Mathe G09: Rechnen mit Kommazahlen (Dezimalbrüche)

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:

Klassenstufe laut Lehrplan: 5. - 6. Klasse

Mathe-Videos

Es lässt sich leider immer wieder feststellen, dass Schüler oft nur noch den Taschenrechner benutzen und nicht mehr wissen, wie man Kommazahlen mit Papier, Stift und Köpfchen eigentlich rechnet. Die folgenden Videos holen in Erinnerung, wie das Rechnen mit Komma funktioniert. Mit Kommas rechnen zu können, ist wesentliche Grundlage der Mathematik.

Weitere Videos stehen dir als Kunde zur Verfügung:

  • G09-1 Rechnen mit Kommazahlen - Einführung und Regeln

    Einführung zum Rechnen mit Kommazahlen, Bestandteile der Kommazahl, Regeln für die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Kommazahlen.

  • G09-2 Rechnen mit Kommazahlen - Rechenregeln + Dezimalbrüche

    Additionsregel und Multiplikationsregel erläutert, Dezimalbrüche (Dezimalzahlen), Umwandlung zwischen Kommazahl ↔ Bruch, Kommazahlen als Brüche rechnen.

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Wissen zur Lektion

Kommazahlen / Dezimalzahlen

Bevor wir uns anschauen, wie wir mit Kommazahlen rechnen können, sei erwähnt, dass diese auch unter dem Begriff "Dezimalzahlen" bekannt sind. "Dezimalzahlen", "Dezimalbrüche" und "Dezimalbruchzahlen" fassen wir in dieser Lektion unter dem Begriff Kommazahlen zusammen. Weitere Information hierzu findet ihr am Ende der Lektion.

Warum braucht man Kommazahlen?

Wenn ihr zum Beispiel eine ganze Zahl :10 mehrfach dividiert, so wird das Ergebnis immer kleiner bis es nicht mehr ganz ist. Mit jeder Division :10 springt das Komma eine Stelle nach links.

5000 : 10 = 500,0

500 : 10 = 50,0

50 : 10 = 5,0

5 : 10 = 0,5

0,5 : 10 = 0,05

Genauso springt das Komma mit jeder Multiplikation ·10 eine Stelle nach rechts, wie ihr hier gut erkennen könnt:

500,0 · 10 = 5000

50,0 · 10 = 500

5,0 · 10 = 50

0,5 · 10 = 5

0,05 · 10 = 0,5

Wichtig ist, dass ihr euch merkt, dass das Ergebnis einer Division stets gleich bleibt, wenn wir Dividend und Divisor mit der gleichen Zahl multiplizieren. Erinnert euch hier auch an das Erweitern bei den Brüchen, der Bruchwert bleibt unverändert, auch wenn wir erweitern oder kürzen. Hier ein Beispiel für die Kommazahlen:

$$ \begin{matrix} 10 & : & 5 & = & 2\\ \color{blue}{\downarrow \cdot 2} & & \color{blue}{\downarrow \cdot 2} & & \\20 & : & 10 & = & 2 \end{matrix} $$

Dies verallgemeinert:

$$ \begin{matrix} 10 & : & 5 & = & 2\\ \color{blue}{\downarrow \cdot x} & & \color{blue}{\downarrow \cdot x} & & \\10 \cdot x & : & 5 \cdot x & = & 2 \end{matrix} $$

Nun wollen wir eine Division durchführen, die kein ganzes Ergebnis haben kann. Mit dem neuen Wissen erweitern wir die Division auf :10 und tragen dann einfach das Komma ab, um auf die Lösung zu kommen:

$$ \begin{matrix} 1 & : & 2 & = & \\ \color{blue}{\downarrow \cdot 5} & & \color{blue}{\downarrow \cdot 5} & & \\5 & : & 10 & = & 0,5 \\ \color{blue}{\downarrow : 5} & & \color{blue}{\downarrow : 5} & & \\1 & : & 2 & = & 0,5 \end{matrix} $$

An dieser Stelle sei noch erwähnt, dass eine Division mit einer :100 oder :1000 usw. einer mehrfachen Division mit :10 entspricht. Wir verschieben also je Nullziffer das Komma einen nach links. Beispiel:

5000 : 1000 = 5000 : (10·10·10) = 5000 :10 :10 :10 = 500,0 :10 :10 = 50,00 :10 = 5,000 = 5

