Mathe G21: Irrationale Zahlen, Reelle Zahlen

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 9. Klasse

Mathe-Videos

Wir hatten Zahlenmengen bereits in den vorigen Mathe-Videos kennengelernt: Natürliche Zahlen (1, 2, 3,...), Ganze Zahlen (... -2, -1, 0, 1, 2,...) und Rationale Zahlen (also alle Zahlen, die als Bruch schreibbar sind).

Um nun die Irrationalen Zahlen verstehen zu können, müsst ihr wissen, wie man Gleichungen umstellt und ihr solltet die Lernvideos Potenzen und Wurzeln gesehen haben. Auch müsst ihr wissen, wie sich gerade Zahlen ergeben (und zwar allgemein mit z = 2·k, also zum Beispiel 8 = 2·4). Dann geht es los:

Mathe-Video G21 Irrationale Zahlen, Reelle Zahlen

Was sind Irrationale Zahlen (nicht als Bruch a/b darstellbar). Wiederholung der bekannten Zahlenmengen. Nachweis, dass Wurzel aus Zwei nicht als Bruch darstellbar ist. Hinleitung zu den Irrationalen Zahlen und Reelle Zahlen. Reelle Zahlen bestehen aus Rationalen und Irrationalen Zahlen.

Weitere Videos stehen dir als Kunde zur Verfügung:

Zugriff auf alle Videos bestellen

Wissen zur Lektion

Was sind Rationale Zahlen?

Erinnern wir uns, was die Merkmale rationaler Zahlen sind:

1. sind als Bruch darstellbar (z. B. 1 = 1/1 oder 0,5 = 1/2 oder 3,25 = 13/4)
2. haben keine, endlich viele oder unendlich viele Nachkommastellen (Beispiele: keine Nachkommastellen: 2 = 2/1, endlich viele Nachkommastellen: 1,5 = 3/2, unendlich viele Nachkommastellen: 1/3 = 0,3333… = 0,3)
3. Wenn die Zahl unendlich viele Nachkommastellen hat, sind diese periodisch.

Merke: Eine rationale Zahl ist entweder abbrechend oder periodisch. Weitere Informationen hier: G08 Brüche / Rationale Zahlen

Stellen wir den rationalen Zahlen nun die irrationalen Zahlen gegenüber:

Was sind Irrationale Zahlen?

Gehen wir über zu den Irrationalen Zahlen, diese:

1. sind nicht als Bruch darstellbar
2. haben unendlich viele Nachkommastellen
3. haben Nachkommastellen, die nicht periodisch sind.

Man stößt auf die Irrationalen Zahlen insbesondere beim Wurzelziehen. Viele Wurzelwerte sind nicht ganzzahlig, zum Beispiel:
√1 = 1
√2 = 1,41421356237309505…
√3 = 1,73205080756887729…
√4 = 2
√5 = 2,2360679774997897…
√6 = 2,4494897427831781…
√7 = 2,64575131106459059…

Beispiele für Irrationale Zahlen

- √2 mit 1,41421356…
- Kreiszahl π (Pi) mit 3,14159265…
- Eulersche Zahl e mit 2,71828182…

Was sind Reelle Zahlen?

In der Schule schreibt ihr häufig, wenn ihr eine Lösung für eine Aufgabe mit einer Unbekannten x gefunden habt:

x ∈ ℝ

Damit gebt ihr an, dass sich die Lösung in der Menge aller Reeller Zahlen befindet (x ist Element aus ℝ).

Das ℝ ist das Zeichen für die Reellen Zahlen. Sie ergeben sich aus den Rationalen Zahlen und den Irrationalen Zahlen. In der Mengenlehre schreibt man (anstatt Plus ein gebogenes Zeichen):

ℝ = ℚ ∪ I

Reelle Zahlen = Rationale Zahlen + Irrationale Zahlen

Die Reellen Zahlen umfassen alle Zahlen, die ihr auf einem Zahlenstrahl finden bzw. eintragen könnt.

