STE04: Quadratische Pyramide

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 8. - 10. Klasse

Mathe-Videos

Um die Lektion verstehen zu können, müsst ihr unbedingt den Satz des Pythagoras beherrschen. Wer ihn noch nicht anwenden kann, schaut sich das Video TRI03-2 bei uns an, ansonsten könnt ihr die Herleitungen der Formeln nicht verstehen. Zu den Pyramiden gibt es vieles neues interessantes Wissen, viel Spaß dabei:

Mathe-Video STE04-1 Quadratische Pyramide - Bestandteile, Herleitung Formeln

Bestandteile der Pyramide: Seite a, Höhe der Pyramide h, Seitenkante s, Höhe auf Seite a, Diagonale d, Grundfläche, Seitenfläche, Oberfläche, Volumen. Herleitung der Formeln für die Seitenkante s und die Höhe h_a sowie für die Diagonale. Unterschied gerade und schiefe Pyramide.

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  • STE04-2 Quadratische Pyramide - Herleitung Flächenformeln, Volumen

    Wir leiten die Formeln für Umfang, Grundfläche, Mantelfläche, Oberfläche her. Wir zeigen, wie die Volumenformel lautet und wie man sie sich besser merken kann. Am Ende fassen wir alle Formeln zu den Pyramiden zusammen.

  • STE04-3 Quadratische Pyramide - Aufgaben

    Zuerst Übersicht aller Formeln. Dann lösen wir die Aufgabe: Gegeben sind Höhe h und Seite a und wir berechnen alle Bestandteile der Pyramide. Nächste Aufgabe: Es sind nur Seite a und Oberfläche gegeben, die Höhe ist zu bestimmen.

  • STE04-4 Quadratische Pyramide - Aufgaben II

    Wir stellen eine Formel für Seite a auf, wenn nur Seitenkante s und Mantelfläche M gegeben sind. Wir substituieren und prüfen auf Scheinlösungen, um das korrekte Ergebnis zu ermitteln.

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Wissen zur Lektion

Was ist ein Pyramide?

Eine quadratische Pyramide ist ein geometrischer Körper. Er besteht aus einer quadratischen Grundfläche und einer umlaufenden Mantelfläche, die aus vier gleichschenkligen Dreiecken besteht. Diese Dreiecke stehen in spitzem Winkel auf der Grundfläche und treffen sich oben in einem Punkt (die Spitze der Pyramide). Da bei diesem Körper Dreiecke, die in rechtwinklige Dreiecke zerlegt werden können, eine wesentliche Rolle spielen, braucht man für die Berechnungen an der Pyramide vor allem den Satz des Pythagoras.

Abbildungen von Pyramiden

Pyramide mit Flächen - Grafik Pyramide mit Durchmesser - Grafik Pyramide mit Winkel Seitenfläche und Seitenkante - Grafik

Merkmale einer Pyramide

  • Der Pyramide hat 5 Einzelflächen (1 Quadrat und 4 Dreiecksflächen), 5 Ecken (inklusive der Spitze) und 8 Seiten (4 Kanten der Grundfläche plus 4 Kanten der Mantelfläche).
  • Die Quadratsfläche am Boden nennt man Grundfläche und die 4 Dreiecksflächen ergeben zusammen die Mantelfläche.
  • Die Pyramide ist achsensymmetrisch zur Pyramidenhöhe, also der Senkrechten, die durch die Pyramidenspitze und den Mittelpunkt der Grundfläche (auch "Fußpunkt" genannt) verläuft.
  • Die Diagonale verläuft diagonal auf der Grundfläche, sie wird über den Satz des Pythagoras berechnet.
  • Die Seitenkanten (auch Mantellinien genannt) sind alle Linien, die sich auf den Kanten der Mantelfläche befinden und von den Ecken der Grundfläche direkt zur Pyramidenspitze führen.
  • Die direkte Strecke vom Mittelpunkt der Grundfläche zur Spitze der Pyramide wird "Höhe der Pyramide" bezeichnet. Die Höhe steht stets senkrecht auf der Grundfläche.
  • Die Höhe ha meint die Strecke, die auf der Seite a steht und direkt zur Pyramidenspitze führt, dabei verläuft sie auf der Mantelfläche.
  • Die Pyramidenoberfläche ergibt sich aus Addition der Grundfläche mit der Mantelfläche.
  • Das Pyramidenvolumen ist der Rauminhalt, der durch die Pyramidenoberfläche begrenzt wird.