Addition von Kommazahlen

Wir können eine Kommazahl auseinandernehmen und die Addition stellenweise durchführen, hierzu sind die Zahlen am Komma ausgerichtet untereinander zu schreiben:

  1,23
+2,15
 
  3,38

Es kann auch zu einem sogenannten Übertrag kommen, wenn eine Addition von zwei Ziffern 10 oder mehr ergibt, dann wird ein Übertrag von 1 mit auf die nächste Stelle gezogen. Ein Beispiel hierzu:

  2,5789
+1,4555
  1,1110 Überträge
 
  4,0344

Subtraktion von Kommazahlen

Die Subtraktion ist die Umkehrung der Addition, aus diesem Grund gilt hier das Vorausgesagte ebenso: Zahlen am Komma ausgerichtet untereinander schreiben und stellenweise subtrahieren, zusätzlich Übertrage beachten.

 2,5789
-1,4599
-0,0100 Überträge
 
  1,1190

Multiplikation von Kommazahlen

Wenn wir Kommazahlen miteinander multiplizieren, können wir so umformen, dass ganze Zahlen entstehen. Nehmen wir 4 · 1,5 = ? Hier können wir 1,5 als 15:10 schreiben. Damit ergibt sich:

4 · 1,5 =
4 · 15:10 =
(4 · 15) : 10 =
60 : 10 = 6

Bei mehreren Nachkommastellen funktioniert dies ebenso:

4,25 · 1,55 =
425:100 · 155:100 =
425 · 155 :100 :100 =
65875 :100 :100 =
65875 :10 :10 :10 :10 =
6,5875

Kurz geschrieben 4,25 · 1,55 = 6,5875

Daher stammt auch die Regel, dass man die Nachkommastellen zählt, beide Faktoren als ganze Zahlen multipliziert und die Nachkommastellen dann zusammengezählt abträgt.

Wenn wir 0,3 · 0,4 berechnen sollen, so können wir das so rechnen:

(0,3) · (0,4) =
(3:10) · (4:10) =
3 · 4 : 10 : 10 =
3 · 4 : 100 =
12 : 100 =
0,12

Mit der gerade gelernten Regel: 3 · 4 = 12 und dann die zwei Kommastellen nach links abtragen: 12 → 0,12.

Division von Kommazahlen

Bei der Division multiplizieren wir Dividend und Divisor mit der gleichen Zahl, wir "erweitern" sozusagen auf ganze Zahlen (vgl. Brüche), dadurch ändert sich der Wert des Ergebnisses nicht. Ein Beispiel:

$$ \begin{matrix} 4,5 & : & 1,5 & = & \\ \color{blue}{\downarrow \cdot 10} & & \color{blue}{\downarrow \cdot 10} & & \\45 & : & 15 & = & 3 \\ \color{blue}{\downarrow : 10} & & \color{blue}{\downarrow : 10} & & \\4,5 & : & 1,5 & = & 3 \end{matrix} $$

Interessant wird es, wenn wir eine Aufgabe haben wie 0,8 : 2, dann können wir so rechnen:

$$ \begin{matrix} 0,8 & : & 2 & = & \\ \color{blue}{\downarrow \cdot 10} & & \color{blue}{\downarrow \cdot 10} & & \\8 & : & 20 & = & \\8 & : & (2 \cdot 10) & = & \\8 & : & 2 : 10 & = \\4 & : & 10 & =\\ 0,4 \end{matrix} $$

Schriftliche Division

In der Grundschule solltet ihr übrigens die schriftliche Division ausführlich geübt haben, hier noch einmal zur Erinnerung mit Kennzeichnung der Stellen:

Schriftliche Division

Schriftliche Multiplikation

Gleiches gilt für die schriftliche Multiplikation, so wie sie euch in der Schule begegnet sein müsste. Nachkommastellen zusammenzählen (wie unten: 2 N und 2 N) und beim Ergebnis eintragen (im Beispiel also 4 Nachkommastellen):

Schriftliche Multiplikation

Regel für Multiplikation in der Schule

Für die Multiplikation von Kommazahlen wird in der Schule meist folgende Regel angwendet:

  1. Nachkommastellen abzählen,
  2. dann die Zahlen ohne Komma multiplizieren und
  3. schließlich Nachkommastellen wieder abtragen.

