4 +0,5·x
2,5·x = -6 |:2,5
x = -2,4

Sie haben also einen gemeinsamen Schnittpunkt an der Stelle x = -2,4. Ermitteln wir noch den y-Wert, indem wir den x-Wert einsetzen: f(-2,4) = 2·(-2,4) + 4 = -0,8 und erhalten damit P(-2,4|-0,8).

Da wir einen Schnittpunkt haben, können wir nun noch auf Orthogonalität prüfen. Dazu multiplizieren wir die Steigungen und schauen, ob sich -1 ergibt.
mf·mg = 2·(-0,5) = -1

Tatsächlich liegen die beiden Geraden orthogonal (senkrecht) zueinander. Dies ist bei P(-2,4|-0,8) der Fall.

Zueinander orthogonale Geraden: Herleitung der Orthogonalitätsbedingung

Zum Nachweis, dass zwei Geraden senkrecht zueinander stehen (orthogonal sind) haben wir die Formel mf • mg = -1 verwendet. In Worten ausgedrückt: Wir müssen beide Steigungen multiplizieren und es muss -1 herauskommen, dann sind die Geraden senkrecht zueinander. Dass das gilt, können wir auf verschiedene Arten nachweisen. Dazu gibt es mehrere Herangehensweisen. Zwei Varianten seien vorgestellt:

Beweis 1:

Mit Hilfe des Höhensatzes von Euklid, den wir in Lektion Rechtwinklige Dreiecke und Satz des Pythagoras kennengelernt haben, können wir den Nachweis führen. Der Höhensatz lautet h² = p • q. Schauen wir uns im Folgenden eine Dreiecksgrafik an, bei der die Höhe h und die Teilstrecken p und q eingetragen sind. Dabei haben wir das rechtwinklige Dreieck gedreht, was keine Auswirkungen auf den Höhensatz hat:

Höhensatz des Euklid

Wenn man sich die beiden Teildreiecke anschaut, so kann man diese als zwei Steigungsdreiecke interpretieren. Legen wir das Dreieck an den Schnittpunkt von zwei sich schneidenden Geraden:

Lineare Geraden und Steigungsdreiecke

Wenn wir ein Steigungsdreieck haben, so wird oft der Teil auf der x-Achse mit 1 gewählt (unsere Strecke h in der Grafik). Tun wir das auch hier (dieser gewählte Fall hat keinen Einfluss auf den Gesamtbeweis, er gilt auch für andere Fäll, man sagt übrigens dazu "ohne Beschränkung der Allgemeinheit"). Setzen wir also h = 1. Dann entsprechen p und q direkt unseren Steigungen, die nach oben oder unten abgetragen werden: mf und mg. Da mg nach unten orientiert ist, versehen wir es mit einem negativen Vorzeichen. An dieser Stelle kann man sich merken, dass eine um 90° gedrehte Gerade stets einen Vorzeichenwechsel erfährt, daher werden mf und mg immer Plus- und Minus-Vorzeichen haben. Wir können nunmehr festhalten:

Lineare Geraden und Höhensatz

Stellen wir den Höhensatz auf:

h² = p · q   | p = mf und q = -mg
h² = mf · (-mg)
(1)² = mf · (-mg)
1 = mf · (-mg)

Das können wir noch umformen, indem wir durch (-1) dividieren, wir erhalten: -1 = mf · mg, was genau der bereits genutzten Bedingung für Orthogonalität entspricht.

Beweis 2:

Haben wir eine beliebige Gerade f (blau), so können wir die Steigung dieser Geraden mit \(m_f = \frac{\color{blue}{\triangle y}}{\color{red}{\triangle x}}\) angeben (Steigungsdreieck). Wenn wir nun diese Gerade nehmen und um 90° drehen, so können wir wiederum ein Steigungsdreieck einzeichnen.

~draw~ gerade(0|0 2|1);gerade(0|0 -1|2);kreissektor(0|0 1 206.5 296.5);dreieck(0|0 2|0 2|1);dreieck(0|0 0|2 -1|2);text(2.2|0.5 "Δy"){00f};text(1.2|-0.2 "Δx"){f00};text(0.15|1.1 "-Δx"){f00};text(-0.6|2.2 "Δy"){00f};text(-0.36|-0.55 "90°");text(4.1|2.3 "f"){00f};text(-1.7|3.8 "g"){0a0};zoom(4) ~draw~

Es fällt auf, dass sich hier gerade \(\color{red}{\triangle x}\) und \(\color{blue}{\triangle y}\) vertauschen (dreht diese mit um 90°). Zudem ändert das Steigungsdreieck seine Richtung und damit die Steigung ihr Vorzeichen. Die neue Gerade g (grün) hat also die Steigung \(m_g = -\frac{\color{red}{\triangle x}}{\color{blue}{\triangle y}}\). Wenn man nun beide Steigungen durch Multiplikation in Beziehung bringt, so erhält man:

$$ m_f\cdot m_g = \frac{\color{red}{\triangle x}}{\color{blue}{\triangle y}}\cdot \left(-\frac{\color{blue}{\triangle y}}{\color{red}{\triangle x}}\right) = -1 $$

Dies ist der zweite Nachweis für die Orthogonalitätsbedingung bei Geraden.

Nun haben wir zwei Beweise kennengelernt, die uns den Nachweis für die Orthognalität über \(m_g \cdot m_f = -1\) tatsächlich erlaubt.

