Mathe G08: Brüche / Bruchrechnung

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:

Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 6. - 7. Klasse

Mathe-Videos

In dieser Lektion behandeln wir das Rechnen mit Brüchen. Hierzu gibt es eine kurze Einführung ins Thema, danach schauen wir uns an, wie man Brüche addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren kann - und wie die Regeln zur Bruchrechnung überhaupt entstehen.

Mit der Bruchrechnung erschließen wir übrigens die neue Zahlenmenge der Rationalen Zahlen (Zeichen ℚ). Dies sind alle Zahl, die in einen Bruch umgewandelt werden können. Mehr hierzu siehe Videos und Wissensblock unten.

Mathe-Video G08-1 Bruchrechnung - Einführung, Erweitern und Kürzen

Eine einfache Einführung: Zähler und Nenner, Erweitern und Kürzen von Brüchen, Zusammenhang zwischen Division und Bruch.

Weitere Videos stehen dir als Kunde zur Verfügung:

  • G08-2 Bruchrechnung - Addition + Subtraktion

    Addition und Subtraktion von Brüchen mit gleichen und verschiedenen Nennern, Brüche gleichnamig machen (gemeinsamen Nenner bilden).

  • G08-3 Bruchrechnung - Multiplikation

    Multiplikation von Zahl · Bruch und Bruch · Bruch, Umwandlung einer Zahl in einen Bruch, Herleitung der Multiplikationsregeln für Brüche, Veranschaulichung der einzelnen Rechenschritte.

  • G08-4 Bruchrechnung - Division

    Division von Brüchen inklusive Herleitung der Regeln, Kehrwert/Reziproke, Doppelbruch, Zusammenfassung Bruchrechenregeln. Am Videobeginn: Rechentrick Diagonalkürzen bei Multiplikation.

  • G08-5 Bruchrechnung - Brucharten + Gemischte Zahlen

    Stammbruch, echter und unechter Bruch, Scheinbruch, Dezimalbruch (Dezimalzahl), Rechnen mit Gemischten Zahlen, Umwandlung Bruch ↔ Gemischte Zahl, Zahlenmenge: Rationale Zahlen, Vorzeichen bei Zähler und Nenner.

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Nachdem ihr die Videos gesehen habt, könnt ihr euer neues Wissen mit den Lernprogrammen zu den Brüchen testen.

Wissen zur Lektion

Begriffe zum Bruch

Man spricht grundsätzlich von einem "Bruch", wenn keine ganze Zahl vorliegt, sondern eine gebrochene Zahl. 4:2 = 2 (eine ganze Zahl), aber 2:4 = 2/4 (eine gebrochene Zahl, man lässt die Division so stehen, ersetzt jedoch das Divisionszeichen mit einem Bruchstrich).

$$ 2:4 = \frac{2}{4} $$

Es gibt zwei Bezeichnungen, die wir benötigen. Oben auf dem Bruchstrich ist der "Zähler" und unten unterhalb des Bruchstrichs ist der "Nenner":

$$ \frac{Zähler}{Nenner} = \frac{a}{b}$$

Hier eine Grafik, die den Bruch 1/2 als halbgefärbten Kreis darstellt. Die 2 bei 1/2 meint also 2 Kreisteile und die 1 meint, dass 1 Kreisteil davon eingefärbt ist:

Bruch ein-halb grafisch

Regeln zur Bruchrechnung

Erweitern von Brüchen

Nenner und Zähler werden mit der gleichen Zahl multipliziert, Beispiel:

$$ \frac{2}{5} = \frac{2\color{blue}{·3}}{5\color{blue}{·3}} = \frac{6}{15} $$ $$ \frac{2}{5} = \frac{6}{15} = 0,4$$

Kürzen von Brüchen

Nenner und Zähler werden mit der gleichen Zahl dividiert, Beispiel:

$$ \frac{24}{30} = \frac{24\color{blue}{:6}}{30\color{blue}{:6}} = \frac{4}{5} $$ $$ \frac{24}{30} = \frac{4}{5} = 0,8$$

Ihr seht, der Wert bleibt auch hier gleich.

1. Addition von Brüchen

Bei der Addition von Brüchen (bei verschiedenen Nennern) müssen die Nenner gleichnamig gemacht werden. Das geht am einfachsten, wenn man den ersten Bruch a/b mit dem Nenner vom 2. Bruch (also d) erweitert, und den zweiten Bruch c/d mit dem Nenner vom 1. Bruch (also b) erweitert:

$$ \frac{a}{\color{red}{b}} + \frac{c}{\color{blue}{d}} = \frac{a\color{blue}{·d}}{b\color{blue}{·d}} + \frac{c\color{red}{·b}}{d\color{red}{·b}} = \frac{a·d + c·b}{\color{red}{b}·\color{blue}{d}} $$

Tipp: Setzt für die Variablen einfach echte Zahlen ein und testet die Formel. Zum Beispiel so:

$$ \frac{2}{\color{red}{5}} + \frac{4}{\color{blue}{8}} = \frac{2\color{blue}{·8}}{5\color{blue}{·8}} + \frac{4\color{red}{·5}}{8\color{red}{·5}} = \frac{2·8 + 4·5}{\color{red}{5}·\color{blue}{8}} \\ \frac{2}{5} + \frac{4}{8} = 0,4 + 0,5 = 0,9 \\ \frac{2·8+4·5}{5·8} = \frac{16+20}{40} = \frac{36}{40} = 0,9 $$

Die Addition von Brüchen kann grafisch sehr anschaulich dargestellt werden. Man legt die Stücke einfach zusammen:

Brüche Addition grafisch

Wenn bei der Addition ein Ergebnis größer als 1 herauskommt, z. B. 13/10 = 1,3 als Dezimalzahl, so erhält man grafisch 1 kompletten Kreis und einen Kreis, der zu 0,3 gefüllt ist:

Brüche Addition grafisch

2. Subtraktion von Brüchen

Bei der Subtraktion gelten die gleichen Regeln wie bei der Addition, nur dass wir ein Minuszeichen setzen:

$$ \frac{a}{\color{red}{b}} - \frac{c}{\color{blue}{d}} = \frac{a\color{blue}{·d}}{b\color{blue}{·d}} - \frac{c\color{red}{·b}}{d\color{red}{·b}} = \frac{a·d - c·b}{\color{red}{b}·\color{blue}{d}} $$

Grafisch kann man die Subtraktion zweier Brüche wie folgt darstellen. Hier werden die Flächenstücke voneinander abgezogen:

Brüche Subtraktion grafisch

3. Multiplikation von Brüchen

Das ist wahrscheinlich die einfachste Regel, mit den Worten eines Schülers ausgedrückt: "oben mal oben und unten mal unten!"

$$ \frac{a}{b}·\frac{c}{d} = \frac{a·c}{b·d} $$

4. Division von Brüchen

Bei der Division muss man immer zuerst den Kehrwert (Reziproke) bilden. Das heißt, Zähler und Nenner beim zweiten Bruch vertauschen. Danach darf bequem multipliziert werden:

$$ \frac{a}{b}:\frac{\color{blue}{c}}{\color{red}{d}} = \frac{a}{b}·\frac{\color{red}{d}}{\color{blue}{c}} = \frac{a·\color{red}{d}}{b·\color{blue}{c}} $$

5. Gemischte Zahlen

Gemischte Zahlen (auch "gemischte Brüche" genannt) bestehen aus einer ganzen Zahl und einem Bruch dahinter:

$$ c \ \frac{a}{b}=c+\frac{a}{b} $$

Man kann sich deren Umwandlung in einen reinen Bruch wie folgt denken, indem man das c zu einem c/1 schreibt, dann gleichnamig macht und addiert:

$$ c+\frac{a}{b} = \frac{c}{1}+\frac{a}{b} = \frac{c·b}{1·b}+\frac{a}{b} = \frac{c·b+a}{b} $$

Brüche - Gemischte Zahlen

6. Echter Bruch, Unechter Bruch, Scheinbruch

Ein echter Bruch ist ein Bruch, bei dem der Zähler im Betrag kleiner ist als der Nenner. Zum Beispiel:

$$ \frac{3}{8} $$

Ein unechter Bruch hingegen ist ein Bruch, bei dem der Zähler im Betrag größer ist als der Nenner. Zum Beispiel:

$$ \frac{9}{7} $$

Aus einem unechten Bruch lässt sich eine gemischte Zahl erschaffen, für das Beispiel:

$$ \frac{9}{7} = \frac{2+7}{7} = \frac{7}{7} + \frac{2}{7} = 1 + \frac{2}{7} $$

Als Scheinbruch bezeichnet man Brüche, die zu ganzen Zahlen umgewandelt werden können, so beispielsweise:

$$ \frac{10}{2} = 5 \text{ oder auch } \frac{5}{5} = 1 $$

Warum Zähler und Nenner bei der Division von Brüchen vertauschen?

