Mathe F10: Symmetrie bei Funktionen

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 10. Klasse

Mathe-Videos

In diesen Mathevideos führen wir die Symmetrie ein. Wir zeigen, woran ihr die Symmetrie erkennt, was es für Symmetriearten gibt und vieles mehr. Wir haben für euch das Wissen komprimiert verpackt, sodass ihr wie immer schnell lernen könnt.

Mathe-Video F10-1 Symmetrie bei Funktionen - Achsen- u. Punktsymmetrie

Wir schauen uns die Symmetrie zur y-Achse f(x)=f(-x) und die Symmetrie zum Koordinatenursprung f(x)=-f(-x) an. Wir zeigen, wie man auf die Formeln kommt und wie man die Symmetrie am Graphen erkennt.

Weitere Videos stehen dir als Kunde zur Verfügung:

  • F10-2 Symmetrie bei Funktionen - Symmetrie nachweisen

    Wie kann man rechnerisch nachweisen, ob eine Funktion symmetrisch ist und welche Symmetrie vorliegt. Wie erkennt man bereits an der Funktionsgleichung die Symmetrieart (anhand der Exponenten). Begriffe: Gerade Funktion und ungerade Funktion. Koeffizienten beeinflussen Symmetrie nicht.

  • F10-3 Symmetrie bei Funktionen - Beliebige Senkrechte + Punkt

    Ermittlung der Formeln für die Symmetrie zu einer beliebigen Senkrechten f(a+x)=f(a-x) und zu einem beliebigen Punkt (Symmetriezentrum) mit f(a+x)-b = -f(a-x)+b. Übungsaufgaben zur Symmetrie. Symmetrie bei linearen Graphen, konstanter Funktion, Asymptote, Sinus- und Kosinusgraphen.

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Wissen zur Lektion

Achsensymmetrie

Die Formel für die Symmetrie zur y-Achse lautet (Achsensymmetrie):

f(x) = f(-x)

Das heißt, jeder Wert für x und dessen im Vorzeichen umgedrehter Wert -x haben den gleichen y-Wert.

Ein Beispiel hierfür wäre die Parabel f(x) = x2. Wählt man beispielhaft den x-Wert x = 2, so erhält man den y-Wert f(2) = 22 = 4 = y. Wie oben beschrieben, muss das Gleiche auch für x = -2 gelten. So ist f(-2) = (-2)2 = 4 und damit liegt derselbe y-Wert vor.

f(x) = f(-x)
f(2) = f(-2)
4 = 4

Symmetrie bei der Parabel

Punktsymmetrie

Die Formel für die Symmetrie zum Koordinatenursprung lautet (Punktsymmetrie):

f(x) = -f(-x)

Jetzt werden nicht nur die x-Werte umgekehrt, sondern auch die dazugehörigen y-Werte.

Ein Beispiel hierfür wäre die Gerade f(x) = x. Wählt man beispielhaft den x-Wert x = 2, so erhält man den y-Wert f(2) = 2 = y. Nimmt man nun den x-Wert mit dem entgegengesetzten Vorzeichen x = -2 wird der y-Wert -2 erwartet (also ebenfalls umgekehrten Vorzeichen), was tatsächlich auch so ist f(-2) = -2.

f(x) = -f(-x)
f(2) = -f(-2)
4 = -(-4)
4 = 4

Punktsymmetrie bei der Geraden

Achsensymmetrie zu einer beliebigen Senkrechten

In der Schule weniger geläufig, aber weiterhin wichtig: Die Formel für die Symmetrie zu einer beliebigen Senkrechten lautet (Achsensymmetrie):

f(a+x) = f(a-x)

Mit dem a berücksichtigen wir die Verschiebung der Symmetrieachse.

Für die Verschiebung der Parabel um 2 nach rechts erhalten wir die Funktionsgleichung f(x) = (x-2)2. Der y-Wert für x = 1 ist f(1) = (1-2)2 = 1 = y. Mit der obigen Formel können wir den Punkt finden, der ebenfalls den y-Wert 1 besitzt. Es gilt f(a+x) = f(a-x), wobei a = 2. Da wir uns bereits x = 1 angeschaut haben, wird nun x = 1 eingesetzt: f(2+1) = f(2-1) => f(3) = f(1). An der Stelle x = 3 finden wir also ebenfalls den y-Wert y = 1. Das sieht man auch im Graphen:

f(a+x) = f(a-x)
f(2+1) = f(2-1)
f(3) = f(1)
1 = 1

Achsensymmetrie zu einer beliebigen Senkrechten

Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt

Die Formel für die Symmetrie zu einem beliebigen Punkt lautet (Punktsymmetrie):

f(a+x)-b = -f(a-x)+b

Hier berücksichtigen wir mit b die Verschiebung des Graphen nach oben oder unten.

Das Symmetriezentrum S(a|b) ist der Punkt, an dem sich die Symmetrie orientiert. Für die Symmetrie zum Koordinatenursprung ist es Z(0|0).

