STE03: Quader

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 6. - 7. Klasse
Formelherleitung mit Pythagoras: 8. - 10. Klasse

Mathe-Videos

In diesem Video lernen wir, wie sich das Volumen eines Quaders bestimmt. Wir nutzen 3D-Visualisierungen, damit ihr eine bessere Vorstellung vom Quader-Volumen (mit 1 Kubikmeter-Würfeln) bekommt.

Mathe-Video STE03-4: Volumen des Quaders berechnen

Volumen eines Quaders aus Höhe, Breite und Länge bestimmen. 1m³-Würfel zur besseren Vorstellung des Quader-Volumens. Volumenformel V=b·h·t leichter merken. Wann ist das Volumen Null.

Weitere Videos stehen dir als Kunde zur Verfügung:

  • STE03-1: Quader - Einführung und Bestandteile

    Was ist ein Quader. Bestandteile: 12 Seiten, 8 Ecken, 6 Flächen. Flächendiagonale, Raumdiagonale, Volumen. Definition des Körpers.

  • STE03-2: Quader - Herleitung aller Formeln

    Herleitung der Formeln für Umfang, Grundfläche, Mantelfläche, Oberfläche, Volumen, Flächendiagonalen, Raumdiagonalen. Wir nutzen den Satz des Pythagoras.

  • STE03-3: Quader - Fehlende Seite berechnen

    Übungsaufgaben: Mantefläche bzw. Oberfläche und 2 Seiten gegeben, fehlende Seite ermitteln. Volumen und 2 Seiten gegeben, fehlende Seite ermitteln.

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Wissen zur Lektion

Wortherkunft

Das Wort "Quader" kommt von lateinisch quadrus, was viereckiger Stein/Grundstein bedeutet. Verwandt sind lat. quadrāre (viereckig) und lat. quattor (vier), zu finden zum Beispiel in Quadrat oder Quadrant.

Was ist ein Quader?

Ein Quader ist ein geometrischer Körper (also ein Objekt im Raum), der aus 6 aneinanderliegenden Rechtecksflächen besteht. Diese Rechtecksflächen liegen senkrecht aufeinander. Damit sind alle Winkel rechte Winkel. Von den 12 Seiten (Kanten) haben jeweils 4 die gleiche Länge und sind parallel zueinander. Jeweils 2 gegenüberliegende Flächen sind kongruent (das heißt gleiche Form und gleiche Größe) und parallel zueinander. Alle 8 Ecken des Quaders sind rechtwinkelig. Wichtig für die Formeln und Berechnungen ist, dass man die Formeln für das Rechteck beherrscht. Um die Raumdiagonale (also die Linie von einer Ecke in die diagonal gegenüberliegende Ecke) bestimmen zu können, muss man den Satz des Pythagoras beherrschen.

Merkmale des Quaders

  • Der Quader hat 6 Flächen, 8 Ecken und 12 Kanten.
  • Er ist punktsymmetrisch zu seinem Ursprung.
  • Die Grundfläche des Quaders, alle Seitenflächen und die Deckfläche sind Rechtecke.

Quadernetz

Wenn man den Würfel aufklappt und auf eine Ebene legt, ergibt sich das folgende Quadernetz:

Quadernetz

Am Quadernetz lassen sich recht einfach die einzelnen Rechtecksflächen des Quaders bestimmen:

Quadernetz Flächen

Volumen des Quaders

Das Volumen meint die Ausdehnung eines Körpers, also den Inhalt, den er im Raum einnimmt. Die Volumenformel lautet: Volumen = Höhe * Breite * Länge

Kurz: V = h · b · t


Volumenformel Quader

Berechnung des Quader-Volumens

Rechte Winkel bei Quaderflächen

Die Volumenangabe kann man sich gut mit 1-Kubikmeter-Würfeln vorstellen, die man im Quader anordnet:

Würfel im Quader

Sind alle Seiten eines Quaders gleich lang, so spricht man von einem Würfel:

Quader als Würfel

Ist einer der Faktoren (also Höhe, Breite oder Länge) gleich Null, so ist das gesamte Volumen Null.