Wer sich schon immer gefragt hat, warum man bei der Division Nenner und Zähler vertauschen muss (den Kehrwert bildet) und dann multipliziert anstatt dividiert, der kann sich Folgendes denken:

$$ 1:2 = \color{lightgray}{\frac{1}{2}} = 1·\frac{1}{2} = \color{lightgray}{1:2} = 1:\frac{2}{1} $$

Wichtig: Eine Division mit einer Ganzen Zahl kann durch eine Multiplikation mit einem Bruch ausgedrückt werden.
Noch ein Beispiel hierzu:

$$ 3\color{red}{:2} = \frac{3}{2} = 3\color{red}{·\frac{1}{2}} = 3:\frac{2}{1} $$

Rationale Zahlen / "Bruchzahlen"

Mit der Bruchrechnung erschließen wir übrigens eine neue Zahlenmenge, die sich Rationale Zahlen nennt und mit dem Zeichen ℚ gekennzeichnet wird. Quotient stammt von dem lateinischen Wort "quotiens" und kann mit "wie oft" übersetzt werden. Es bezieht sich darauf, wie oft eine Zahl durch eine andere teilbar ist. Den Begriff Quotient kennen wir noch von der Division.

Man schreibt für die Rationalen Zahlen. Jede Zahl, die in einen Bruch umgewandelt werden kann, ist eine Rationale Zahl.

Beispiel: Division zu Bruch Umwandlung

$$ 21:4=\frac{21}{4} $$

Auch ganze Zahlen sind rationale Zahlen, man kann sie stets umwandeln (mithilfe von einem Eintel), als Beispiel: Ganze Zahl zu Eintel-Bruch

$$ 8=\frac{8}{1} $$

Eine Rationale Zahl wird daher definiert als das Verhältnis zweier ganzer Zahlen. Man schreibt: a/b, wobei a,b ∈ ℤ

Natürliche Zahlen ℕ und die ganze Zahlen ℤ gehören ebenfalls zur Menge der rationalen Zahlen.

Keine rationalen Zahlen sind zum Beispiel die irrationalen Zahlen, die wir uns später anschauen. Als Beispiel einer irrationalen Zahl können √2 oder die Kreiszahl π (≈ 3,14159) genannt werden.

Merkmale rationaler Zahlen

Die rationalen Zahlen sollten jedem Schüler bis zur 10. Klasse geläufig sein. Sie haben folgende Merkmale:

1. Sie sind als Bruch darstellbar (z. B. 1 = 1/1 oder 0,5 = 1/2 oder 3,25 = 13/4)
2. Sie haben keine, endlich viele oder unendlich viele Nachkommastellen (Beispiele: keine Nachkommastellen: 2 = 2/1, endlich viele Nachkommastellen: 1,5 = 3/2, unendlich viele Nachkommastellen: 1/3 = 0,3333... = 0,3)
3. Wenn die Zahl unendlich viele Nachkommastellen hat, sind diese periodisch.

Rationale Zahlen in der Schule

Man spricht in der Schulmathematik meist dann von "Rationalen Zahlen", wenn man das Rechnen mit negativen ganzen Zahlen einführt und die ganzen Zahlen außerdem um die Bruchzahlen erweitert. Neu ist dann für Schüler insbesondere der Umgang mit negativen Zahlen, den wir in der Lektion G06 Rechnen mit Vorzeichen behandeln. Dies kann leider manchmal zu Missverständnissen führen.

Kehrwert bei einer Gleichung

Den Kehrwert kann man übrigens auch beim Umstellen von Gleichungen verwenden (Stichwort Äquivalenzumformung), man muss ihn dann auf alle Elemente der Gleichung anwenden! Sofern ihr euch bereits die Lektion G12: Terme, Termumformung, Gleichungen umstellen angesehen habt, müsstet ihr das Folgende verstehen können:

Beispiel-Gleichung:
5/15 = 3/9
5:15 = 3:9 | · 9
9 · 5:15 = 9 · 3:9 | ·15
15 · 9 · 5:15 = 15 · 9 · 3:9 | als nächstes wegkürzen
1 · 9 · 5:1 = 15 · 1 · 3:1
9 · 5 = 15 · 3
9 · 5 = 15 · 3 | :3
9 · 5 : 3 = 15 · 3 :3 | :5
9 · 5 : 3 :5 = 15 · 3 :3 :5 | als nächstes wegkürzen
9 · 1 : 3 :1 = 15 · 1 :1 :5
9 : 3 = 15 : 5
9/3 = 15/5
15/5 = 9/3

5/15 = 3/9 ist also äquivalent (im Werte gleich) zu 15/5 = 9/3

Fazit: Der Kehrwert bei einer Gleichung ist nichts weiter als eine mehrfache Multiplikation bzw. Division der entsprechenden Werte.

Mathe-Programme Brüche

  • Spiel: Brüche Quiz Spiel: Brüche Quiz
    Zeigt in diesem Brüche-Spiel, dass ihr die Bruchrechnung beherrscht. In nur 3 Minuten müsst ihr so viele Aufgaben wie möglich richtig berechnen!
  • Brüche am Kreis Brüche am Kreis
    Stellt Zähler und Nenner des Bruches ein und erkennt die Anteile am Kreis. Falls der Bruch kürzbar ist, wird dies angezeigt.
  • Bruchrechnung (Grundrechenarten)
    Bruchrechnung (Grundrechenarten)
    Die vier Grundrechenarten bei beliebigen Brüchen mit Rechenweg, inklusive Erweitern und Kürzen.
  • Bruchrechnung (als Flächen) Bruchrechnung (als Flächen)
    Mit diesem Programm könnt ihr beliebige Brüche berechnen, die gleichzeitig als Flächen angezeigt werden.
  • Brüche und Gemischte Zahlen
    Brüche und Gemischte Zahlen
    Ein unechter Bruch kann in eine Gemischte Zahl umgewandelt werden. Die gemischte Zahl besteht aus einer Ganzen Zahl und einem Restbruch.
Weitere Lernprogramme aufrufen

Übungsaufgaben

A. Hast Du das Erweitern verstanden? Dann erweitere jeden der nachstehenden Brüche auf den Nenner 12.

Brüche Aufgaben Block A

B. Du weißt, wie man kürzt? Dann wende Dein Wissen an und kürze diese Brüche so weit es geht:

Brüche Aufgaben Block B

C. Wandle die Brüche in Gemischte Zahlen um!

Brüche Aufgaben Block C1

Wandle nun die folgenden Gemischten Zahlen zurück in Brüche:

Brüche Aufgaben Block C2

D. Addiere die folgenden Brüche. Versuche außerdem, das Ergebnis zu kürzen und es als gemischte Zahl zu schreiben.

Brüche Aufgaben Block D

E. Subtrahiere folgende Brüche und kürze das Ergebnis. Wandle in eine gemischte Zahl nur bei Nr. 5, 6 und 7 um!

Brüche Aufgaben Block E

F. Multipliziere die folgenden Brüche und kürze das jeweilige Ergebnis.

Brüche Aufgaben Block F

G. Dividiere die folgenden Brüche miteinander:

Brüche Aufgaben Block G

H. Echter, unechter oder Scheinbruch ?! Entscheide selbst:

Brüche Aufgaben Block H

I. Abschließend einige Anwendungsaufgaben:

1. Leon möchte einen Laptop für 400 Euro kaufen, ein Drittel des Geldes bekommt er von seinen Eltern, ein Fünftel von seinem Onkel. Wie viel muss er selbst bezahlen?

2. Die Klasse 8c hat 24 Schüler. Ein Sechstel von ihnen kann sehr gut mit Brüchen rechnen und hat daher in Mathe eine Eins bekommen. Wie viele Schüler sind das?

3. Max und seine Frau kaufen ein Haus für 120.000 Euro. Ein Neuntel von diesem Betrag müssen sie an Steuern zahlen. Wie viel Euro müssen an die Steuerbehörde überwiesen werden?

4. Ein Tag hat 24 Stunden. Nehmen wir ein Zehntel davon, so haben wir wie viele Stunden und Minuten?

5. Wir laufen ein Zwanzigstel von 3 Kilometern. Wie können wir dies in Meter ausdrücken?

6. Wir mixen 100 ml Milch mit 300 ml Cola und 200 ml Saft :) Welchen Anteil hat unser Getränkemix von zwei Liter? Schreibe als Bruch!

7. Der Alkoholiker Klaus M. trinkt im Durchschnitt 9 Flaschen Bier à 1/2 Liter täglich. Wie viel Bier hat er im Monat April getrunken?

8. In eine kleine Flasche passen 0,5 Liter Cola. Maurice trinkt einen Viertel davon, wie viel befindet sich noch in der Flasche?

9. Ein Kanister mit einem Fassungsvermögen von 42 Litern wird zu 3/5 mit Wasser gefüllt. Wie viele Liter Wasser befinden sich im Kanister?

10. In Europa leben im Jahr 2011 geschätzt 700 Millionen Menschen. 2/7 von ihnen spricht sehr gutes Englisch. Von dieser Gruppe sind wiederum 3/10 Muttersprachler. Wie viele Muttersprachler gibt es?