Wortherkunft

Das Wort "Pyramide" kommt vom lateinischen "pyramis" und ging aus dem Ägyptischen hervor (wahrscheinlich "pmr", gesprochen "pimar"). Die Bedeutung des Wortes konnte nicht eindeutig geklärt werden. Die Ägypter nannten Pyramiden "pr.ntr" (gesprochen "per-neter"), wobei "per" Haus bedeutet und "neter" Gott. Demzufolge war mit Pyramide wahrscheinlich ein Gotteshaus gemeint.

Pyramide in anderen Sprachen:

Chinesisch: 棱锥. Dänisch: Pyramide. Englisch: Pyramid. Finnisch: Pyramidi. Französisch: Pyramide. Indonesisch: Limas. Italienisch: Piramide. Latein: Pyramis. Litauisch: Piramidė. Niederländisch: Piramide. Norwegisch: Pyramide. Polnisch: Piramida. Rumänisch: Piramidă. Russisch: Пирамида. Spanisch: Pirámide. Türkisch: Piramit. Ungarisch: Piramis. Vietnamesisch: Hình chóp.

Beispiele aus dem Alltag (Pyramidenform)

Pyramidenformen findet man im Alltag wieder. Sei aufmerksam, dann findest du sie schnell. Hier ein paar Beispiele: Cheops-Pyramide, Dach eines Kirchturms, Küchenreibe, Metronom, Dach eines Partyzeltes, einige Arten von Teebeuteln, Schmuck, Kerzen.

Mathe-Programme

In der Formelsammlung 3.0 findet ihr das Programm, das wir im Video einsetzen: Pyramide aus zwei Werten berechnen. Damit könnt ihr eigene Pyramiden berechnen. Einfach zwei Werte eingeben und alle anderen Werte werden automatisch ausgerechnet.

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Übungsaufgaben

Dies ist eine neu angelegte Lektion. Der Aufgabenblock befindet sich in Ausarbeitung.

