Mathe G32: Binärzahlen und Dezimalzahlen

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 9. - 10. Klasse

Mathe-Videos

Damit ihr mit Binärzahlen umgehen könnt, müsst ihr euch mit den Potenzen ein wenig auskennen, denn diese benutzen wir, um eine Binärzahl "lesbar" zu machen, also in eine uns verständliche Zahl (eine Dezimalzahl) umzuwandeln. Alle notwendigen Details findet ihr im Video. Viel Spaß beim Anschauen. Im ersten Video schauen wir uns die Umrechnung der Binärzahl 1001 zur Dezimalzahl 9 an: 10012 = 1·23 + 0·22 + 0·21 + 1·20 = 910 und es gibt einen Tipp, wie ihr Binärzahlen ohne langes Rechnen sehr schnell umwandeln könnt.

Mathe-Video G32-1 Einführung der Binärzahlen mit Hilfe der Dezimalzahlen

Was ist eine Binärzahl, was ist eine Dezimalzahl. Begriffe Binärsystem, Dualsystem, Zweiersystem. Zerlegen einer Dezimalzahl in Zehnerpotenzen, Stellenwertsystem erklärt, Zweierpotenzen beim Binärsystem. Beispiel einer Umrechnung von Binär- zu Dezimalzahl.

Weitere Videos stehen dir als Kunde zur Verfügung:

  • G32-2 Dezimalzahlen in Binärzahlen umwandeln

    Umwandeln der Dezimalzahl 178 in die Binärzahl 10110010. Zerlegung der Dezimalzahl in eine Summe von Zweierpotenzen, Rechenweg erklärt. Alternative Rechenmethode über das Divisionsverfahren (Restverfahren).

  • G32-3 Binärzahlen addieren und subtrahieren

    Addition von Binärzahlen wie bei den Dezimalzahlen, einzelnen Stellen addieren mit Übertrag. Andere Rechenmethode bei Subtraktion: Wir splitten den Minuenden solange auf, bis der Subtrahend ziffernweise von ihm abgezogen werden kann. Nach dem Abzug addieren wir alle Stellen zusammen.

  • G32-4 Binärzahlen multiplizieren und dividieren

    Schriftliche Multiplizieren von Binärzahlen wie bei Dezimalzahlen, wir multiplizieren die einzelnen Stellen mit dem ersten Faktor. Anschließend addieren wir alle Ziffern stellenweise zusammen. Die Division wird gleichfalls schrittweise wie bei den Dezimalzahlen ausgeführt.

  • G32-5 Von der Binärzahl zur Dezimalzahl mittels Horner-Schema

    Das Horner-Schema zerlegt Potenzen sinnvoll in Multiplikationen. Wiederholte Anwendung des Schemas in der Reihenfolge: mal 2, plus nächste Ziffer, Klammern herum. So erhalten wir den Dezimalwert der Binärzahl.

  • G32-6 Oktalzahlen und Hexadezimalzahlen

    Umwandeln von Dezimalzahlen in Oktalzahlen und in Hexadezimalzahlen. Erklärung der einzelnen Schritte über die Summen von Potenzen. Zusätzlich die Umrechnung von Oktal- und Hexadezimalzahlen in Dezimalzahlen.

Zugriff auf alle Videos bestellen

Wissen zur Lektion

Informationen über Zahlensysteme

Das jedem bekannte, weltweit am meisten benutzte Zahlensystem ist das Dezimalsystem, es nutzt die Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Also 10 Ziffern. Zehn auf Lateinisch heißt "decimus" (der zehnte), daher wird der Begriff "Dezimalsystem" statt "Zehnersystem" verwendet. Der Wert einer Ziffer hängt bei Zahlensystemen nicht nur von ihrem eigenen Wert ab, sondern auch von ihrer Position in einer Zahl. Zur Erinnerung: Eine Zahl wie 345 besteht aus den Ziffern 3, 4 und 5. Die 5 steht an erster Stelle (Einerstelle), ihr Wert ist 5·1=5. Die 4 steht an zweiter Stelle (Zehnerstelle), ihr Wert ist 4·10=40. Die 3 steht an dritter Stelle, ihr Wert ist 3·100=300. So ergibt sich für die Zahl "345" also: 345 = 3·100 + 4·10 + 5·1. Jede Stelle vermittelt also insgeheim eine Zehnerpotenz: 345 = 3·102 + 4·101 + 5·100.

Andere Zahlensysteme nutzen andere Stellensysteme, jedoch sind die Stellen dann nicht mit Zehnerpotenzen zu multiplizieren, sondern mit den Potenzen, die für dieses Zahlensystem gelt. Zum Beispiel sind beim Binärsystem (Dualsystem) 2 Ziffern verfügbar, die Potenz ist demnach 2n. Beispiel: 1001 = 1·23 + 0·22 + 0·21 + 1·20 = 9

Die bekanntesten Zahlensysteme sind 1. Dezimalsystem, 2. Binärsystem (berühmt durch die Anwendung bei Computern) und 3. Hexadezimalsystem (z. B. Farbwerte bei Bildbearbeitungsprogrammen, rot ist #FF0000, grün ist #00FF00 und blau ist #0000FF).

Anwendung von Binärzahlen beim Computer: Jede Speicherung von Daten erfolgt technisch als 011010100101... Das heißt, jeglicher Datensatz (Text, Bilder, Audio, Video) wird heruntergebrochen in eine meist lange Reihe von Einsen und Nullen, AN (1) und AUS (0). Deren Zusammensetzung und die Interpretation durch ein Programm entscheiden darüber, was der Strom von 011010100101... schließlich sein soll. Der Buchstabe "a" ist zum Beispiel die Binärfolge "01100001". Es sind 8 Zeichen, man sagt 8 Bits. Zusammengefasst nennt man 8 Bits einen Byte. 1 Byte ist also 1 Zeichen (im ASCII-Zeichensatz).

Schreibweise: Um kenntlich zu machen, welches Zahlensystem verwendet werden soll, schreibt man einen tiefgestellten Index an die Zahl. Beispiel: 1001012. Die 2 zeigt an, dass es sich um das Binärsystem handelt. Ein weiteres Beispiel: 45710. Die 10 zeigt an, dass es sich um das Dezimalsystem handelt.

Grundrechenarten im Dualsystem

Bei der Rechnung im Dualsystem gibt es keinen allzu großen Unterschied bezüglich der Rechnung im Dezimalsystem. Man muss allerdings aufpassen, dass beispielsweise der Übertrag an anderer Stelle zu setzen ist. So ist bei der Addition im Dezimalsystem 9+1 = 10, wobei die 1 aus einem Übertrag zustande kommt, im Binärsystem hingegen haben wir 1+1 = 10. Im Folgenden seien ein paar Beispielrechnungen für die vier Grundrechenarten vorgeführt. Da diese Rechnungen alle im Binärsystem getätigt werden, wird auf die tiefgestellte Bezeichnung weitestgehend verzichtet.

Addition von Binärzahlen

Bei der Addition gibt es folgende vier Möglichkeiten bei der Addition zweier Ziffern.

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 10

Hat man also folgende Addition durchzuführen: 1001 + 1111, so kann die Addition wie gewohnt mit der Übereinanderschreibweise durchgeführt werden, aber unter Berücksichtigung der obigen Regeln.

1

0

0

1

+

1

1

1

1

Übertrag

1

1

1

1

Summe

1

1

0

0

0

Das Ergebnis hier wäre also 11000. Dabei wurde bei der Addition von 1 + 1 genau wie oben dargestellt ein Übertrag vorgenommen. Dann ergibt sich für die Addition der zweiten Ziffern wieder selbiges -> 0 + 1 + 1 = 10 es ist also wiederum ein Übertrag erforderlich. Und so geht es direkt weiter.

Überprüfen wir doch das ganze mal, in dem wir das Dezimal rechnen.

10012 + 11112 = 110002

Einzeln umgerechnet

10012 = 1·23 + 0·22 + 0·21 + 1·20 = 910

11112 = 1·23 + 1·22 + 1·21 + 1·20 = 1510

110002 = 1·24 + 1·23 + 0·22 + 0·21 + 0·20 = 2410

Wir haben also nichts anderes als:

910 + 1510 = 2410

Das stimmt offensichtlich, wie auch unsere obige Rechnung im Binärsystem.