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Untertitel

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Video Teil 1: Einführung Brüche

Hallo liebe Zuschauer, heute möchte ich euch die Bruchrechnung vorstellen. Erinnern wir uns an ein einfaches Beispiel der Multiplikation. Wir hatten gelernt, dass zum Beispiel so etwas wie 2 mal 2 gleich 4 ist. Graphisch kann man sich das so vorstellen, dass wir für die 2 mal zwei Kreise nehmen. Und diese zwei Kreise sollen mal 2 gerechnet werden. Und da wissen wir, das soll verdoppelt werden. Und wenn sie verdoppelt werden, heißt das, wir müssen die beiden hier zweimal hinschreiben. Also hier drüben ist gleich einmal die zwei und noch einmal die zwei. So kommen wir also auf die 4. Für die Umkehrung, also die Division heißt das dann wie folgt: Wir gehen von 4 aus und jetzt halbieren wir. Und halbieren ist Division durch 2. Und richtig, was kommt dabei raus? Natürlich 2. Gut, das ist noch alles soweit relativ simpel. Doch merken wir uns jetzt die erste neue Sache. Und zwar, dass wir diese 4 durch 2 auch als Bruch schreiben können. Und zwar sieht das dann wie folgt aus: Die 4 schreiben wir nach oben, die Division wird ein Bruchstrich und die 2 schreiben wir nach unten. Und das ist nichts weiter als 4 durch 2. Also 4 nach oben, 2 nach unten und die Division wird ein Strich. Erinnern wir uns an die Lektion „Grundrechenarten“, da hatten wir gesagt, die 4 hier vorne heißt allgemein Dividend, dann hatten wir gesagt was dividiert wird, das nennt man Divisor und was hinten rauskommt, das ist der Quotient. Und wenn wir jetzt die 4 durch 2 als Bruch schreiben, dann hieße das allgemein: Oben steht der Dividend, unten steht der Divisor. Jedoch benutzt man bei der Bruchrechnung zwei andere Begriffe. Oben ist also nicht der Dividend, sondern der Zähler und unten ist anstatt Divisor, der Nenner. Diese zwei Begriffe müsst ihr auswendig lernen. Oben immer der Zähler, unten immer der Nenner. Gut, machen wir weiter. Wir hatten vorhin gesagt 4 durch 2, das heißt wir müssen 4 halbieren. Und dann kommen wir auf 2. Was passiert, wenn wir jetzt nicht 4 halbieren, sondern 2. Also 2 durch 2 rechnen? Dann haben wir hier offensichtlich nicht mehr 4, sondern 2 so stehen und müssen diese beiden jetzt halbieren. Und dann ziehen wir hier wieder diese Linie. Das heißt, wie viele bleiben übrig? Richtig, nicht 2, sondern 1. Gut, was passiert, wenn wir jetzt anstatt 2 nur 1 Kreis hätten? Dann müssten wir jetzt hier einen Kreis hinzeichnen. Und dieser Kreis soll halbiert werden, das heißt wir schneiden ihn einmal durch. Nur die Frage ist nun, jetzt haben wir offensichtlich diese eine Hälfte, die übrig bleibt, doch was ist das für eine Zahl? Und an dieser Stelle hilft uns dann die Bruchrechnung. Wir schreiben diese 1 durch 2 einfach als Bruch. Das heißt wir lassen diese Division so stehen und schreiben die 1 hier nach oben, die Division als kleiner Bruchstrich und die 2 nach unten. Und das ist die Lösung „ein Halb“. Und 1/2 schreiben wir hier als Halbkreis. Und das schöne ist, wir können mit diesen Brüchen wunderbar rechnen. Also wir können Brüche miteinander verrechnen, das zeige ich euch im nächsten Teil, aber auch ganze Zahlen mit Brüchen verrechnen. Für jetzt aber merkt euch erstmal, dass eine Division ein Bruch ist, bzw. eine nicht aufgelöste Division. Man kann also beides ineinander umwandeln. Natürlich können wir nicht nur durch 2 dividieren, wir können auch durch 3 und andere Zahlen dividieren. Schauen wir uns hierzu ein Programm an. Ihr seht hier einen Kreis, der durch 2 geteilt wurde. Als nächstes lasst ihn uns doch einfach mal durch 3 teilen, also dritteln. Oder vierteln, oder fünfteln, sechsteln und so weiter. Was wir als nächstes lernen ist das Erweitern und Kürzen. Was heißt das? Gehen wir nochmal zurück zu 1/2. Ihr seht genau ein Halbkreis ist markiert bei 1/2. Wenn wir jetzt mal vierteln, also hier das Viertel haben und dieses Viertel zweimal nehmen. Hier ein Viertel. Hier ein Viertel. Entspricht das genau einem Halbkreis. Also 1/2. Wir könnten genauso gut 4/8 nehmen. 1, 2, 3, 4. Und das wäre auch der gleiche Wert wie bei 1/2 bzw. die gleiche Fläche. Wer möchte kann sich jetzt auch den Taschenrechner einmal nehmen und mal eingeben: 4 durch 8. Machen wir das: 4 dividiert durch 8, ergibt 0,5. Und ihr könnt nun eingeben 1 durch 2. 1 durch 2 und das ergibt 0,5. Das nochmals als Nachweis, dass wirklich beide Werte der Brüche hier, übereinstimmen. Nehmen wir uns jetzt mal noch einen anderen Bruch. Nehmen wir mal 3/15 und wie ihr hier gut sehen könnt, entspricht der Wert von 3/15, dem Wert von 1/5. Und über 1/5 steht „kürzbar“. Das heißt man kann mathematisch irgendwie von 3/15 auf 1/5 kommen. Schauen wir uns das ein bisschen genauer an. Wir nehmen uns also diese 3/15 und wollen sie kürzen zu 1/5. Beim Kürzen dividieren wir Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl. Und 3 und 15, die sind beide durch 3 teilbar. Also dividieren wir oben den Zähler durch 3 und unten den Nenner durch 3. Als nächstes rechnen wir das aus. Oben 3 durch 3 ergibt 1. Und unten 15 durch 3 ergibt 5. Also 1/5. Möchten wir jedoch von 1/5 auf 3/15 kommen, müssen wir erweitern. Das heißt wir dividieren nicht, sondern wir multiplizieren Zähler und Nenner mit derselben Zahl. In unserem Fall natürlich mit der 3. Wir multiplizieren 1 mit der 3 und 5 mit der 3. Und dann erhalten wir für den Zähler 1 mal 3 sind 3 und für den Nenner 5 mal 3 sind 15. Und wir haben unseren erweiterten Bruch.
Damit ihr sicherer werdet, empfehle ich euch auf unserer Webseite dieses Programm hier zu benutzen und selbst einige Brüche zu testen und das Kürzen und das Erweitern auszuprobieren! Das heißt also nochmals zusammengefasst, ihr merkt euch: Vergrößern wir die Stückelung, also von 5tel auf 15tel, dann erweitern wir. Für unser Beispiel hatten wir dafür mal 3 gerechnet. Und wenn wir die Stückelung verringern, dann sagen wir Kürzen dazu. Und für unser Beispiel haben wir dann durch 3 dividiert. Kürzen ist als Division von Zähler und Nenner und Erweitern ist Multiplikation von Zähler und Nenner.