Übersicht der Zahlenmengen

Nun sollten die Zahlenmengen kein Problem mehr für euch sein, hier die Übersicht:

ℕ - Natürliche Zahlen
ℤ - Ganze Zahlen
ℚ - Rationale Zahlen (Bruchzahlen)
I - Irrationale Zahlen
ℝ - Reelle Zahlen

Grafik zu den Zahlenmengen

Zahlenmengen Übersicht

Der Nachweis der Irrationalen Zahlen, wie er im Video zu sehen ist, ist übrigens ein zahlentheoretischer Beweis, der indirekt durch Widerspruch geführt wird. Er wurde von dem griechischen Mathematiker Euklid überliefert. Indirekte Beweisführung meint hierbei, dass die Annahme des Gegenteils (dass die Wurzel aus 2 als Bruch a/b darstellbar sei) zu einem Widerspruch führt.

Beweis: Wenn a gerade ist, ist auch a² gerade

Wir zeigen im Video (ca. 6. Minute), dass wenn eine gerade Zahl z quadriert wird, die entstehende Quadratzahl z² wieder gerade ist. Danach sagen wir, dass man aus einer geraden Quadratzahl z² schlussfolgern kann, dass z gerade ist. Diese Umkehrung der Aussage ist für diesen Fall stimmig, aber kein Beweis. Wer einen Beweis aufstellen möchte, der muss hier zusätzlich nachweisen, dass ein ungerades z ins Quadrat nur ungerade sein kann. Der vollständige Beweis sieht wie folgt aus:

Zuerst stellen wir die Annahme auf: Wenn a² gerade ist, ist auch a gerade. Dann erfolgt der Nachweis in drei Schritten:

I. Jede gerade Zahl kann dargestellt werden mit einer anderen Zahl als 2·k

WENN a gerade ist (a = 2·k) und man a quadriert gilt:
a² = (2·k)²
a² = 2·2·k·k
a² = (2k²)

a² ist also auch gerade.

Fazit: Eine gerade Zahl ins Quadrat ergibt eine gerade Zahl.

II. Jede ungerade Zahl kann dargestellt werden mit 2·k+1

WENN a ungerade ist (a = 2·k+1) und man a quadriert gilt:
a² = (2k+1)²
a² = 4k²+4k+1
a² = 2·(2k²+2k)+1

Das heißt der Term 2·(2k²+2k) ist zwar gerade, da er durch 2 teilbar ist, doch durch die +1 wird er ungerade. Siehe auch Lektion Teilbarkeit.

Fazit: Eine ungerade Zahl ins Quadrat ergibt eine ungerade Zahl.

III. Nun folgt eine Schlussfolgerung, eine sogenannte "äquivalente Implikation" mit: "Wenn Aussage A, dann Aussage B." und "Wenn Aussage B, dann auch Aussage A.":

(A ⇒ B) ^ (B ⇒ A) bzw. A ⇔ B

Da dies doch den Rahmen eines Einführungsvideos sprengt, hatten wir den Nachweis nicht in das Video eingebaut.

Mathe-Programme

Zur Lektion Irrationale Zahlen gibt es keine Lernprogramme.

Übungsaufgaben

Die nachfolgenden Aufgaben prüfen, ob ihr das Wissen aus dem Video zu den Irratoinalen Zahlen beherrscht. Viel Erfolg!

A: Grundlegende Fragen

1. Beschreibe die 3 Merkmale, an denen wir Irrationale Zahlen erkennen können. (Stichwörter: Bruch, Nachkommastellen)

2. Wie notiert man, dass eine Unbekannte x zu den Natürlichen Zahlen gehört?

3. Wie notiert man, dass eine Unbekannte x zu den Ganzen Zahlen gehört?

4. Wie notiert man, dass eine Unbekannte x zu den Rationalen Zahlen gehört?

5. Wie notiert man, dass eine Unbekannte x zu den Irrationalen Zahlen gehört?

6. Wie notiert man, dass eine Unbekannte x zu den Reellen Zahlen gehört?


B: Beweis der Irrationalen Zahlen

Versuche, den Beweis zu den Irrationalen Zahlen, den du im Video gesehen hast, jetzt selbst zu führen. Schreibe die einzelnen Schritte auf und schau, ob du es bis zum Ende schaffst!


C: Aufgaben zu Irrationalen Zahlen 1

Stelle fest, ob es sich bei den folgenden Zahlen um irrationale Zahlen handelt oder nicht. Schreibe auf, zu welcher Zahlenmenge die gegebene Zahl jeweils gehört.