Subtraktion von Binärzahlen

Bei der Subtraktion gibt es wieder vier Möglichkeiten:

0 - 0 = 0

0 - 1 = -1

1 - 0 = 1

1 - 1 = 0

Wobei der Fall 0 - 1 = -1 durch einen Übertrag korrigiert wird, so dass wir „0 - 1 = 1 und einen Übertrag haben“. Gehen wir dies direkt mit einem Beispiel an. Wir wollen 1100 - 1001 errechnen. Basteln wir uns dazu wieder eine Tabelle.

1

1

0

0

1

0

0

1

Übertrag

1

1

Differenz

0

0

1

1

Überprüfen wir das doch wieder mit dem Dezimalsystem.

11002 - 10012 = 112

11002 = 1·23 + 1·22 + 0·21 + 0·20 = 1210

10012 = 1·23 + 0·22 + 0·21 + 1·20 = 910

112 = 1·21 + 1·20 = 310

Das ist also 1210 - 910 = 310 was wiederum passt.

Anmerkung: Wie im Dezimalsystem funktioniert dieses Verfahren nur, wenn der Minuend größer ist als der Subtrahend (Subtrahend ist die abzuziehende Zahl).

Multiplikation von Binärzahlen

Für die Multiplikation gilt:

0 · 0 = 0

0 · 1 = 0

1 · 0 = 0

1 · 1 = 1

Im Weiteren geht man genau vor, wie man es vom Dezimalsystem gewohnt ist. Machen wir das mit dem Beispiel 1111 · 1001.

1

1

0

1

·

1

0

0

1

1

1

0

1

+

0

0

0

0

+

0

0

0

0

+

1

1

0

1

Übertrag

1

Produkt

1

1

1

0

1

0

1

Und es folgt wieder die Überprüfung mit dem Dezimalsystem:

11012 · 10012 = 11101012

11012 = 1·23 + 1·22 + 0·21 + 1·20 = 1310

10012 = 1·23 + 0·22 + 0·21 + 1·20 = 910

11101012 = 1·26 + 1·25 + 1·24 + 0·23 + 1·22 + 0·21 + 1·20 = 117 10

Es ist also:

1310 · 910 = 11710

Und damit genau das, was wir im Dualsystem ausgerechnet haben.

Division von Binärzahlen

Die Division durch 0 ist wie im Dezimalsystem nicht definiert. Somit bleiben zwei Möglichkeiten:

0 : 1 = 0

1 : 1 = 1

Gehen wir das ganze wieder im Beispiel an. Orientieren wir uns dabei wieder am Dezimalsystem:

1

0

0

0

0

1

0

:

1

1

=

0

1

0

1

1

0

-

0

0

1

0

0

-

1

1

1

0

-

0

0

1

0

0

-

1

1

1

1

-

1

1

0

0

-

0

0

0

Es wurde farblich markiert, wann wie dividiert wurde. So erkennt man im ersten Schritt, dass die 11 nur 0 mal in die 10 reinpasst, weswegen wir eine 0 schreiben und mit 00 subtrahieren. Dann erhalten wir im nächsten Schritt eine zusätzliche 0. Man überlegt sich nun wieder, wie oft die 11 in 100 reinpasst. Das ist genau 1 mal der Fall (Achtung, binär denken!). Wir ziehen also 11 ab und führen das ganze wie oben vorgeführt fort.

Wir überprüfen das natürlich wieder mit dem Dezimalsystem:

10000102 = 6610

112 = 310

101102 = 2210

Wir haben also 6610 : 310 = 2210 was wiederum passt.

Oktal- und Hexadezimalsystem

Nachdem nun das Binärsystem und die Grundrechenarten vorgestellt wurden, soll auch noch auf das Oktal- und das Hexadezimalsystem verwiesen werden. Beide Systeme finden wiederum in der Computertechnik breite Anwendung. Das Oktalsystem ist dabei auch als „Achtersystem“ bekannt, da „octo“ aus dem Lateinischen kommt und „acht“ bedeutet. Das sieht so aus:

Oktalsystem

0

1

2

3

4

5

6

7

10

11

12

13

14

15

16

17

20

21

22

Dezimalsystem

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

Man beachte, dass im Oktalsystem die Ziffern 0-7 angenommen werden können. Man hat folglich acht unterschiedliche Ziffern. Für eine Umrechnung vom Oktalsystem in das Dezimalsystem geht man dann wie gewohnt vor. Die Ziffer ganz rechts wird mit 80 multipliziert, die vorletzte Ziffer wird mit 81 multipliziert und so weiter.

Beispiel: 218 = 2·81 + 1·80 = 16 + 1 = 1710

was mit unserer Tabelle übereinstimmt.

Wir hatten ja gerade erwähnt, dass das Oktalsystem aus acht Ziffern besteht. Beim Binärsystem hatten wir es mit zwei Ziffern zu tun und wie allseits bekannt haben wir im Dezimalsystem zehn Ziffern zur Verfügung. Das Hexadezimalsystem (von griechisch hexa „sechs“ und lateinisch decem „zehn“) hat, wie der Name verrät, sechzehn Ziffern. Während wir mit dem Oktal- und Binärsystem keine Probleme hatten und auf bekannte Ziffern zurückgreifen konnten, müssen wir beim Hexadezimalsystem neue Ziffern wählen. Hierbei nimmt man sich das Alphabet zu Hilfe. Die Ziffern 10, 11, 12, 13, 14 und 15 werden so durch A, B, C, D, E und F dargestellt um Verwirrungen zu vermeiden und jeder Stelle genau eine Ziffer zuordnen zu können. Die obige Tabelle für das Hexadezimalsystem sieht so aus:

Hexadezimalsystem

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

10

11

Dezimalsystem

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

So hätte die Dezimalzahl 4210 die Gestalt 2A16. Gerechnet wird wie in allen System. Man überlegt sich wie oft die 16 in die 42 hineinpasst. Das ist genau zweimal der Fall. So ist die vorletzte Ziffer zu 2 (denn 2·161) bestimmt. Mit 42 - 2·16 = 10 müssen wir die letzte Ziffer als 10 wählen. Die 10 ist aber keine geltende Ziffer, sondern wird als A ausgedrückt. Schon haben wir 2A16.

Auch andersrum sollte die Umrechnung kein Problem darstellen:

A5B16 = A·162 + 5·161 + B·160 = 10·162 + 5·16 + 11 = 2560 + 80 + 11 = 265110

Mathe-Programme

In der Formelsammlung 3.0 findet ihr ein Matheprogramm (Zahlenkonverter), das Binärzahlen, Dezimalzahlen, Hexadezimalzahlen und Oktalzahlen ineinander überführt. Dort auf der rechten Seite findet ihr zusätzlich einen kleinen "Zahlenrechner". Hinter ihm verbirgen sich: Binärrechner, Dezimalrechner, Hexadezimalrechner und Oktalrechner für zwei ganze positive Zahlen.

Weitere Lernprogramme aufrufen

Übungsaufgaben

Nachfolgend findet ihr Aufgaben zu Binärzahlen und Dezimalzahlen, mit denen ihr euer neues Wissen testen könnt:

A: Wandle vom Binärsystem ins Dezimalsystem um.

a) 1001010112

b) 11111012

c) 11100002

d) 1010101012

e) 101011102

B: Wandle vom Dezimalsystem ins Binärsystem um.

a) 1510

b) 2710

c) 12710

d) 15710

e) 17310

C: Löse die Rechnung im Binärsystem. Kontrolliere die Rechnung im Dezimalsystem (Addition, Subtraktion).

a) 10002 + 11012

b) 10102 + 111002

c) 1100112 + 100102 + 112

d) 100012 - 10102

e) 101112 - 100002

f) 101002 - 11012

D: Löse die Rechnung im Binärsystem. Kontrolliere die Rechnung im Dezimalsystem (Multiplikation, Division).

a) 11112 · 1012

b) 10102 · 112

c) 1101012 · 10012

d) 100002 : 1002

e) 101112 : 101112

f) 1000000112 : 1112

Alle Lösungen im Lernzugang
Mathegigant - Mathewissen testen Teste dein Wissen bei Mathegigant

Untertitel

Sucht ihr nach einer bestimmten Stelle in den Videos? Dann sucht hier direkt in den Untertiteln.