Video Teil 2: Brüche addieren und subtrahieren

Schauen wir uns als nächstes an, wie wir Brüche addieren können. Nehmen wir ein Beispiel, das lauten soll 1/2 plus 1/2. Und das können wir uns auch graphisch vorstellen. Wir haben hier eine Hälfte und wir haben hier eine Hälfte. Drehen wir die noch um. Und wir erkennen, wenn wir beide hier noch zusammenfügen, dann erhalten wir einen Kreis, eine gesamte Fläche. Also ein Ganzes. Unser Ergebnis hier oben ist gleich 1. Gut, jetzt haben wir das hier graphisch gesehen, doch wie rechnen wir das hier am besten? Welche Regeln stecken hier hinter? Hierzu erinnern wir uns als erstes an das Distributivgesetz. Da hatten wir gelernt, dass wir so etwas wie 3 mal 5 plus 4 mal 5 auch schreiben dürfen als (3 plus 4) mal 5. Wir haben also die 5 hier vorne bei der 3 und hier bei der 4 herausgezogen. Dann müsst ihr wissen, dass das Distributivgesetz auch für die Division gilt. Das heißt haben wir so etwas wie 10 durch 5 plus 20 durch 5, dann dürfen wir auch schreiben (10 +20) durch 5. Und wer das nicht glaubt, darf sich das gerne mal ausrechnen. 10 durch 5 sind 2. 20 durch 5 sind 4. Das heißt hier kommt 2 plus 4 gleich 6 raus, auf der linken Seite und hier rechts: 10 plus 20 ergeben 30, durch 5 sind 6. Also beide Seiten sind gleich. Und hierbei ist sehr wichtig, dass die Zahl die herausgezogen wird, also die durch 5 in dem Fall, immer gleich ist. Also würde hier eine durch 6 stehen, dürfen wir sie natürlich nicht herausziehen. Die Zahl hinter dem Divisionszeichen muss immer gleich sein. Gut, was hat das mit den Brüchen zu tun? Wandeln wir diesen Bruch um in Bruchschreibweise, dann ergibt sich 10/5 plus 20/5 ist gleich. Dann das hier nach oben in den Zähler und die 5 unten in den Nenner, also erhalten wir (10 plus 20)/5. Und dann dürfen wir hier auch die Klammern wegnehmen. Und wie gesagt, dies dürfen wir so schreiben, sofern wir unten im Nenner bei beiden die 5 haben. Dann ist auch beim Ergebnis im Nenner die 5. Und wir dürfen die beiden Zahlen im Zähler addieren. Also hier 10 plus 20. Unten im Nenner müssen die Zahlen immer gleich sein, damit wir oben die Zähler addieren dürfen. Und genau diese Regel wenden wir jetzt oben bei unserer ursprünglichen Aufgabe an. Wir dürfen also diese 2 und diese 2 herausziehen und hier hin schreiben und müssen dann nur noch die beiden Zahlen da oben im Zähler addieren. Also kommt hier hin 1 plus 1. Und 1 plus 1 sind 2. Wir schreiben als 2/2. Und richtig, 2/2 ist ja das gleiche wie 2 durch 2 und das ergibt 1. Ist gleich 1. Genau das gleiche Ergebnis, das wir auch graphisch herausbekommen hatten. Ihr merkt euch also für die Addition, die Zahl im Nenner muss gleich sein, hier die 2, dann dürfen wir die Zahlen im Zähler addieren. Da dies für den ein oder anderen neu ist, schauen wir uns hierzu noch ein weiteres Beispiel an. Nehmen wir diesmal andere Werte. Nehmen wir anstatt 1/2 jetzt mal 1/4 und hier drüben anstatt 1/2 3/4. Jetzt sind die beiden unterschiedlich groß. Graphisch könnten wir sie jetzt mal so einzeichnen. Ein Viertel von einem Kreis sieht so aus. Und 3/4 können wir dann entsprechend so zeichnen. So, graphisch ist es wieder eindeutig. Wir können dieses Teil hier ranpacken, bei der Addition und erhalten dann natürlich einen ganzen Kreis und rechnerisch wäre das dann, wie wir gerade gelernt haben: Hier ist im Nenner die 4, hier ist im Nenner die 4, das heißt wir schreiben hier im Nenner ebenfalls die 4. Und wie wir gerade sagten, oben die 1 und die 3, das heißt bei der Addition addieren wir die hier oben zusammen. 1/4 plus 3/4 sind dann natürlich 4/4. Und das können wir dann auch hier als Bruch notieren. Und 4/4 ist das gleiche wie 4 dividiert durch 4. Und 4 durch 4 ist natürlich 1. Ein wenig schwieriger wird es, wenn wir nicht gleich große Stücke haben. Nehmen wir mal an, wir haben hier anstatt 3/4 eine 1/2. Dann müssen wir auf diesen Nenner hier aufpassen, denn wir können dann nicht zum Beispiel hier 1 plus 1 rechnen und hier die 2 hinschreiben. Und hier unten 4 mit der 2 zu verrechnen wäre auch nicht korrekt. Stattdessen müssen wir alle Stücke auf eine gleiche Größe anpassen. Und hier bietet sich an, die 1/2 durchzuschneiden, so dass wir hier zwei Viertel Stücke haben. Tun wir das. Schneiden wir hier durch. So haben wir also aus 1/2, eins, zwei Viertel gemacht. Mathematisch, mit Hilfe des Bruchs ausgedrückt, wäre das 1/2 ist gleich 2/4. Und graphisch sehen wir, dass es immer noch die gleiche Fläche ist. Diesen Vorgang, wenn man die 1 auf 2 erhöht und die 2 auf 4, das nennt man „Erweitern“. Und genau das hatten wir bereits im letzten Teil kennen gelernt. Wir müssen also Nenner und Zähler mit derselben Zahl multiplizieren. Für unseren Fall konkret. Wir haben diese 1/2 und wir haben sie multipliziert: Oben mal 2 um auf die 2 zu kommen und unten mal 2 um auf die 4 zu kommen. Tragen wir das ein. Das heißt wir haben mit 2 erweitert und wir kamen auf 2/4. Als nächstes ersetzen wir die 1/2 da oben mit der 2/4. Und können jetzt, wie gerade gelernt, die Zähler zusammenaddieren. Also 1 plus 2 und dann im Nenner die 4. Was wiederum dann 3/4 ergibt. Die Lösung dieser Addition. Und grafisch natürlich 1/4 und die beiden Viertel auch noch dazu, ergibt 3/4.
Gut. Bisher haben wir zwei Fälle kennen gelernt. Den einen, dass die beiden Nenner gleich sind und wir dann die beiden Zähler addieren dürfen. Und den Fall, dass die beiden Nenner unterschiedlich sind und wir dann den einen Nenner. Hier die 2 auf die 4 erweitern. Also 1/2 erweitert mit der Zahl 2 und wir erhalten im Nenner eine 4, wobei wir dann die Regel von hier oben anwenden können. Die gleichen Nenner haben wir jetzt hier auch. 4 und 4. Und wir dürfen 1 und 2 addieren und wir erhalten 3/4. Es kann jedoch auch mal vorkommen, dass ihr von dem einen Nenner nicht auf den anderen Nenner kommt. Also zum Beispiel bei 1/2 plus 1/3, kommt ihr von der 2 mit Multiplikation nicht auf die 3 und ihr kommt auch nicht von der 3 auf die 2. Hier müssen wir einen anderen gemeinsamen Nenner finden. Und um diesen gemeinsamen Nenner zu finden, ist es das einfachste, wenn wir die beiden miteinander multiplizieren. Die 2 multipliziert mit der 3. Und 2 mal 3 ergibt 6. Das heißt 6 ist unser gemeinsamer Nenner. Und den müssen wir jetzt hier und hier erzeugen. Falls ihr euch fragt, warum gerade di e 6, ganz einfach, die ist das kleinste gemeinsame Vielfache von den beiden. Also wir können uns mal die Folge der 2 und der 3 aufzeichnen und wir erkennen, dass bei der 2 und der 3 die 6 erscheint. Was wiederum heißt, dass wir mit der Multiplikation von 2 auf 6 kommen und dass wir mit der Multiplikation von der 3 auf die Zahl 6 kommen. Weitere Details zu diesem Thema, findet ihr übrigens in der Lektion „größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches“. Gut, das heißt wir müssen bei der 2 und bei der 3 also die 6 herstellen. Und dazu müssen wir die beiden Brüche jeweils erweitern. 2 muss mit 3 multipliziert werden, also im Zähler und Nenner und hier drüben, 3 muss natürlich mit 2 multipliziert werden, damit wir auf 6 kommen. Auch im Zähler und Nenner. Gut, jetzt rechnen wir das noch aus. Hier drüben. 3 mal 1 ist 3 und 2 mal 3 ist 6. Beim zweiten Bruch dann. 1 mal 2 ist 2 und 3 mal 2 ist 6. Wie gut zu erkennen ist, haben wir die 1/2 gestückelt zu 3/6 und die 1/3 gestückelt zu 2/6. Bzw. erweitert. Da die Nenner nun gleich sind, dürfen wir die Nenner nun ganz bequem addieren. Also 3 plus 2 und das sind natürlich 5. Wir erhalten also 5/6 als Lösung. Graphisch kann man das auch gut erkennen: 1/2 plus 1/3 ergibt 5/6.
Wir merken uns also, nochmals zusammengefasst: Wir nehmen den Nenner des ersten Bruchs und erweitern den zweiten Bruch mit diesem Nenner und wir nehmen den Nenner des zweiten Bruchs und erweitern den ersten Bruch mit diesem. Auf diese Weise schaffen wir für beide Brüche den gleichen Nenner. Man sagt auch „gleichnamig“ dazu. Da die Nenner dann gleich sind, dürfen wir die beiden Zähler miteinander addieren. Und wir erhalten schließlich unser Ergebnis.
Noch kurz ein Wort zur Subtraktion. Hier gelten die gleichen Regeln wie bei der Addition. Das heißt erhaltet ihr so etwas wie 1/2 minus 1/4, müsst ihr die 1/2 auf Viertel angleichen. Das heißt ihr müsst sie erweitern zu 2/4, in dem ihr mit 2 erweitert. Dann haben wir hier 2/4 heraus und können dann ganz bequem rechnen. 2 minus 1, also die Zähler und das ergibt dann natürlich 1/4. Also graphisch wäre das, wir nehmen uns die 1/2 und ziehen von dieser 1/2 dieses 1/4 hier ab. Wir schneiden das sozusagen weg und übrig bleibt dieses Stückchen hier unten. Genau 1/4.
Auf unserer Webseite könnt ihr übrigens die Addition von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern trainieren. Hier habt ihr unser Beispiel 1/2 plus 1/3, das graphisch dargestellt, als Fläche, und wir erhalten 5/6. Ihr könnt hier andere Zähler und Nenner wählen nehmen wir mal die 1/6. Und wir sehen, dass 1/6 plus 1/3 1/2 ergibt. Also die grüne Fläche plus die rote Fläche ergibt diesen Halbkreis. Könnt ihr beliebige Werte nehmen und euch ausprobieren. Zum Beispiel hier 3/6 plus 3/3 ist 3/2. Also eine und eine halbe Fläche. Auch findet ihr auf unserer Webseite ein Programm, bei der ihr zwei beliebige Brüche einstellen könnt. Und ihr seht hier die Berechnung über die Erweiterung der beiden Brüche. In dem Beispiel mit mal 5 und mal 3. Wir haben sie also gleichnamig gemacht auf den gemeinsamen Nenner 15. Dann die Addition der Zähler und nachher das fertige Ergebnis. Wie gesagt, ihr könnt hier beliebige Werte einstellen und euch testen. Auch könnt ihr wechseln zur Subtraktion. Hier erhaltet ihr ebenfalls Rechenweg und Ergebnis angezeigt. Auch könnt ihr zur Multiplikation wechseln, deren Regeln wir uns im nächsten Teil anschauen und ihr könnt die Division wählen, die wir uns auch noch betrachten.