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Untertitel

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Video Teil 1

Hallo und herzlich willkommen zur Lektion Pyramiden. Gleich vorab: Die Voraussetzung für die Lektion ist der Satz des Pythagoras. Wenn ihr diesen Satz nicht versteht, versteht ihr die gezeigten Herleitungen nicht. Benennen wir als erstes die Bestandteile einer Pyramide. Und zwar einer quadratischen Pyramide. Warum quadratisch? Ganz einfach, wenn wir hier mal nach unten schauen auf die Grundfläche, dann sehen wir, die ist ein Quadrat. Und von der Grundfläche aus gehen nach oben eins, zwei, drei, vier gleichgroße Seitenflächen. Also das ist die erste Sache, die wir lernen. Die Fläche am Boden heißt Grundfläche. Die Flächen an den Seiten heißen Seitenflächen. Eine Seitenfläche ist eine Dreiecksfläche. Sie besteht hier aus der blauen Grundseite und zwei gleichlangen Strecken. Die blaue Seite nennt man Seite der Pyramide; Seite a. Also hier vielleicht besser zu sehen. Das ist die Seite a. Und hier lila eingezeichnet die Seite s. Das ist die sogenannte Seitenkante oder auch Mantellinie genannt. Merkt euch: Eine „quadratisch gerade Pyramide“ hat vier gleich lange Seitenkanten. Und hier grün eingezeichnet; das ist die Höhe von der Seite a. Also Höhe, erinnern wir uns, Höhe bei einem Dreieck, das liegt ja hier vor, ist die Strecke, die senkrecht zur Grundseite, also zur Seite a, steht. Hier ist der rechte Winkel. Und sie geht oben durch diesen Punkt. Und diese Höhe a liegt direkt auf der Seitenfläche. Weiterhin von Bedeutung ist diese rote Strecke hier in der Mitte. Das ist die Höhe der Pyramide. Sie steht senkrecht auf der Grundfläche und sieht geht vom Mittelpunkt zu der Grundfläche bis zur Pyramidenspitze. Und die Pyramidenspitze, das ist der Punkt hier oben. Der höchste Punkt der Pyramide. Weiterhin erkennen wir hier unten am Boden, also auf der Grundfläche, eine Strecke, die von einer Ecke zu anderen Ecke verläuft. Und das ist die Diagonale der Grundfläche. Das heißt wir haben als wichtigste Bestandteile der Pyramide: Die Seite a, die Höhe h, die Höhe h_a und die Seitenkante s, auch Mantellinie genannt. Fragt sich, was können wir bei der Pyramide berechnen? Die Grundfläche selbst, dann die Seitenflächen, die vier Seitenflächen, die zusammen dann Mantelfläche genannt werden. Also als Mantel man legt ihn um die Pyramide herum. Deswegen Mantel/Mantelfläche. Und wenn wir die Mantelfläche und die Grundfläche unten haben, dann ergibt die Summe daraus die Oberfläche. Also die Oberfläche sind alle Seitenflächen plus die Grundfläche. Und auch ganz wichtig ist das Volumen. Also wie viel Raum nimmt dieser Körper ein? Um Berechnungen anstellen zu können, benötigen wir natürlich die entsprechenden Formeln für die Pyramide. Zum einen für die Flächen und das Volumen zum anderen für die Seitenkante s, die Höhe h_a, den Durchmesser und den Umfang. Für unseren Fall gehen wir davon aus, dass wir die Seite a und die Höhe h gegeben haben, denn das sind die beiden wichtigsten Strecken in der Pyramide. Mithilfe von h und a lassen sich alle anderen Bestandteile berechnen. Stellen wir also als nächstes die Formeln auf für die Seitenkante s und die Höhe h_a. Wenn wir jetzt also die Seitenkante berechnen wollen, hier lila dargestellt, wie können wir da vorgehen? Und dazu schauen wir mal. Wir haben ja hier offensichtlich ein Dreieck was entsteht. Also durch die Höhe h, den halben Durchmesser und durch