Übung macht den Meister

Wiederholen wir das Wissen noch einmal, formulieren jedoch ein wenig kürzer: Um den Schnittpunkt zweier Graphen zu ermitteln, müsst ihr deren Gleichungen gleichsetzen. Das heißt, ihr müsst sie in Form einer Gleichung nebeneinander schreiben:

f(x) = g(x)

Dann setzt ihr die bekannten Gleichungen ein. Als Beispiele seien gegeben: f(x) = 3·x + 4 und g(x) = 1·x - 2. Ihr schreibt demnach:

f(x) = g(x)
3·x + 4 = 1·x - 2

Danach umformen, wie wir es in der Lektion Terme, Termumformung, Gleichungen umstellen gelernt hatten, sodass wir den x-Wert für unseren Schnittpunkt erhalten:

3·x + 4 = 1·x - 2
2·x + 4 = -2
2·x = -6
x = -3

Anschließend erhalten wir den y-Wert für den Schnittpunkt, indem wir den errechneten x-Wert (x = -3) in die Gleichung für f oder g einsetzen und ausrechnen:

f(x) = 3·x + 4
f(-3) = 3·(-3) + 4
f(-3) = -9 + 4
f(-3) = -5

Oder alternativ für die Funktionsgleichung von g:

g(x) = 1·x - 2
g(-3) = 1·(-3) - 2
g(-3) = -3 - 2
g(-3) = -5

Wie ihr seht, kommt für beide Gleichungen ein y-Wert von -5 heraus.

Der Schnittpunkt ist also: S ( -3 | -5 )

Und nicht vergessen:

Stellt ihr zwei Funktionsgleichungen gegenüber und erhaltet keinen Wert für x (wie im 2. Videoteil gezeigt), dann:

Variante A - Liegen die beiden Geraden aufeinander (ihre Gleichungen führen für jedes x zum selben Ergebnis y). Beim Umformen der Gleichung aus f(x) = g(x) bleibt kein x übrig. Außerdem sind die Werte gleich, die auf beiden Seiten der Gleichung übrig bleiben! Beispielsweise 3 = 3.

Variante B - Sind die beiden Geraden parallel zueinander. Ihr werdet nach dem Umformen der Gleichung aus f(x) = g(x) kein x mehr haben, sondern nur zwei Werte, die sich voneinander unterscheiden. Also zum Beispiel 4 = 1.

Frage: Warum bleibt bei beiden Gleichungen eigentlich kein x übrig?
Richtig, weil die Steigungen bei beiden Gleichungen gleich sind und sich somit beim Umstellen "wegsubtrahieren".

Mathe-Programme

Beim folgenden Lernprogramm könnt ihr selbst zwei Graphen einzeichnen (jeweils 2 Punkte mit der Maus setzen). Die Gleichungen werden angezeigt, gleichgesetzt und der Schnittpunkt (also dessen Koordinaten) wird berechnet.

  • Schnittpunkt von zwei linearen Graphen
    Schnittpunkt von zwei linearen Graphen
    Zeichnet zwei Graphen ein, indem ihr jeweils zwei Punkte setzt. Anschließend wird der Schnittpunkt beider Graphen grafisch und rechnerisch angezeigt.

In den Videos mit den Geraden, die zueinander orthogonal sind, haben wir folgende Plots verwendet:

Weitere Lernprogramme aufrufen

Übungsaufgaben

Nachfolgend findet ihr Aufgaben zu Schnittpunkten linearer Graphen, mit denen ihr euer neues Wissen testen könnt.

A: Berechne die Schnittpunkte aus den gegebenen Funktionsgleichungen und zeichne den jeweiligen Graphen.

a) f(x) = 2·x + 2 und g(x) = -2·x + 3

b) f(x) = -x - 0,5 und g(x) = x + 4

c) f(x) = 1,5·x + 0,5 und g(x) = 2·x

d) f(x) = 10x und g(x) = 4

e) f(x) = 4,25 und g(x) = 4


B: Gib an, wie sich die linearen Graphen zueinander verhalten. Liegt ein Schnittpunkt vor, so berechne ihn. Prüfe zusätzlich, ob die Geraden senkrecht zueinander stehen.

a) f(x) = 2·x + 1 und g(x) = 2·x + 3485

b) f(x) = -2·x - 2 und 3·g(x) = 6·x - 9

Hinweis: Bei der obigen Funktionsgleichung steht ein 3·g(x). Erinnert euch hierbei an die Äquivalenzumformungen. Diese erlauben eine Änderung einer Gleichung, sofern auf beiden Seiten das gleiche gerechnet wird. Hier wurden beide Seiten der Gleichung offensichtlich mit 3 multipliziert, sodass wir statt g(x) nun 3·g(x) vorfinden. Lasst euch also von einem Vorfaktor (so bezeichnet man die Zahl vor dem g(x)) nicht abschrecken, sondern wendet die bekannten Rechenregeln an: In diesem Fall sind beide Seiten durch 3 zu dividieren.

c) f(x) = x und g(x) = -x + 2

d) f(x) = -5·x + 10 und 5·g(x) = -25·x + 50

e) f(x) = -2·x - 2 und -2·g(x) = -x + 4


C: Textaufgaben

a) Eine Schulklasse plant einen dreitägigen Ausflug mit dem Bus nach Berlin. Es liegen 2 Angebote vom Busunternehmen vor:
Angebot A: Grundpreis pro Tag 50 € und 2,50 € je gefahrenen Kilometer
Angebot B: Grundpreis pro Tag 100 € und 2,25 € je gefahrenen Kilometer
1. Stelle die zugehörigen Funktionsgleichungen für drei Tage auf.
2. Der Lehrer hat die Gesamtstrecke zu 620 km ausgerechnet. Welches Angebot sollte er nehmen?

b) Frau Holle fährt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 100 km/h von A nach B. Herr Wolf folgt ihr eine Stunde später mit 120 km/h. Wann holt Herr Wolf Frau Holle ein?

c) Schneewittchen schaut sich nach einem neuen Handyvertrag um.
Anbieter A: 0,05 € pro Minute und eine Grundgebühr von 20 € je Monat
Anbieter B: 0,07 € pro Minute aber keine Grundgebühr
Da Schneewittchen sieben Zwerge ihre Freunde nennt, telefoniert sie mit jedem von ihnen 100 Minuten im Monat. Sonst telefoniert sie nicht. Welches Angebot sollte sie nehmen?