1. Zahl 4

2. 3√8

3. √2

4. Kreiszahl π

5. √5

6. √(5·3)


D: Aufgaben zu Irrationalen Zahlen 2

1. Warum ist 0 keine irrationale Zahl?

2. Warum ist √4 keine irrationale Zahl?

3. Was unterscheidet die Reellen Zahlen von den Irrationalen Zahlen?

4. Nenne 3 eigene Beispiele für Irrationale Zahlen.

5. Können wir die letzte Nachkommastelle einer irrationalen Zahl berechnen?

6. Rationale und Irrationale Zahlen ergeben zusammen welche Zahlenmenge?

7. Multipliziert man eine Irrationale Zahl mit einer Irrationalen Zahl, dann ergibt sich stets eine Irrationale Zahl. Stimmt diese Aussage?

8. Welchen Zahlentyp erhältst du, wenn du eine irrationale und eine ganze Zahl miteinander addierst?

9. Zusatzaufgabe (schwierig): "Ist eine positive Zahl irrational, dann ist auch ihre Quadratwurzel irrational." Stimmt diese Aussage?


E: Aufgaben zu Irrationalen Zahlen 3

Welche der folgenden Dezimalzahlen ist irrational und welche rational?

1. 1,2345

2. 0,5000000000… (Periode 0)

3. 0,8888888…

4. 0,9999999…

5. 1,1111111…


F: Aufgaben zu Irrationalen Zahlen 4

Gib eine irrationale Zahl innerhalb der vorgegebenen Grenzen (Intervalle) an.
Tipp: Wurzeln aus Ganzen Zahlen, die keine Quadratzahlen sind, sind irrational.

1. ]4; 5[

2. ]1; 2[

3. ]4,5; 5,5[

Alle Lösungen im Lernzugang
Mathegigant - Mathewissen testen Teste dein Wissen bei Mathegigant

Untertitel

Sucht ihr nach einer bestimmten Stelle in den Videos? Dann sucht hier direkt in den Untertiteln.