Das heißt zum Beispiel anhand einer Aufgabe:

  1. bei 19,6 · 3,4 gibt es zwei Nachkommastellen
  2. dann ohne Komma rechnen 196·34 = 6664
  3. Jetzt zwei Nachkommastellen wieder abtragen: 6664 → 66,64 (also zwei Stellen von rechts nach links gehen + Komma setzen. D.h. Komma wieder zurückverschieben von 6664, zu 66,64).

Rechnerisch würde das übrigens so aussehen:
19,6 · 3,4 ist das Gleiche wie (196:10) · (34:10)
und folglich rechnet man
(196 · 34) : (10·10) = 6664 : 100 = 66,64

Null-Komma-Zahlen

Für eine Aufgabe wie zum Beispiel: 0,01 · 0,001 gilt übrigens das Gleiche. Ihr zählt die Nachkommastellen (hier sind es insgesamt 5) und multipliziert die beiden Zahlen zusammen: 1 · 1 = 1. Dann tragt ihr die 5 Nachkommastellen wieder ab, also von 1 fünf Mal nach links gehen und gleichzeitig Nullen setzen. Ihr erhaltet: 0,00001

Oder als Rechnung aufgeschrieben:
0,01 · 0,001 = 1:100 · 1:1000 = 1 · 1 : 100 : 1000
= 1 : 100 : 1000 = 0,01 : 1000 = 0,00001

Hier seht ihr auch, dass :1000 das Gleiche ist wie ·0,001:

0,01 · 0,001 = 1:100 · 1:1000 = 1 · 1 : 100 : 1000
= 1 : 100 : 1000 = 0,01 : 1000

... so wie wir es in der Lektion Bruchrechnung gesagt hatten.

Additionsregel

Vielleicht habt ihr euch gefragt, warum eigentlich die Additionsregel gilt, dass man Stellen einfach so untereinander addieren darf. Die Antwort findet ihr, wenn ihr die Zahl stellenweise auseinandernehmt und Summen bildet:

1,5 + 2,25 =
(1,0 + 0,5) + (2,00 + 0,20 + 0,05) =
1,0 + 0,5 + 2,00 + 0,20 + 0,05 =
1,0 + 2,0 + 0,5 + 0,2 + 0,05 =
3,0 + 0,7 + 0,05 =
3,75

  1,50
+2,25
 
  3,75

Dezimalbrüche

Grundsätzlich ist ein Dezimalbruch ein Bruch, der im Nenner eine 10, 100, 1000, ... (Zehnerpotenz) aufweist. Beispiel: 12/100

Jeder Dezimalbruch kann als Kommazahl geschrieben werden, 12/100 = 0,12. Daher meinen Lehrer oft Kommazahlen, wenn sie von Dezimalbrüchen sprechen. Aus diesem Grund findet man auch Definitionen wie: "Ein Dezimalbruch ist eine Bruchzahl, die mit einem Komma geschrieben wird. Zahlensystem ist dabei das Zehnersystem, sogenanntes Dezimalsystem."

Um Schüler nicht zu irritieren, empfehlen wir, statt "Dezimalbruch" (mit dem sofort ein Bruch assoziiert wird) das allgemeinere Wort "Kommazahl" zu nutzen. Mit "Kommazahl" wird deutlich, dass gebrochene Zahlen gemeint sind, die mit Komma geschrieben werden.

Definition Dezimalbruch: Ein Bruch, dessen Nenner eine Zehnerpotenz ist, zum Beispiel 9/1000. Er kann in Form einer Kommazahl geschrieben werden als 0,009. "Dezimalbruch" wird manchmal auch als Synonym für "Kommazahl" verwendet.

Definition Dezimalzahl: Eine Zahl aus unserem Zahlensystem (Dezimalsystem mit Ziffern 0 bis 9), zum Beispiel 1,5. Man sagt auch, eine Zahl in Dezimalschreibweise. Andere Schreibweisen wären z. B. Binärzahlen oder römische Zahlen. "Dezimalzahl" wird oft als Synonym für "Kommazahl" verwendet, was aber nicht ganz richtig ist, denn auch ganze Zahlen wie 5, 43, 109 usw. sind Dezimalzahlen.