Die Übungsaufgaben findet ihr hier:

Aufgaben herunterladen (PDF) Alle Lösungen im Lernzugang

Mathegigant - Mathewissen testen Teste dein Wissen bei Mathegigant

Untertitel

Sucht ihr nach einer bestimmten Stelle in den Videos? Dann sucht hier direkt in den Untertiteln.

Video Teil 1: Schnittpunkt von zwei Graphen

Hallo liebe Schüler und willkommen zur Lektion „Schnittpunkt von zwei Graphen“! Was braucht Ihr, um die Lektion zu verstehen? Ihr müsst zum Einen die Lektion gesehen haben „Einführung zur linearen Funktion“, dann wisst ihr auch, was f(x) bedeutet; und ihr müsst die Lektion „Lineare Funktion in Normalform“ gesehen haben, dann wisst Ihr, was eine Normalform ist, nämlich:
f(x) = Steigung * x + n. Dann können wir auch mit dieser Lektion loslegen. Stellen wir uns als Erstes vor, wir zeichnen einen Graphen, und wir zeichnen einen zweiten Graphen, so dass sich beide in einem Punkt schneiden. Benennen wir unsere Graphen noch mit f und g. Okay, f und g schneiden sich also in einem Punkt, den wir S nennen können: Schnittpunkt. Fragt sich nun: Wie kriegen wir diesen Schnittpunkt raus beziehungsweise dessen Koordinaten?
Allgemein wäre das ja S mit x und y: S(x|y). Jetzt können wir die Werte aus der Graphik ablesen, und ihr seht, dass S hier an der Stelle den x-Wert 2 hat und dass S die Höhe 1 hat. Tragen wir das mal hier ein, x ist 2, und y ist 1. Das heißt für f(x): Wenn f den x-Wert 2 bekommt, also wir haben hier diese f-Linie, wenn wir hier bei 2 nachgucken, haben wir die Höhe von 1. Das heißt f(2) ergibt die Höhe von 1. Und wenn wir bei g, also g(x) die 2 als Breite einsetzen, also wir gehen g entlang und gucken, wo ist denn hier die 2? Dann haben wir auch die Höhe von 1. So, mit dieser Überlegung können wir schon einen großen Schritt weitergehen. Als nächstes überlegen wir uns noch eine Sache: Wir haben zum Beispiel zur Veranschaulichung jetzt so eine schöne Gleichung wie 2 + 2 + 2, und die ist ja 6. Aber 6 kann man ja zum Beispiel auch schreiben als 2 + 4. Und da auf der linken Seite jetzt 6 rauskommt, hier 6 herauskommt und hier 6 herauskommt, darf man jetzt den rechten Term hier und den linken Term direkt gegenüber stellen. Wir nehmen das also hier weg. Und das gleiche Spiel machen wir hier oben. Wir sagen f(2) ist 1, g(2) ist 1, und wenn g(2) 1 ist und f(2) 1 ist, dann sind doch offensichtlich f(2) und g(2) auch gleich, also gleich 1. Ihr könnt euch das hier auch andersrum geschrieben vorstellen, also nicht g(2) = 1, sondern 1 = g(2), und dann könnt ihr euch vorstellen, dass sich diese beiden Einsen hier verschmelzen, und dann kann man das natürlich auch wieder so schreiben. Also f(2) und g(2) haben beide den Wert 1. Mit anderen Worten nochmal: f bei der Breite 2 und g bei der Breite 2 haben beide die Höhe 1, wie wir hier unten bei der Graphik gesehen hatten. Und das Schöne ist: Wir erhalten auch den x-Wert des Schnittpunktes, also die 2, wenn wir eine Formel mit Unbekannten haben.
Nachweis für das Beispiel: Stellen wir uns vor, die 2 wäre jetzt mal ausgeblendet, also mit einem x, einer Unbekannten, und dass die 6 rauskommt, das wissen wir grad nicht. Nun steht hier x + x + x, und das sind ja 3 * x. Und da drüben x + 4 können wir stehenlassen. Und jetzt erinnert euch an die Äquivalenzumformung. Da können wir jetzt auf beiden Seiten -x rechnen. Links 3x – x sind ja nur noch 2x, und rechts x + 4 – x, bleibt nur noch die 4 stehen. An dieser Stelle können wir auf beiden Seiten durch 2 dividieren, dann bleibt links stehen x und rechts 4 durch 2 sind 2. Ergebnis wäre 2, und wie wir vorher gesehen hatten, wenn wir hier oben für x die 2 einsetzen, steht auf beiden Seiten 6 = 6. Das heißt also, mit dem Gleichsetzen beider Formeln erhalten wir den x-Wert des Schnittpunktes. Für unsere beiden Gleichungen heißt das: Wir können die Funktionsgleichungen für f und g gleichsetzen, so dass wir einen x-Wert herausbekommen, der die x-Koordinate des Schnittpunktes ist. Und den y-Wert erhält man, indem man x bei f oder g einsetzt! Für unsere Aufgabe ermitteln wir als nächstes erstmal die Funktionsgleichungen:
Gucken wir uns erst das f(x) an. f(x) = m * x + n, immer die Normalform aufschreiben! Dann wissen wir, dass wir den Wert für n hinten ja ablesen können, und zwar bei der Höhe des Schnittpunktes mit der y-Achse. Und das ist in dem Fall 0. Wunderbar, tragen wir hier die 0 ein. Und jetzt gilt es noch, das m, die Steigung zu ermitteln. Und da hatten wir das Steigungsdreieck kennen gelernt, das wir hier beliebig an f anlegen können. Tun wir das gerade. Das wären 2 nach rechts und einer nach oben. Und da hatten wir gesagt, wir rechnen hier für m Differenz der Höhe dividiert durch Differenz der Breite. Und das ist in unserem speziellen Fall Höhendifferenz 1, Breitendifferenz 2, ½ beziehungsweise 0,5. Und die können wir hier oben auch eintragen. Also 0,5 * x, und die +0 fällt ja weg. Also die fertige Funktionsgleichung f(x) = 0,5x. Ermitteln wir nun die Funktionsgleichung für g(x). Da schauen wir auch wieder: Wo trifft g die y-Achse? Das ist offensichtlich bei 3 hier oben, das heißt, n wird zu 3. Und wie ist die Steigung für g? Und da können wir dieses Steigungsdreieck bei g anlegen. Und dann wären das für die Höhe -1 runter, und für die Breite einen nach rechts, also die Differenzen. Tragen wir das hier ein, bei m, und das ergibt -1 durch 1. So, und -1 durch 1 ist natürlich -1, das heißt, unsere Steigung für m ist -1x. Das erkennt man auch gut: Man geht hier einen Schritt nach rechts, einen nach unten, einen nach rechts, einen nach unten, einen nach rechts, einen nach unten und so weiter und so fort. So haben wir also die Funktionsgleichung von g(x) und die Funktionsgleichung für f(x). Und an Hand dieser beiden Formeln wollen wir zeigen, dass man den Schnittpunkt auch rechnerisch bestimmen kann! Wir hatten gesagt, man muss die Formeln für f und g gleichsetzen. Das heißt, f(x) ist 0,5 * x, und g(x) ist -1 * x + 3. Formen wir um. + 1x auf beiden Seiten, dann ist links 1,5 * x und rechts fällt die -1x weg, 3 bleibt übrig. Als nächstes können wir die 1,5 links vom x wegnehmen, indem wir durch 1,5 dividieren. Links bleibt stehen x, und rechts 3 durch 1,5, und das ist natürlich 2. Wunderbar. Jetzt haben wir die allgemeinen Gleichungen für f(x) und g(x) gleich gesetzt und einen x-Wert erhalten. Dieser x-Wert ist x-Koordinate des Schnittpunktes. Wenn wir x jetzt in f oder g einsetzen, erhalten wir die y-Koordinate. Das heißt, für die Breite 2, also x = 2, erhalten wir eine Höhe, die für beide, hier für g und für f identisch ist. Denn wir könnten jetzt für die Variable x die 2 einsetzen und würden dann Folgendes herausbekommen: Links 0,5 * 2 sind 1, und rechts – 1 * 2 sind -2 + 3, und das ist natürlich 1. Das heißt: g(x), wenn ich 2 einsetze für x, ergibt die Höhe 1, und f(x), wenn ich die 2 einsetze, ergibt die Höhe von 1. Das heißt, für beide erhalten wir den gleichen Punkt, der da heißt, S mit x 2 und Höhe y 1: S(2|1). Und das ist genau das, was wir gesucht haben: Gleiche Höhe und gleiche Breite eines Punktes, der sich auf beiden Funktionen befindet. Schauen wir uns hierzu noch eine Aufgabe an.