Um ein Beispiel anzuführen nehmen wir die kubische Funktion f(x) = (x - 2)3 - 3 (Graph siehe unten). Der Symmetriepunkt liegt somit bei S(2|-3). Der y-Wert zu x = 1 ist f(1) = (1 - 2)3 - 3 = -4. Den y-Wert, welcher bei x = 3 zu erwarten ist, also 1 Einheit rechts vom Symmetriezentrum, errechnen wir mittels obiger Formel. Dabei ist x = 1, a = 2 und b = -3.

f(a+x) - b = -f(a-x) + b
f(2+1) - (-3) = -f(2-1) + (-3)
f(3) + 3 = -f(1) - 3
f(3) + 3 = -(-4) - 3
f(3) + 3 = 1    | -3
f(3) = -2

Wir sehen bereits in der zweiten Zeile, dass die gleiche Entfernung zum Symmetriezentrum vorliegt (1 nach links, 1 nach rechts). Für x = 3 erhalten wir f(3) = (3-2)3 - 3 = -2. Das sieht man auch gut am Graphen:

Punktsymmetrie beliebiger Punkt

Gerade Funktionen / Ungerade Funktionen

Eine gerade Funktion ist eine Funktion, die nur gerade Exponenten hat (also alle ganzzahligen Exponenten sind durch 2 teilbar, ohne Rest). Eine ungerade Funktion ist hingegen eine Funktion, die nur ungerade Exponenten besitzt.

Gerade Funktionen sind stets achsensymmetrisch (zum Beispiel f(x) = x2 oder auch g(x) = x4 + x2 + x0 = x4 + x2 + 1). Ungerade Funktionen sind stets punktsymmetrisch (zum Beispiel f(x) = x3 + x).

Die Koeffizienten (also die Zahlen in Multiplikation vor den Variablen, wie 3·x2) beeinflussen die Symmetrieart nicht.

Die Achsensymmetrie kann auch als Spiegelung an der Symmetrieachse verstanden werden. Die Punktsymmetrie kann als 180°-Drehung des Graphen um das Symmetriezentrum verstanden werden.

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Übungsaufgaben

Nachfolgend findet ihr Aufgaben zur Symmetrie bei Funktionen, mit denen ihr euer neues Wissen testen könnt.

A: Bestimme durch Anschauen des Graphen, welche Symmetrie vorliegt.

a)

Symmetrie bei Funktionen Aufgabe a

b)

Symmetrie bei Funktionen Aufgabe b

c)

Symmetrie bei Funktionen Aufgabe c

d)

Symmetrie bei Funktionen Aufgabe d

e)

Symmetrie bei Funktionen Aufgabe e

B: Bestimme rechnerisch, ob Punktsymmetrie zum Ursprung bzw. Achsensymmetrie (zur y-Achse) vorliegt.

a) f(x) = x²

b) f(x) = x³

c) f(x) = 2x² + 5

d) f(x) = 2x³ + 5

e) f(x) = x4 + x²

f) f(x) = x³ + 2x²

C: Argumentiere, ob Punktsymmetrie zum Ursprung oder Achsensymmetrie (zur y-Achse) vorliegt.

a) f(x) = x6 + 3x3 + 2x

b) f(x) = x4 + 7,5x2 + 1

c) f(x) = -5x10 + 7x8 + x6 + 3x5 + x2 + 2

d) f(x) = 3x9 - 7x5 + 3x3 - 12x

e) f(x) = x2015

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Untertitel

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Video Teil 1: Achsen- und Punktsymmetrie