Willkommen zur Lektion „Irrationale Zahlen“. Wir schauen uns an, was diese Zahlen sind und wo sie herkommen. Vorher wiederholen wir jedoch noch einmal die Zahlenmengen. Wir hatten ja bereits die natürlichen Zahlen kennengelernt. 1, 2, 3 und so weiter. Dann hatten wir die ganzen Zahlen kennen gelernt, also -1, -2 und so weiter, die ja die natürlichen Zahlen mit einschließen. Und wir hatten die rationalen Zahlen kennengelernt, das waren die Zahlen, die als Bruch schreibbar sind. Und klar, die ganzen Zahlen und die natürlichen Zahlen lassen sich als Bruch schreiben. Hier als Beispiel: -1 ist -1/1. Oder diese 3, kann man auch als 3/1 schreiben. Als nächstes kommen wir zu den irrationalen Zahlen, einer neuen Zahlenmenge. Wie sich diese ergibt, schauen wir uns im Folgenden an. Wir hatten gerade gesagt, rationale Zahlen sind als Bruch a/b darstellbar. Die irrationalen Zahlen hingegen sind nicht als Bruch darstellbar. Genau so eine Zahl wollen wir jetzt finden. Bedienen wir uns hier zu der Wurzeln. Wir hatten bei der Wurzel, zum Beispiel Wurzel 9, da kommt 3 heraus, da ja 3² wieder 9 ergibt. Was passiert denn, wenn wir die Wurzel aus der 2 ziehen? Nehmen wir hierzu den Taschenrechner und tippen ein: Wurzel aus 2 ist gleich 1,41421356237. Übernehmen wir den Wert. Und jetzt machen wir folgendes. Wir tippen genau diesen Wert wieder in den Taschenrechner ein. Also löschen und dann 1,41421356237 und da wir jetzt die Basis ausgerechnet haben, müssen wir sie quadrieren. Also zum Quadrat. Und wir erhalten nicht die 2, sondern 1,99999. Das heißt, dass unser Wert hier, den wir quadrieren, nicht zur 2 kommt, sondern zu einem anderen Wert. Hier stimmt also irgendetwas nicht. Das heißt also, offensichtlich ist dieser Wert hier gerundet, denn durch das Runden erhalten wir meist ungenaue Ergebnisse. Also ist diese Zahl hier nicht die Zahl, die quadriert werden muss, um auf 2 zu kommen. Prüfen wir daher als nächstes, ob Wurzel 2 wirklich zu den rationalen Zahlen gehört. Das heißt, ob die Wurzel 2 als Bruch darstellbar ist. Bevor wir jedoch starten, müssen wir eine Sache zu diesem Bruch hier festlegen. Zum einen vereinbaren wir, dass a und b ganze Zahlen sein müssen. Zum anderen legen wir fest, dass a und b voll gekürzt sind. Hier nochmal als Beispiel. Nehmen wir den Bruch 5/15, da erkennen wir, dass er nicht voll gekürzt ist, denn wir können jetzt oben und unten durch 5 teilen und dann kommt da raus 1/3. 1/3 hingegen ist voll gekürzt. Also, wenn wir noch mal einen zweiten Bruch hier hinzunehmen, zum Beispiel ¾, dann sehen wir, dieser Bruch lässt sich nicht kürzen. Nur durch 1 dividieren und das ist ja kein Kürzen. Das heißt wir erhalten wieder ¾. Und genau das soll für a/b gelten. Sie sollen beide voll gekürzt sein. Da dies wesentliche Voraussetzungen für unseren Nachweis ist, der gleich folgt, halten wir es hier rechts oben fest. Stellen wir als nächstes die Gleichung auf, dass die Wurzel 2 aus zwei ganzen Zahlen a und b bestehen soll. Also die Wurzel 2 soll als Bruch schreibbar sein. Dann lasst uns jetzt an dieser Stelle umformen. Wir wollen als erstes die Wurzel weghaben, dazu quadrieren wir auf beiden Seiten. Dann erhalten wir links Wurzel 2 ins Quadrat und hier rechts (a/b)². Dann wissen wir: Wurzel und Quadrat heben sich auf. Das heißt links bleibt die 2 übrig und rechts, das Quadrat können wir auf a und auf b ziehen. Das heißt hier steht dann a²/b². Als nächstes quadrieren wir b² auf beiden Seiten. Links steht dann 2 mal b² und rechts bleibt a² stehen. Wir haben also a² ist gleich 2 mal b². Und hier müssen wir folgendes überlegen: Wir erhalten immer eine gerade Zahl, hier mal als z dargestellt, wenn wir eine andere Zahl mit 2 multiplizieren. Hier mit k dargestellt. Also k mal eine Zahl wird immer eine gerade Zahl sein. Zum Beispiel 2 mal 1 wäre 2, oder 2 mal 5, das wäre 10 und so weiter. Wir erhalten also immer gerade Zahlen. Da wir hier oben stehen haben: 2 mal eine Zahl, dabei ist egal ob es ein Quadrat ist, heißt also, a² wird auf jeden Fall gerade sein. Und jetzt müssen wir uns noch eine Sache überlegen. Nimmt man eine beliebige gerade Zahl, quadriert man diese, so ist die quadrierte Zahl wieder eine gerade Zahl. Wer das nicht glaubt, kann sich das gerade mal herleiten: Die gerade Zahl ergibt sich ja aus 2 mal irgendeine Zahl. Also 2 mal k. Wenn wir jetzt beide Seiten quadrieren, dann steht da links z² und rechts (2 mal k)². Jetzt können wir die rechte Seite mal