Video Teil 2: Schnittpunkt von zwei Graphen - Mögliche Lösungen

Willkommen zurück zum zweiten Teil. Bevor wir uns jetzt auf die Beispielaufgabe stürzen, noch kurz ein Hinweis: Ihr findet auf unserer Webseite ein Programm zu den Schnittpunkten von Graphen. Ihr könnt einen Punkt setzen, eine lineare Funktion erschaffen, erhaltet hier unten die Funktionsgleichung angezeigt, und dann könnt ihr einen zweiten Graphen aufspannen und erhaltet auch links unten die Funktionsgleichung angezeigt und zusätzlich den sich ergebenden Schnittpunkt. Und dessen Koordinaten ergeben sich, indem man die Gleichungen von g(x) und f(x) gleich setzt. Die Rechnung müsst ihr hier im Kopf machen, das Ergebnis steht aber schon hier. Und wie wir grad gesehen hatten, können wir also dies Ergebnis 1 hier einsetzen oder hier einsetzen, und es kommt 1,1 heraus als y-Wert. Und das sind die Koordinaten unseres Schnittpunktes: 1 und 1,1.
1 und in der Höhe 1,1. Eine wichtige Sache, die man auch wissen muss: Es kann vorkommen, dass wir auch mal keine Lösung haben. Und zwar ist das der Fall, wenn wir zwei Parallelen haben. Spannen wir mal zwei Parallelen auf. Das ist der Graph f mit der Steigung 1x, und spannen wir einen zweiten Graphen auf, der auch die Steigung 1x haben soll. Jetzt seht Ihr: Hier steht „Kein Schnittpunkt“. Warum ist das so? Graphisch sieht man das: Sie schneiden sich nie. Und rechnerisch guckt man hier auf die Gleichung: Wenn ich hier jetzt auf beiden Seiten -1x rechne, fällt links das x weg und rechts das x weg, und übrig bleibt: 1 = -1. Und 1 ist nicht gleich -1, also ungleich! Das heißt, diese Gleichung ist nicht lösbar; es gibt keinen x-Wert, der zu einer Lösung führt. Merkt euch also: Sobald das x wegfällt beim Rechnen und beide Seiten ungleich sind, haben wir keinen Schnittpunkt!
Es kann aber auch sein, gucken wir uns eine zweite Funktion an, dass ihr zwei Funktionen aufeinander zu liegen habt. Was passiert dann? Dann haben wir unendlich viele Schnittpunkte. Warum? Gleiches Spiel: Beide Gleichungen haben hier in unserem Fall 1x als Steigung. Wenn wir auf beiden Seiten -1x rechnen, bleibt da übrig: 0 = 0. Und 0 ist immer 0. Also diese Lösung gilt immer! Egal welchen Wert wir für x einsetzen, die Gleichung geht immer auf. Ganz einfach aus dem Grund, weil beide Gleichungen identisch sind. Also die beiden Seiten sind immer gleich, egal welchen Wert wir von der x-Achse aus einsetzen. Es gibt unendlich viele Schnittpunkte. Schauen wir uns als nächstes die Beispielaufgabe an: Sagen wir, ein Auto hat 100 Kilometer Vorsprung und fährt mit einer Geschwindigkeit von 50 Kilometer pro Stunde. Ein Motorrad hat keinen Vorsprung und fährt mit einer Geschwindigkeit von 100 Kilometern je Stunde. Okay, übertragen wir das in unser Koordinatensystem mit den Achsen Zeit in Stunden, und von dieser Zeit in Stunden hängt natürlich der zurückgelegte Weg ab, Weg in Kilometern. Und tragen wir unser Auto einmal als erstes ein. Das Auto hat 100 Kilometer Vorsprung. Das heißt, wenn noch gar keine Zeit vergangen ist, also sind wir bei 0 hier vorne, dann hat es schon 100 Kilometer zurückgelegt. Setzen wir hier einen Punkt. Außerdem steht hier: Geschwindigkeit von 50 Kilometern je Stunde. Das heißt, in einer Stunde schafft es weitere 50 Kilometer. Wenn wir also eine Stunde vergehen lassen, sozusagen einen Schritt nach rechts gehen, dann sind wir nicht mehr bei 100 Kilometern, sondern bei 150 Kilometern. Tragen wir da einen Punkt ein. Jetzt können wir beide Punkte miteinander verbinden und erhalten einen Funktionsgraphen, den wir mal mit „a“ wie „Auto“ beschriften. Jetzt gucken wir uns das Motorrad an. Da steht, es hat keinen Vorsprung, und ihr wisst „keinen“ ist in der Mathematik gleichzusetzen mit 0. Hat keinen Vorsprung, setzen wir also hier unten bei 0 ein Kreuz. Und dann steht da: Das Motorrad fährt mit 100 Kilometern je Stunde. Das heißt, fahren