Hallo liebe Schüler und willkommen zur nächsten Lektion! Heute schauen wir uns die Symmetrie bei Funktionen an. Und gleich vorab gesagt, es gibt zwei Symmetriearten: Die eine ist die „Achsensymmetrie“, die andere ist die „Punktsymmetrie“. Und in diesem Video schauen wir uns die häufigsten Fälle an, die von euch verlangt werden; und zwar bei der Achsensymmetrie die Symmetrie zur y-Achse, und bei der Punktsymmetrie die Symmetrie zum Koordinatenursprung. Im dritten Teil schauen wir uns an, wie man die Symmetrie zu einer beliebigen Senkrechten berechnet und wie man die Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt berechnet. Kurz noch gesagt, was „Symmetrie“ überhaupt bedeutet: Das Wort kommt aus dem Griechischen und zwar von „symmetria“, das Ebenmaß, das Gleichmaß; wobei „sym“ zusammen heißt und „metria“, das kennt ihr von Meter, das Maß. Also zusammen: Gleich-Maß, Gleichmaß. Und was das Gleichmaß bedeutet, das sehen wir jetzt.
Wir hatten ja in der Lektion „Quadratische Funktionen“ schon die Normalparabel kennengelernt. Und dort hatten wir gesehen, dass wenn wir von der y-Achse aus nach rechts schauen und nach links schauen, wir immer den gleichen Abstand haben. Also hier bei der Höhe 4 haben wir einmal den x-Wert 2, denn 2² ist ja 4, und bei -2, (-2)² haben wir auch die 4. Also hat die 4 nach links den Abstand 2 und nach rechts den Abstand 2. Und diese Eigenschaft sehen wir bei allen positiven und negativen Werten.
Machen wir kurz eine Aufstellung. Hier haben wir unser f(x) = x², und jetzt setzen wir mal für x ein paar Werte ein und schauen, was sich dann ergibt für ein y-Wert. Hier also die Tabelle, wir tragen hier die x-Werte ein, und hier rechnen wir x² aus. Fangen wir an. Setzen wir die 1 ein, 1² = 1. Setzen wir die 2 ein, 2² = 4. Setzen wir die 3 ein, kommt die 9 raus. Setzen wir die 4 ein, kommt die 16 raus.
Das Gleiche machen wir jetzt mal für die negativen Werte, und zwar hier drüben. Ich habe hier mal die Tabelle rüberkopiert, also die 1 : 1 übernommen, und jetzt rechnen wir negative Werte:
(-1)² ist, richtig, 1. (-2)² ist, richtig, 4. (-3)² = 9, und (-4)² =16.
Ihr seht, bei x² haben wir x * x, also zum Beispiel hier minus mal minus, und dann kommt ein positiver Wert raus. Das heißt, wir haben hier genau die gleichen Werte wie hier drüben. Und daran erkennen wir auch die Symmetrie: Wenn wir unser f(x) haben, kommt da ein y raus. Und wenn wir jetzt hier ein Minus davorsetzen, -1, -2, -3, -4 beziehungsweise allgemein -x daraus machen, also
f(-x), kommt ebenfalls ein y heraus, also der gleiche Wert jeweils. Und dann können wir das hier gleich gegenüber setzen: f(x) ist das Gleiche wie y, y ist f(-x), also sind die beiden ebenfalls gleich.
Und das schreiben wir dann in eine Zeile, und das y hinten kann man auch wegnehmen. Und das ist Voraussetzung für die Achsensymmetrie, also für den Fall, dass wir an der y-Achse eine Symmetrie haben, also eine Spiegelung. Wir können also diesen Graphen in den gleichen Abständen abtragen beziehungsweise einfach herüberspiegeln, und wir erhalten diesen Teil des Graphen. Es spielt also keine Rolle, ob wir eine +2 oder eine -2 einsetzen, bei beiden erhalten wir die Höhe 4, also den y-Wert 4.