Kommazahlen lassen sich in Brüche umwandeln und danach mit den Bruchregeln berechnen, Beispiel:

0,123 · 0,2 =
123/1000 · 2/10 =
123 · 2/1000 · 10 =
246/10000 =
0,0246

Hier ein Beispiel für die Division:

0,4 : 0,02 =
4/10 : 2/100 =
4/10 · 100/2 =
4 · 100/10 · 2 =
400/20 =
20

Mathe-Programme Kommazahlen

Mit diesem Lernprogramm könnt ihr zwei Kommazahlen miteinander addieren oder subtrahieren. Übertrag und Ergebnis werden automatisch berechnet:

  • Rechnen mit Kommazahlen
    Rechnen mit Kommazahlen
    Hier könnt ihr zwei Kommazahlen miteinander addieren oder subtrahieren, inklusive Übertrag und Ergebnis.
Weitere Lernprogramme aufrufen

Übungsaufgaben

Du fühlst Dich nun sicher mit den Kommazahlen? Dann berechne die folgenden Aufgaben ohne Taschenrechner!

A. Dividiere die natürlichen Zahlen und schreibe die Ergebnisse als Kommazahlen:

1. 1 : 2 =
2. 15 : 2 =
3. 5 : 2 =
4. 50 : 20 =
5. 200 : 250 =
6. 2 : 25 =
7. 100 : 1000 =
8. 1 : 20 =



B. Addiere die nachstehenden Kommazahlen:

1. 1,5 + 1,25 =
2. 0,25 + 0,85 =
3. 2 + 0,5 + 0,75 =
4. 150 + 1,5 + 0,15 =
5. 0,0002 + 0,1 =
6. 2,001 + 1,0202 =
7. 1 + 1,1 + 1,11 + 1,111 =
8. 12 + 144,15 + 0,02 =



C. Subtrahiere die folgenden Kommazahlen:

1. 11,3 - 0,3 =
2. 1,5 - 0,6 =
3. 22 - 10,5 =
4. 2,234 - 1,774 =
5. 0,02 - 0,01 - 0,001 =
6. 1,9 - 0,09 - 0,81 =
7. 100 - 1 - 1,1 - 1,2 =
8. 0,5 - 0,225 - 0,225 =



D. Multipliziere die folgenden Kommazahlen:

1. 2 · 0,2 =
2. 0,2 · 0,2 =
3. 0,2 · 0,04 =
4. 12 · 1,1 =
5. 2,12 · 1,1 =
6. 0,005 · 0,5 =
7. 100,01 · 0,01 =
8. 20 · 22,22 =



E. Dividiere die Kommazahlen bei den nächsten Aufgaben:

1. 5 : 2,5 =
2. 12,5 : 0,5 =
3. 2,5 : 0,25 =
4. 2,1 : 0,7 =
5. 2,1 : 0,07 =
6. 1,21 : 11 =
7. 0,655 : 0,5 =
8. 12,12 : 12 =



F. Die folgenden Anwendungsaufgaben lassen sich mit Hilfe der Kommazahlen lösen:

1. Die Preise für Schokolade stiegen dieses Jahr um das 1,3-fache an. 100 g haben letztes Jahr 0,90 Euro gekostet, wie viel kosten 100 g dieses Jahr?

2. Ein Zaun soll 1,6 mal so hoch gebaut werden wie das Eingangstor. Das Eingangstor hat eine Höhe von 1,50 m. Wie hoch wird der Zaun?

3. 5 Schüler der Klasse 9b haben 0,8 mal weniger Taschengeld als der Durchschnitt. Der Durchschnitt liegt bei 20 Euro je Monat. Wie viel Geld bekommt jeder der 5 Schüler?

4. Neuneinhalb Gefäße sollen mit Wasser gefüllt werden. In jedes Gefäß passen 1,5 Liter. Wie viel Liter passen insgesamt in alle Gefäße?

5. Wir verkaufen Kirschen auf einem Markt und bekommen in 30 min einmal 3,50 Euro, zweimal 4,90 Euro und einmal 5,50 Euro? Wie viel Euro haben wir verdient?

6. Wir wollen ein Hochhaus messen und wissen, dass dessen Etagen jeweils 2,20 m hoch sind. Wir zählen 15 Etagen. Wie hoch ist das Haus insgesamt?