die Seitenkante s selbst. Und dieses Dreieck nutzen wir um die Seite s zu berechnen. Wir sagten, die Höhe h ist bekannt. Jetzt fragt sich nur, welche Wert hat die Strecke hier unten, d/2? Und um d/2 berechnen zu können, schauen wir hier auf die Grundfläche auf dem Boden. Da können wir ebenfalls ein Dreieck einzeichnen. Wir wissen ja, hier ist die Seite a. Diese Strecke ist damit a/2. Und da das ein Quadrat ist, ist auch diese Strecke a/2. Das heißt wir haben hier unten ein Dreieck. Die Unbekannte d/2, dann hier a/2 und hier a/2. Das rechtwinklige Dreieck erkennt ihr am besten, wenn ihr von unten schaut. So habt ihr hier a/2 und hier a/2 und dann hier die unbekannte Strecke d/2. Und da ja hier ein rechter Winkel ist, können wir den Pythagoras nutzen und aufstellen (a/2)^2 + (a/2)^2 = , und jetzt nennen wir diese Strecke hier, die Unbekannte, einmal x. Also x^2. Das heißt die Strecke x erhalten wir aus x = Wurzel((a/2)^2 + (a/2)^2). Und jetzt schauen wir wieder auf unser großes Dreieck hier. Wir haben also hier unten x stehen, dann hier die Höhe h, die ist bekannt und hier die Seite s. Und hier ist ebenfalls ein rechter Winkel, das heißt hier können wir ebenfalls Pythagoras anwenden mit h^2 + x^2 = s^2, die längste Seite. Und jetzt setzen wir für x unsere so eben ermittelte Formel ein: Wurzel((a/2)^2 + (a/2)^2), wobei durch das x^2 die Wurzel wegfällt und es bleibt übrig (a/2)^2 + (a/2)^2. Und (a/2)^2 + (a/2)^2 lässt sich zusammenfassen, das machen wir gerade mal hier als Nebenrechnung. Das Quadrat ziehen wir auf a und 2. Dann erhalten wir a^2/4 für beide. Und ¼ + ¼ = ½. Und das lässt sich kürzen zu 1/2•a^2. Und wenn wir das als einen Bruch schreiben wollen, können wir natürlich schreiben a^2/2. Und das setzen wir jetzt in unsere Formel ein. Damit erhalten wir: Seitenkante s ergibt sich mit s = Wurzel(h^2 + a^2/2). Fertig. So haben wir also die Formel für die Seitenkante s hergeleitet. Ähnlich leiten wir die Formel für die Höhe h_a her. Also für diese hellgrüne Strecke. Das geht sogar noch einfacher. Denn wir sehen hier die Höhe h_a, hier die Höhe der Pyramide und hier eine Strecke auf der Grundfläche, die die Länge a/2 hat. Wir können also aufstellen: (h_a)^2 = h^2 + (a/2)^2. Und dann brauchen wir einfach nur die Wurzel ziehen. h_a = Wurzel(h^2 + (a/2)^2. Wie ihr seht, das ging wesentlich einfacher als noch die Seitenkante. Und welche Strecke fehlt jetzt noch? Hier unten die Diagonale d. Bestimmen wir deren Formel. Und dann schauen wir von unten heran. Wir haben hier ja Seite a, hier Seite a bzw. wir können das auch hier anlegen: Hier Seite a und hier Seite a. Und dann wissen wir a^2 + a^2 = d^2, denn das ist ein rechtwinkliges Dreieck. d = Wurzel(a^2 + a^2). Und das kam man noch zusammenfassen zu d = Wurzel(2a^2). Sehr schön. Jetzt haben wir alle Formeln für die Strecken. Bei unserer Pyramide handelt es sich um eine gerade Pyramide. Was bedeutet das? Das bedeutet wir haben als Grundfläche ein Polygon, also ein Viereck, das ist in dem Fall ein Quadrat. Dann haben wir einen Mittelpunkt und direkt senkrecht nach oben über dem Mittelpunkt ist die Pyramidenspitze. Außerdem sind alle Seitenkanten gleich lang. Im Gegensatz dazu sprechen wir von einer schiefen Pyramide, wenn zum Beispiel die Pyramidenspitze hier außerhalb liegen würde und die Seitenkanten damit unterschiedliche Längen hätten. Im nächsten Teil schauen wir uns die Formeln für Umfang, Grundfläche, Mantelfläche, Oberfläche und Volumen an.