Quader-Volumen Null

Alle Quaderformeln auf einen Blick

Hier seht ihr die notwendigen Formeln zum Berechnen eines Quaders:

quader formeln

Link zur Grafik: http://www.matheretter.de/formeln/geometrie/quader/formeln.png

Erläuterungen:

Raumdiagonale = Wurzel aus (Seite a² + Seite b² + Seite c²) → e = √(a²+b²+c²)

Umfang = 2·Seite a + 2·Seite b → u = 2·a+2·b

Grundfläche = Seite a mal Seite b → G = a·b

Mantelfläche = 2·Seitenflächeac + 2·Seitenflächebc → M = 2·a·c+2·b·c

Oberfläche = 2·Seitenflächeac + 2·Seitenflächebc + 2·Seitenflächeab → O = 2·a·c+2·b·c+2·a·b

Volumen = Seite a mal Seite b mal Seite c → V = a·b·c

Länge aller Seiten = 4 mal Seite a + 4 mal Seite b + 4 mal Seite c → l = 4·a+4·b+4·c

Flächendiagonaleab = Wurzel aus (Seite a² + Seite b²) → dab = √(a²+b²)

Flächendiagonalebc = Wurzel aus (Seite b² + Seite c²) → dbc = √(b²+c²)

Flächendiagonaleac = Wurzel aus (Seite a² + Seite c²) → dac = √(a²+c²)

Mathe-Programme Quader

Die in den Videos gezeigten Programme für die Quader findet ihr in der Formelsammlung 3.0. Ihr könnt damit eure Berechnungen leicht überprüfen oder Aufgaben lösen lassen.

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Untertitel

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Video Teil 1

Hallo liebe Schüler. Wir hatten uns ja in der letzten Lektion die Würfel angeschaut. Jetzt geht es weiter mit dem Quader. Der Quader ist dem Würfel etwas ähnlich in der Form. Also wenn wir jetzt hier durchschneiden würden, könnten wir einen Würfel sehen. Jedoch erkennen wir einen Unterschied, und zwar sind die Seiten eines Quaders unterschiedlich lang. Die Breite, die Höhe und die Länge haben unterschiedliche Längen und beim Würfel hatten wir gesehen: Da sind sie gleichlang. Schauen wir uns das gleich einmal richtig an, vorher jedoch noch der Hinweis: Was heißt denn „Quader“ überhaupt? Dieses Wort kommt aus dem Lateinischen von „quadrus“ und das heißt „viereckig“. Also wenn ihr euch hier eine Fläche anschaut, die hat vier Ecken, die hat vier Ecken, die hat vier Ecken, also jede Fläche hat vier Ecken. Und als Hinweis: Im Englischen spricht man von „cuboid“. Also aufpassen: Ganz anders als im Deutschen. Gut, werfen wir also einen Blick auf den Quader. Hier ist eine Abbildung des Quaders in 3D. Wir sehen, wir haben hier die Breite, hier haben wir eine Breite und hier haben wir eine Höhe. Und alle drei haben in diesem Fall unterschiedliche Werte. 