G. Wandle den jeweiligen Bruch in eine Kommazahl um (Dezimalbruch, siehe auch Video Teil 2):

1. 5/10 =
2. 1/2 =
3. 6/8 =
4. 11/10 =
5. 12/20 =
6. 25/20 =


Die Übungsaufgaben findet ihr hier:

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Untertitel

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Video Teil 1: Kommazahlen

Willkommen zur Lektion „Rechnen mit Kommazahlen“. Im ersten Teil schauen wir uns an, wie Kommazahlen zustande kommen und wie man mit ihnen rechnet, danach schauen wir uns an, wie die Regeln überhaupt zustande kommen. Wir hatten in der Lektion „Brüche“ folgendes kennen gelernt. Wir hatten eine 1 durch 2 gehabt und die konnten wir nur als ½ darstellen. Mit Hilfe der Kommazahlen können wir das jedoch umgehen bzw. noch anders ausdrücken. Schreiben wir mal hin ist gleich und jetzt nehmen wir uns den Taschenrechner zu Hilfe. Dort tragen wir jetzt mal ein unsere Division 1 durch 2 ist gleich. Und hier steht jetzt 0,5, tragen wir die hier ein. Das heißt, wie kommt man von 1 durch 2 auf den Wert 0,5? Um das klären zu können, müssen wir uns folgendes vorstellen. Haben wir beispielsweise eine 5000 und dividieren diese durch 10, dann erhalten wir, richtig, 500. Nehmen wir wieder die 500 und teilen jetzt diese 500 durch 10, erhalten wir 50. Und nehmen wir di 50 hier runter, durch 10 und wir erhalten 5. Und jetzt, wenn wir die 5 hier hinschreiben und diese nun durch 10 rechnen, was wäre das für ein Ergebnis? Und hier hatten wir ja in den einzelnen Rechenschritten, immer hier hinten die 0 weggenommen. Doch hier bei der 5 lässt sich jetzt keine 0 mehr wegnehmen. Deshalb machen wir folgendes: Wir sagen, dass wir bei jeder Zahl ein Komma am Ende setzen können, also das sind ja ganze Zahlen 5000, 500, 50 und die 5. Und jetzt setzen wir einfach ein Komma hier hinten hin. Also 5000,0. Und ihr könnt auch beliebig viele Nullen hier hinten hinschreiben, letztendlich ist das wieder 5000. Gleiches machen wir bei der 500, also Komma 0. Bei der 50 und der 5. Und hier hinten bei den Ergebnissen machen wir das genauso. Und jetzt erkennen wir folgendes. Bei der 5000,0 ist das Komma eins nach links gesprungen, also hier, wenn das jetzt die 5000 wäre, haben wir das Komma genommen und es eins nach links gesetzt. Gleiches gilt hier unten bei der 500. Da stand das Komma da und dann haben wir es eins nach links gesetzt. Bei der 50 ebenfalls, da haben wir es eins nach links gesetzt. Und zwar immer, weil wir durch 10 gerechnet haben. Und jetzt haben wir hier die 5,0, schreiben wir die gerade noch hier hin und jetzt nehmen wir das Komma und setzen es, richtig, eins nach links. Und da eine Kommazahl hier vorne etwas stehen haben muss, schreiben wir hier die 0 hin und wir erhalten die 0,5. Das könnten wir jetzt so weitermachen, wenn wir jetzt hier die 0,5 hinschreiben und diese jetzt durch 10 rechnen, dann müssen wir folgendes machen, schreiben wir die 0,5 hier nochmal hin, nehmen uns das Komma und setzen es, richtig, eins nach links. Und dann müssen wir da die 0 hinschreiben. Und wir erhalten 0,05 als Ergebnis. Was wir also sehen ist, sobald wir durch 10 rechnen, springt unser Komma eins nach links. Die Frage ist nur, wie machen wir das rückgängig? Wie kommen wir jetzt von 500 auf 5000? Und richtig, da brauchen wir einfach nur 500 mal 10 zu rechnen. Denn 500 mal 10 sind 5000. Und 50 mal 10 ergibt 500. 