Video Teil 2

Schauen wir uns weitere Formeln für die quadratische Pyramide an. Wenn nach dem Umfang gefragt ist, meint man die Gesamtlänge der vier Seitenlinien, die die Grundfläche einschließen. Und dann haben wir eins, zwei, drei, vier mal Seite a, also 4•a. Das ist die Formel für den Umfang. Wie berechnen wir die Grundfläche? Schauen wir nochmal nach unten. Die Fläche ergibt sich aus Seite a mal Seite a. Also 4•4, für das Beispiel, dann haben wir 16 Felder. Also Grundfläche mit G abgekürzt ist a^2. Wie ergibt sich die Mantelfläche? Mantel, hatten wir gesagt, sind alle umliegenden Flächen. Da haben wir ein, zwei, dann auf der Rückseite, drei und hier links, vier. Vier Seitenflächen. Und wenn wir vier mal die Seitenfläche rechnen, müssen wir ja erst einmal sehen, wie sich eine Seitenfläche ergibt. Erinnert euch an die Dreiecksberechnung, wie berechnet man den Flächeninhalt eines Dreiecks? Und das ist hier relativ einfach. Wir rechnen Seite a mal Höhe h_a und halbieren das, also durch 2. Wenn wir a•h_a rechnen, haben wir ja eine so große Fläche. Wir brauchen jedoch nur deren Hälfte, deswegen dividieren wir durch 2. Bzw. könnt ihr euch auch vorstellen, dass wir dieses grüne Teildreieck an dieses kleine grüne Dreieck heranlegen. Und dann hätten wir hier unten a/2, die halbe Seite a mal h_a. Das heißt die Fläche des Dreiecks entspricht unserer Dreiecksfläche. Gut, und das haben wir jetzt nicht nur einmal, sondern viermal, denn wir haben ja vier Seitenflächen. Damit ergibt sich als Formel: Mantelfläche M = (4•a•h_a)/2 und 4/2 = 2, also M = 2•a•h_a. Gut, wie sieht es aus mit der Oberfläche? Die Oberfläche ergibt sich ja aus der Mantelfläche, die wir gerade bestimmt haben, und aus der Grundfläche, die wir auch schon bestimmt hatten. Also wir können jetzt hier schreiben: O = M + G, also Mantelfläche plus Grundfläche. Grundfläche ist a^2, Mantelfläche ist 2•a•h_a und dann haben wir die Formel für die Oberfläche. Als letztes gilt es noch die Volumenformel zu bestimmen. Die ist ein wenig schwieriger. Sie lautet 1/3•a^2•h. Normalerweise benutzt man die Integralrechnung um die Volumenformel herzuleiten. Wir können uns jedoch vor Augen führen, indem wir die Höhe der Pyramide auf a/2 festlegen, also die Hälfte der Pyramidenseite. Also hier ist Seite a und die Pyramide hat jetzt die Höhe a/2. Und die rote Strecke hat jetzt die Länge a. Die Pyramide ist also halb so hoch. Was wir jetzt machen können ist, hier eine Pyramide herauflegen und zwar umgedreht. Jetzt haben wir zwei Pyramiden. Lasst uns jetzt noch hier rechts eine Pyramide anlegen. Jetzt haben wir drei Pyramiden. Jetzt noch hier links eine Pyramide. Jetzt haben wir vier Pyramiden. Jetzt können wir hier noch eine anlegen. Das ist unsere fünfte. Und hier hinten, das ist die sechste. Wie wir sehen haben wir sechs quadratische Pyramiden, deren Höhe jeweils a/2 ist. Und alle sechs Pyramiden zusammen ergeben einen Würfel mit den Seiten a•a und die Höhe des Quaders ist ja a. Das Würfelvolumen ist a^3. Wir können also sagen, wenn wir das Würfelvolumen durch 6 dividieren, erhalten wir das Volumen einer Pyramide. Sie ist also der sechste Teil eines Würfels. Und das können wir wie folgt festhalten: Das Volumen ist V = a^3/6. Wobei das für diesen Fall gilt, dass h = a/2 ist. Hier noch einmal dargestellt. Schreiben wir als nächstes a^3/6 als 1/6•a^3. Das ist ja bekanntlich das gleiche. Jetzt nehmen wir uns die Formel hier runter und stellen uns das a^3 geometrisch vor. Wir haben ja a•a, das a^2. Das steckt hier drin, das meint unsere Grundfläche. Hier können wir ein a^2 draus machen und dann nehmen wir das •a dazu. Denn die beiden ergeben ja zusammen wieder a^3. Jetzt wollen wir den allgemeingültigen Fall nehmen, dass die Höhe nicht a/2 ist, sondern einen beliebigen Wert haben kann. Das heißt wie können wir denn das umstellen zu a? Und das ist ganz einfach: Wir multiplizieren beide Seiten mit 2 und dann haben wir a = 2•h stehen. Und das setzen wir jetzt hier für a ein. Jetzt haben wir die Elemente a^2, das ist die Grundfläche und die Höhe der Pyramide. Und jetzt können wir 2 mit 1/6 multiplizieren. Das ergibt dann 2/6 und das gekürzt ist dann 1/3. Und das ist die Volumenformel: 1/3•a^2•h. Mit dieser Formel können wir das Volumen jeder Pyramide bestimmen. Es sei aber noch einmal darauf hingewiesen, dass das hier kein Beweis war, unser Rechenweg, sondern nur eine Verallgemeinerung, damit ihr euch die Formel besser merken könnt. Merkt euch: Grundfläche mal Höhe durch 3. Das Volumen der quadratischen Pyramide ist Grundfläche mal Höhe durch 3. Sehr schön, jetzt haben wir alle Formeln der Pyramide. Halten wir sie nochmal hier fest. Höhe h_a, Seitenkante s, Diagonale, Umfang, Grundfläche, Mantelfläche, Oberfläche, Volumen. Und wie gesagt, das sind die Formeln für eine quadratische Pyramide. Im Folgenden schauen wir uns einige Aufgaben an und benutzen diese Formeln. Wir berechnen zum einen ausgehend von der Seite a und der Höhe. Aber wir berechnen auch schwierigere Fälle, wenn zum Beispiel nur Seitenkante und Mantelfläche gegeben sind und wir dann alle anderen Bestandteile bestimmen sollen. Es wird noch einmal spannend, denn jetzt müssen wir zeigen, wie gut wir Terme umformen und Gleichungen umstellen können.