Wie sieht es nun mit der sogenannten „Punktsymmetrie“ aus? Hier nehmen wir als anschauliches Beispiel eine kubische Funktion, f(x) = x³. Und hier erkennen wir Folgendes: Diese Funktion geht durch den Koordinatenursprung, also f(0) = 0. Wenn x = 0 ist, ist y = 0. Halten wir das fest. Die Punktsymmetrie: Wir haben die Eigenschaft, dass der Graph durch den Ursprung geht!
Dann lasst uns jetzt mal ein paar Werte anschauen, die 1, 2, 3, 4, wie wir es auch bei der quadratischen Funktion gemacht hatten.
Wenn wir eine 1 einsetzen, f(1), erhalten wir die 1.
f(2), das geht ja schon weit nach oben, da müssen wir herauszoomen, wir erhalten die 8.
f(3), da müssten wir jetzt noch weiter rauszoomen, lasst uns das jetzt in der Tabelle berechnen.
Also 1³ = 1 * 1 * 1 = 1.
2³ = 2 * 2 ist 4, * 2 = 8.
3³; 3 * 3 sind 9, * 3 = 27.
4³; 4 * 4 sind 16, * 4 = 64.
Wie sieht es jetzt hier drüben aus, wenn wir hier x und x³ haben wollen für die negativen Werte?
-1; -1 * (-1) = +1, * (-1) = -1.
-2 für x; -2 * (-2) = +4, * (-2) = -8.
-3; -3 * (-3) = +9, * (-3) sind, richtig, -27.
Und bei -4; -4 * (-4) = +16, * (-4) = -64.
Was ist jetzt passiert?
Offensichtlich hatten wir hier immer positive Ergebnisse bekommen, als unser x positiv war, und hier, als unsere x-Werte negativ waren, haben wir die gleichen y-Werte herausbekommen, nur negativ! Deshalb sieht der Graph auch so geschwungen aus. Bei der 2 haben wir hier die 8, bei der -2 haben wir hier die -8. Ihr könnt also, wie zum Beispiel (1|1), (-1|-1) eine sogenannte „Punktsymmetrie“ erkennen. Das heißt, dieser Punkt hier hat genau die gleichen Koordinaten wie dieser Punkt, nur im Vorzeichen gedreht!
Also allgemein halten wir fest: f(x) = y, das also für unsere linke Tabelle. Und was ist hier passiert? Wenn unser x negativ wird, also -1, -2, -3, -4, sagen wir also f(-x), was passiert mit dem y? Richtig, es wird auch negativ! Also schreiben wir hier -y hin. Im nächsten Schritt überlegen wir, wie kommen wir jetzt von -y auf y? Und das können wir hier ganz einfach machen, das ist ja eine Gleichung: Wenn hier ein -y steht, kann man das auch schreiben als -1 * y, und das kriegen wir ganz einfach weg, indem wir durch -1 dividieren auf beiden Seiten, beziehungsweise mal -1 rechnen, das kommt hier aufs Gleiche heraus. Das heißt, wir erhalten damit: Hier rechnen wir mal -1 dazu, und hier drüben ebenfalls mal -1. Dann ergibt sich rechts -1 * (-1) = +1, und damit bleibt y rechts stehen. Und hier drüben -1, die schreiben wir mal nach vorne, und dann dürfen wir auch die -1 weg machen, und lassen einfach das Minus da stehen. Das heißt, hier bleibt jetzt -f(-x) stehen, und das ist y. Nochmal zur Wiederholung: Also wenn unser x, 1, 2, 3, 4, negativ wird, wie hier drüben, das heißt, wir schreiben hier ein -x hinein, erhalten wir diese y-Werte, nur negativ, also hier!
Und jetzt dürfen wir, nehmen wir mal die zweite Zeile weg, die beiden Terme gleichsetzen, denn dieser Term entspricht y, und dieser Term entspricht y. Also schreiben wir hin, ist gleich, ziehen das auf eine Zeile, dieses y können wir wegnehmen, und dieses y können wir wegnehmen. Und schon haben wir die Voraussetzung für die Punktsymmetrie:
f(x) = -f(-x)
Und genau auf diese Art und Weise können wir auch prüfen, ob Achsen- oder Punktsymmetrie vorliegt. Hier nochmal in der Übersicht.
Schauen wir uns im nächsten Teil an, wie wir die Symmetrie rechnerisch nachweisen können und wie wir bereits an der Funktionsgleichung erkennen, ob die Funktion symmetrisch ist.