wir eine Stunde, sind wir schon 100 Kilometer weiter. Hier oben setzen wir also das nächste Kreuz. Verbinden wir diese beiden Punkte und erhalten den Graphen für das Motorrad. Beschriften wir diesen Graphen mit „m“ wie „Motorrad“. Wie wir jetzt erkennen können, schneiden sich der Graph von m und der Graph von a in einem Punkt, beziehungsweise mit anderen Worten: Das Motorrad und das Auto treffen sich an einem gewissen Punkt beziehungsweise zu einer gewissen Zeit. Versuchen wir, das mal abzulesen: Da wären wir bei x, also bei der Zeit, etwa bei 2 Stunden, und für den Weg etwa bei 200 Kilometern. Prüfen wir, ob das auch rechnerisch stimmt – versuchen wir also die Koordinaten für diesen Schnittpunkt S zu ermitteln: Zu allererst benötigen wir natürlich die Funktionsgleichungen. Fangen wir bei dem Auto an: a(x) ist gleich – und dann schreibt ihr immer die Normalform hin: m * x + n. Gut, von dieser Normalform ausgehend schauen wir mal, wo wir n erhalten. Hier ist der Funktionsgraph a, und der schneidet die y-Achse bei der Höhe von 100, und wir hatten gelernt bei der Lektion „Normalform“: Das n ist dann 100. Um die Steigung m zu ermitteln, benötigen wir als nächstes ein Steigungsdreieck. Zeichnen wir hier ein Steigungsdreieck ein, und nehmen wir dazu zwei Punkte, die wir schon haben. Dann sehen wir, dass die Breite 1 ist und die Höhe 50. Tragen wir das in die Gleichung von m ein, m = Δy/Δx, also Höhe durch Breite, und das ist bei uns 50 Kilometer / 1 Stunde. Und richtig, einige wissen das, das ist natürlich 50 Kilometer zu einer Stunde, also 50km/h. Das heißt, in der Steigung findet sich unsere Geschwindigkeit wieder. 50 * x + 100. Als nächstes ermitteln wir die Funktionsgleichung für das Motorrad. Also m(x) = Steigung {m} * x + n. Hier jedoch aufgepasst: Dieses „m“ ist ein anderes als dieses „m“, die beiden haben nichts mit einander zu tun! Okay, gucken wir wieder, was n ist; n für das Motorrad wäre abzulesen an der y-Achse, und das ist offensichtlich 0. Und zur Ermittlung der Steigung brauchen wir wieder ein Steigungsdreieck. Zeichnen wir eins ein. Und wir erkennen, dass wir eine Höhe haben von 100 Kilometern für dieses Dreieck und eine Breite von einer Stunde. Tragen wir die hier wieder ein: 100 Kilometer / 1 Stunde. Und richtig, das ist natürlich auch die Geschwindigkeitsangabe 100km/h für das Motorrad. Tragen wir das m, diese Steigung hier ein: 100 * x. An dieser Stelle haben wir beide Funktionsgleichungen ermittelt: a(x) = 50x + 100, und m(x) = 100x + 0, ("+ 0" können wir wegnehmen). Jetzt wenden wir das an, was wir im ersten Teil gelernt hatten: Wir müssen beide Gleichungen gleich setzen, um die gleiche Höhe zu erzeugen. Also a(x), das ergibt eine Höhe, soll die gleiche Höhe sein wie m(x), das ergibt ja auch eine Höhe. Dann tragen wir die Funktionsgleichungen ein: a(x) ist ja 50x + 100, und m(x) ist ja 100x, tragen wir das hier ein. Jetzt machen wir Äquivalenzumformung. Die 50x wollen wir rüber haben, rechnen wir also auf beiden Seiten -50x. Dann bleibt links stehen 100, und rechts 100x – 50x ergibt 50x. Als nächsten Schritt dividieren wir beide Seiten durch 50, dann steht auf der linken Seite 100 durch 50 sind 2, und auf der rechten Seite bleibt das x übrig. Und x = 2 ist unser Ergebnis. Das heißt, in der 2. Stunde treffen sich Auto und Motorrad; und wenn man jetzt noch wissen möchte, bei wie viel Kilometern sie sich treffen, setzt man die 2 Stunden bei a oder m ein, denn bei beiden müsste ja das gleiche Ergebnis rauskommen. Machen wir das hier oben: a(x), also a von 2, und hier m von x, m von 2. a(2) = 50 * x (wird zu 2); 50 mal 2 sind 100, und 100 plus 100 sind 200. Alles klar? Und hier, m von 2 ist 100 * 2. 2 mal 100 sind 200. Und tatsächlich: Beide treffen sich im Punkt S, x ist 2, y ist 200, beziehungsweise für die Aufgabe 2 Stunden und 200 Kilometern. Und dann haben wir schon die Aufgabe gelöst.