Video Teil 3: Brüche multiplizieren

Schauen wir uns als nächstes die Multiplikation an und zwar als erstes die Multiplikation von einer ganzen Zahl mit einem Bruch. Dazu erinnern wir uns an die Multiplikation, denn die Multiplikation war ja nichts weiter als die Abkürzung der Addition. Also wenn wir dreimal die 8 so stehen haben, haben wir geschrieben 3 mal 8. Wenn wir jetzt anstatt der 8 einen Bruch einsetzen, also wir rechnen jetzt 1/2 plus 1/2 plus 1/2, dann haben wir wie oft die 1/2? Richtig eins, zwei, dreimal. Wir können also hier hin schreiben ist gleich 3 mal die 1/2. Hätten wir hier noch eine weitere 1/2, dann hätten wir sei eins, zwei, drei, viermal und wir könnten schreiben: Ist gleich 4 mal 1/2. Und erinnern wir uns an das letzte Video mit der Addition. Da hatten wir gesagt, wenn die Nenner gleich sind. Hier in dem Fall die 2, dürfen wir die Zähler addieren. Das heißt, wir wenden das jetzt hier an und ziehen die 2 hier raus. Und als nächstes hier oben: 1 plus 1 plus 1. Und richtig, das ergibt natürlich 3. Hier können wir erkennen, dass 3/2 3 mal 1/2 entspricht. Gleiches können wir hier unten machen. Wir können den Nenner 2 herausziehen und dann oben die 1en hier hinschreiben. Und richtig, wenn man die 1en ausrechnet erhält man 4. Und das entspricht 4 mal 1/2. So sehen wir also hier oben, dass 3/2 das gleiche ist wie 3 mal 1/2. Und hier unten 4/2 ist das gleiche wie 4 mal 1/2. Und hier lernen wir unsere Regel kennen, dass die ganze Zahl vor dem Bruch, bei der Multiplikation hoch multipliziert wird in den Zähler. Also 3 mal 1/2 ist das gleiche wie (3 mal 1)/2. Und natürlich: 3 mal 1 ergibt dann 3 und wir haben unsere 3/2. Gleiches können wir hier unten anwenden. 4 mal 1/2 ergibt (4 mal 1)/2. Und 4 mal 1 ist dann 4 und wir erhalten wieder 4/2. Bei dem Bruch muss das übrigens keine 1 sein. Es kann jede beliebige Zahl sein bzw. es kann jeder beliebige Bruch sein. Machen wir noch ein drittes Beispiel. Sagen wir 5/7 plus 5/7 plus 5/7 und dann haben wir natürlich eins, zwei, dreimal die 5/7. Und wir können unsere Regel anwenden, wir rechnen oben im Zähler 3 mal 5. Also wir schreiben hin ist gleich (3 mal 5)/7 und das ergibt 15/7. Ihr seht, die 3 ist hochgesprungen in den Zähler. Wir haben sie verrechnet mit der 5. 3 mal 5 sind 15 und wir erhalten 15/7. Genauso als ob wir hier 5 plus 5 plus 5, also 15/7 gerechnet hätten. Wer sich das übrigens auch noch auf eine andere Art und Weise merken möchte, der kann diesen Bruch hier auch ausschreiben, also, wir können die 5/7 ja umwandeln zu 5 durch 7. Tun wir das hier drüben. Und dann müsst ihr euch merken, dass die Multiplikation hier zuerst gerechnet werden kann. Das heißt wir können zuerst 3 mal 5 rechnen und dann durch 7. Setzen wir einfach mal die Klammern hier rum. Dann sehen wir auch hier, dass die 3 mal 5 nach oben geschrieben werden kann und dann durch 7. Ok, als Regel merkt ihr euch bitte: Multiplizieren wir eine ganze Zahl mit einem Bruch, so springt die ganze Zahl hoch in den Zähler.
Gut, betrachten wir uns als nächstes wie die Multiplikation zweier Brüche funktioniert. Um dies zu verstehen müsst ihr euch an folgendes erinnern: Wenn wir so etwas haben wir 48 durch 4 durch 2, als ein Beispiel, und wir müssen das ausrechnen. Dann überlegen wir: Wir müssen als erstes 48 durch 4 rechnen, das sind 12 und dann dieses Teilergebnis noch durch 2. Und 12 durch 2, das Endergebnis ist 6. Also das Ergebnis hier oben ist 6. Hätten wir einen Fehler gemacht und zwar die 4 durch 2 als erstes gerechnet, machen wir das gerade hier: 4 durch 2 sind 2. Und 48 durch 2 sind 24. Wir hätten hier ein falsches Ergebnis herausbekommen. Das heißt wir dürfen die beiden Divisoren hier hinten nicht miteinander dividieren. Wollen wir sie verrechnen, können wir folgendes machen. Wir können hier eine Klammer drum setzen. Das heißt wir wollen sie als erstes rechnen. Und dann müssen wir gleichzeitig aus der Division eine Multiplikation machen. Denn jetzt ergibt sich 4 mal 2 sind 8. Und richtig, 48 durch 8 sind 6. Das korrekte Ergebnis. Also unbedingt merken. Wollen wir die beiden Divisoren hier hinten miteinander verrechnen, müssen wir sie multiplizieren. Konkret heißt das, anstatt durch 4 durch 2 zu rechnen, können wir genauso gut durch 4 mal 2, also 8, dividieren. Das kann man sich übrigens auch graphisch vor Augen führen. Wenn man sich zum Beispiel sagt: 1 durch 2 durch 2. Dann hieße das graphisch, wir haben 1, also einen Kreis und halbieren ihn durch 2. Und halbieren heißt wir schneiden ihn durch. Und jetzt sagen wir, wir sollen ihn nochmal halbieren. Das heißt wir müssen die Hälfte, die übrig geblieben ist nochmal durchschneiden. Tun wir das. Wie wir jetzt erkennen, bleibt nur noch 1/4 übrig. Das heißt anders überlegt, wir hätten genauso gut einen Kreis nehmen können und anstatt ihn durch 2 durch 2 zu teilen, ihn gleich in 4 Stücke zerschneiden können. Und so hätten wir dann auch unser Ergebnis herausbekommen, 1/4. Also rechnerisch hätten wir auch folgendes hinschreiben können: ist gleich 1 durch (2 mal 2). Und das wäre dann 1 durch 4 und wir hätten unser Viertel. Gut, dieses Wissen können wir jetzt anwenden um zwei Brüche zu multiplizieren.