Video Teil 2: Symmetrie nachweisen

Schauen wir uns als nächstes an, wie wir die Symmetrie rechnerisch bestimmen können. Wir haben also nochmal in der Übersicht
Achsensymmetrie f(x) = f(-x): Die y-Werte sind beide positiv, egal ob wir ein positives oder ein negatives x einsetzen;
und für die Punktsymmetrie f(x) = -f(-x), das heißt hier setzen wir ein -x ein, drehen das Vorzeichen um und wir haben die gleichen Werte wie beim f(x).
Gut, testen wir jetzt mal eine Funktion auf Symmetrie. Nehmen wir f(x) = x^4 – x². Prüfen wir also, ob diese Funktion achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch ist.
Fangen wir an mit der Achsensymmetrie. Und jetzt müssen wir nichts weiter machen als das f(-x) auszurechnen. Also schreiben wir jetzt hier f(-x) darunter, was wiederum heißt, dass hier nicht x, sondern -x und hier auch statt x -x eingesetzt wird. Und jetzt müssen wir das ausrechnen. (-x)^4, (-x)^4 ist richtig, x^4. Durch den geraden Exponenten erhalten wir hier ein positives Ergebnis. Minus mal minus mal minus mal minus ist positiv. Schreiben wir es in die nächste Zeile. Also hier kommt dann x^4 raus, und hier -x * (-x), also durch das Quadrat erhalten wir unser x². Und wir sehen
f(x) = x^4 – x², und f(-x) = x^4 – x². Die beiden sind identisch, damit entspricht f(x) auch f(-x). Damit haben wir nachgewiesen, dass hier bei diesem Graphen Achsensymmetrie vorliegt.
Testen wir noch, ob Punktsymmetrie vorliegt, indem wir das hier genauso machen. Das ist unser f(x), und dann haben wir -f(-x), schreiben das hierhin. Und jetzt müssen wir diesen Term hier hinschreiben, aber unbedingt hier die Klammern setzen und das -x einsetzen. Hier genauso -x rein, und was jetzt ganz wichtig ist, eine äußere Klammer zu setzen und ein Minus davor! Denn es ist ja
-f(-x). So, und jetzt gilt es wieder auszurechnen, (-x)^4 = x^4, dann (-x)² = x², und jetzt durch dieses Minus hiervor drehen sich alle Vorzeichen hier um: Hier haben wir ein +x^4, das wird zu -x^4, und dieses -x² wird +x². Und wir sehen: -f(-x) = -x^4 + x² und das ist nicht das Gleiche wie x^4 – x²! Es handelt sich also nicht um Punktsymmetrie bei diesem Graphen.
So, jetzt ist es Zeit, diesen Graphen mal zu zeichnen. Und hier ist er schon: x^4 – x². Wir sehen, nehmen wir uns einen markanten Punkt, bei x = 1 haben wir den y-Wert 0, und hier bei
x = -1 haben wir den y-Wert 0. Und so können wir nach rechts schauen, nach links schauen, wir haben immer den gleichen Abstand, was übrigens einer Spiegelung entspricht von rechts nach links, eine Spiegelung an der y-Achse.
Sehr schön. Betrachten wir als Nächstes, woran wir an der Funktionsgleichung selbst erkennen, ob Symmetrie vorliegt. Die Achsensymmetrie erkennt ihr immer daran, dass es bei einer Funktionsgleichung nur gerade Exponenten gibt! Also 0, 2, 4; in dieser Funktionsgleichung sind alle Exponenten gerade, das heißt, wir haben hier eine Achsensymmetrie. Man nennt solche Funktionen auch „gerade Funktionen“. Man könnte jetzt natürlich auch -x hier einsetzen und das ausrechnen, und ihr würdet sehen, es kommen überall wieder die positiven Variablen heraus. Und hier noch der Hinweis bei x^0: Jede Zahl hoch 0 ergibt 1, und diese 1 verschiebt unseren Graphen einen nach oben! Und eine Verschiebung entlang der y-Achse hat keine Auswirkung auf unsere Achsensymmetrie. Allgemein merken wir uns: Sobald wir ein absolutes Glied dabei haben ungleich 0 ist der Graph nach oben oder unten verschoben, und dann kann es nie Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung sein! Wenn wir das jetzt mal graphisch darstellen, sieht das so aus, also ein achsensymmetrischer Graph. Und wenn wir jetzt hier beispielsweise eine x^6 hinzufügen, sehen wir, dass der Graph immer noch achsensymmetrisch ist, er ist jedoch in y-Richtung stärker gestreckt, also die Werte steigen schneller.
Und wenn wir jetzt mal aus der +x^4 eine -x^4 machen, seht Ihr: Er verändert sich zwar, aber ist immer noch achsensymmetrisch. Machen wir aus +x² eine -x², verändert er sich wieder, jedoch ist er immer noch achsensymmetrisch.
Also bitte merken: Wenn wir gerade Exponenten haben in unserer Funktionsgleichung, dann handelt es sich um eine achsensymmetrische Funktion, bei nur geraden Exponenten. Und ganz wichtig: Ihr könnt auch hier hinten negative Exponenten haben, zum Beispiel eine -2! Das ist immer noch eine gerade Zahl, und damit haben wir immer noch eine achsensymmetrische Funktion. Schauen wir uns mal x² + x^(-2) als Graph an. Dann erhalten wir so ein interessantes Gebilde, und wir sehen, die Abstände nach rechts und nach links sind immer die gleichen, egal wo wir schauen. Und hier seht ihr auch, dass sich beide Graphenelemente, beide Graphenteile an die y-Achse annähern. Warum das so ist, das sehen wir dann nachher bei den gebrochenrationalen Funktionen. Merkt euch einfach nur: Hier ist der gleiche Abstand. Wir sehen hier auch, dass es für eine Höhe mehrere
x-Werte geben kann, die diese Höhe annehmen; also wenn wir hier bei der Höhe 14 gucken, y ist 14, haben wir hier den kurzen Abstand und hier den langen Abstand! Wir haben hier 4 x-Werte, die den Wert 14 annehmen.