4 cm breit, 3 cm lang und 2 cm hoch. Und hier sind noch die verschiedenen Längen farblich markiert. Wir sehen diese blaue Breite ist hier zu finden, ist hier zu finden und auch hier zu finden. Also viermal. Die rote Höhe, die Strecke, ist ebenfalls eins, zwei, drei, viermal zu finden. Und ebenfalls die Länge ist eins, zwei, drei, viermal zu finden. Was macht einen Quader aus? Dieser Körper besteht aus Rechtecksflächen. Also jede Fläche, die wir hier sehen ist ein Rechteck. Das heißt es gibt hier immer einen rechten Winkel und die Seiten stehen senkrecht zueinander. Und auch die Flächen selbst stehen senkrecht zueinander. Also diese hier steht senkrecht zur Grundfläche. Oder die Deckfläche steht senkrecht auf dieser Seitenfläche. Der Quader besteht also aus sechs Rechtecksflächen, deren Winkel alle rechtwinklig sind. Und wir haben Seite a, b und c jeweils viermal, mit gleicher Länge, gegeben. Die Breite viermal, die Länge viermal und die Höhe viermal. Damit hat der Quader 12 Seiten. Ganz wichtig ist außerdem, dass ihr euch merkt, dass gegenüberliegende Flächen gleichgroß sind und die gleiche Form haben. Das heißt, wenn wir die rote Fläche von hier links nach hier rechts setzen, passt sie genau hierauf. Man spricht von „deckungsgleich“ bzw. „kongruent“. Gleiches für die Fläche hier unten, diese können wir auf diese Fläche hier oben setzen. Also Grundfläche und Deckfläche sind gleich groß. Und auch hier vorne: Diese Seitenfläche ist genauso groß wie diese Seitenfläche. Sie hat die gleiche Fläche und die gleiche Form. Und genau diese Eigenschaften machen unseren Quader aus. Fragt sich nur, was können wir denn hier alles berechnen? Und das ist eine ganze Menge. Schauen wir einmal. Hier ist eine Komplettaufstellung: Umfang, das meint den Umfang der Grundfläche. Dann die Grundfläche. Dann die Mantelfläche, dass sind alle umliegenden Flächen, alle Seitenflächen. Dann Oberfläche, sie besteht aus Grundfläche, Mantelfläche und Deckfläche. Dann das Volumen. Und die Flächendiagonalen, also auf einer Fläche liegend, diagonal von einer Ecke zu anderen Ecke. Und die Raumdiagonale, die durch den Quader von einer Ecke zur diagonal gegenüberliegenden Ecke geht. All diese Formeln schauen wir uns in den nächsten Videoteilen an. Sie sind einfacher als wir denken. Fassen wir unser neues Wissen noch einmal kurz zusammen: Ein Quader ist ein geometrischer Körper, der aus sechs aneinanderliegenden Rechtecksflächen besteht. Die Rechtecksflächen liegen senkrecht aufeinander. Und von den zwölf Seiten (man sagt auch Kanten eines Quaders) haben jeweils vier die gleiche Länge und sind parallel zueinander. Also die ist parallel zu der, ist parallel zu der, ist parallel zu der. Jeweils zwei gegenüberliegende Flächen sind gleich groß und gleichförmig, man sagt kongruent, und sie sind parallel zueinander. Und alle Ecken des Quaders sind rechtwinklig. Das macht also einen Quader aus.