Video Teil 3

Lösen wir im Folgenden ein paar Aufgaben und sehen wie wir da vorgehen müssen. Hier noch einmal alle Formeln in der Übersicht. Für die Höhe h_a, die Seitenkante s, Diagonale d, Umfang u, Grundfläche G, Mantelfläche M, Oberfläche O und dann noch das Volumen V. Ab sofort wählen wir die Abkürzungen aus Platzgründen. Wir haben also acht Formeln zur Verfügung und fast alle beziehen sich auf die Höhe h und die Seite a. Wir gehen im ersten Fall davon aus, dass wir die beiden gegeben haben und rechnen die einzelnen Elemente aus. Denn das ist der einfachste Fall. Sagen wir, wir haben gegeben a mit 5 cm und die Höhe h mit 3 cm. Dann nehmen wir uns die Formeln zur Hand und setzen jetzt für a die 5 cm ein und für h die 3 cm. Und das bei jeder Formel. Und jetzt können wir die einzelnen Bestandteile ausrechnen. Hier 9 + 2,5^2. Daraus die Wurzel. Das ergibt rund 3,905 cm. Beachtet aus Platzgründen haben wir die cm hier nicht eingetragen, aber bei der Lösung schreiben wir sie wieder hin. Die Seitenkante ist die Wurzel(9 + 25/2). Also 9 + 12,5. Also die Wurzel(21,5) und das sind rund 4,637 cm. Der Durchmesser ist Wurzel(2•25) = Wurzel(50). Das ergibt rund 7,071 cm. Umfang: 4•5 = 20 cm. Jetzt kommen wir zu den Flächen. 5^2 sind 25 und wir schreiben cm^2. Dann die Mantelfläche sind 2•5•h_a. Jetzt schauen wir hier. h_a sind 3,905 und setzen das hier ein. Und erkennen 2•5 = 10. Und 10 mal diese Zahl sind 39,05. Beachtet dieser Wert ist nur ungefähr gleich, denn wir haben ja den gerundeten Wert von h_a eingesetzt. Und auch hier gilt cm^2. Wie gesagt, wir sind bei den Flächen. Oberfläche: Hier setzen wir auch 3,905 ein bzw. dieser Term ist ja die Mantelfläche 39,05. Dann plus 25 und wir erhalten 64,05 cm^2. Und das letzte. Das Volumen: 25•3 = 75. 75/3 = 25. Wir erhalten 25 cm^3. Hier bitte hoch 3 schreiben. Fertig. So haben wir aus Seite a und Höhe h unsere Pyramide bestimmt. Und so sieht unsere Pyramide aus. Schreiben wir noch die Werte da ran. Hier 5 cm. Die Höhe 3 cm. Höhe h_a = 3,905 cm. Diagonale hier und hier drüben die Seitenkante s = 4,637 cm. Sehr schön. Den einfachsten Fall haben wir hiermit abgearbeitet. Schauen wir uns eine schwierigere Variante an. Die nächste Aufgabe lautet: Es sind gegeben die Seite a = 8cm und die Oberfläche O = 150 cm^2. Gesucht ist die Höhe der Pyramide. Hier an der Stelle der Hinweis: Sobald wir a und Höhe h haben, können wir alle anderen Bestandteile der Pyramide ausrechnen. So wie wir es gerade gemacht haben. Als erstes macht es Sinn, sich die Formel für die Oberfläche anzuschauen. Sie lautet: O = a^2 + 2•a•h_a. Jetzt sehen wir, dass wir a enthalten haben, aber h_a nicht. Und h_a ist leider ebenfalls unbekannt. Genauso unbekannt wie h. Wir können uns aber h_a ausrechnen, denn in dieser Gleichung haben wir das O gegeben, mit diesem Wert, und die Seite a gegeben, mit diesem Wert. Das heißt, wenn wir a und O einsetzen, erhalten wir: O sind 150 cm^2, a sind 8 cm und die kommen hier ebenfalls rein. Bitte immer die Klammern setzen. Jetzt können wir das ausrechen (8 cm)^2 = 64 cm^2 und hier 2•8 cm = 16 cm. Mal h_a. Jetzt ziehen wir die 64 cm^2 auf die linke Seite, dann bleibt 150 cm^2 - 64 cm^2 = 86 cm^2 stehen. Und rechts bleibt stehen 16 cm•h_a. Jetzt noch Division 16 cm auf beiden Seiten. Und dann steht h_a gleich dieser Term da. Und 86/16 cm = 5,375 cm. So haben wir also die Höhe h_a bestimmt. Schreiben wir sie hier mit hin. Als nächstes gilt es eine Formel zu finden, in der unser gesuchtes h enthalten ist. Hier ist h enthalten. Hier finden wir h und hier finden wir h. Und jetzt schauen wir: Volumen haben wir nicht gegeben. Das ist noch unbekannt. Seitenkante haben wir nicht gegeben. Das heißt hier hätten wir ebenfalls zwei Unbekannte. Und hier: h_a haben wir gerade ausgerechnet. a ist bekannt und hier ist nur die Unbekannte h. Das heißt wir können uns diese Formel nehmen und verwenden. Schreiben wir sie hin. und jetzt setzen wir für a die 8 cm ein und für h_a die berechneten 5,375 cm. Und diese Gleichung mit einer Unbekannten können wir jetzt auflösen. Wir wollen als erstes die Wurzel wegbekommen und dazu quadrieren wir beide Seiten. So wird links 5,375 quadriert und rechts fällt die Wurzel weg. Rechnen wir das weiter. 8/2 = 4. 4^2 = 16. Das sind 16 cm^2. Und hier links 5,375^2 cm^2 = 28,890625 cm^2. Jetzt -16 cm^2 damit sie nach links kommt. Die 16 ziehen wir also ab. Und jetzt ziehen wir noch die Wurzel, damit wir h bekommen. Und wir müssen ja ± die Wurzel ziehen. Berechnen wir also die Wurzel aus diesem Wert und es ergibt sich rund 3,59 cm. Und wir wissen es gibt keine negativen Strecken. Das heißt das negative Ergebnis dürfen wir hier vernachlässigen. Fertig. Jetzt haben wir die Höhe bestimmt. Die Seite a ist bereits bekannt und damit könnten wir auch alle anderen Bestandteile der Pyramide berechnen.