Gut, woran erkennen wir die Punktsymmetrie? Was müssen wir hier ändern? Statt Achsensymmetrie schreiben wir jetzt Punktsymmetrie. Dann müssen wir hier vorne das Minus vorsetzen, weil ja alle y-Werte negativ werden, und hier schreiben wir ganz einfach mal „bei nur ungeraden Exponenten“ hin und gucken, ob das stimmt. Also machen wir mal ein x3 hier draus, denn das hatten wir ja schon in der Beispielaufgabe; und was ist noch ungerade, richtig, machen wir die x^1 da noch hinzu. Und den zeichnen wir jetzt mal und nennen wir den jetzt mal h(x). Das ist x^3 + x^1, und ihr seht, er ist punktsymmetrisch. Prüfen wir das. x = 1, y = 2; x = -1, y, richtig -2. Und wenn wir rauszoomen, sehen wir, er wird sozusagen einmal gespiegelt an der y-Achse und dann einmal gespiegelt an der x-Achse, und das ist Punktsymmetrie. Also nochmal als Animation: Wir spiegeln diesen Teil im I. Quadranten in den II. Quadranten, und spiegeln von dem II. Quadranten an der x-Achse nach unten in den III. Quadranten. Das heißt, einmal drehen wir die x-Werte um, und dann drehen wir die y-Werte um, deswegen -f(-x).
Auch könnt ihr euch merken, dass die Punktsymmetrie einer Drehung von 180 Grad um das Symmetriezentrum, also unseren Koordinatenursprung entspricht. Hier auch nochmal als Animation.
Und auch hier können wir jetzt höhere Werte nehmen wie zum Beispiel x^5 oder x^7 etc. Wenn wir uns diese Funktion nochmal anschauen, sehen wir, verläuft sie ähnlich wie unsere x^3-Funktion, nur die Werte steigen halt viel schneller.
Wir können also sagen: Bei nur ungeraden Exponenten haben wir eine punktsymmetrische Funktion, und diese Funktion nennt man im Übrigen auch „ungerade Funktion“. Und was passiert, wenn wir jetzt beispielsweise eine x^(-1) hinzubekommen? Das ist ja auch eine ungerade Zahl. Dann sieht unser Graph auf einmal so aus. Und hier ist auch zu prüfen: Ist hier Punktsymmetrie? Und ja, wir haben auch eine Punktsymmetrie. Wir können jetzt hier einzelne Werte vergleichen oder wir spiegeln den Graphenteil hier auf die linke Seite, also an der y-Achse, und dann nach unten an der x-Achse. Und die Graphen liegen übereinander, das heißt, wir haben Punktsymmetrie. Auch hier liegt übrigens eine gebrochenrationale Funktion vor wie schon vorhin: Durch die negativen Exponenten entsteht hier natürlich ein Bruch. Erinnert euch an die Potenzen 1*1/x^1.
Gut, was passiert nun, wenn wir eine ganz andere Funktion haben, die auf einmal gerade und ungerade Exponenten dabei hat, wie dieses einfache Beispiel hier: x^5 + x^4 + x^3? Dann erhalten wir diesen Graphen, und jetzt würden einige vielleicht sagen: „Ach guck mal, der ist ja auch wieder punktsymmetrisch.“ Aber halt, aufpassen! Vergleichen wir nur zwei Punkte, zum Einen den bei 1.
Wenn x = 1 ist, haben wir den Wert y = 3. Wenn x = -1 ist, gehen wir nach unten, stopp: Dann haben wir den Wert -1 und nicht -3! Hier handelt es sich also nicht um Punktsymmetrie! Er sieht zwar so ähnlich geschwungen aus wie der x^3, aber wenn ihr genau hinschaut, seht Ihr, dass die linke Seite hier langsamer steigt und hier schneller nach oben geht.
Wenn wir jetzt hier die Symmetrie prüfen wollten, dann stellen wir auf für die Achsensymmetrie
k(-x) und für die Punktsymmetrie müssten wir dann -k(-x) ausrechnen. Wenn das Ergebnis hier dann unserem k(x) entspricht, dann hätten wir Achsensymmetrie, wenn das Ergebnis hieraus unserem k(x) entspricht, dann hätten wir Punktsymmetrie. Und das können wir relativ schnell auflösen: (-x)^5 = -x^5; dann (-x)^4 = +x^4; und (-x)^3, dann erhalten wir -x^3. Und wir sehen, es ist nicht das Gleiche wie hier, denn hier ist +x^3 und hier ist -x^3. Also die ist schon mal nicht
achsensymmetrisch.
Prüfen wir als Nächstes auf Punktsymmetrie. Hier lösen wir auch wieder auf wie zuvor: -x^5, dann hier +x^4 und dann -x^3. Und jetzt durch das Minus hiervor drehen sich alle Vorzeichen um: Minus wird zu plus, plus wird zu minus, minus wird zu plus. Und auch hier erkennen wir, es ist nicht das Gleiche wie hier, hier ist ein +x^4, hier ein -x^4. Das ist der Nachweis dafür, dass wir hier keine Symmetrie haben.
Merken wir uns also: Bei gemischten Exponenten haben wir weder Achsensymmetrie noch Punktsymmetrie, beziehungsweise wir haben keine Symmetrie! Es liegt keine Symmetrie vor.
Und noch abschließend der Hinweis: Es spielt keine Rolle, ob hier noch Koeffizienten davorstehen, also Zahlenwerte vor dem x. Wenn wir zum Beispiel eine 3 vor das x^5 schreiben, eine 1 vor das x^4 und eine 0,5 vor das x^3, verändert das das Symmetrieverhalten nicht. Genauso bei den achsensymmetrischen oder punktsymmetrischen Funktionen. Die Art der Symmetrie wird nicht durch die Koeffizienten verändert.
Zwei Beispiele noch schnell: Wenn wir ein x^2 haben, und machen wir jetzt ein 3x^2 daraus, seht ihr ist die Parabel immer noch achsensymmetrisch, nur stärker in y-Richtung gestreckt. Für Punktsymmetrie nehmen wir x3; wenn wir jetzt beispielsweise ein -5*x^3 haben, verändert sich zwar der Verlauf des Graphen, aber es liegt immer noch Punktsymmetrie vor. Zum Beispiel hier:
f(-1) = +5, f(+1) = -5, richtig. Das als abschließender Hinweis.
Jetzt habt ihr die Grundlagen der Symmetrie kennengelernt und solltet auch in der Lage sein, sie anzuwenden, um Funktionen auf Symmetrie rechnerisch zu prüfen.
Im nächsten und letzten Teil schauen wir uns die Achsensymmetrie zu einer beliebigen Senkrechten an und die Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt; und wir geben noch ein paar wichtige Hinweise.