Nehmen wir als Beispiel 6/2 mal 8/4. Wenn wir das jetzt mal ausrechnen. 6 durch 2 sind 3 und 8 durch 4 sind 2, dann sehen wir 3 mal 2 ergibt 6. Also das Ergebnis hieraus muss auf jeden Fall 6 sein. Ok, schreiben wir als nächstes unsere Brüche als Division. Dann wir die 6/2 zu 6 durch 2 und die 8/4 wird zu 8 durch 4. Als nächstes schreiben wir diese mal 8 hinter die 6. Dann erhalten wir 6 mal 8 durch 2 durch 4. Und genau jetzt, wenden wir an, was wir gerade gelernt haben, dass durch 2 durch 4 auch als Multiplikation geschrieben werden darf. Also übertragen wir das gerade nochmal hier runter. Und anstatt jetzt durch 2 durch 4 zu rechnen, rechnen wir durch (2 mal 4). Das ist genau die Regel, die wir uns gerade angeschaut hatten. Und jetzt schreiben wir das hier wieder als Bruch. Wir haben die 6 mal 8 im Zähler und dann haben wir den Bruchstrich und dann die 2 mal 4 im Nenner. Schreiben wir das hier hin. 6 mal 8 nach oben und 2 mal 4 nach unten. Jetzt können wir noch die Klammern hier wegnehmen. Und wir können jetzt diesen Teil noch ausrechnen, das geht dann relativ schnell. Oben 6 mal 8 sind 48 und unten 2 mal 4 sind 8. Und richtig, 48 durch 8, das ist natürlich 6. Und unser Ergebnis aus dieser Multiplikation. Die Regel, die wir nun erkennen, ist, wir haben hier zwei Brüche miteinander multipliziert und hier sehen wir, wir haben ihre Zähler multipliziert und ihre Nenner multipliziert und wir sind dann aufs Ergebnis gekommen. Schreiben wir das und das nebeneinander. Und das ist das Schöne an dieser Regel, sie ist wirklich einfach. Oben mal oben, also 6 mal 8, und unten mal unten, 2 mal 4, und wir kommen aufs richtige Ergebnis. Allgemein können wir also sagen, wenn wir zwei Brüche miteinander multiplizieren, dürfen wir deren Zähler multiplizieren, sowie deren Nenner multiplizieren und dann erhalten wir das richtige Ergebnis.
An dieser Stelle noch ein wichtiger Hinweis: Ihr könnt übrigens jede ganze Zahl, zum Beispiel hier die 4, auch als Bruch schreiben. Also wenn wir die 4 haben, dann dürfen wir jederzeit daran schreiben 4 durch 1. Und 4 durch 1 ist ja wiederum 4. Überlegen wir, wenn wir 4 durch 1 schreiben dürfen, dann ist das doch auch als Bruchschreibweise möglich. Also als 4/1. Und diese Regel, dass man ein Eintel an eine ganze Zahl schreiben darf, gilt immer. Ihr dürft jede beliebige Zahl schreiben als durch 1. Auch könnt ihr euch eine andere hilfreiche Sache merken: Wenn ihr eine ganze Zahl habt und sie mit 1/2 multipliziert. Dann ist es ausgeschrieben ja folgendes 4 mal 1 durch 2 und wir wissen 4 mal 1 werden zusammengerechnet zu 4 und wir hätten dann 4/2 zu stehen, also ist gleich 4/2. Also die 4 mal 1 wurden verrechnet zu 4 und dann 4/2. Was wir aber noch sehen ist folgendes: Sobald wir eine Zahl mit einer 1/2 multiplizieren, ist das gleiche als ob wir sie mit 2 dividieren. Und das gilt nicht nur für die 1/2, das gilt auch für andere Zahlen. Zum Beispiel würden wir jetzt 1/4 zu stehen haben, dann könnten wir hier gleich 4 durch 4 rechnen. Und diese Schreibweise, anstatt Division Multiplikation mit einem Bruch, findet ihr häufig bei Formeln. Zum Beispiel bei der Formel eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Formel für die Fläche lautet a mal b durch 2. Graphisch heißt das, wir nehmen a mal b, das Rechteck hier und teilen es in zwei Hälften. Also schneiden die obere hier weg und schon haben wir unsere Fläche. Und anstatt a mal b durch 2, kann man schreiben a mal b mal 1/2, wobei die 1/2 nach vorne gestellt wird. Und damit ist durch 2 gemeint. Dies bitte merken, denn ihr werdet später öfters auf solche Schreibweisen stoßen.
Wenn ihr Brüche umformen wollt, müsst ihr übrigens aufpassen. Nehmen wir als Beispiel 18/5 und wir könnten jetzt die 18 verändern, zum Beispiel zu 3 mal 6. Hier müsst ihr aufpassen, einigen würden jetzt die 5 auf die 3 und die 6 ziehen, das ist aber nicht erlaubt! Schreiben wir das nochmals aus ohne Bruchstrich, dann steht ja hier 3 mal 6 durch 5. Und das heißt, wir können 6 durch 5 rechnen oder 3 durch 5. Aber nicht 3 durch 5 und danach 6 durch 5. Das bitte merken! Also wenn wir das nochmals als Bruch schreiben wollen, können wir entweder schreiben 3 mal 6/5. Da steckt die Regel mit der Multiplikation einer ganzen Zahl dahinter. Die 3 würde ja wieder hoch springen zur 6 zu (3 mal 6)/5. Aber wir könnten auch schreiben: Ist gleich 3/5 mal 6. Und hier würde ebenfalls die 6 hoch zum Zähler springen zu 3 mal 6 und wir hätten dann auch wieder (3 mal 6)/5. Diese beiden Varianten bitte merken!
Zum Abschluss rechnen wir noch eine letzte Aufgabe: 2/3 mal 2/4. Wenden wir unsere Regel an: Wir multiplizieren die Zähler miteinander und wir multiplizieren die Nenner. Wir erhalten oben 2 mal 2 ist 4 und unten 3 mal 4 ist 12. Und wenn ihr so ein Ergebnis habt, 4/12, dann müsstet ihr sehen, dass ihr es kürzen könnt. Wir können die 4 und die 12 durch 4 dividieren. Und wir erhalten 1/3. Unser fertiges, gekürztes Ergebnis. Schauen wir, ob das auch mit unserem Programm übereinstimmt. Stellen wir 4/12 ein und wir erkennen, das sind gekürzt 1/3. Die Fläche 4/12 entspricht der Fläche 1/3. An dieser Stelle zeigen wir noch eine Vorstellungshilfe für die Multiplikation. Wir können uns folgendes denken: Nehmen wir nochmals unser Beispiel von oben und schreiben die Brüche als Division. So erhalten wir 2 durch 3 mal 2 durch 4. Erinnern wir uns, wenn wir eine Zahl haben wie zum Beispiel 56, dann dürfen wir jederzeit mal 1 daran schreiben. Also 1 mal diese Zahl, was den Wert nicht verändert. Also 56 bleibt erhalten. Bei unserer Aufgabe hier oben kommt nachher eine Zahl raus. Das heißt wir dürfen 1 mal davor schreiben. Und diese 1 mal können wir uns jetzt als Kreis denken. Warum? Dieser Kreis wird verdoppelt, gedrittelt, dann wieder verdoppelt und dann geviertelt. Schauen wir uns das ein bisschen genauer an. Schreiben wir als erstes die mal 2 nach vorne. Jetzt können wir sagen, wir verdoppeln den Kreis einmal. Dann haben wir 2 Kreise und dann verdoppeln wir noch einmal und wir erhalten 4 Kreise. Anschließend nehmen wir diese Division nach hinten hier, dürfen wir diese Kreise Vierteln, also in 4 Teile schneiden und danach in 3 Teile schneiden. Was bleibt also übrig? Richtig, ihr seht es bereits. Ein Kreis in 3 Teile geschnitten und das ist 1/3. Und rechnerisch kann man das auch erkennen. 2 mal 2 sind 4. 4 durch 4 sind 1. 1 mal 1 sind 1 und wir erhalten 1/3. Die Lösung unserer Aufgabe.