Video Teil 4

Schauen wir uns einen anderen Fall an. Es ist bekannt die Seitenkante s = 10 cm und die Mantelfläche M = 70 cm^2. Gesucht ist die Seite a. Schauen wir uns das allgemein graphisch an. Wir kennen also diese Linie, die Seitenkante s und die Mantelfläche, also alle vier Seitenflächen herum. Gesucht ist diese Seite a. Hier gibt es mehrere Möglichkeiten vorzugehen. Ein Vorschlag: Wir schauen uns zuerst die Formel an für die Mantelfläche. Diese lautet: M = 2•a•h_a. Setzen wir die hier ein. Und jetzt wollen wir a herausfinden, das heißt wie ergibt sich h_a? Und h_a ergibt sich aus dieser Wurzel hier. Wir können also anstatt von h_a diesen Wurzelterm hier einsetzen. Jetzt sehen wir, haben wir das a, die Unbekannte, M den bekannten Wert und jetzt noch h, ebenfalls noch unbekannt. Schauen wir nochmals in unsere Formeln. Wir haben ja s gegeben, also nehmen wir uns die Formel für s. s ist ein bekannter Wert, das heißt a und h sind unbekannt. Wenn wir diese Gleichung nach h^2 umstellen, dann dürfen wir den Term dann bei h^2 einsetzen. Das heißt wir lösen jetzt hier nach h^2 auf. Wir quadrieren beide Seiten und erhalten s^2 = h^2 + a^2/2 und jetzt wollen wir nur h^2 auf einer Seite stehen haben, das heißt a^2/2 geht hier rüber. Und jetzt dürfen wir für dieses h^2 diesen Term einsetzen. Und das machen wir hier. Und wir brauchen hier auch keine Klammern setzen, denn das ist hier alles Addition bzw. Subtraktion. Gut, jetzt haben wir hier eine schöne Formel mit der Bekannten M, der Bekannten s und der Unbekannten a. Das lässt sich doch lösen. Da hier eine Wurzel ist, quadrieren wir, um die Wurzel wegzubekommen. So ergibt sich…machen wir das Schritt für Schritt: M^2, 2^2, a^2 und hier fällt die Wurzel weg. Und hier bitte beachten, hier unbedingt die Klammern setzen. Hier wo ihr die Wurzel stehen hattet. Und jetzt können wir hier die 4 draus machen. Hier das Quadrat auf das a und die 2 ziehen. Dann ist das hier im Nenner Viertel. Und das sind ja -1/2•a^2. Das sind 1/4•a^2. Und das können wir jetzt zusammen addieren. ¼ + (-1/2). Das sind ja -2/4, also bleibt -1/4 übrig. Jetzt sind wir an der Stelle angelangt, dass wir den Wert für s und M einsetzen können und dann die Gleichung nach a auflösen dürfen. Unser Wert für M sind 70 cm^2. Und unser Wert für s, das sind 10 cm. Das ergibt 100 cm^2. Und das ergibt 4.900 cm^4. Denn (cm^2)^2 = cm^4. Auch wenn das erstmal merkwürdig aussieht, lassen wir das mathematisch so stehen und schauen dann, wie es weitergeht. Denn wir multiplizieren jetzt erstmal aus: 4a^2•100 - 4a^2•diesen Term. Dann erhalten wir hier 4•100 = 400. Und hier 4•1/4 fällt weg zu 1. Die brauchen wir nicht mehr mitschreiben. Und dann a^2•a^2 = a^4. Und jetzt sehen wir schon, jetzt entsteht eine Gleichung vierten Grades. Ziehen wir noch die hier nach rechts herüber, die wir mit Hilfe der Substitution lösen können. Damit die cm-Angaben nicht verwirren, nehmen wir sie mal an dieser Stelle hier weg. Und jetzt ziehen wir die höchste Potenz, a^4, nach vorne. So und diese lösen wir, indem wir a^2 substituieren, also wir sagen z = a^2. Vorher machen wir jedoch das Minus hier vorne weg. Dazu multiplizieren wir die gesamte Gleichung mit •(-1), dann drehen sich alle Vorzeichen und jetzt substituieren wir a^2 mit z. Damit erhalten wir - hier denken wir daran a^4 = a^2•a^2 - also z•z und damit z^2. Und hier a^2 ist ebenfalls z. Schreiben wir das nach hinten ran. Und substituiert. Und das können wir jetzt mit Hilfe der pq-Formel lösen: p ist die -400 und q ist die 4.900. Hier ist jetzt unsere pq-Formel. Hier jetzt mit z_1 und z_2, weil wir hatten ja substituiert. Das ist unsere Unbekannte. Und jetzt setzen wir ein p = -400. Hier ebenfalls. Und q = 4.900. Und das können wir jetzt ganz bequem ausrechnen. Hier unten: -400/2 = -200. (-200)^2 = 40.000. 