Video Teil 1

Hallo liebe Zuschauer, heute wollen wir uns anschauen was Binärzahlen sind und wie man mit ihnen rechnet. Das Wort „binär“, da kennen wir „bi“, das ist die lateinische Vorsilbe für „zwei“. Und „binär“ geht auf das lateinische „binarius“ zurück und das bedeutet „aus zwei Teilen bestehend“. Und genau das findet sich bei den Binärzahlen wieder. Die Binärzahlen sind ein Zahlensystem, das aus zwei Teilen, zwei Ziffern besteht, die da wären: 0 und 1. Wir haben also nicht wie bei unserem Dezimalsystem 0 bis 9, sondern nur 0 und 1. Ein weiterer Begriff für Binärsystem ist übrigens Dualsystem, wobei „dual“ von „dualis“ kommt, aus dem lateinischen und „zweifach“ bedeutet. Das heißt die Begriffe Binärsystem, Dualsystem oder auch Zweiersystem meinen das Gleiche. Und Binärzahlen sind deshalb so wichtig, weil jeder Computer damit funktioniert. Dieser berühmte „An-/Auszustand“ mit denen man dann Daten digital übermitteln kann und das heißt die Daten werden über An-/Aussignale übertragen. Was dann nachher zum Beispiel umgewandelt wird in ein Bild. Ein Beispiel für eine Binärzahl wäre die 101011. Und ein Beispiel für eine Dezimalzahl wäre die 49725. Gut, schauen wir uns als nächstes nochmal die Dezimalzahlen an, also die Zahlen mit denen wir jeden Tag rechnen. Beim Dezimalsystem, also bei den Dezimalzahlen, haben wir ja 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, also insgesamt zehn verschiedene Ziffern mit denen wir dann unsere Zahlen zusammenstellen können. Der „Zehnte“ heißt auf Lateinisch „decimus“. So sagen wir nicht Zehnerzahlen, sondern Dezimalzahlen. Und wie wir schon in einer anderen Lektion gesagt hatten, es sind wahrscheinlich zehn geworden, weil wir zehn Finger haben und es sich dann damit am einfachsten Rechnen lässt. Wenn wir jetzt eine Zahl generieren, nehmen wir mal die 98. Dann haben wir hier eine 90 und eine 8. Das heißt diese Stelle hier, die 9, sagt, das ist nicht nur eine 9, sondern eine 90, also 9•10. Und dann hier hinten 1•8. Wenn wir jetzt hier vorne noch eine 2 hinsetzen, also 298 haben. Was müssen wir dann hier hin schreiben? Richtig, 2•100, denn wir haben 200 erzeugt, indem wir vor diese 98 eine 2 gesetzt haben. Und wenn wir jetzt noch eine Zahl hiervor setzen, zum Beispiel die 1, dann ist das, richtig, 1•1000. Wir sehen also, der tatsächliche Wert der Ziffer hängt nicht von ihrem eigentlichen Wert ab, sondern auch von der Stelle an der sie steht. Wir können also diese Ziffern auseinander nehmen und dann mit •1000, •100, •10, •1 hinschreiben. Jeder Stelle hier wird also eine Zehnerpotenz zugewiesen. Also 1000, 100, 10 und 1, lassen sich mit der Zehnerpotenz erzeugen. Wir können also, wenn wir das mit der Zehnerpotenz so schreiben wollen, folgendes notieren: Das hier ist eine 10^3, also 10•10•10, da kommt 1000 heraus, also schreiben wir 10^3. Diese Stelle wird also mit 10^3 multipliziert. Gucken wir uns die 2 an. Das ist 100, also 10•10 und damit, richtig, 10^2. Gucken wir bei der 9. Da haben wir nur die 10 einmal, wir schreiben also 10^1. Und was ist jetzt hier hinten bei der •1? Wo ist denn hier die 10? Überlegen wir, erinnern wir uns an Potenzrechnung: 10 hoch was ist 1? Und die meisten wissen das wahrscheinlich jetzt schon, das ist 10^0. Denn jede natürliche Zahl: 5^0, 8^0, 10^0 ist immer 1. Wer sich daran nicht mehr erinnern kann, guckt sich bitte nochmal die Lektion zu den Potenzen an. Das heißt hier, wenn wir eine 10 hoch schreiben wollen, schreiben wir eine 10^0. So sehen wir also, dass jede Ziffer dem Wert einer Zehnerpotenz zugeordnet wird. Diese Ziffer wird also 10^0 multipliziert. Die nächste Ziffer mit 10^1 multipliziert. Die darauffolgende Ziffer mit 10^2 und die nächste Ziffer mit 10^3. Legen wir für diese Lektion fest, dass wenn wir von der nullten Stelle reden immer die allererste Ziffer meinen. Das macht es nachher einfacher, denn so lassen sich die Potenzen gut zuordnen. Die jeweilige Stelle entspricht dann dem Exponenten der Zehnerpotenz. Da das für manche vielleicht etwas ungewöhnlich ist, machen wir noch ein Beispiel. Nehmen wir mal 756. Dann wissen wir, die 6 an der nullten Stelle wird mit, richtig, 10^0 multipliziert. Wie gesagt, denkt hier an die nullte Stelle, hier an die erste Stelle, hier an die zweite Stelle. In der Informatik wird übrigens immer mit 0 beim Zählen begonnen. Und das wahrscheinlich auch aus diesem Grund. Jetzt nehmen wir uns die 5. Die 5 multiplizieren wir, richtig, mit 10^1. Und, was fehlt noch? Die 7, die multiplizieren wir mit 10^2. Und schon haben wir unsere 756 in die Zehnerpotenzen zerlegt. 10^2, 10^1, 10^0, jede Ziffer wird zugeordnet. Merken wir uns außerdem: Wir haben zehn Ziffern und damit die Basis 10. Warum erklären wir alles so im Detail? Ganz einfach: Genau das machen wir auch bei den Binärzahlen. Wir können uns beim Binärsystem, die Dezimalzahl, also den Wert, den wir verstehen können, herleiten, indem wir die Potenzen benutzen. Tun wir das als nächstes. Bei den Binärzahlen machen wir also genau das gleiche Schema. Schreiben wir hier Binärzahlen hin und jetzt haben wir nur 0 und 1 als Ziffern zur Verfügung. Jetzt nehmen wir uns eine Binärzahl, das heißt wir schreiben hier zum Beispiel 1001. Und jetzt gilt es zu untersuchen welche Stelle welchen Wert hat. Wir hatten ja bei den Dezimalzahlen jede Stelle 10 hoch gerechnet, also hier waren das bei 1000 10^3, bei 100 10^2, bei 10 10^1 und bei 1 10^0. Und jetzt, da wir hier nur zwei Ziffern zur Verfügung haben, rechnen wir mit der Zweierpotenz. Also das Binärsystem hat die Basis 2. Dezimalzahlen Basis 10, Binärzahlen Basis 2. Also setzen wir jetzt hier überall die 2 ein: 2^3, 2^2, 2^1, 2^0. Und jetzt müssen wir natürlich noch unsere Ziffern eintragen: 1, hier dann die 0, hier dann die 0, hier die 1. Wir weisen also jeder Ziffer an der Stelle die entsprechende Zweierpotenz zu. Und auch hier gilt, hier haben wir wieder ein 2^0, die nullte Stelle. 