5 mal 10 ergibt 50. Und jetzt 0,5 mal 10, dann erhalten wir ebenfalls unseren ursprünglichen Wert, die 5. Und als letztes 0,05 mal 10 und wir erhalten 0,5. In dieser Aufstellung sehen wir, dass jede mal 10, das Komma um eins nach rechts versetzt, also 500 ist hier zu finden und das Komma ist eins nach rechts zu springen und wir erhalten 5000. 50, das Komma eins nach rechts ist 500. Haben wir hier 5, Komma eins rechts ist 50. 0,5, Komma eins nach rechts ist die 5. 0,05, Komma eins nach rechts ergibt 0,5. Wir benötigen noch ein Wissensbaustein um die 1 durch 2 zu klären. Wenn wir eine Division haben, wie zum Beispiel 10 durch 5, wo ja 2 herauskommt, dann dürfen wir die 10 und die 5 verändern. Und zwar, wenn wir sie im gleichen Verhältnis verändern, bleibt das Ergebnis erhalten. Also wenn wir jetzt mal die 10 mit 2 multiplizieren, erhalten wir 20. Multiplizieren wir jetzt auch die 5 mal 2, erhalten wir 10. Und wenn wir jetzt 20 durch 10 rechnen, erhalten wir wieder 2. Das richtige Ergebnis. Also merkt euch bitte, wir dürfen den Dividenden und den Divisor mit derselben Zahl multiplizieren und unser Ergebnis bleibt erhalten. Und genau das machen wir jetzt mit 1 durch 2 unserer ½. Wir haben also 1 durch 2 hier zu stehen und wollen das jetzt mit einem Faktor multiplizieren. Und unser Ziel ist es hier hinten eine 10 zu haben. Um von 2 auf 10 zu kommen, müssen wir also mal 5 multiplizieren. Und dann natürlich auch die 1 mit der 5 multiplizieren. So erhalten wir als 5 durch 10 und das können wir jetzt als Kommazahl schreiben. Denn 5 durch 10, wie wir gelernt hatten, ist das ja 5,0 durch 10 und durch diese durch 10, springt das Komma, richtig, eins nach links. Wir erhalten also: Ist gleich 0,5. So sind wir also von 1 durch 2 auf das Ergebnis 0,5 gekommen und können das jetzt hier oben eintragen. Schauen wir nochmal zurück auf unsere vorige Aufstellung und hier erkennen wir noch etwas. Wir können anstatt jedes Mal durch 10 durch 10 durch 10 zu rechnen und jedes Mal nur einen Kommasprung zu machen auch gleich durch, zum Beispiel 1000, rechnen. Also wenn wir von 5000 auf die 5 kommen wollen, heißt das wir müssen durch 10 durch 10 durch 10 rechnen und wir kommen auf 5. Schreiben wir da hier nochmal hin: 5000 durch 10 durch 10 durch 10. Das heißt das Komma springt bei der einen 10 nach links, bei der zweiten 10 nach links und bei der dritten 10 nach links. Und wir erhalten 5,000, also 5. Diese Mehrfachdivision können wir auch als durch, und jetzt nicht 10, 10, 10, sondern durch 1000 schreiben und wir erhalten ebenfalls 5,0. Hier könnt ihr euch übrigens gut merken, wenn ihr durch eine Zehnerzahl dividiert, also 10, 100, 1000 usw., jede 0 steht dann für eine durch 10. Das heißt, wenn wir hier durch 1000 dividieren, können wir uns merken 1, 2, 3 Nullen, das heißt wir müssen das Komma bei der 5000 1, 2, 3 nach links setzen und wir kommen auf 5,0. Das als kleine Eselsbrücke. Als Fazit merkt euch bitte: Durch 10 heißt Komma nach links setzen und mal zehn heißt Komma nach rechts setzen. Gut, machen wir weiter. Schreiben wir eine Kommazahl hin, 1,5, und schauen uns deren Bestandteile an. Wir haben ein Komma hier und das Komma trennt einen vorderen und einen hinteren Teil. Der vordere Teil ist unser ganzer Teil. Das ist die 1. Und der hintere. Die Komma 5 ist der gebrochene Teil. Wir können also die 1,5 auch so hinschreiben, dass wir sagen, das ist die 1 und die 0,5. Der gebrochene Teil, sowie der ganze Teil. An dieser Stelle der Hinweis: In anderen Ländern schreibt man auch anstatt eines Kommas ein Punkt! Dann würde das also so dastehen. Für unsere Lektion jedoch, schreiben wir ein Komma.