Video Teil 3

Hallo liebe Schüler. Wir hatten uns ja die Schnittpunkte von Geraden angeschaut, bei den linearen Funktionen, und jetzt wollen wir mal gucken wann wir zueinander orthogonale Geraden vorliegen haben. Dabei meint orthogonal „senkrecht“ zueinander. Also zwei Geraden, die sich senkrecht schneiden. Hier ein kleines Beispiel, die lila Gerade und die rote Gerade schneiden sich hier in einem rechten Winkel. Und wir wollen sehen, wie wir das anhand der Funktionsgleichungen ermitteln kann; also rechnerisch. Also hier noch einmal ganz allgemein zwei Geraden und wenn wir hier mal die Steigung von dem roten Graphen ändern, sehen wir, es gibt hier verschiedene Winkel, also spitze Winkel und dann wird er irgendwann rechtwinklig und dann wird er irgendwann sogar stumpfwinklig. Und wir sehen, dass wir mit der Veränderung der Steigung, den Winkel beeinflussen können. Um also die Orthogonalität prüfen zu können, müssen wir unsere beiden Gleichungen also irgendwie in Verbindung bringen. Hier nochmal unsere Graphen: f(x) = 2x + 4 und dieser blaue g(x) = -0,5x - 2. Also hier ist die Steigung m_f = 2 und hier ist die Steigung m_g = -0,5. Erste Frage ist: Ändert sich der Schnittwinkel, wenn wir den roten Graphen nach oben oder unten verschieben. Also den konstanten Wert in unserer Funktionsgleichung verändern. Er ist hier allgemein mit c angegeben. Also wenn wir jetzt nicht 2x + 4 hätten, bei S(0|4) geht er ja durch, sondern zum Beispiel S(0|5). Verschieben wir mal nach oben: Und wir sehen, er geht jetzt bei 5 durch. Die Steigung ist gleich geblieben. Mit 2. Und der Winkel hier hat sich nicht verändert. Wir können ihn auch mal nach unten verschieben und guckt dabei auch auf den Winkel. Der Schnittwinkel. Der Schnittwinkel bleibt immer gleich groß. Egal wie unser Wert hier hinten ist. Also ob jetzt 2x + 5 da steht oder 2x + 0, der Schnittwinkel bleibt immer gleich. Verändern wir jetzt mal den konstanten Wert bei dem blauen Graphen, der ist ja hier mit -2 gegeben, deswegen geht er ja bei -2 unten durch. Also von -2 zum Beispiel auf 0. Und wir sehen, der Schnittwinkel ist immer noch gleich groß. Und da können wir auch andere Werte wählen: Spielt keine Rolle. Das heißt, das einzige auf das es ankommt, ist offensichtlich die Steigung. Denn wenn wir jetzt bei beiden mal den konstanten Wert auf 0 setzen, das heißt wenn beide durch den Koordinatenursprung gehen, sehen wir, ist immer noch der gleiche Schnittwinkel und wir können uns ja vorstellen, dass wir den irgendwoanders hin verschieben, indem wir die konstanten Werte einstellen. Also wirklich, das einzige was zählt ist die Steigung! Wenn wir jetzt zum Beispiel mal die Steigung von 2 auf 1 setzen, sehen wir, hier verändert sich der Winkel. Das heißt wir müssen nur die Steigungen überprüfen. Den konstanten Wert hinten können wir ignorieren. Das heißt für unser Beispiel sind nur 2x interessant und -0,5x bzw. der Steigungswert 2 und -0,5. Schreiben wir das gerade mal hier auf: m_f = 2 (f in den Index) und die Steigung von Graph g m_g = -0,5. Und wir sehen, beide sind senkrecht zueinander. Das hatten wir ja schon festgestellt. Jetzt fragt sich nur, was haben 2 und -0,5 miteinander zu tun? Das heißt wie können wir feststellen, von dieser Steigung ausgehend und von dieser Steigung ausgehen, dass die beiden senkrecht sind. Und die Lösung ist, wir multiplizieren beide ganz einfach. Also m_f • m_g = 2 • (-0,5) = -1. Das heißt, wenn wir beide Steigungen der Graphen multiplizieren und -1 herauskommt, wissen wir, sind beide Graphen senkrecht zueinander. Steigung des einen Graphen mal Steigung des anderen Graphen; wenn -1 herauskommt, dann sind beide senkrecht zueinander. Im nächsten Video sehen wir dann auch warum. Testen wir das mit zwei unbekannten Graphen. Sagen wir f(x) = 3x + 1 und g(x) = -1x - 1. Dann brauchen wir jetzt nur die beiden Steigungen hier anschauen. 3 und -1. Und jetzt, richtig, multiplizieren wir beide. Demnach 3 • (-1) = -3, als nicht -1 und damit nicht orthogonal, also nicht senkrecht zueinander. Zeichnen wir die beiden mal ein, dann sehen wir das. Hier der rote 3x + 1 und der blaue -1x - 1. Und wir sehen hier, es ist kein rechter Winkel. Es ist ein stumpfer Winkel. Wenn wir zum Beispiel sagen: Ok, was müssen wir denn am blauen Graphen verändern, damit dieser den roten senkrecht schneidet. Und dann können wir doch ganz einfach hierher gehen und sagen, wir wollen das hier nicht -3, sondern -1 herauskommt. Und wir sagen, wir wollen den blauen verändern, also hier darf nicht -1 stehen, sondern irgendein Wert. Es muss ein Wert herauskommen, der zum senkrechten schneiden führt. Das heißt hier 3 ist bekannt für die Steigung von f, aber die Steigung von g ist jetzt offen. Die kennen wir noch nicht. Was müssen wir machen? Einfach die Gleichung umformen. Durch 3 auf beiden Seiten. Und da kommt raus? Richtig, -1/3. Das heißt, wenn hier unsere Steigung bei g -1/3 ist, dann schneidet der Graph von g den Graph von f senkrecht. Testen wir das. Verändern wir hier unsere Steigung auf -1/3 und wir sehen hier ergibt sich ein rechter Winkel. Und jetzt fragt sich der ein oder andere: Ja warum muss man denn beide Steigungen miteinander multiplizieren? Wo kommt denn diese Formel eigentlich her? Und genau das klären wir im nächsten Teil.