2^1, 2^2, 2^3. Und dann können wir das einfach ausrechnen und haben der Wert der Binärzahl 1001 als Dezimalzahl. Tun wir das: 1•2^3 = 8. Die Nullen können wir ignorieren. Und hier hinten 1•2^0 = 1•1 = 1. Was wiederum heißt: Dezimalzahl ist 9. Eine Binärzahl 1001 hat also den Wert 9. Wir haben hier ja die Schreibweise in einer Zeile als Addition verwendet, wir können auch die Schreibweise einer Tabelle nutzen. Das kann eventuell einfacher sein. Tun wir das als nächstes. Hier haben wir die Dezimalzahlen, also in dem Fall die 1298. Und hier als Beispiel für die Binärzahlen die 1001. Bitte passt auf, sagt hier nicht 1001. Das ist keine Dezimalzahl! Sagt bitte 1 0 0 1. Oft seht ihr, um das deutlich zu machen, dass das dezimal und das binär ist, hier einen kleinen Index rangeschrieben. Also man könnte jetzt hier binär heranschreiben und hier drüben dezimal, aber um es kürzer zu machen, schreibt man anstatt dezimal eine kleine 10 ran und anstatt binär schreibt man eine kleine 2 ran. Auch dann ist das eindeutig. Und man kann sich hier auch immer an die Basis erinnern, für die jeweilige Stelle. So und jetzt machen wir eine kleine Tabelle. Für Dezimalzahlen zuerst. Wir haben für jede Stelle eine Spalte gesetzt und jetzt können wir einfach 8, 9, 2 und 1 hier eintragen. Und dann wissen wir: 10^0 ist 1, also 1•8. Plus 10^1 ist 10. Also 10•9 sind 90, also 98. Dann das hier ergibt 100, mal 2 sind 200. Dann haben wir 298. Und 10^3 sind tausend, also 1298. Ihr seid an diese Zahl so gewöhnt, dass wenn ihr diese Zahl seht sofort an 1298 denkt, aber ihr könnt sie halt so Schritt für Schritt herleiten. Und jetzt bei den Binärzahlen, an die ihr noch nicht gewöhnt seid. Hier machen wir das jetzt genauso. Da erstellen wir jetzt auch eine Tabelle mit den Zweierpotenzen. Und jetzt wissen wir, wir müssen die 1, die 0, die 0 und die 1 eintragen. Und schon können wir das jeweils multiplizieren. 1•2^0, das ergibt insgesamt 1. 0, 0 fällt weg. Und 2^3 sind 8. 8•1 sind 8. Also 8 + 1 = 9. Diese Zahl ist also dezimal ausgedrückt 9. Und jetzt können wir uns das einfacher machen um mit Binärzahlen leichter umzugehen. Diese Potenzen sind ja immer gleich. Das heißt die erste Stelle wird immer 2^0 sein, also immer 1. Wir können hier also den Dezimalwert ausrechnen und eintragen. Das heißt 2^0 wird zu 1. 2^1 wird zu2. 2^2 wird zu 4 und 2^3 wird zu 8. Jetzt, ohne Potenzschreibweise, sieht das natürlich viel einfacher aus. Wir haben also die 1001 und schauen welchen Zahlen das jeweils entspricht. Die erste Ziffer 1 entspricht der Dezimalzahl 1. 0, 0 können wir ignorieren, 2 und 4 fallen also weg. Und dann an dieser Stelle. Dann haben wir die 8, also 8 + 1. Wenn ihr das so macht, dann wird es noch viel einfacher. Warum ist es jedoch sinnvoll die Potenzschreibweisen zu kennen? Ihr könnt auch andere Zahlen haben, wie die Oktalzahlen oder die Hexadezimalzahlen. Bei den Oktalzahlen haben wir die Basis 8 und bei den Hexadezimalzahlen haben wir die Basis 16. Und hier läuft es dann genauso: Ihr könnt jeder Stelle eine entsprechende Potenz zuordnen und dann den Wert ausrechnen. Deswegen haben wir euch das allgemeine Schema gezeigt, damit ihr euch zu jeder beliebigen Basis, zu jedem beliebigen Zahlensystem, die entsprechenden Dezimalzahlen herleiten könnt. Gut, machen wir weiter mit den Binärzahlen. Stellt euch vor ihr müsst diese Binärzahl umwandeln in eine Dezimalzahl. Dann nehmt ihr genau dieses Schema: Ihr fangt von rechts an. Die erste Ziffer entspricht der 1. Wenn wir eine 1 so stehen haben, dann ist die 1 mit zu berücksichtigen, wenn wir eine 0 haben, dann ist er nicht zu berücksichtigen. 1001, das hatten wir ja schon. Aber jetzt geht die Zahl noch weiter: 101. Lasst uns diese Stellen hier vorne noch anfügen. Also hier 101. Frage ist nun, welchen Wert haben diese Stellen? Und da können wir uns wieder an die Potenzen erinnern: 2^0, 2^1, 2^2, 2^3, 2^4. Und das sind 16. Dann hier 2^5, das sind 32. Und dann hier 2^6, das sind 64. Das heißt wir haben jeder einzelnen Stelle wieder ihren Dezimalwert zugewiesen und jetzt können wir ganz einfach zusammenaddieren. 1 + 8 = 9. 9 + 16 = 25. 25 + 64 = 89. Hier können wir also hinschreiben ist gleich 89 im Dezimalsystem. Deswegen die kleine 10 dran. Und so könnt ihr jede beliebige Binärzahl umwandeln in eine Dezimalzahl. Ihr weißt jeder Stelle ihren entsprechenden Dezimalwert zu und addiert dann alles zusammen. Machen wir aus Übungsgründen noch ein Beispiel. Nehmen wir an, die Aufgabe lautet „Wandle diese Binärzahl in eine Dezimalzahl um, also welchen Wert hat denn diese Binärzahl. Dazu nehmt ihr euch die ganze Zahl runter und weißt jetzt jeder einzelnen Stelle ihren Dezimalwert zu. Räumen wir etwas Platz, damit man das besser sehen kann. Dann wissen wir, hier die 0, das können wir ignorieren. Das wäre die nullte Stelle, also der Wert 1, der fällt weg. Das ist hier die 2, das ist die 4, das ist die 8, das ist die 16, das ist die 32 und das ist die 64. Jetzt addieren wir einfach alle Zahlen, die sozusagen aktiv sind, durch die 1, zusammen. 64 + 32 = 96. 96 + 16 = 112. 112 + 8 = 120. 120 + 4 = 124. 124 + 2 = 126. Und das ist schon die Lösung unserer Aufgabe. Fertig! Auf unserer Seite findet übrigens einen kleinen Zahlenkonverter, ein Programm, das euch Dezimalzahlen in Binärzahlen oder Binärzahlen in Dezimalzahlen umwandelt. Ihr müsst hierzu einfach nur die entsprechende Binärzahl eingeben. Zum Beispiel 10010 und hier seht ihr schon die ausgerechnete Dezimalzahl 18. Oder ihr gebt hier eine Dezimalzahl ein. Zum Beispiel 145 und ihr seht hier, das ist die entsprechende Binärzahl. Zusätzlich werden euch hier noch Hexadezimalzahl und Oktalzahl angezeigt. Also Oktal zu Basis 8 und Hexadezimal zu Basis 16. Und bei Hexadezimal ist noch zu erwähnen, hier haben wir auch die Buchstaben A bis F. Das schauen wir uns in einem anderen Video an. Und hier unten seht ihr noch einmal die Zahlentabelle von 0 bis 15. Und hier seht ihr Dezimalzahl 0 ist Binärzahl 0. Dezimalzahl 1 ist Binärzahl 1. Dezimalzahl 2 ist die 10. 3 ist die 11, als binär. 4 ist die 100. 5 ist die 101 und so weiter. Also ein recht hilfreiches Programm, das ihr auf unserer Webseite verwenden könnt.