Video Teil 2

Legen wir los mit dem Umfang. Wie ergibt sich der? Das sind die Seitenlinien der Grundfläche, also hier die Seite a, hier die Seite a, hier die Seite b und hier die Seite b. Also 2•a + 2•b. Umfang ist u = 2•a + 2•b. Als nächstes die Grundfläche. Die Grundfläche ist ein Rechteck und dieses Rechteck schauen wir uns einmal von unten an und wir sehen, das ist die Seite a, das ist die Seite b. Und wir haben gelernt, bei einem Rechteck kriegen wir die Fläche heraus, indem wir a•b multiplizieren. Also G = a•b. Als nächstes die umliegenden Flächen. Das ist dann die Mantelfläche. Und hier müssen wir genau hinschauen. Wie wir sehen, haben wir mehrere Teilflächen. Und zwar diese Fläche hier vorne. Diese Fläche, die ja genauso groß ist und die beiden an der Seite. Und jetzt gucken wir uns an: Das Rechteck hier vorne besteht aus der roten und der blauen Seite. Das heißt a•c und das zweimal, denn wir haben hier ja auch noch einmal a•c. Und dann haben wir noch die Seitenfläche mit b•c. Und das ebenfalls zweimal. Also 2•a•c + 2•b•c. Und das steht hier: M = 2•a•c + 2•b•c. Super. Als nächstes die Oberfläche. Und da wissen wir, die besteht aus Grundfläche, Mantelfläche, sowie Deckfläche. Und diese ist genauso groß wie die Grundfläche. Das heißt die Grundfläche müssen wir zweimal nehmen. Deswegen Mantelfläche, das ist dieser Teil, also unser M, plus 2•G. Also 2•a•b. Und dann haben wir alle sechs Flächen dabei. 2, 4, 6 Flächen. Weiter geht es mit dem Volumen. Die Formel ist V = a•b•c. Und das ist wie beim Würfel und bei anderen Körpern. Wir rechnen Breite•Höhe•Länge bzw. Breite•Länge•Höhe. Die Reihenfolge der Multiplikation ist ja hier beliebig. Und dadurch erhalten wir unser Volumen. Das Volumen schauen wir uns in einem der folgenden Videos noch genauer an. Da lernen wir, wie man sich das besser vorstellen kann. Weiter geht es. Als nächstes kommen die Flächendiagonalen. Und das sind die Strecken, die auf den Flächen direkt liegen und wie gesagt diagonal von einer Ecke zur gegenüberliegenden Ecke verlaufen. Und hier müssen wir aufpassen: Hier haben wir drei Stück, denn wir haben ja drei verschiedenen Flächen. Hier im Inneren ist übrigens die Raumdiagonale schon eingezeichnet. Die jetzt mal bitte ignorieren. Wir haben jetzt also hier eine Flächendiagonale, hier eine Flächendiagonale und hier eine Flächendiagonale bzw. hier auf der anderen Seite könnten wir sie genauso einzeichnen. Und so eine Flächendiagonale lässt sich natürlich berechnen. Schauen wir mal hier und zwar von der Fläche ac. Diese Flächendiagonale berechnet sich wie? Richtig, mit dem Satz des Pythagoras. Denn mit Einzeichnen der Flächendiagonale in das Rechteck entsteht ein rechtwinkliges Dreieck. Und das wissen wir: Kurze Seite ins Quadrat + kurze Seite ins Quadrat ist die lange Seite, die Hypotenuse, ins Quadrat. Also hier a^2 + c^2 ist die Flächendiagonale d ins Quadrat. Und wenn wir jetzt hier die Flächendiagonale, nennen wir sie d, berechnen wollen, dann müssen wir die Wurzel ziehen. Also d = √(a^2 + c^2). So wie es hier steht. Flächendiagonale