40.000 - 4.900 = 35.100. Daraus die Wurzel und wir erhalten rund 187,35. Und hier -(-400/2) = 200. Und jetzt können wir z_1 und z_2 bestimmen. z_1 machen wir mit einem Plus und z_2 mit einem Minus. Und dann haben wir hier 387,35 und hier ergibt sich 12,65. Wir hatten ja vorher substituiert. Mit z = a^2. Jetzt müssen wir rücksubstituieren. z_1, das schreiben wir so hin. Wir wissen, dass z = a^2 ist. Und setzen für z jetzt unseren Wert ein. Und auch hier müssen wir ± die Wurzel ziehen um unser a zu bekommen. Und wir schreiben dann ±Wurzel(387,35). Und ganz wichtig vorne a_(1,2) hinschreiben, denn wir bekommen ja durch ± zwei Ergebnisse. Das gleiche machen wir hier bei z_2. Hier schreiben wir a_(3,4) in den Index. Dann steht das so da. Und jetzt können wir die Werte für a ausrechnen. Wir wissen ja, dass es keine negativen Strecken geben darf, das heißt wir dürfen hier das Minus raus nehmen und dürfen hier auf zwei mögliche Werte reduzieren. Und jetzt rechnen wir die Wurzeln aus. Zuerst die Wurzel aus 387,35. Das ist rund 19,681 cm. Und jetzt noch die Wurzel(12,65). Und wir erhalten rund 3,557 cm. Wie wir sehen haben wir also zwei mögliche Ergebnisse. Und diese müssen wir auf Richtigkeit kontrollieren, denn wir hatten beim Rechnen einmal die Gleichung quadriert, wodurch Scheinlösungen entstehen können. Benutzen wir zunächst ein Programm von echteinfach.tv und schauen welcher Wert herauskommt. Wir müssen da nichts weiter machen, als die Ausgangswerte einzusetzen. Mit diesem Pyramidenrechner können wir also unsere Seitenkante jetzt eingeben, die war 10 cm und dann noch die Mantelfläche mit 70 cm^2. Also 10 und dann noch die Mantelfläche mit 70. Und jetzt schauen wir Seite a: Da steht 3,557. Und das ist auch genau der Wert, den wir ausgerechnet haben. Also der ist auf jeden Fall richtig. Jetzt haben wir doch noch einen zweiten Wert: 19,681. Um diese Lösung zu prüfen, können wir uns ganz einfach die Formel nehmen, wo Seite a und Seite s enthalten sind und wir können uns die Höhe bestimmen. Wenn die Höhe einen positiven Wert hat, dann sind die Ergebnisse richtig. Hat sie einen negativen Wert oder ist nicht definiert, dann ist die Lösung falsch. Hier ist die Formelübersicht und hier fällt sofort ins Auge: Seitenkante s, das haben wir. a haben wir jetzt ermittelt und h wäre unsere Höhe, die Unbekannte. Schauen wir, nehmen wir uns die Formel und rechnen das. Stellen wir also die Formel nach h^2 um. Dazu quadrieren wir beide Seiten ziehen a^2/2 nach links herüber. Und jetzt können wir die Werte einsetzen und schauen ob für h ein vernünftiger Wert herauskommt. s ist unsere 10 und testen wir nochmal die 3,557, die uns der Rechner ja schon als richtig angegeben hat. Dann geben wir das in den Taschenrechner ein: 3,557^2. Dann noch die durch 2. Dann haben wir 6,326. Und dann 100 minus diesen Wert. Also 93,6738755 für h^2. Und daraus können wir jetzt natürlich die Wurzel ziehen. Schauen wir was bei 19,681 passiert. Setzen wir diesen Wert hier ein. Berechnen wir das mit dem Taschenrechner: 19,681^2. Durch 2 sind 193. Und jetzt 100 - 193,… ergibt -93,67…, also einen negativen Wert. Und was wissen wir? Wenn wir jetzt h ausrechnen wollten, müssen wir die Wurzel ziehen und die Wurzel aus einem negativen Wert ist nicht definiert. Das heißt dieser Wert ist eine Scheinlösung: a_1 macht keinen Sinn. Wir können damit keine Pyramide erstellen. Unsere einzige Lösung lautet also 3,557 cm. Schreiben wir also hier hin: Keine Lösung. Und das ist unsere Lösung. Und das könnten wir jetzt notieren mit L = {3,557 cm}. Sehr schön. Fertig war die Aufgabe. Sie war ein bisschen knackiger, aber auch solche Aufgaben können euch treffen. Daher wisst ihr jetzt, wie man schematisch vorgeht um eine solche Aufgabe lösen zu können.
Tags: Exponent, Exponenten in Gleichungen

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