Video Teil 2

Um eine Binärzahl in eine Dezimalzahl umzuwandeln gehen wir einen anderen Weg, denn jetzt reduzieren wir ja von einem Zehner- in ein Zweiersystem. Wir haben also weniger Ziffern zu Verfügung und daher müssen wir wie folgt rechnen. Wir müssen die 178 auseinander nehmen; in Zweierpotenzen. Denn jede Zweierpotenz kann ja im Binärsystem dargestellt werden. Es wäre hilfreich, wenn ihr für solche Aufgaben die Zweierpotenzen einigermaßen auswendig könnt. Also 2^0 = 1. 2^1 = 2, 2^2 = 4, 2^3 = 8, 2^4 = 16, 2^5 = 32, 2^6 = 64. Wir verdoppeln immer den vorherigen Wert. 2^7 = 128, 2^8 = 256, 2^9 = 512 und 2^(10) = 1024. Und das ist dann 2^0, 2^1, 2^2 und so weiter. Jetzt schauen wir die 178 liegt zwischen 128 und 256. Also die Zahl, die noch hineinpasst ist die 128. Wir schreiben hier also mal 128 hin. Wenn wir jetzt rechnen, als Nebenrechnung: 178 - 128 = 50. Die 50 müssen wir also auch noch als Summe von Zweierpotenzen zerlegen. Die 50 kommt hier nicht vor. Die größte Zweierpotenz die reinpasst ist die 32. Das heißt wir schreiben 32 und es bleiben übrig 18. 32 + 18 = 50. Die 18; da passt die 16 rein. Schreiben wir die 18 als 16 + 2. Und sehr schön, die 2 findet sich hier wieder. Jetzt haben wir also die Zweierpotenzen erzeugt bzw. eine Summe aus Zweierpotenzen, wandeln wir sie noch in die entsprechende Schreibweise um. Das heißt 128 ist 2 hoch was? Und dann schauen wir 2 hoch 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Also 2^7. 32 ist was? 0, 1, 2, 3, 4, 5. 2^5. 16 ist 0, 1, 2, 3, 4. Also 2^4. Und die 2 ist was? Richtig, 2^1. Im nächsten Schritt schreiben wir acht Ziffern dahin. Also wir haben als höchste Potenz die 2^7 und wir sagten ja, wir fangen mit Ziffer 0 an, also schreiben wir jetzt dahin: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Wobei das hier die siebte ist und das hier die nullte. Alle Zweierpotenzen, die nicht hier stehen sind automatisch 0. Also eine 2^6, die ja hier dazwischen wäre, schreiben wir als 0•2^6. Wir haben sie also nicht mitgeschrieben, müssen jetzt aber hier überall ergänzen. Also wenn wir das machen wollten, der Ausführlichkeit wegen, nehmen wir das nochmals runter und schreiben dann hin + 0•2^6. Plus hoch 5. Hoch 4. Jetzt kommt 0•2^3 + 0•2^2. Dann kommt hier hoch 1 und dann, was fehlt, richtig, 0•2^0. Und überall, wo wir Potenzen haben schreiben wir die 1 mal davor. Hier haben wir 1•2^7. Hier haben wir 1•2^5. Hier haben wir 1•2^4. Null, null. Hier 1•2^1. Und das wars. Und jetzt müssen wir nichts weiter machen, als diese Ziffern hier herauszunehmen. Also die 1, die 0, die 1, die 1, die 0, die 0, die 1 und die 0. Und genau diese tragen wir jetzt hier ein. Überschreiben also unsere Ziffer mit 1, das ist diese hier, 0 1 1. Und dann hier weiter 0 0 1 0. Und das ist unsere Binärzahl. Wir schreiben also hin, 178 im Dezimalsystem ist das gleiche wie 10110010 im Binärsystem. Fertig! Wie gesagt, das war gerade der ausführliche Weg. Ihr könnt es natürlich auch kürzer machen ohne diese ganzen einzelnen Potenzen hinzuschreiben. Wenn ihr dieses habt, schreibt ihr die acht Nullen hin. 1, 2, 3, 4,5, 6, 7, 8. Und jetzt wisst ihr ja, dass das von 0 bis 7 ist. Jetzt haben wir die hoch 7, also tragen wir an der siebten Stelle eine 1 ein. Jetzt haben wir hier die hoch 5, also wird die fünfte Stelle zu 1. Jetzt die vierte Stelle. Und dann noch die erste Stelle. Also das ist diese Stelle hier. Und fertig ist die Umwandlung. Dies ist der schnellere Weg. Auf diese Art und Weise könnt ihr also beliebige Dezimalzahlen in Binärzahlen umwandeln. Es gibt übrigens noch weitere Verfahren. Eins von denen wollen wir euch noch kurz im Folgenden vorstellen. Es nennt sich „Divisionsmethode“ bzw. „Restverfahren“. Denn hier benutzt man die Division und den Rest um die Dezimalzahlen zu ermitteln. Machen wir das an einem einfachen Beispiel. Wir wollen die 15 umwandeln in eine Binärzahl. Jetzt teilen wir immer durch 2 und schreiben das ganze Ergebnis dahin. 15/2, da wissen wir 14/2 = 7, der Rest ist damit 1. Bei der nächsten Zeile nehmen wir uns jetzt das Ergebnis, also die 7 und teilen diese ebenfalls durch 2. 7/2 = 3. Und der Rest, der ist 1. Also der Rest war hier 1, denn 7•2 sind 14. 15 - 14 = 1. Und hier 2•3 = 6. 7 - 6 = 1. Und daher der Rest 1. Jetzt nehmen wir uns die 3 hier runter und dividieren ebenfalls durch 2. 3/2 = 1. 1•2 = 2. 3 - 2 = 1. Jetzt nehmen wir uns diese 1 herunter und teilen diese ebenfalls durch 2. Dann kommt 0 heraus. Also die 2 passt gar nicht in die 1 hinein. Und 0•2 = 0. Rest ist 1. Jetzt haben wir hier die 0 erreicht und wir können die Dezimalzahl bilden, indem wir von unten anfangen die abzutragen. Also 1 1 1 und 1. Das heißt 1111 ist jetzt unsere Binärzahl, die wiederum die Dezimalzahl 15 beträgt. Auf unserer Website findet ihr ein Programm, wo ihr Dezimalzahlen und Binärzahlen umwandeln könnt. Ihr gebt die Binärzahl ein und erhaltet die Dezimalzahl bzw. andersherum. Schauen wir, ob unser Ergebnis stimmt. Hier ist unser Programm. Wir tragen jetzt hier die Dezimalzahl 15 ein und wir sehen die Binärzahl ist 1111. Unsere Lösung ist also korrekt. Machen wir nochmal die Divisionsmethode mit der 14. Dann heißt es hier 14/2 = 7. Rest ist 0. 7/2 = 3. Rest ist 1. 3/2 = 1. Rest ist 1, das bleibt. Und jetzt müssen wir also die letzte Ziffer zu 0 machen. Und das ist 14. Das nochmal, damit ihr seht, dass ihr hier von unten anfangen müsst, die Ziffern aufzuschreiben. Also 1 ist ganz vorne. 1, 1, 0. Und da kommt 14 heraus. Schauen wir nochmal in unser Programm. Nehmen wir hier die 14 und richtig, wir sehen 1110 ist die Binärdarstellung. Gut, wer sich jetzt fragt, warum funktioniert das eigentlich, der denkt bitte an die Zweierpotenzen. Denn mit jeder durch 2 erzeugen wir eine weitere Zweierpotenz. Also die wäre 2^0, 2^1, 2^2, 2^3. Und das sind diese Darstellungen. Also aus unserer Zahl, die wir an jedem Übertrag übernehmen, lösen wir sozusagen die Zweierpotenzen heraus. Gut, jetzt kennen wir eine weitere Methode um eine Dezimalzahl in eine Binärzahl umzuwandeln. Schauen wir uns als nächstes an, wie man mit Binärzahlen rechnen kann. Also Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren.