d_(ac) = √(a^2 + c^2). Genauso können wir das mit den anderen Flächen machen. Schauen wir uns die Fläche ab an. Hier ist a, hier unten ist b und die Flächendiagonale verläuft von hier nach hier. Dann haben wir hier die Seite a und die Seite b, also d_(ab) = √(a^2 + b^2). So wie es hier steht d_(ab) = √(a^2 + b^2). Und als letztes die Diagonale bc. Das ist die Seitenfläche. Hier Seite b. Hier Seite c. Rechtwinkliges Dreieck durch die Diagonale erstellt. Und dann wissen wir d_(bc) = √(b^2 + c^2), so wie wir es hier festgehalten haben. Und jetzt die allerletzte Sache: Das ist die Raumdiagonale. Und die Formel für die Raumdiagonale, mit e bezeichnet, lautet e = √(a^2 + b^2 + c^2). Und das scheint doch interessant, dass wir hier dreimal das Quadrat haben. Wie also entsteht die Formel für die Raumdiagonale? Sie ist hier eingezeichnet, sie verläuft quer durch den Quader und wir müssen jetzt rausbekommen, wie sich diese Formel ergibt. Und wir erkennen, dass wenn wir hier mal die Flächendiagonale einzeichnen sich ein rechtwinkliges Dreieck ergibt, das mitten im Quader liegt. Und dieses rechtwinklige Dreieck besteht also aus der Seite c, der Seite e und der Seite d. Und diese Raumdiagonale e können wir also mit Hilfe dieses rechtwinkligen Dreiecks berechnen, in dem wir den Satz des Pythagoras wieder anwenden. Denn c^2 + d^2 = e^2. Und das halten wir erst einmal fest. c^2 + d^2 = e^2 bzw. andersherum. Jetzt müssen wir d noch bestimmen. d, für unseren Fall, ist ja die Flächendiagonale ab, das heißt a^2 + b^2 = d^2. Halten wir das mal fest: d^2 = a^2 + b^2. Und jetzt machen wir nichts weiter als d^2 hier einzusetzen. Schreiben wir das also so mit einem Querstrich: d^2 = a^2 + b^2, setzen wir das jetzt hier ein und wir erhalten diese Formel. Und jetzt können wir die Klammern wegnehmen, denn das ist ja alles die Addition. Und was fehlt noch? Wir wollen ja e haben und nicht e^2. Richtig, die Wurzel muss hieraus gezogen werden. Und bei der Gelegenheit schreiben wir das c^2 auch nach hinten. Und fertig ist die Formel für die Raumdiagonale: e = √(a^2 + b^2 + c^2). Sehr schön. So haben wir also alle wichtigen Formeln für den Quader bestimmt. Und damit seid ihr auch gerüstet für jede Rechenaufgabe zum Quader, ihr benutzt einfach diese Formeln. Als wichtiger Hinweis für Rechenaufgaben: Ihr braucht mindestens drei Werte um den Quader exakt mit a, b, c bestimmen zu können. Habt ihr zum Beispiel nur a und b gegeben, könnt ihr den Quader nicht eindeutig berechnen. Denn mit a und b lässt sich die Grundfläche berechnen, aber nicht die Mantelfläche. Hier braucht ihr schon die Seite c. Wenn ihr also a, b, c habt, braucht ihr nur diese Werte einsetzen für a, b, und c und das ausrechnen. Also relativ einfache Mathematik. Habt ihr jedoch zum Beispiel nur die Mantelfläche und die Seite a, b gegeben, dann müsst ihr diese Formel umstellen und nach c auflösen. Danach habt ihr wieder a, b, c und könnt die Werte überall einsetzen. Machen wir das mal als Beispiel. Wir sagen Mantelfläche und a und b sind gegeben. Berechnen wir das im nächsten Teil.