Video Teil 3: Symmetrie bei beliebiger Senkrechten + Punkt

Hallo liebe Zuschauer! Wir hatten ja gerade die Symmetrie bei Funktionen kennengelernt, und zwar für die Fälle der Achsensymmetrie bezogen auf die y-Achse, und der Punktsymmetrie bezogen auf den Koordinatenursprung. Dies sind zwei Spezialfälle, schauen wir uns als Nächstes an, wie wir das verallgemeinern können! Man sagt dann „Allgemeine Symmetrie“ bei Funktionen. Dann gilt das für eine beliebige senkrechte Achse oder Senkrechte und für einen beliebigen Punkt. Und dann ändern sich auch unsere Formeln ein Bisschen.
Schauen wir uns die allgemeine Achsensymmetrie an. Wir hatten ja hier unsere Formel f(x) = f(-x), die war die Voraussetzung für die Symmetrie zur y-Achse. Hier haben wir als Beispiel unsere Normalparabel, die aus x2 entsteht, und unsere y-Achse ist die Symmetrieachse. Wenn wir jetzt die Normalparabel 2 Einheiten nach rechts verschieben, sehen wir, dass sie die Form nicht ändert, nur ihre Position verändert hat. Und wenn wir jetzt hier durch ihren Scheitelpunkt, der bei (2|0) liegt, eine Senkrechte durchzeichnen, erkennen wir, dass die Achsensymmetrie für die verschobene Normalparabel an dieser Senkrechten existiert; von hier aus nach rechts und nach links haben wir den gleichen Abstand, von hier aus nach rechts und nach links den gleichen Abstand etc. Und das können wir jetzt wie folgt festhalten: Jeder x-Wert, der vorher hier lag, wurde jetzt um 1, 2 Einheiten nach rechts verschoben.
Das heißt, diese Verschiebung der x-Werte müssen wir allgemein festhalten. Wir können hier in unsere Formel mal eine 0 eintragen, also eine 0 + x, und das ist ja wieder x. Und genauso hier:
0 – x, und das ist ja wieder -x. Stellt euch vor, diese 0 ist der x-Wert unserer y-Achse, also hier, hier ist x = 0. Jetzt verschieben wir diesen 1, 2 nach rechts. Das heißt, unsere 0 wird jetzt zu 2. Und das sagt nichts weiter aus, als dass alle unsere x-Werte 2 nach rechts verschoben werden, und hier ebenfalls alle unsere negativen x-Werte 2 nach rechts verschoben werden. Und das machen wir allgemein: Wir schreiben keine 2, wir schreiben ein „a“. Und schon haben wir die allgemeine Formel beziehungsweise Bedingung für die Achsensymmetrie.
Wenn wir zum Beispiel prüfen wollen, ob unsere verschobene Normalparabel symmetrisch zu einer Senkrechten ist, die durch x = 2 läuft, nehmen wir uns die Formel dieser Parabel, die lautet
x² – 4x + 4, nehmen uns dann diese Bedingung hier runter und schauen, ob bei beiden dann das Gleiche herauskommt. Also kopieren wir diese Formel hierhin und verändern wir sie, indem wir jetzt für x unser a + x einsetzen; aber aufgepasst: Wir wissen jetzt, unsere Senkrechte soll bei x = 2 liegen, das heißt a wird 2. Halten wir das hier fest. Das heißt, unser a wird hier 2, und hier ebenfalls. So, und jetzt ersetzen wir unser x mit 2 + x, und hier ebenfalls. Und das Gleiche machen wir hier unten: Wir nehmen diesen Term und setzen jetzt für x (2 – x) ein, hier und hier. Und jetzt gilt es, das auszurechnen und zu schauen, ob beide gleich sind. Wenn ja, dann haben wir eine Symmetrie zur Senkrechten, die durch den x-Wert 2 verläuft! Ganz schnell die binomische Formel angewendet. Dann erhalten wir 2² = 4, + 2 * 2 = 4x, + x². Dann – 4 * 2 = 8, + (-4 * x) = -4x, und die +4 hinten ran. Und als nächstes fassen wir zusammen. 4 + 4 – 8 = 0, also die drei fallen weg. Dann sehen wir
-4x + 4x, die fallen ebenfalls weg. Und es bleibt, richtig x² stehen. Und wir sehen, wir haben sozusagen die Verschiebung hier aus dieser Funktionsgleichung herausgenommen und x² erhalten, unsere ursprüngliche Normalparabel. So, und jetzt schauen wir, ob hier das Gleiche rauskommt, also auch x². Hier wieder die binomische Formel angewendet, 2² = 4, - 2 * (2 * x), 4x, und dann noch hinten +x². Dann -4 * 2 = 8, - 4 * (4 * x) = +4x, und hinten noch die +4 ran. Jetzt rechnen wir zusammen: 4 + 4 = 8, -8 = 0, die fallen also weg, und 4x – 4x = 0; also x² bleibt stehen. Wir sehen also, hier kommt das Gleiche raus wie hier. Beide sind also gleich, wir haben also Achsensymmetrie zur Senkrechten, die bei x = 2 liegt. Sehr schön! Das ist also die allgemeine Achsensymmetrie.
Wie schaut es aus mit der allgemeinen Punktsymmetrie? Bei der Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung hatten wir ja diese Formel aufgestellt, bei der sich unser x-Wert umdreht und unser y-Wert umdreht. Also hier der Graph von x³. Wenn wir hier (1|1) haben, wird das (-1|-1). Und unser Symmetriezentrum ist (0|0). Wenn wir diesen Graphen jedoch eine Einheit nach oben verschieben, dann verändern sich ja alle Werte dieses Graphen, des blauen Graphen: Die y-Werte werden alle um eine Einheit erhöht. Wenn wir jetzt also diesen Punkt hier vergleichen wollen, hat er jetzt die Koordinaten 1 und 2 (1|2), und nicht mehr 1 und 1 (1|1). Und Problem ist jetzt, -1 und -2
(-1|-2) ist nicht der symmetrische Punkt, denn der symmetrische Punkt zu (1|2) wäre jetzt -1 und 0 (-1|0)! Das heißt, diese Verschiebung nach oben müssen wir in der Formel berücksichtigen und sozusagen rückgängig machen. Unser Symmetriezentrum ist jetzt also nicht mehr (0|0), sondern
(0|1), weil wir den Graphen einen nach oben verschoben haben. Wir müssen ihn also einen nach unten verschieben, um wieder die gleichen Werte zu haben, (1|1) und (-1|-1). Und das können wir wie folgt in der Formel berücksichtigen: Hier ist unser y-Wert von dem ursprünglichen x³, der jetzt ja eine Einheit größer ist, also zum Beispiel beim Koordinatenursprung haben wir nicht mehr die 0, sondern jetzt 0 + 1, also die 1 für den y-Wert. Um also jetzt wieder auf die 0 zu kommen, ziehen wir einfach einen wieder ab. Damit verschieben wir diesen Punkt einen nach unten, beziehungsweise allgemein: Wir verschieben alle Punkte wieder einen nach unten.