Video Teil 3

Wie addieren wir Binärzahlen? Das Verfahren ist genauso wie das Verfahren bei den Dezimalzahlen. Wir addieren die einzelnen Stellen miteinander. Schreiben wir mal kurz die Dezimalzahlen hin. Sagen wir, wir wollen 4 und 8 addieren. Dann rechnen wir 4 und 8, das sind 12. Das heißt hier ist eine 2 und die 1 muss übertragen werden und die 1 kommt nach vorne. Mit den Binärzahlen läuft es genauso. Die 4 ist umgewandelt 2^2, also 1•2^2. Dann haben wir hinten noch die die Nullen für die 2^1 und für die 2^0. Das heißt die 4 sieht so aus. Und die 8, das ist die 2^3. 2^3 = 8. Das heißt wir haben da noch eine 2^2 mit 0. 2^1 mit 0. 2^0 mit 0. Hier steht jetzt also nichts weiter als 4 + 8 in Binärzahlschreibweise. Und jetzt addieren wir einfach die Stellen untereinander; die einzelnen Ziffern. 0 + 0 = 0. 0 + 0 = 0. 1 + 0 = 1. Und, jetzt ist hier ein leeres Feld, eine leere Stelle, da denkt ihr euch die 0 und 0 + 1 = 1. Und wir hatten ja gerade gesehen, das müsste 12 sein. Gucken wir mal: Nullte Stelle, erste Stelle, zweite Stelle. Das heißt also 1•2^2, das sind 4. Und jetzt, das ist die dritte Stelle. 1•2^3 = 8. Also 8 + 4 = 12. Richtig. Wenn wir jetzt hier 4 + 12 rechnen wollen. Machen wir das so. 4 + 12 = 16. Dann gehen wir durch. 0 + 0 = 0. 0 + 0 = 0. 1 + 1 = 10. Wir schreiben die 0 und haben einen Übertrag von 1. Und dann haben wir 1 plus den Übertrag 1 ergibt wieder 10. Und diesen einen Übertrag schreiben wir jetzt vorne dran. Und jetzt schauen wir mal: Nullte Stelle, erste Stelle, zweite Stelle, dritte Stelle, vierte Stelle. Wir haben hier also eine 1•2^4 und das sind 16. Also richtig, 4 + 12 = 16. Gut. Bei der Subtraktion von Binärzahlen müssen wir ein anderes Verfahren anwenden, denn mit den Überträgen können wir nicht so einfach rechnen. Hier zum Beispiel steht: 2^0, 2^1, 2^2, 2^3. 1•2^3 = 8. Und hier steht 2^0 einmal, also 1. 2^1 einmal: 2. 2 + 1 = 3. Hier steht also 8 - 3 was ja bekanntlich 5 ergibt. Doch hier können wir nicht so einfach rechnen 0 - 1 Übertrag 1. 0 - 1 Übertrag 1, dann haben wir den Übertrag 2. Also ihr seht hier kommen wir nicht weiter. Hier gibt es ein Problem, insbesondere wenn wir Mehrfachüberträge haben. Daher müssen wir einen Umweg gehen. Wir erzeugen ganz einfach aus der 8 kleinere Zahlen. Also 8 kann ja geschrieben werden als 4 + 4. Das heißt wir kopieren das nochmal runter. Und jetzt schreiben wir hier nicht 1000, sondern 0 1. Das ist die erste 4 und kopieren die nochmal runter. Das ist die zweite 4. Wir haben hier jetzt 2^2 = 4, 2^2 = 4. Wir rechnen also 4 + 4 - 3. Wie wir sehen reicht das jedoch noch nicht, denn wir haben hier immer noch diese negativen Überträge. Daher machen wir aus dieser 4 eine 2 + 2. Kopieren das nochmals runter, machen hier eine 2 draus, dazu schreiben wir einfach eine 1 an dieser Stelle und kopieren diese nochmals dorthin. Jetzt haben wir also 4 + 2 + 2 = 8. 8 - 3 = 5. Und wir sehen hier können wir immer noch nicht abziehen. Das heißt wir machen aus dieser 2 eine 1 1. Nehmen wir das hier weg. Machen wir jetzt aus dieser 2 eine 1. Dazu setzen wir hier die 1 und hier die 0. Und wir kopieren das runter und hier haben wir die nächste 1. Gut, jetzt haben wir also 4 + 2 = 6. 6 + 1 = 7. 7 + 1 = 8. 8 - 3. 8 - 3. Und das schöne ist jetzt, durch diese Aufsplittung. Durch diese Verteilung der 8 können wir jetzt diese 1 direkt abziehen. Das heißt also diese 1 minus diese 1 ergibt 0. Die beiden fallen weg und dann addieren wir die restlichen zusammen 0 0 1. Übrig bleibt also die 1. Dann haben wir hier die 1 positiv und hier die 1 negativ. Die beiden ergeben 0. An der nächsten Stelle haben wir 1 0 0 0 und hier nichts mehr zum Abziehen, das heißt die 1 bleibt übrig. Und auf der ersten Stelle alles Nullen, das wäre jetzt 0. Das ist unser Ergebnis: 101. Und wandeln wir diese noch in eine Dezimalzahl um, dann heißt das: Nullte Stelle, erste Stelle, zweite Stelle. Wir haben also einmal 2^2 dabei, dann haben wir eine 2^1 dabei, dann haben wir eine 2^0 dabei. Und jetzt verteilen wir unsere drei Ziffern. Erste kommt hier ran. Zweite kommt hier ran und dritte kommt hier ran. Also 1 0 1. Damit haben wir 1•2^2 = 4. Durch das 0• fällt dieser Term hier weg. Und 2^0 = 1, also kommt hier noch eine 1 dazu. 1 + 4 = 5. Im, dazuschreiben, Dezimalsystem. Fertig. So funktioniert also die Subtraktion von Binärzahlen. Ihr könnt, wenn ihr nicht sofort abziehen könnt, den Minuenden, also die Zahl von der abgezogen werden soll, aufteilen in kleinere Zahlen und dann die Subtraktion durchführen, wobei übrige Zahlen dann zusammenaddiert werden. Sehr schön, schauen wir uns als nächstes die Multiplikation an.

Video Teil 4

Das schriftliche Multiplizieren von Binärzahlen funktioniert genauso wie das bei den Dezimalzahlen. Erinnert euch an die Grundschule, wenn ihr so etwas hattet wie 13•14, dann hattet ihr einen Strich darunter gemacht und dann 4•13 gerechnet. Also 4•3 sind 12. 4•1 sind 4. Die 1 mit rüber sind 5. Und dann in der nächsten Zeile ein nach links verschoben, deswegen habe ich hier eine 0 hingesetzt und dann einmal die 13 gerechnet. Also 13. Und die beiden habt ihr dann zusammenaddiert und seid auf 2, 8, 1 182 gestoßen. Zur Erinnerung, hinter diesem Verfahren steckt das Distributivgesetz. Ihr nehmt die 14 auseinander in 10 + 4 und verteilt die 4 auf die 13 und die 10 auf die 13. So erhalten wir dann 52 + 130. Und das Endergebnis. Bei den Binärzahlen funktioniert das genauso. Nehmen wir uns mal ein einfaches Beispiel. Sagen wir 5•10. Und das natürlich noch in Binärschreibweise. 5 = 4 + 1. Das heißt 4 = 2^2. Die 1 schreiben wir also •2^0. Das heißt bei der nullten Stelle schreiben wir eine 1 hin bei der Binärzahl. Bei der ersten Stelle eine 0, denn die haben wir nicht und an der zweiten Stelle eine 1. 2^2 = 4 und 2^0 = 1. 1 + 4 = 5. Gut, die 10 müssen wir ebenfalls umwandeln. Das sind 8 + 2. 8 = 2^3 und 2 = 2^1. Das heißt, wenn wir eine Binärzahl haben. Nullte Stelle ist 0. Erste Stelle ist die 1, zweite Stelle…dritte Stelle ist die 1. Das heißt das hier ist die 10 in Binärschreibweise. Das hier ist die 5 in Binärschreibweise. Wir ersetzen hier jetzt also die 5 mit 101 und die 10 mit 1010. Wir merken uns als Ergebnis für 5•10 muss ja 50 herauskommen. Und jetzt gehen wir genauso vor wie bei der Multiplikation in der Grundschule. Wir multiplizieren 0 mit 101. Wir multiplizieren 1 mit 101. 0 mit 101 und 1 mit 101. Also hier kommt dann 000 hin. In der nächsten setzen wir eine 0, denn wir müssen ja einen nach links gehen, markieren wir die mal in Grau. Jetzt haben wir 1•101. Das heißt wir schreiben auch hier 101 hin. In der nächsten Zeile müssen wir zwei nach links springen. Hier oben gucken wir, haben wir die 0. 0•101 ist natürlich 000. Und dann hier an nächster Stelle. Gehen wir wieder eine runter. Setzen die Nullen. Dann sind wir an dieser Stelle. Jetzt können wir die 101 dahin schreiben, denn wir müssen ja 1• diese dahin setzen. Jetzt setzen wir einen Strich darunter und addieren allen Werte. 0, 0, 0, 0, das ist 0. Dann hier haben wir die 1. Hier haben wir die 0. Jetzt haben wir 1 und 1, das sind 0, wir müssen jedoch einen mit hinüber nehmen. 0, 0, 1, dann haben wir hier die 1. Und dann hier, das sind ja alles Nullen, die wir nicht hingeschrieben haben, und die 1, wir haben die 1. Kurzer Hinweis: Es könnte auch sein, dass ihr die Multiplikation von links nach rechts schriftlich durchgeführt habt, dann würde es so aussehen. Auf jeden Fall kommt ihr bei beiden Verfahren aufs gleiche Ergebnis. Das wandeln wir jetzt noch um in eine Dezimalzahl, das heißt dieses hier ist 2^0, das hier ist 2^1 einmal. 2^2 nicht, 2^3 nicht, das ist dann 1•2^4 und das sind 1•2^5. Und jetzt rechnen wir aus 2^1 = 2, dann kommt die 2^4 dazu, das sind 16. Und die 2^5, das sind 32. Und das ergibt 32 + 16 = 48. 48 + 2 = 50. Richtig! Das heißt die Multiplikation wurde richtig ausgeführt. Merkt euch also, ihr nehmt euch die erste Ziffer, multipliziert diese. Geht einen nach links nehmt euch die nächste Ziffer und multipliziert diese Zahl. Wieder einen nach links. Multipliziert. Wieder einen nach links, multipliziert und dann einfach zusammen addieren. So, jetzt ist noch die Division übrig, dann sind wir alle Grundrechenarten durch. Beim schriftlichen Dividieren von Binärzahlen gehen wir ebenfalls genauso vor wie beim schriftlichen Dividieren von Dezimalzahlen. Erinnern wir uns an ein Beispiel. Sagen wir 128/4. Dann haben wir geschaut: Passt hier die 4 rein? Nein. Passt hier die 4 rein? Ja. Denn 12/4 = 3. Wir haben dann die 3 hier hin geschrieben. Dann 3•4 gerechnet. 12. Die haben wir auf die nächste Zeile gesetzt. Haben diese dann davon abgezogen und in diesem Fall ein Rest von 0 gehabt. Dann haben wir die Zahl von oben herunter gezogen und haben wir mit dieser weitergemacht. Wir haben also geschaut, wie oft passt die 4 in die 8 hinein. Und das ist in diesem Fall zweimal. Dann haben wir 2•4 gerechnet. Das sind 8. Diese haben wir dann hier unten hingeschrieben. Haben diese abgezogen und hier für unsere Aufgabe einen Rest von 0 gehabt. Damit waren wir fertig und wir wussten 32•4 = 128 bzw. 128/4 = 32. Das gleiche System benutzen wir auch bei den Binärzahlen. Berechnen wir also das Beispiel 12/3 = 4. Die 4 nehmen wir erst einmal weg, die wollen wir ja ermitteln. Und jetzt gilt es die 12 in eine Binärzahl umzuwandeln. 12 können wir schreiben als 8 + 4. 8 = 2^3. 4 = 2^2. Dann nehmen wir jetzt null, eins, zwei, drei Stellen. Hier haben wir keinen Wert. Hier haben wir keinen Wert. Aber an der zweiten Stelle haben wir die 2^2 und an der dritten Stelle haben wir die 2^3. Das ist also unsere 12. Die setzten wir jetzt hier ein. Und unsere 3. 3 können wir schreiben als 2 + 1. 1 = 2^0. 2 = 2^1. Wir belegen also nullte Stelle mit einer 1 und erste Stelle mit einer 1. Das ist die Binärzahl für 3. Und jetzt führen wir die Division durch. 1/11 geht nicht. 11/11 geht und zwar einmal. Jetzt multiplizieren wir die 1 mit der 11. Dann kommt 11 heraus. Diese ziehen wir ab. Dann kommt hier 0 heraus. Dann ziehen wir als nächstes diese 0 herunter. Dann schauen wir wie oft passt die 11 in die 0. Das ist nullmal. Dann multiplizieren wir 0 mit 11, dann kommt wieder 0 heraus. Wir subtrahieren die voneinander. Da kommt 0 heraus. Jetzt ziehen wir noch diese 0 von oben herunter. Und auch hier passt die 11 nur nullmal herein. Dann wieder, laut Schema, 0•11. Das ergibt wieder 0, die wir dann hier abziehen. Und es bleibt ein Rest von 0. Das ist also unsere Lösung: 100. Und die jetzt als Dezimalzahl. 2^0, 2^1, 2^2. 2^2 = 4. Das heißt wir haben gerechnet 12/3 = 4. Korrekt. Damit sind wir am Ende der Lektion Binärzahlen. Jetzt wisst ihr was Binärzahlen sind und wie man mit ihnen rechnet. Und merkt euch: Binärzahlen kommen insbesondere in der Informatik vor. Wenn ihr also einen Beruf im IT-Bereich ergreift, werdet ihr die Binärzahlen auf jeden Fall wieder treffen.