Video Teil 3

Wir sollen die Seite c eines Quaders berechnen, bei dem bekannt sind: Mantelfläche M = 45 cm^2, Seite a = 3cm und Seite b = 2 cm und sobald wir die Seite c haben, können wir alle anderen Elemente des Quaders direkt berechnen. Zuerst nehmen wir uns die Formel der Mantelfläche. Sie lautet M = 2ac + 2bc, also diese vier Seitenflächen. Jetzt stellen wir diese um: Hier macht es Sinn das c aus dieser Summe herauszuholen. Das heißt wir schreiben M = c•, nehmen wir das noch einmal runter, (2a + 2b). Jetzt können wir durch die Klammer dividieren. Damit geht sie auf die linke Seite. Also M durch die Klammer ist gleich c. Und das können wir natürlich als Bruch schreiben, stellen wir das noch einmal richtig um. Das sieht dann so aus. Und jetzt ist es natürlich einfach. Die 45 hier eingesetzt, die 3 für a und die 2 für b eingesetzt und ausgerechnet. Das heißt c = 45/(6+4) = 45/10 = 4,5, also 4,5 cm. Das ist unsere Länge c. Jetzt sind uns a, b und c bekannt und wir können alle anderen Formeln benutzen und die anderen Elemente des Quaders berechnen. Um diese Rechnung zu kontrollieren, könnt ihr unseren Quaderrechner benutzen. Ihr gebt die Werte ein, die euch bekannt sind: Mantelfläche M = 45, Quaderseite a = 3, Quaderseite b = 2. Und jetzt sehen wir Quaderseite c = 4,5, haben wir richtig berechnet und wir sehen hier auch die anderen Ergebnisse für uns ausgerechnet: Raumdiagonale, Oberfläche, Volumen, Länge aller Seiten. Das hatten wir noch nicht gesagt: Die Länge aller Seiten natürlich viermal die Seite a, viermal die Seite b und viermal die Seite c. In der nächsten Aufgabe sind die Oberfläche und die Seiten a und b bekannt. Die Oberfläche sei O = 30 cm^2, die Seite a = 2 cm und die Seite b = 3 cm. Gesucht ist Seite c. Dann nehmen wir uns zuerst die Formel der Oberfläche und fragen uns, wie kommen wir jetzt an dieses c heran? Und das ist so ähnlich, wie bei der Aufgabe davor. Wir müssen das c irgendwie alleine stehen haben, das heißt als erstes entfernen wir mal dieses 2ab von der rechten Seite, indem wir es herüber subtrahieren. Dann ergibt sich diese Gleichung. Jetzt gilt es das c auszuklammern, dann ergibt sich dieser Rechtsterm. Und die Klammer dividieren wir jetzt hier rüber. Und so ergibt sich c = (O - 2ab)/(2a + 2b), was wir natürlich auch als Bruch schreiben können. Und an dieser Stelle setzen wir wieder den Wert für die Oberfläche ein und die Werte für a und b und berechnen c. Also sieht das dann so aus. Hier unten ergibt sich 4 + 6 = 10. Und hier ergibt sich 30 cm^2 - 12 cm^2. Also 30 - 12 = 18. 18/10 = 1,8, also 1,8 cm, denn cm^2/cm = cm. Und wir haben unser c ermittelt und mit a, b und c können wir wieder alle Formeln bedienen und unsere Elemente des Quaders berechnen. Sehr schön. Kontrollieren wir das noch einmal mit unserem Programm: Also Oberfläche O = 30 cm^2, Seite a = 2 cm, Seite b = 3 cm und wir sehen die Quaderseite c = 1,8 cm lang. Wie gesagt, dieses Programm ist wirklich hilfreich. Schauen wir uns noch eine Aufgabe an, wo das Volumen gegeben ist. Und zwar sei das Volumen mit V = 7,5 cm^3 gegeben, Seite b = 2 cm und Seite c = 2,5 cm. Gesucht ist die fehlende Seite a. Als erstes die Volumenformel, richtig, V = abc. Und wie kommen wir da an die Seite a ran? Denn die fehlt ja. Richtig, in dem wir durch b und c jeweils dividieren. Das heißt (V/b)/c = a. Und das kann man natürlich auch schreiben als a = V/(bc). Das hätten wir hier übrigens gleich als eine Umformung schreiben können, also :(bc), also diesen Term. Ja und dann haben wir das, natürlich wieder als Bruch schreibbar. Dann die Werte eingesetzt. Und wir sehen zur Einheit: cm^3/cm^2 = cm. Sehr schön. Und hier unten 2•2,5 = 5. Und 7,5/5 = 1,5, also Lösung 1,5 cm. Somit haben wir Seite a bestimmt. Seite b und c liegen vor, wir können den gesamten Quader berechnen. Hier noch einmal zur Kontrolle, 1,5, 2 und 2,5. Bzw. hier Volumen eingeben V = 7,5 und 1,5 wird automatisch richtig berechnet. Noch ein letzter Hinweis: Wir hatten ja gesagt der Quader hat 12 Seiten, 8 Ecken und 6 Flächen. Und oft findet ihr Darstellungen in Büchern, die man Quadernetz nennt. Und zwar wird der Quader da aufgeklappt und man erkennt dann die einzelnen Flächen besser. Also das hier sind die Seitenflächen, das ist die Grundfläche und das ist die Deckfläche. Das wird dann sozusagen nach oben aufgeklappt. Und hier lassen sich die Flächen gut ablesen: b•c, b•c, a•b, a•b, a•c, a•c. Also so ein Quadernetz ist eine optische Hilfe für uns. Gut, jetzt haben wir uns also alle Formeln angeschaut, sowie ein paar Anwendungen gezeigt. Ihr solltet jetzt fit genug sein um Quaderaufgaben selbst rechnen zu können. Wie angekündigt, kommt als nächstes noch das Video zum Volumen, dort zeigen wir euch, wie ihr euch das Quadervolumen am besten vorstellen könnt.