Video Teil 4: Brüche dividieren

Bevor wir uns auf die Division stürzen schauen wir uns gerade noch eine kleine Ergänzung an zur Multiplikation von Brüchen. Als Beispiel sei gegeben 7/8 mal 4/14. Jetzt würden wir mit der Multiplikationsregel 7 mal 4 rechnen, das wären 28. Und unten 8 mal 14, das wären 112. Und wenn ihr dieses Ergebnis habt, müsst ihr Prüfen ob es kürzbar ist und das wird es sein, weil hier hinten zwei gerade Zahlen sind. Also müsstet ihr jetzt versuchen diesen Bruch so weit wie möglich zu kürzen. Also erst mal durch 2, dann ergibt sich 14/56. Dann sehen wir, dass hinten wieder gerade Zahlen sind, wir können also nochmal durch 2 kürzen und wir erhalten 7/28. Dann würdet ihr erkennen, dass 28 durch 7 teilbar ist. Das heißt wir können den ganzen Bruch auch noch durch 7 kürzen und erhalten 1/4, den vollgekürzten Bruch. Sicher haben einige von euch auch gesehen, dass 112 durch 28 teilbar ist, hätten den gesamten Bruch durch 28 geteilt und wären dann auch auf 1/4 gestoßen. Da dieser Weg doch relativ beschwerlich ist, gibt es einen Trick, den man „Diagonales Kürzen“ nennt. Wir schreiben jetzt unsere Aufgabe nochmals hier runter und prüfen jetzt folgendes: Wir schauen ob die Diagonalen hier miteinander kürzbar sind. Und tatsächlich, wir haben hier die 7 und hier die 14. 7 ist Teiler von 14. Das heißt wir können 7 durch 7 teilen und 14 durch 7 teilen. Dann erhalten wir 7 durch 7 ist 1 und 14 durch 7 ist 1. Und genauso hier: 8 und 4, die Diagonale lässt sich durch 4 kürzen. Hier oben 4 durch 4, dann erhalten wir 1. Und die 8 durch 4 und wir erhalten 2. Jetzt dürfen wir oben und unten zusammenmultiplizieren und wir erhalten 1 mal 1 und 2 mal 2 und das ergibt natürlich 1/4, unser Ergebnis. Wie wir sehen konnten wir uns damit viel Arbeit ersparen und haben die Lösung schnell ermittelt! Für die, die sich übrigens fragen, warum das geht, das diagonal Kürzen. Ganz einfach. Schreiben wir unsere Aufgabe nochmal runter. Wenn wir unsere Regel anwenden 7 mal 4 in den Zähler zu schreiben, 8 mal 14 in den Nenner, dann steht ja hier 7 mal 4 durch 8 mal 14 und tatsächlich, wir dürfen 8 und 14 hier verdrehen, ihre Position tauschen und ihr könnt erkennen, wir können jetzt hier 7 mit der 14 direkt kürzen und 4 mit der 8 direkt kürzen und wir würden hier 1 mal 1 durch 2 mal 2 erhalten. Das heißt hier bei diesem Weg erspart man sich diese Schreibweise und schreibt es dann direkt. Gut, jetzt geht es weiter mit der Division.
Betrachten wir uns als erstes die Regel, bevor wir klären, warum sie funktioniert. Die Regel heißt, habt ihr eine Division mit einem Bruch, dann rechnet ihr anstatt Division Multiplikation und ihr dreht Zähler und Nenner um. Also die 4 geht nach oben und die 1 nach unten. Und dann könnt ihr unsere Regeln anwenden für die Multiplikation. Im Zähler 1 mal 4 rechnen, wir erhalten 4. Und unten im Nenner 2 mal 1 und wir erhalten 2. 4/2, also 4 durch 2 ist 2. Wir sehen also 1/2 durch 1/4 ergibt 2. Und das können wir uns auch graphisch vorstellen. Wir nehmen die Fläche für 1/2 und fragen nun, wie oft passt die Fläche für 1/4 da hinein. Und wir sehen, dass die 1/4 einmal hinein passt und ein zweites Mal. Zweimal, das ist das Ergebnis unserer Division. Nehmen wir noch ein zweites Beispiel. Rechnen wir 3 durch 1/2, dann wenden wir wieder die Regel an. Wir machen die Division zur Multiplikation und drehen Nenner und Zähler um. Und jetzt können wir rechnen. 2/1, 2 durch 1 ist natürlich 2 und 3 mal 2 ergibt 6. Unsere Lösung. 3 durch 1/2 ist also 6. Und wie sieht das graphisch aus? Wir haben 3 Kreise und fragen, wie oft die 1/2 da hinein passt. Und richtig, die passt genau 1, 2, 3, 4, 5 und sechsmal hinein. Die Lösung unserer Aufgabe. Um die Regel für die Division zu klären brauchen wir zwei Wissensbausteine. Der erste ist der Kehrwert oder manchmal auch Reziproke genannt, was nichts weiter bezeichnet als bei einem Bruch Zähler und Nenner vertauschen. Das heißt die 1 geht nach unten bei dem Beispiel und die 2 nach oben in den Zähler. Wenn wir so etwas machen, heißt das Kehrwert. Die zweite Sache die wir müssen ist der sogenannte Doppelbruch. Das heißt nichts weiter, als dass wir eine Division, so wie wir es schon kennengelernt hatten, wieder als Bruch schreiben, jedoch ein Bruch sich im Zähler oder Nenner befindet. Also 3 durch 1/2 kann man auch schreiben als 3 und unten im Nenner di e 1/2. Natürlich könnte anstatt der 3 hier auch noch ein anderer Bruch stehen, nehmen wir mal 3/4, dann wäre hier oben 3/4 einzutragen für den Zähler. Ok, schauen wir uns an, wie wir von durch 1/2 auf mal 2/1 stoßen. Wie kann man umformen, so dass nachher 2/1 dasteht? Dafür wandeln wir unser Beispiel als erstes in einen Doppelbruch um, so wie wir es gerade gelernt haben. Dann sagen wir, wir hatten ja gelernt, man darf jeden Bruch erweitern, im Zähler und im Nenner, dass wir erweitern mit 2. Wir erweitern oben mit 2 und unten mit 2. Dann steht da 3 mal 2 und unten 1/2 mal 2. Jetzt dürfen wir unten die Sache verrechnen. Wir schreiben die mal 2 hoch zur 1 und können verrechnen: 1 mal 2 sind 2 und 2 durch 2 sind 1. Und als letztes erinnern wir uns an den letzten Teil. Wir sagten wir können den Nenner entweder auf die 3 oder auf die 2 ziehen, wenn hier eine Multiplikation ist. Und wir ziehen die 1 auf die2. Dann steht hier 3 mal 2/1. Und das hier ist auch schon die fertige Umformung. Wir sind bei 3 durch 1/2 gestartet und haben so umgeformt, dass 3 mal 2/1 da steht. Also wir sagen damit, dass die Division durch 1/2 das gleiche ist wie die Multiplikation mit 2/1, also den Kehrwert des Bruches. Genau die Regel, die wir vorher angewendet hatten, bei unseren Beispielaufgaben. Fassen wir jetzt nochmals abschließend alle Regeln zusammen, die wir bisher kennengelernt haben.
Wir hatten bei der Addition gesehen, dass wenn die Nenner hier unten gleich sind, wir einfach die Zähler addieren dürfen. Wir hatten gesehen, dass wenn die Nenner unterschiedlich sind, dass wir einen gemeinsamen Nenner bilden müssen. Und am einfachsten, in dem wir die beiden Nenner multiplizieren. Das heißt hier erweitern mit 4 und hier erweitern mit 5. Dadurch erhalten wir hier unten den gleichen Nenner und zwar die 20 und wir dürfen mit der Regel hier oben, die Zähler jetzt addieren und dann entsprechend ausrechnen. Dann hatten wir kennengelernt, dass die gleichen Regeln auch bei der Subtraktion gelten und hier genauso verfahren werden muss. Dann hatten wir die Multiplikation kennengelernt, die relativ einfach war, da wir die Zähler miteinander multiplizieren dürfen und die Nenner miteinander multiplizieren dürfen und dann ausrechnen. Und bei der Division hatten wir gerade kennengelernt, dass wir das Divisionszeichen umwandeln in eine Multiplikation und bei dem Bruch Zähler und Nenner vertauschen und dann ganz einfach die Regeln der Multiplikation verwenden dürfen. Gut, damit haben wir die Grundrechenarten bei der Bruchrechnung abgeschlossen und schauen uns im nächsten Teil noch ein paar Arten von Brüchen an und die gemischten Zahlen und wie man mit ihnen rechnet. Und es gibt noch wichtiges Zusatzwissen und zwar zu der Zahlenmenge rationale Zahlen, bzw. Bruchzahlen genannt. Und abschließend schauen wir uns noch an, wie sich die Brüche verhalten, wenn Zähler und Nenner verschiedene Vorzeichen haben. Also bis gleich!