Gut, wie können wir jetzt Kommazahlen miteinander verrechnen? Wir wollen sie addieren. Schauen wir uns also die Addition an. Die Additionsregel lautet bei den Kommazahlen. Schreibe die Zahlen mit dem Komma untereinander und addiere ihre einzelnen Stellen. Machen wir mal ein Beispiel hierzu. Wenn wir ganze Zahlen miteinander addieren. Wie zum Beispiel 12 plus 5, dann hatten wir gelernt, dass man die 2 und die 5 addiert zu 7 und dann an der nächsten Stelle. 1 und 0 ergibt 1. Man rechnet also die einzelnen Stellen, die Ziffern, miteinander zusammen und schreibt dann das Ergebnis unten hin. Es kann auch manchmal zu einem Übertrag kommen. Zum Beispiel wenn wir auf die 12 8 addieren. In diesem Fall ergibt sich der Übertrag 1. Und wir erhalten dann 1 plus 1 ist 2. Und unser Ergebnis ist dann 20. Bei Kommazahlen, nehmen wir mal. Nehmen wir mal 2,5 und die 1,4, sehen wir, dass wir 5 plus 4 9 rechnen, die Kommata untereinander schreiben und dann 2 plus 1 ist 3. Haben wir mehrere Kommastellen, zum Beispiel 2,5789, schreiben wir immer noch das Komma untereinander, so dass der ganze Teil vorne ist und der gebrochene Teil hinten. Und wir rechnen 9 plus 0 sind 9, 8 plus 0 sind 8, 7 plus 0 sind 7, 5 plus 4 sind 9, 2 plus 1 sind 3. Und das Komma dürfen wir nicht vergessen zu setzen. Auch hier gibt es Überträge. Machen wir mal aus der 1,4 eine 1,4555. Dann sehen wir 9 plus 4 sind 14. Die 4 tragen wir hier ein und die 1 von dieser 14 setzen wir hier als Übertrag. Berechnen wir die nächste Stelle. 8 plus 5 sind 13 plus den Übertrag 1 sind 14. Wir schreiben die 4 hin und nehmen die 1 wieder rüber. 7 plus 5 sind 12 plus 1 sind 13. Die 3 hier. Die 1 von den 13 in den Übertrag. Und dann 5 plus 4 sind 9 plus 1 sind 10. Die 0, die letzte Stelle von der 10 hier rein. Die 1 von der 10 in den Übertrag. Und wir rechnen 2 plus 1 sind 3 plus 1 sind 4, fertig ist unser Ergebnis. Die gleiche Regel gilt übrigens auch bei der Subtraktion, wir haben die Zahlen untereinander zu schreiben. Die Kommata untereinander und dann eben einzeln die Stellen subtrahieren. 9, 5, 4. 8 minus 5 sind 3. 7, 5, 2. 5, 4 ist 1. 2 minus 1 ist 1 und fertig ist das Ergebnis. Auch hier gibt es Überträge, wenn zum Beispiel die Ziffer der zweiten Zahl größer ist als die Ziffer der ersten Zahl. 9 minus 9 sind 0. Bei 8 minus 9 muss man sich hier eine 18 denken, das ist diese 1 hier und 18 minus 9 ist 9. Diese 1 haben wir sozusagen von dieser 7 schon genommen, von dieser Stelle und jetzt ziehen wir sie hier wieder ab. Also 7 minus 1 sind 6 minus 5 sind 1. Und 5 minus 4 sind 1. Und 2 minus 1 sind 1. Wie sieht es aus mit der Multiplikation? Rechnen wir zum Beispiel 4 mal 1,5. Dann können wir hier 4 mal 15 rechnen, also ohne die Kommas. Und 4 mal 15 sind 60 und müssen dann danach die Nachkommastellen abtragen. Wir haben hier eine Nachkommastelle, das heißt hier müssen wir eins nach links gehen und wir setzen das Komma hinter die 6. 