Video Teil 4

Hallo liebe Schüler. Heute schauen wir uns an, wie wir das Volumen eines Quaders bestimmen können. Und wir stürzen uns auch gleich auf ein anschauliches Beispiel. Wir haben hier einen großen Block aus Ziegelsteinen der die Form eines Quaders hat. Das heißt die Seiten sind Rechtecke und die gegenüberliegenden Seiten sind gleich groß. Also diese Seite ist genauso groß wie diese Seite. Markieren wir diese Seiten farblich. Dann erkennt ihr dieses grüne Rechteck ist genauso groß wie dieses hier. Und dieses blaue hier ist genauso groß wie dieses hier. Und dieses schwarze ist genauso groß wie, lasst uns den mal kurz etwas hochheben, wie dieses hier. Der Fachbegriff hierzu ist deckungsgleich bzw. kongruent. Das heißt diese grüne Fläche kann exakt auf die andere grüne Fläche herauf gelegt werden. Und wie wir sehen, sie passen direkt aufeinander. Und das gleiche gilt für diese Fläche. Sie passt direkt auf die andere. Merkt euch außerdem, dass beim Quader alle Winkel rechtwinklig sind. Als nächstes wollen wir berechnen, wie viel Volumen diese Quader hat. Das heißt wir wollen wissen wie groß seine Ausdehnung ist. Und um das berechnen zu können, müssen wir wissen, wie groß er ist. Wir bestimmen also die folgenden Seiten: Die Breite, die Höhe und die Tiefe, bzw. mathematisch korrekt sagt man Länge. Die Länge dieses Quaders. Und mit Hilfe der drei Seiten können wir dann das Volumen berechnen. Messen wir also alle drei Seiten und benutzen dazu ein Gitternetz. Also gleich große Kästchen und jetzt können wir abzählen. 1, 2, 3 ,4 Kästchen. Und wenn wir wissen, dass ein Kästchen 1 Meter lang ist, dann sind das hier 4 Meter für die Länge. Dann zählen wir mal hier die Breite: 1, 2, 3. Perfekt. 3 Meter. Und wie hoch ist der denn? Und jetzt können wir nicht dieses Gitternetz um nach oben zu schauen, lasst uns doch noch hier an der Seite eins eintragen. Und dann sehen wir: 1, 2 Kästchen hoch, das heißt 2 Meter. Und jetzt nehmen wir uns die Formel für das Volumen. Sie lautet: Breite * Höhe * Länge. Und das sind dann 3*2 sind 6. Mal 4 sind 24. Das heißt dieser Quader hat ein Volumen von 3*2*4, also 24 m³. Und m*m ist m² und nochmal haben wir m³. Also Kubikmeter. Erinnert euch an die Potenzen. Das heißt also unser Ziegelsteinblock hat ein Volumen von 24 m³. Viele wissen jedoch nicht auf Anhieb, wie man sich solche Volumenangaben richtig vorstellt bzw. was das denn überhaupt bedeutet. Daher zeigen wir euch im Folgenden noch ein paar hilfreiche Visualisierungen. Zuerst halten wir fest: 1 m³ ist ja 1 m breit, 1 m hoch und 1 m lang, das sieht dann so aus. Beschriften wir: 1 m breit, 1 m hoch, 1 m lang. 1*1*1 1 m³. Bei so einem Quader sprechen wir übrigens auch von einem Würfel, denn alle Seiten sind gleich lang. Und wenn wir jetzt hier noch einen Würfel hinsetzen, dann haben wir jetzt hier 2 m. 1*1 ist gleich geblieben, also haben wir 2 m³. Anders gesagt, wir haben 2 mal einen 1 m³ Würfel. Lasst uns doch die Würfel einmal einzeichnen. Und jetzt lasst uns diese Textur hier etwas transparent machen. Jetzt sehen wir das besser. Also die Würfel sind hier etwas kleiner gezeichnet, damit man es besser sieht. Eigentlich müssten die so groß gezeichnet werden, ja. Das ist 1 m³, das ist 1 m³, also haben wir 2 m³. Und wenn wir jetzt unseren Quader auf 3 m Breite erweitern haben wir, richtig, 3 mal einen Würfel, also 3 m³. Und jetzt wollen wir die Höhe um 1 erweitern. Das bedeutet, wir setzen noch eine Reihe von Würfeln darauf. Das heißt jetzt wir haben hier 2 m, hier 3 m und hier 1 m, also wir haben 3*1*1, das sind die unteren drei Würfel zweimal, also zwei Reihen. Damit sind es 6 Würfel, also 6 m³. Oder wenn wir jetzt noch einen hoch gehen, auf 3 m, wie viel Kubikmeter haben wir dann? Hier unten sind 3 m³, hier sind 3 und hier nochmal 3. 