Video Teil 5

Zum Umwandeln einer Binärzahl in eine Dezimalzahl gibt es übrigens noch ein weiteres Verfahren, das sich „Horner-Schema“ nennt. Schauen wir uns dieses im Folgenden an. Es wurde nach einem englischen Mathematiker benannt. Und zwar William George Horner, der dieses Verfahren wiederentdeckte bzw. ausarbeitete. Bei dem Horner-Schema geht es grundsätzlich darum, dass wir Multiplikationen bzw. Potenzen zerlegen. Bei diesem Beispiel zerlegen wir den Term, in dem wir die Unbekannte x herausziehen. Hier also, bei dem 4•x, trennen wir diese ab, setzen hier Klammern und nehmen das von weg. Wir haben jetzt sozusagen ausgeklammert. Und damit unser x^2, unsere Potenz, beseitigt. Jetzt haben wir nur noch eins, zwei Multiplikationen in diesem Term. Vorher waren es eins, zwei 3•x•x und dann haben wir hier nochmal •x, also drei Multiplikationen. Wir sparen also mit dem Horner-Schema eine Multiplikation. Und wie wenden wir jetzt das Horner-Schema an um eine Binärzahl in eine Dezimalzahl umzuwandeln? Betrachten wir das an der Binärzahl 111. Schauen wir für uns, was sich für ein Wert ergibt: 1 + 2 + 4 = 7. Erhalten wir also 1, diese multiplizieren wir mit 2. Dann kommt hieraufaddiert diese 1. Das setzen wir in Klammern, multiplizieren mit 2. Und jetzt fehlt noch diese 1. Addieren wir herauf. Und jetzt lassen wir die letzte 1 ohne die Multiplikation einer 2 da stehen, denn das wäre ja 2^0. Und jetzt können wir ausrechnen: 1•2 = 2. 2 + 1 = 3. 3•2 = 6. 6 + 1 = 7. Und das natürlich im Dezimalsystem. Auf diese Art und Weise konnten wir schnell die Umwandlung durchführen. Und hier haben wir, wie gesagt, die verschiedenen Potenzen ausgeklammert. Also wir haben hier ja 1•2^2 bei der ersten 1. Also bei dieser hier. Dann haben wir die 2^1. Das ist für diese hier. Und dann haben wir die letzte und das schreiben wir mit der 2^0. Und mit dem Horner-Schema nehmen wir das also auseinander. Wir sagen, das ist 2•2. Das ist 1•2. Und das ist 1. Also das fällt weg. Und jetzt können wir mit dem Horner-Schema diese 2 hier rausziehen. Dann fällt diese weg und wie wir sehen ist genau das hier; das hier. Also, ich wiederhole mich, mit dem Horner-Schema vereinfacht man die Potenzen zu Multiplikationen mit Addition. Plus jetzt das Horner-Schema und rechnen wir das jetzt für eine größere Zahl durch. Wir nehmen die erste Ziffer mal 2. Addieren dann die folgende Ziffer hinzu, also die 0. Setzen das in Klammern. Als nächstes multiplizieren wir die Klammer mit 2. Dann plus die nächste Ziffer, also +0. Dann wieder in Klammern. Dann mal 2. Dann plus die nächste Ziffer, die 1. Dann wieder in Klammern. Mal 2. Plus die nächste Ziffer, die 1. Das wieder in Klammern. Mal 2. Plus die nächste Ziffer, die 1. Das wieder in Klammern. Was jetzt? Richtig: Mal 2. Und jetzt plus die letzte Ziffer, die 1. Und wenn ihr wollt, könnt ihr das sehr schnell in den Taschenrechner eingeben. Das Schema ist immer dasselbe: Mal 2. Plus die nächste Ziffer. Klammern herum. Dann wieder mal 2. Plus die nächste Ziffer. Klammern herum. Jetzt für unseren Fall rechnen wir das per Hand aus. Kopieren das mal hier runter und legen los: 1•2 = 2. 2 + 0 = 2. 2•2 = 4. 4 + 0 = 4. 4•2 = 8. 8 + 1 = 9. 9•2 = 18. 18 + 1 = 19. 19•2 = 38. 38 + 1 = 39. 39•2 = 78. 78 + 1 = 79. Und fertig sind wir. Diese Binärzahl ist 79. Sehr schön. Damit ihr euch besser erinnert, wiederholen wir noch einmal abschließend wie man Binärzahlen schnell umwandeln kann. Ihr müsst euch einfach merken, welche Stelle welchen Wert hat. Und jedes Mal wenn die Stelle eine 1 hat, addiert ihr diesen Wert zusammen. Überall wo die 0 steht, könnt ihr diesen ignorieren. Hier oben steht die Binärzahl und jedes Mal, wenn die 1 dort steht an der entsprechende Stelle haben wir diese Dezimalzahl. Ihr müsst euch also 1, 2, 4, 8, 16, 32 und 64 merken und könnt dann entsprechend die Zahl zuordnen. Also für ein Beispiel: 10. 0 wäre die 1, die fällt weg und 1 ist die 2. Das heißt also, das hier ist die 2. Wenn jetzt noch eine 2 hinzukommt, zum Beispiel das: 110, dann wissen wir, dass wir 2 + 4 rechnen müssen. Erhalten also 6. Wenn wir so etwas haben, dann müssen wir gucken: Diese 1 entspricht der 2. Das wäre die 4. Das ist die 8. Also 2 + 8 = 10. Das hat also den Wert 10. Also diese Stelle hat den Wert 1. Diese Stelle hat den Wert 2. Diese Stelle hat den Wert 4 und diese Stelle hat den Wert 8 usw. Wenn wir also diese Zahl hier hätten, dann wissen wir, diese Stelle hat den Wert 2, diese Stelle hat den Wert 8 und diese Stelle hat den Wert 32. Wir erhalten also 2 + 8 + 32 = 42. So kommt ihr wesentlich schneller an die Ergebnisse. Wenn ihr die Aufgabe jedoch rechnen sollt, bitte zeigt den kompletten Rechenweg. Und noch ein kleiner Tipp am Rande: Diese Stelle, also wir sagen ja nullte Stelle, entscheidet ob es eine gerade oder eine ungerade Dezimalzahl ist, denn sie fügt unserer Zahl immer eine 1 hinzu oder auch nicht. Alle anderen Zahlen hier vorne sind gerade und die Summe aus geraden Zahlen ist ebenfalls gerade. Das heißt also die letzte Ziffer entscheidet über gerade oder nicht gerade. Das könnt ihr auch gerne ausprobieren auf unserer Website. Hier im Dezimalfeld, wenn hier eine 2 ist, ist hinten die 0 zu sehen. Ist eine 3 dort, ist hinten die 1. Also ungerade. 4, hinten die 0. 5, hinten die 1. Ungerade. 6, hinten die 0. Ungerade. 7, 1 hinten. Ungerade. Und das seht ihr auch in der Tabelle ganz gut. Dezimalzahl, Binärzahl. 2, die 0 hinten. Springen wir mal weiter. 6, die 0 hinten. 8, die 0 hinten. 10, die 0 hinten. Und ungerade immer die 1en. Und ihr seht auch es wechselt auch immer. 0, 1, 0, 1, 0, 1 usw. Super. So viel zu den Binärzahlen. Wir hoffen ihr hattet wieder ein bisschen Spaß dabei.