Die rechte Seite müssen wir jedoch anders verändern. Hier ist ja unser y-Wert umgekehrt. Und y ergibt sich ja aus diesem Term, also nicht mehr nur aus f(x), sondern jetzt auch aus f(x)-1. Und diesen ganzen Term müssen wir jetzt für y einsetzen. Also die Klammern und dann f(x)-1. Und jetzt ist es ja nicht x, sondern der Wert auf der anderen Seite -x, der entgegengesetzte x-Wert. Und hier können wir jetzt auch die Klammer auflösen. Dann erhalten wir -f(-x) + 1, denn das Vorzeichen dreht sich ja! Und wenn wir das jetzt allgemein machen wollen, schreiben wir statt einer 1 ein „b“. Zusätzlich müssen wir noch die Verschiebung nach rechts oder links beachten. Wenn wir jetzt diesen roten Graphen 1, 2 nach rechts verschieben, ändert sich nicht nur unsere Funktionsgleichung, sondern auch das Symmetriezentrum. Das liegt jetzt bei (2|1). Und genau wie bei der Achsensymmetrie verläuft hier eine Senkrechte, die vorher auf der y-Achse lag. Und diese Verschiebung hatten wir bei der Achsensymmetrie mit einem +a beziehungsweise -a berücksichtigt. Also jetzt haben wir nicht mehr diese Achse bei 0, sondern bei 2. Ergänzen wir das hier: Wir haben also f(x)-b, und jetzt kommt hier noch unsere 0+, 2+, das hatten wir gerade nach rechts verschoben und damit unser a hinzu, die Verschiebung nach links oder rechts. Und das Gleiche für die rechte Seite: Da haben wir -x in der Klammer zu stehen, und jetzt haben wir a-x; das heißt, alle x-Werte werden um den Wert von a verschoben. Und das hier ist schon die fertige Gleichung zum Testen der Punktsymmetrie, wobei a und b die Koordinaten unseres Symmetriezentrums sind! Schreiben wir „Symmetriezentrum“, nennen diesen Punkt „Z“, und dann hat er die Koordinaten a und b. Und genau diese Angabe brauchen wir, wir brauchen einen Funktionsgraphen und die Angabe, zu welchem Punkt er symmetrisch sein soll, damit wir diesen prüfen können.
Prüfen wir einen Graphen. Prüfen wir, ob der Graph 2*(x-3)³ + 1 symmetrisch zum Punkt (3|1) ist. Wir stellen also auf zuerst unsere Funktionsgleichung, jetzt unser Symmetriezentrum, das zu prüfen ist; das soll sein bei (3|1), also wird a = 3, und b wird 1. Schreiben wir das mal direkt hier rein ausnahmsweise, und jetzt stellen wir unsere Bedingung für die Punktsymmetrie auf. Und jetzt sind a und b hier einzusetzen. a wird 3, b wird 1, a wird 3 und b wird 1. Als nächstes schreiben wir für die linke Seite unseren Funktionsterm hin, wobei, jetzt müssen wir aufpassen, x nicht x, sondern 3 + x entspricht; und ganz wichtig, hinten noch die -1 herangeschrieben werden muss! Die rechte Seite machen wir später, lösen wir jetzt die linke Seite auf. Hier drin die Klammern können wir wegnehmen, also 3 + x – 3, und ganz schön: -3 und 3 ergeben 0. Das heißt, hier bleibt x³ stehen. Dann können wir die Klammer hier wegnehmen, und hier hinten +1 – 1 = 0.
So, und jetzt gilt es, die rechte Seite aufzulösen. Setzen wir hier die Funktionsgleichung ein, und unser x entspricht jetzt 3 – x. Setzen wir das also für x ein, und dann haben wir hinten noch die +1 zu stehen; die müssen wir ebenfalls berücksichtigen, und ganz wichtig: Um unsere Funktion herum die Klammern mit dem Minus setzen! Und die Klammer endet vor dieser +1. So, und das gilt es jetzt auch aufzulösen. Hier auch wieder sehr schön: Die Klammern bei 3-x können wir wegnehmen, und -3 und 3, das ergibt 0. Und in der Klammer bleibt (-x)³ stehen. Wenn wir jetzt (-x)³ ausrechnen, kommt -x³ heraus. Und das dann mal 2, so erhalten wir -2x³. Jetzt gilt es noch, das Minus hier vor der Klammer zu berücksichtigen, das heißt, wir nehmen es weg, ändern dieses Minus zu Plus und dieses Plus zu Minus. Und jetzt sehen wir: Hinten steht jetzt -1 + 1, das wird 0, also fällt weg, und übrig bleibt 2x³. Jetzt sehen wir: Hier links steht das Gleiche, das heißt, dieser Teil und dieser Teil sind gleich. Wir haben also eine Punktsymmetrie zum Symmetriezentrum (3|1). Das ist also der Nachweis für diese Punktsymmetrie. Wir sind fast am Ende der Lektion. Schauen wir uns noch ein paar spezielle Funktionen an, und betrachten wir deren Symmetrie zur y-Achse und Symmetrie zum Koordinatenursprung.
Habt ihr beispielsweise einen linearen Graphen wie x + 3, dann hat dieser zum Koordinatenursprung keine Punktsymmetrie, und er ist auch nicht symmetrisch zur y-Achse.
Aufgepasst bei konstanten Funktionen: Das ist f(x) = 2. Hier haben wir eine Achsensymmetrie, denn der Graph ist eine gerade Funktion. Denn die Potenz versteckt sich hier bei der 2, denn eigentlich ist das 2 * 1 und damit 2 * x^0. Wir haben nur einen geraden Exponenten.
Wir hatten ja vorhin auch ein paar gebrochenrationale Funktionen angesprochen. Zusätzlich solltet ihr noch die Asymptoten kennen, also so etwas Schönes wie 1/x. Hier sehen wir, dass sich der Graph an die x-Achse annähert und hier an die y-Achse annähert; und genauso Richtung minus Unendlich nähert er sich der x-Achse an, und hier nähert er sich der y-Achse an. In Bezug auf die Symmetrie ist zu sagen: Dieser Graph ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
Und schauen wir uns noch einen besonderen Graphen an: Das ist Sinus(x), und wie ihr vielleicht sehen könnt, er ist punktsymmetrisch. Und wenn wir uns Kosinus(x) nehmen, sehen wir, dass dieser achsensymmetrisch ist, also an der y-Achse gespiegelt. Soweit die abschließenden Hinweise. Damit sind wir am Ende der Lektion. Viel Erfolg und bis bald.
Tags: Punktsteigungsform, Punktsteigungsformel, Punkt-Steigungs-Formel

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