Video Teil 5: Brucharten & Gemischte Zahlen

Bevor wir uns auf die gemischten Zahlen stürzen gucken wir uns noch die Brucharten an. Es gibt zum einen die sogenannten Stammbrüche, die erkennt man daran, dass hier oben immer eine 1 steht. Da hätten wir zum Beispiel die 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 und so weiter. Das sind alles Stammbrüche. Dann haben wir die echten Brüche. Bei den echten Brüchen ist der Zähler immer kleiner als der Nenner, also hier die 3 ist kleiner als die 8. Also 3/8 wäre ein echter Bruch. 4/8, 5/8, 6/8. Oder hier beliebige Werte, die wir einstellen können. Hauptsache der Zähler ist kleiner als der Nenner. Dann haben wir die sogenannten unechten Brüche, da ist der Zähler größer als der Nenner. Also hier: 9 ist größer als 8. Aus diesen werden wir gleich unsere gemischten Zahlen bilden. Schauen wir uns jedoch noch zwei andere Brucharten an. Da wären noch der sogenannte Scheinbruch. Zum Beispiel 16/8. Und warum „Schein“? Ganz richtig, 16/8, 16 durch 8 sind ja 2. Und 2 ist ja eine ganze Zahl. Das heißt eigentlich handelt es sich hier um die 2 und nicht um einen Bruch. Aber man kann die 2 eben auch als 16/8 darstellen. Gut, und als letztes haben wir noch die sogenannten Dezimalbrüche, dass sind alle Brüche, die unten im Nenner eine 10, 100, 1000 und so weiter haben. Also wenn ein Nenner durch 10 teilbar ist, kann man auch Dezimalbruch sagen. Gut, uns interessieren jetzt die unechten Brüche, wo der Zähler größer ist als der Nenner. Denn in diesen Brüchen versteckt sich ein ganzer Teil, also eine ganze Zahl, sowie eine Bruch. Wenn wir jetzt hier die 9/8 haben, dann können wir uns das mal graphisch vor Augen führen. Das wäre 1/8, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8/8 und jetzt noch brauchen wir ein weiteres 1/8 um auf 9/8 zu kommen. Also einmal diese Fläche muss sozusagen noch dazu addiert werden. Und so schreiben wir das erstmal auf. Wir haben einmal 8/8 und dann einmal den Bruch 1/8 und die schreiben wir als Addition nebeneinander. Also ist gleich 8/8 plus 1/8. Und wir hatten ja bei der Addition gesehen, wenn die Nenner hier unten gleich sind, dürfen wir die Zähler addieren. Also hier könnten wir jetzt rechnen 8 plus 1 und das wäre 9. Gut. Und jetzt sehen wir, kopieren wir das nochmals rüber, dass ja 8/8, unser gesamter Kreis, bzw. 8 durch 8 ja 1 ist. Also können wir hieraus einen 1 machen. Und an dieser Stelle haben wir aus unserem unechten Bruch, den ganzen Teil heraus gezogen, also einmal die 1 und den gebrochenen Teil, die 1/8, sozusagen der Rest. Graphisch würde das so aussehen. Wir haben die 8/8, einen gesamten Kreis, haben die 1/8 dazu addiert und kommen auf 9/8. Nur wir haben das sozusagen rückwärts gemacht. Wir haben den Bruch wieder aufgetrennt in einen ganzen Bestandteil und in einen gebrochenen Anteil. Und jetzt, was ist jetzt hier die gemischte Zahl? Die gemischte Zahl ergibt sich, indem wir die 1 plus 1/8, jetzt wie folgt schreiben: Wir nehmen in der Mitte das Additionszeichen weg und schon haben wir unsere gemischte Zahl. Die gemischte Zahl besteht aus einer ganzen Zahl und aus einem Bruch. Und wenn wir so etwas schreiben, müsst ihr euch daran erinnern, dass immer in der Mitte ein Plus steht, das jedoch nicht mitgeschrieben wird. Nehmen wir noch einen zweiten unechten Bruch und zwar 29/7. Wenn wir jetzt daraus eine gemischte Zahl herstellen sollen, müssen wir als erstes gucken wie oft die 7 in die 29 passt. Und da kann man natürlich abzählen: 7, 14, 21, 28. Und 35 wäre schon größer als 29. Also der ganze Teil der hier drinsteckt, ist 4 mal 7. Und 4 mal 7 ist 28. Und 29 minus die 28 ergibt einen Rest von 1. Das heißt für hier oben, wir schreiben: Ist gleich 28/7 plus 1/7. Und jetzt können wir rechnen: 28 durch 7, das ergibt 4. Und die 1/7 dürfen wir so stehen lassen. Das heißt wir haben die gemischte Zahl 4 1/7. Auf unserer Webseite könnt ihr übrigens dieses neue Wissen hier anwenden und euch selbst testen. Ihr findet dort ein Programm, bei dem ihr Brüche einstellen könnt. Also hier im Beispiel 12/7. Und ihr seht hier den Bruch aufgelöst in einen ganzen Teil, in dem Fall 7/7, und dann den Rest 5/7. 7/7 ergibt die ganze Zahl 1 und dann haben wir die gemischte Zahl 1 5/7. Ihr könnt hier auch andere Zahlen einstellen. Bei der 12/8 seht ihr zum Beispiel, dass hier rauskommt 1 4/8 und dass diese 1 4/8 noch gekürzt werden kann zu 1/2. Also wir nachher 1 1/2 heraus bekommen. Könnt hier auch höhere Werte nehmen. Euch werden auch Scheinbrüche angezeigt. Wie wir sagten: 20 durch 10 ist ja eine 2 und eigentlich kein Bruch. Und selbstverständlich, euch werden auch echte Brüche angezeigt. Bei dem sich dann natürlich hier nichts verändert, nur wenn sie gekürzt werden können. Testet euch! Stärkt euer Wissen, damit ihr mit gemischten Zahlen besser rechnen könnt!
Es könnte übrigens auch mal passieren, dass der Lehrer von euch verlangt, dass ihr eine gemischte Zahl in einen Bruch umwandelt. Nehmen wir mal die 4 1/7 und wandeln sie in einen Bruch um. Dazu machen wir all das, was ich euch gerade gezeigt habe, einfach rückwärts. 4 1/7 ist das gleiche wie 4 plus 1/7. Die 4 soll jetzt wieder zu einem Bruch werden. Wir können also aus der 4 eine 4/1 machen, denn das ist ja immer noch 4. Und jetzt können wir, weil wir unten eine 7 haben möchten, wie hier drüben, Zähler und Nenner mit 7 erweitern. Dann ergibt sich, schreiben wir das hier drüben, für den Zähler 28 und für den Nenner 7. Und jetzt noch die Additionsregel anwenden. Hier ist der gleiche Nenner, das heißt wir dürfen Zähler addieren und wir schreiben (28 plus 1)/7. Und die 28 plus 1 sind 29. Und wir haben wieder unseren Bruch. Unseren unechten Bruch 29/7. An dieser Stelle zeigen wir euch einen Trick, damit ihr noch schneller von einer gemischten Zahl zu einem Bruch kommt. Und zwar, wenn wir uns die 4 1/7 hier nochmal anschauen. Es gibt einen schnelleren Weg um auf die 29 hier zu kommen, und zwar in dem ihr einfach die 7 und die 4 multipliziert, die beiden Zahlen, dann erhalten wir 28 und dann noch die 1 darauf addiert. Und wir haben 29. Dass heißt hier ergibt sich 29/7. Und wie gesagt, ihr müsst dazu die ganze Zahl mit dem Nenner multiplizieren, 4 mal 7, und dann die plus 1 dazu. So erhaltet ihr die 29, unseren Zähler für den unechten Bruch und dann natürlich noch die Siebentel. 4 mal 7 plus 1 sind 29 und dann die Siebentel. Wenn ihr übrigens mit gemischten Zahlen rechnen sollt, als Beispiel 4 1/7 mal 3 1/2, dann wandelt bitte jede gemischte Zahl jeweils in einen unechten Bruch um. Also 4 1/7 wird dann zu 29/7, das hatten wir schon ausgerechnet und die 3 1/2, als unechter Bruch wären das 3 mal 2 sind 6 plus 1 sind 7, also 7/2. Und jetzt können wir unsere Regeln für die Multiplikation anwenden: Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner. Vorher können wir jedoch noch kürzen, diagonal. Und zwar die 7 und die 7 jeweils durch 7. Das heißt wir erhalten hier 1 und hier 1. Und wir können jetzt rechnen 29 mal 1 sind 29 und 1 mal 2 sind 2. Und jetzt gilt es noch die 29/2 in eine gemischte Zahl umzuwandeln, da schauen wir, wie oft die 2 in die 29 passt und das ist bis 28 möglich, das heißt wir schreiben 28/2 plus 1/2. 28 plus 1 wären ja wieder 29. Und 28/2, 28 durch 2, sind 14. Und für die gemischte Zahl nehmen wir noch das Plus hier weg und wir erhalten 14 1/2. Wenn ihr eigene Aufgaben rechnet und die Umwandlung eines unechten Bruches in eine gemischte Zahl testen wollt, nehmt das Programm von uns, stellt eure Zahl ein. Für uns war das die 29/2. Und wir sehen, das sind 28/2 plus 1/2 und das ergibt 14 1/2, genau den Wert den wir ausgerechnet haben.
Betrachten wir als nächstes was rationale Zahlen sind und was Brüche mit ihnen zu tun haben. Wir hatten ja bereits verschiedene Zahlen kennen gelernt. Zum einen die natürlichen Zahlen und zum anderen die ganzen Zahlen. Die rationalen Zahlen haben das Zeichen Q. Und zwar kommt dieses Q von dem Begriff „Quotient“. Und den kennen wir von der Division, denn das war das Ergebnis der Division. Bei einem Bruch hatten wir gesagt, da steckt die Division dahinter, wir hatten zwei Zahlen miteinander dividiert und daraus einen Bruch gemacht. Wir hatten gesagt, das ist der Dividend, das ist der Divisor. Und da kommt der Quotient heraus. In diesem Fall also ein Bruch. Mit anderen Worten: Jede Zahl, die sich als Bruch darstellen lässt, das schließt die ganzen und natürlichen Zahlen mit ein, ist eine rationale Zahl. Zum Beispiel die 3 als 3/1. Die -2, als -2/1. Und selbstverständlich, jeder Bruch ist eine rationale Zahl. Schon vorab gesagt, es gibt auch Zahlen, die lassen sich nicht als Bruch schreiben, so zum Beispiel die Wurzel 2. Die wäre irrational, was wir uns in der Lektion „Irrationale Zahlen“ anschauen werden.
Abschließend noch ein Hinweis zu den Vorzeichen bei Brüchen. Generell…Brüche können entweder positiv sein, oder aber negativ. Und es kann vorkommen, dass ihr mal einen negativen Zähler oder einen negativen Nenner habt. Also es gibt folgende Fälle. Es kann sein, dass der Zähler negativ ist, es kann sein, dass der Nenner negativ ist und es kann sein, dass beide negativ sind. Hier gelten die gleichen Regeln, die wir bei der Lektion „Rechnen mit Vorzeichen“ kennen gelernt haben. Schreiben wir die Brüche hier als Division auf. Sind die Vorzeichen unterschiedlich. Minus Plus, oder Plus Minus, so wird das gesamte Ergebnis negativ, also wir erhalten dann bei der -1 durch 2 eine -1/2. Hier unten bei der 1 durch -2, erhalten wir ebenfalls einen -1/2. Und hier unten, zwei gleiche Vorzeichen, Minus und Minus, ergibt natürlich Plus. Wir erhalten +1/2. Bitte dies merken, da es sich hierbei auch um eine häufige Fehlerquelle handelt. Viel Erfolg mit den Brüchen.
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