Video Teil 4

Klären wir also, wie es zu dieser Formel kommt, dass die Steigung des einen Graphen mit der Steigung des anderen Graphen multipliziert -1 ergibt, wenn beide orthogonal sind, sich also in einem rechten Winkel schneiden. Wie kommt man darauf? Und da gibt es mehrere Möglichkeiten das nachzuweisen. Eine ist über den sogenannten Höhensatz, den Höhensatz von Euklid hatten wir bei den rechtwinkligen Dreiecken kennengelernt. Hier sei er zur Erinnerung noch einmal notiert. Und uns interessiert jetzt diese Formel hier: h^2 = p•q. Wobei wir dieses Dreieck einmal ein bisschen nach rechts rotieren, sodass p nach oben zeigt und q nach unten zeigt. Dieses Dreieck können wir interpretieren als zwei Steigungsdreiecke. Und zwar können wir es genau hier einzeichnen, wobei p nach oben geht und q nach unten. Hier von 0 zu 1, diese Strecke auf der x-Achse ist unser h. Und die ist 1 lang. Der Höhensatz besagt h^2 = p•q. h^2 = 1^2 = 1. p entspricht ja unserer Steigung von f, also schreiben wir m_f. Erinnert euch: Wenn ihr einen Schritt nach rechts geht, dann müsst ihr den Steigungswert nach oben gehen. Das ist hier unser Steigungsdreieck. Und q entspricht unserer Steigung von q, also m_g, wobei diese ja, wie wir sehen, negativ ist. Also -m_g. Merkt euch, wenn ihr eine Gerade um 90° dreht, gibt es immer einen Vorzeichenwechsel. Und diese zwei Dreiecke über den Höhensatz, ergeben diese Gleichung hier rechts oben mit 1^2 = m_f•(-m_g). Und das lässt sich ausrechnen, die ganze Gleichung mal (-1) und wir erhalten -1 = m_f•m_g. Und genau dies ist unsere Formel, mit der wir überprüfen können, ob sich beide Geraden senkrecht schneiden. Es gibt aber noch einen anderen Weg das nachzuweisen. Für diese Herleitung nutzen wir wieder ein Steigungsdreieck. Hier f(x) = x gezeichnet. Und hier das Steigungsdreieck 1 nach rechts und 1 nach oben. Das heißt wie wir gelernt haben, das hier nach oben ist Δy. Also der Abstand von dem y-Wert zu dem y-Wert. Und Δx, das ist diese Strecke, von dem x-Wert zu dem x-Wert. Beide sind positiv. Jetzt machen wir folgendes: Wir drehen diesen Graphen 90° nach links. Wir rotieren ihn. Hier blau dargestellt. Damit rotiert auch das Steigungsdreieck. Das müssen wir hier einzeichnen. Die schwarze Linie 90° gedreht nach hier. Die orangene Linie geht ebenfalls hier rüber. Dann ist das jetzt unser Δy. Unser Δy wird also zum Δx des rotierten Graphen und unser Δx wird zu Δy, aber unser Δx ist jetzt negativ, denn es zeigt jetzt nach unten. Ein nach rechts, ein nach unten. Das heißt hier ist die Steigung Δy/Δx. Und hier ist die Steigung -Δx/Δy. Und wenn wir das miteinander multiplizieren, dann bleibt -1 übrig. Die Steigung des Ursprungsgraphen, also nennen wir ihn f ist m_f = Δy/Δx. Die Steigung des blauen Graphen, nennen wir ihn g, ist damit m_g = -Δx/Δy. Und wenn wir jetzt beide miteinander multiplizieren, dann setzen wir jetzt beide jeweiligen Brüche ein und stellen fest, die kürzen sich weg zu 1 und die kürzen sich weg zu 1 und dann bleibt die -1 stehen. Und genau aus diesem Grund. Und genau aus diesem Grund ist die Steigung des einen Graphen, die ja eben die gleichen Steigungen sind, bloß eben verkehrt herum, -1. Das also als weiterer Nachweis. Gut, als nächstes rechnen wir eine Aufgabe hierzu. Die lautet wie folgt: Bestimme die orthogonale Gerade zu f(x) = 2x + 1, die durch den Punkt P(1|3) geht. Zeichnen wir als erstes diese Gerade. Hier ist unser linearer Graph, unsere Gerade. Hier ist der Punkt P(1|3). Und hier muss jetzt eine weitere Gerade schneiden, aber senkrecht. Ganz wichtig! Nutzen wir unser bisheriges Wissen. Wir können schon einmal die Steigung bestimmen, denn wenn die Steigung 2 ist, dann muss die der senkrecht verlaufenden Geraden wie lauten? Richtig -0,5. Und wie kommt man darauf? Ganz einfach: Steigung von f ist m_f = 2. Und wir wissen: Steigung des einen Graphen f (ihr könnt übrigens auch m_1/m_2 schreiben, ich bevorzuge die Buchstaben f und g), also Steigung von f mal Steigung von g soll -1 sein. Die Steigung von f ist bekannt. Sie ist 2. Und wie ist jetzt die Steigung von g? Richtig. Wir dividieren auf beiden Seiten die 2 und dann haben wir -1/2, also -0,5. Zeichnen wir einmal den Graphen von -0,5x hier rein. Also -0,5x. Dann verläuft er hier lang. Wir wollen jedoch, dass er durch den Punkt P verläuft. Das heißt wir nutzen den Punkt P(1|3), denn der soll Punkt unseres Graphen sein. Wenn wir bei der Funktionsgleichung für x 1 einsetzen, soll nicht -0,5 rauskommen, sondern 3, und das können wir ebenfalls rechnerisch bestimmen. Die Steigung von g haben wir bereits ermittelt und jetzt brauchen wir noch die Funktionsgleichung von g. Die Steigung ist bekannt mit -0,5 und irgendein n, das den Graph hoch oder runter verschiebt. Jetzt haben wir den Punkt gegeben mit P(1|3). Das besagt x = 1 und damit y = 3. Also wenn wir jetzt in diese Funktionsgleichung, wo ja y herauskommt, das x einsetzen, die 1, dann haben wir hier die 1. In Multiplikation natürlich. Das n bleibt weiterhin unbekannt. Und y, da kommt 3 heraus. Und das hier lässt sich wunderbar auflösen, denn das ist eine ganz normale Gleichung mit einer Unbekannten. -0,5•1 = -0,5. Dann auf beiden Seiten +0,5. Damit fällt es hier links weg und taucht hier drüben wieder auf, also ist damit n = 3,5. Und damit ist die Funktionsgleichung wie? Richtig: g(x) = -0,5x + 3,5. Schauen wir uns das graphisch an. Hier ergänzen wir also +3,5. Und Voila, der Graph geht ebenfalls durch unseren Punkt P(1|3) und schneidet unseren roten Graphen senkrecht. Perfekt. Damit haben wir die Aufgabe erledigt. Wieder habt ihr etwas Neues gelernt, dass ihr im Unterricht erfolgreich anwenden könnt.
Tags: Graphen und Schnittpunkte, Lineare Funktion/Funktionen, Funktionsgleichung aufstellen bzw. herleiten, Schnittpunkt von Geraden! - lineare Gleichungen in Normalform, Steigung, Steigungsdreieck, übereinanderliegende Graphen, unendlich viele Schnittpunkte

Weitere Lektionen:

Themenauswahl:

Schreib uns deine Hinweise und Ideen

Auf dem Laufenden bleiben per Newsletter:

Durchschnittlich eine Mail pro Monat.