9 m³ bzw. 9 Würfelchen. Und jetzt, wenn wir unser Objekt eins nach links erweitern, also nicht mehr 1 Meter, sondern 2 Meter da haben, dann haben wir nicht mehr 9, sondern, richtig, 2*9 also 18 m³. 18 Würfel mit jeweils 1 m³. Werfen wir nochmal einen Blick auf unsere Aufgabe. Dann sah das so aus: Die 24 m³ und dann können wir uns vorstellen, dann haben wir hier 3 m*2 m, also 1, 2, 3 und 1, 2, 3 Kästchen, also 6 Kästchen und die viermal. Zeichnen wir die mal ein. Machen wir es mal etwas transparenter. Und wir sehen 6 Kästchen, die 1, 2, 3, 4 mal also vier Reihen. 6*4 sind 24. So habt ihr also eine Vorstellung, wie sich das Volumen ergibt. Wenn ihr also 24 m³ vor euch habt, wisst ihr, das sind 24 mal 1 Kubikmeterwürfel. Und denken wir uns an dieser Stelle ein kleines Beispiel. Stellen wir uns vor, das sind die Abmessungen eines Swimmingpools, dann wissen wir, da müssen 24 m³ Wasser rein. Und wir wissen 1 m³ sind 1000 l. Wir brauchen also 24.000 l um den Swimmingpool zu füllen. Merken wir uns außerdem für das Volumen, dass die Anordnung der Würfel unterschiedlich sein kann. Also wir könnten jetzt auch anstatt 2*3*4 um 24 m³ zu erreichen eine Anordnung zu wählen wie zum Beispiel 6*4 bei einer Höhe von 1. Das sind auch 24 m³, die sind jedoch anders angeordnet. Oder ganz extrem: Die Quaderbreite ist 2 m, die Länge 1 m und die Quaderhöhe 12 m. Dann haben wir 2 Würfel zwölfmal übereinander gelegt. Also 24 m³. Wie gesagt, es gibt verschiedene Möglichkeiten die 24 m³ darzustellen. Schauen wir uns noch ein paar kleine Details an. Wenn wir zum Beispiel eine Breite, eine Höhe oder eine Länge von 0 haben ist das ganze Volumen 0. Also wenn wir jetzt eine Breite von 0 m einstellen haben wir kein Volumen. Dann haben wir nur 1 m * 2 m, also eine Fläche. Gleiches gilt für die Länge, wenn wir da jetzt 0 m haben, dann erhalten wir für unser Volumen 0. Und natürlich auch für die Höhe, wenn wir die auf 0 reduzieren haben wir auch hier ein Volumen von 0. Also sobald ein Faktor hier 0 ist, wird alles 0. Und bei der Größe von Quadern sind uns keine Grenzen gesetzt, wir können große Werte für Höhe, Breite und Länge einstellen und erhalten entsprechend große Volumen. Das hier verwendete Programm könnt ihr übrigens auch selbst ausprobieren, ihr findet es auf unserer Webseite. Übrigens, als kleine Anwendung für euch. Falls ihr euch gerade in einem Raum befindet, versucht doch mal euch dessen Volumen auszurechnen. Das heißt ihr messt die Grundfläche, also wie lang ist der Raum und wie breit ist der Raum. Und danach messt ihr die Deckenhöhe. Die ist vielleicht 3 m. Und der Raum hat vielleicht Maße von 5 m* 3 m. Und dann rechnet doch einfach mal das Volumen aus. Und an der Stelle noch ein interessanter Hinweis. Wir können das hier auch anders schreiben in dem wir jeweils 1 m herausziehen. Und zwar wie folgt: Wir können 3 m schreiben als 3*(1 m). Wir können das hier genauso machen 3*(1 m). Und hier 5 m sind 5*(1 m). Und was wir jetzt erkennen ist, wenn wir die 1m nach hinten schreiben, dass sich ja hier 1 m * 1 m * 1 m also ein Kubikmeter ergibt. Was ja unserem ein Kubikmeterwürfel entspricht. Das heißt das ist unser Würfel und hier versteckt sich die Anzahl der Würfel. Und berechnen wir diese: 3*3 sind 9. Mal 5 sind 45. Wir haben also 45 * 1 m³, also 45 m³. Auch so könnt ihr euch die Volumenangaben mit dem Würfel vorstellen. Super, wir hoffen ihr habt die Volumenformel von Quadern jetzt besser verstanden und könnt diese in Zukunft besser anwenden. Wir wünschen viel Spaß und Erfolg dabei.
Tags: Stereometrie, Quaderberechnungen, Kubikmeter

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