auflösen, dann steht, z² ist gleich 2 mal k mal 2 mal k. Und wenn wir jetzt die Klammern hier wegnehmen und dann noch k und k als k²schreiben, sehen wir, dass wir 2 mal einen Wert rechnen. Wir können hier auch noch kurz die Klammern setzen. Das heißt durch diese 2 mal ist z² auch wieder gerade. Also hier der Nachweis, dass wen z gerade ist auch dessen Quadrat gerade ist. Andersrum gesehen, wenn das z² gerade ist, dann ist auch z gerade. Wenn wir dieses Wissen auf das a² übertragen, heißt das, das a ebenfalls gerade ist. Blicken wir zurück auf unsere Formel und überlegen uns, wenn a eine gerade Zahl ist, dürfen wir sie auch als 2 mal k darstellen, denn eine gerade Zahl ergibt sich immer aus 2 mal eine andere Zahl. Und diese 2k setzen wir jetzt hier für a ein. Dann erhalten wir (2 mal k)² ist gleich 2 mal b². Wenn wir jetzt dieses Quadrat ausrechnen, steht da das Quadrat auf die 2 und auf das k gezogen und wir erhalten 2² mal k² ist gleich 2 mal b². Jetzt dividieren wir auf beiden Seiten durch 2. Das 2², das wissen wir, ist 4. Und 4 durch 2, kommt 2 heraus. Und auf der rechten Seite 2 mal b² durch 2, da bleibt nur b² stehen. Was wir jetzt erkennen, drehen wir mal die beiden Seite um und schreiben sie nochmals hin, dass sich b² aus 2 mal einen Wert ergibt. Das heißt b² ist auf jeden Fall gerade. Und genauso wie wir es bei a² gesagt hatten, dass a² gerade war und dann a gerade ist, ist bei einem b², das gerade ist, auch das b gerade. Mit anderen Worten, da gilt der gleiche Nachweis. Und jetzt können wir unsere Ergebnisse zusammenfassen. Wir hatten zu Beginn festgelegt, Wurzel 2 soll sein a/b und hatten durch die Äquivalenzumformungen schließlich festgestellt, dass a und b gerade sind. Das heißt a und b haben auf jeden Fall den Teiler 2, denn gerade Zahlen sind immer durch 2 teilbar. Jetzt erinnern wir uns an den Anfang der Lektion, da hatten wir gesagt, a und b sind voll gekürzt. Also durch nichts weiter teilbar als durch 1. Hier jedoch hatten wir gezeigt, dass a und b durch die Umformungen auch durch 2 teilbar wären. Das heißt hier gibt es einen Widerspruch. Und Widersprüche sind in der Mathematik nicht erlaubt. Mit anderen Worten: Wir finden keine ganze Zahlen a und b, die man als Bruch darstellen kann und die dann Wurzel 2 ergeben, bzw. Wurzel 2 kann nicht als a/b dargestellt werden. Und wir erhalten bei solchen Zahlen eine neue Zahlenmenge; die der irrationalen Zahlen, die wir am Anfang hier separat dargestellt hatten. Und man sagt, die irrationalen Zahlen und die Menge aller rationalen Zahlen ergibt dann die reellen Zahlen. Merken wir uns für die irrationalen Zahlen mit dem Zeichen I Strich, dass sie nicht als Bruch darstellbar sind, dass die im Taschenrechner angezeigte Lösung nicht vollständig ist, denn die Nachkommastellen sind in der Tat unendlich, das heißt sie gehen immer weiter ohne Ende und vor allem ihr werdet nie eine Periode finden. Also so etwas wie 1/3 mit dem Wert 0,3(Periode), wo sich immer die 3en wiederholen, werden wir hier nicht haben. Also wir sagen, eine irrationale Zahl ist nichtperiodisch. Natürlich gibt es neben der Wurzel 2 auch noch weitere irrationale Zahlen, wie zum Beispiel die Wurzel aus 3, die Wurzel aus 5, oder so etwas Schönes wie die Kreiszahl Pi. Merkt euch also zusammengefasst. Irrationale Zahlen sind nicht als Bruch darstellbar, sie haben unendlich viele Nachkommastellen, wobei die Nachkommastellen nicht periodisch sind. In diesem Zusammenhang. „irrational“ kommt aus dem Lateinischen. „ratio“ heißt „Berechnung“ und die Vorsilbe „ir“ heißt so viel wie „nicht“. Man will damit sagen: Irrationale Zahlen sind nicht komplett berechenbar bzw. kann man „ratio“ auch übersetzen als Verhältnis und es lässt sich sagen, irrationale Zahlen können sich nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen ausdrücken, also nicht als Bruch ausdrücken.
Tags: Beweis / Nachweis Irrationale Zahlen, Irrationalität, Reelle Zahl, Was sind Irrationale Zahlen, Wiederholung der Zahlenmengen (Natürliche Zahlen, Ganze Zahlen, Rationale Zahlen), Nachweis dass Wurzel Zwei nicht als Bruch darstellbar ist, Herleitung zu den Irrationalen Zahlen. Beweis der Irrationalität der Wurzel aus 2 bei Euklid. Reelle Zahlen bestehen aus Rationalen und Irrationalen Zahlen. Wurzel aus Zwei, Wurzel 2 ist irrational

Weitere Lektionen:

Themenauswahl:

Schreib uns deine Hinweise und Ideen

Zum Newsletter anmelden:

Kann jederzeit wieder abbestellt werden.