Video Teil 6

Willkommen zum Thema Oktalzahlen und Hexadezimalzahlen. Wir wollen uns jetzt anschauen was das ist und wie man diese Zahlen in Dezimalzahlen umwandelt. Wir hatten ja bei den Binärzahlen bereits gesehen, wie wir eine 126 im Dezimalsystem umwandeln ins Binärsystem und dann diese Zahl entsteht. Dann haben wir gesagt, hier haben wir je Stelle eine Potenz zur Basis 10 und hier haben wir je Stelle eine Potenz zur Basis 2. Bei den Oktalzahlen und den Hexadezimalzahlen haben wir andere Basen. „Oktal“, das kommt von „octo“ und bedeutet „acht“. Das heißt hier haben wir die Basis 8 anstatt 10. Und man sagt Achterzahlen/Oktalzahlen, da wir tatsächlich nur 8 Ziffern zur Verfügung haben. Und zwar die 0 bis 7. Und bei den Hexadezimalzahlen: „Hexa“ aus dem griechischen für „sechs“. Und „decem“ bedeutet „zehn“; also „sechzehn“. Und in diesem Hexadezimalsystem haben wir mehr als zehn Ziffern zur Verfügung und zwar sechzehn, die da sind: 0 - 9, und zusätzlich A, B, C, D, E, F. Die entsprechenden Dezimalwerte für die Buchstaben sind 10, 11, 12, 13, 14, 15. Jedoch dürfen wir nicht diese gleichen Ziffern noch einmal benutzen, deswegen benutzt man hier die Buchstaben. Gut, schauen wir uns als erstes die Oktalzahlen an; zur Basis 8. Wenn wir jetzt also die 126 umwandeln wollen in eine Oktalzahl, müssen wir sie auseinander nehmen in Achterpotenzen. Also die wären ja 8, 8•8 = 64, 8•64 = 512, 8•512 = 4096. Und vorne haben wir noch die 1 vergessen. Und jetzt können wir das als Potenzen schreiben. Das ist hier 8^0. Das ist 8^1. Das ist 8^2. Das ist 8^3. Und das ist 8^4. Und so weiter. Wir müssen also jetzt die 126 aus dem Dezimalsystem als Summe von Achterpotenzen schreiben. Und was uns sofort auffällt: Die 64 passt in die 126, aber 2•64 = 128 ist schon zu viel. Also die erste Achterpotenz die da drinsteckt ist 64. Unsere 8^2. Was bleibt übrig? 126 - 64 = 62. Die müssen wir jetzt ebenfalls in Achterpotenzen zerlegen und dazu nehmen wir die 8: Wie oft passt die 8 in die 62? Und zwar siebenmal. Also 7•8 = 56. Es bleibt der Rest 6. Schreiben wir jetzt die Werte mit den Achterpotenzen: 64 = 1•8^2. 56 = 7•8^1. Und 6 = 6•8^0. Und jetzt können wir hieraus unsere Oktalzahl ablesen. Das ist 176 und jetzt noch, wichtig, herangeschrieben die kleine 8 als Index. 176 und das im Oktalsystem. 126 ist also 176 als Oktalzahl. Gut, und wie kommen wir jetzt von einer Oktalzahl auf eine Dezimalzahl? Nehmen wir als Oktalzahl die 207. Was ist das als Dezimalzahl ausgedrückt? Und jetzt machen wir genau das, was wir auch bei den Binärzahlen gemacht haben: Wir weisen jeder Stelle eine Achterpotenz zu. Erinnern wir uns: Wir hatten das hier nullte Stelle genannt. Erste Stelle, zweite Stelle. Und das sind die Exponenten 8^2, 8^1, 8^0. Also, schreiben wir die Potenzen mal dahin. 8^2, dann die 8^1 und die 8^0. Und jetzt ordnen wir zu: Hier die 2. Hier die 0 und hier die 7. Und natürlich alles in Addition. Rechnen wir das aus: 8^2 = 64, also 2•64. Dann hinten 0•8^1 = 0. Und 8^0 = 1, also 7•1 = 7. Und das sind dann 128 + 7 = 135 im Dezimalsystem. Unbedingt die 10 daran schreiben. Und schon haben wir den Dezimalwert bestimmt. Wandeln wir als nächstes die Dezimalzahl 161 in eine Hexadezimalzahl um. Hierzu notieren wir wieder die Potenzen der 16. Also 16^0, 16^1, 16^2, 16^3 usw. Und jetzt ordnen wir die entsprechenden Werte in den Dezimalzahlen zu: 16^0 = 1. 16^1 = 16. 16^2 = 256 und 16^3 = 4096. Jetzt nehmen wir uns die 161 im Dezimalsystem noch einmal herunter und zerlegen sie in Sechzehnerpotenzen. Die 16 passt offensichtlich zehnmal da rein. Also 10•16^1 und die 1 bleibt übrig zur 161. Und 1 = 1•16^0. Das sind dann 161. Und jetzt schreiben wir die 10 und die 1 als Hexadezimalzahl. Also das sind unsere Hexadezimalziffern und wir sehen die 10 ist unser A. Das heißt wir tragen hier anstatt einer 10 das A ein. Und an die nullte Stelle, das ist ja die erste Stelle unserer Zahl, schreiben wir die 1. Und ganz wichtig: Unten in den Index wieder die 16 eintragen. Das heißt 161 wird als Hexadezimalzahl mit A1 geschrieben. Gut, wandeln wir als nächstes eine Hexadezimalzahl in eine Dezimalzahl um. Unsere Hexadezimalzahl soll lauten ABC. Was ist das als Hexadezimalzahl? Jetzt schreiben wir wieder jede Ziffer mit der entsprechenden Sechzehnerpotenz. Dann haben wir A•16^2. Warum? Das ist natürlich die zweite Stelle. Nullte Stelle, erste Stelle, zweite Stelle. Dann kommt das B mit 16^1. Und dann kommt das C mit 16^0. Jetzt weisen wir A, B, C die Dezimalwerte zu. A ist dezimal die 10. B ist die 11 und C ist die 12. Und das rechnen wir jetzt aus. 16^2 = 256. Mal 10 kommt die 0 hinten dran. Dann 11•16 = 176. Und hinten 12•16^0 = 12•1 = 12. Als nächstes rechnen wir das aus und wir erhalten 2748 im Dezimalsystem, Fertig. Hexadezimalzahl umgewandelt zu einer Dezimalzahl. Wir sehen also, in dem wir die Stellen einer Zahl auseinandernehmen, dann die jeweilige Potenz zuweisen, können wir jede beliebige Zahl aus jedem beliebigen Zahlensystem umwandeln in eine uns vertraute Dezimalzahl. Wunderbar. So viel zu Oktal- und Hexadezimalzahlen. Damit ist die Lektion beendet.
Tags: Exponent, Exponenten in Gleichungen

Weitere Lektionen:

Themenauswahl:

Schreib uns deine Hinweise und Ideen

Auf dem Laufenden bleiben per Newsletter:

Durchschnittlich zwei Mails pro Monat.