4 mal 1,5 ist also 6. Hätten wir so etwas wie 4,2 mal 1,5, dann könnten wir jetzt rechnen 42 mal 15 und das ergibt 630 und dann müssen wir wieder die Nachkommastellen zählen. Hier eine und hier eine zweite. Das heißt wir müssen mit dem Komma zwei Stellen nach links springen. Eine Stelle, zweite Stelle. Unser Ergebnis ist also 6,3. Und hätten wir noch weitere Stellen wie zum Beispiel 4,25 mal 1,55, dann müssten wir wieder 425 mal 155 rechnen, das sind 65875. Und dann 1, 2, 3, 4 Nachkommastellen abtragen. Und wir erhalten 6,5875. Gut, wie sieht das aus bei der Division? haben wir 4,5 durch 1,5 und sollen das Ergebnis herausbekommen, dann erinnert euch daran, was wir zu Beginn der Lektion gesagt hatten. Wir dürfen den Dividenden und den Divisor jeweils mit einer Zahl multiplizieren und das Ergebnis bleibt gleich. Und hier multipliziert man ganz einfach mit der 10. Das heißt aus 4,5 und 1,5 werden dann, 4,5 mal 10, das Komma geht eins nach rechts, wir erhalten 45 und 1,5 mal 10, das Komma geht auch eins nach rechts und wir erhalten 15. Und 45 durch 15, wie oft steckt die 15 in der 45? Das ist insgesamt 3 mal. Unser Ergebnis heißt also, 4,5 durch 1,5 ist 3. Und im Gegensatz zur Multiplikation müssen wir bei der Division jetzt nicht die Nachkommastellen abzählen, die 3 ist unser fertiges Ergebnis. Nehmen wir noch ein zweites Beispiel und dividieren jetzt durch 0,05. Dann würde ja, wenn wir mit mal 10 multiplizieren hier unten eine 0,5 stehen. Da wir aber eine 5 hier stehen haben wollen, müssen wir nochmal mal 10 multiplizieren um das Komma noch eins nach rechts zu bringen, bzw. wir können hier gleich mal 100 rechnen. Dann wäre 0,05 mal 100 gleich 5. Aber aufpassen! Wenn wir hier mal 100 rechnen, müssen wir hier drüben auch mal 100 rechnen, da wir sonst ein falsches Ergebnis herausbekommen würden. Und 4,5 mal 100 ergibt 450. Und jetzt dürfen wir rechnen: 450 durch 5 und das ergibt 90. Das heißt hier oben kommt 90 heraus. Ein Spezialfall ist übrigens, wenn die vordere Zahl kleiner ist als die hintere Zahl, also zum Beispiel 0,8 durch 2. Wenn wir jetzt erweitern würden, wie wir es gerade gemacht haben, würden wir erhalten 0,8 mal 10 sind 8 und 2 mal 10 sind 20. An der Stelle hättet ihr das Problem, dass 8 durch 20 schwierig zu rechnen ist. Daher gibt es noch einen anderen Trick, den man hier anwenden kann, der wie folgt funktioniert. Wir dürfen bei der 8 eine 10 hineinmultiplizieren, wenn wir sie nachher beim Ergebnis wieder herausdividieren. Für 8 durch 20 dürfen wir die 8 jetzt mal 10 rechnen. Damit wir dann 80 erhalten. Und 80 durch 20 ist 4. Hier müssen wir jedoch die mal 10, die hier noch drinsteckt wieder rückgängig machen mit einer Division durch 10. Und 4 durch 10 sind, richtig 0,4. Das heißt 8 durch 20 sind 0,4. Wir merken uns, wenn wir im Dividenden mal 10 rechnen, müssen wir nachher beim Ergebnis wieder durch 10 rechnen. Und außerdem wir können den Dividenden mit jeder beliebigen Zahl multiplizieren, wenn wir diese Zahl nachher im Ergebnis wieder dividieren. Gut, soweit erstmal die Grundrechenarten. Schauen wir uns weiter an, warum einige dieser Regeln überhaupt funktionieren.

Video Teil 2: Kommazahlen

Betrachten wir uns die Addition als erstes nochmals gründlich. Wir haben hier ein Beispiel mit 1,5 plus 2,25 und das ergibt 3,75. Wir haben die Kommata untereinander geschrieben. Damit die Stellen links und rechts in eine richtige Reihenfolge gebracht. Und dann haben wir die Ziffern untereinander jeweils addiert. Warum dürfen wir das? Schauen wir nochmal hin: 1,5 plus 2,25 ist gleich 3,75. Und jetzt lasst uns doch die 1,5 mal auseinander nehmen. Denn 1,5 ist ja nichts weiter als 1,0 plus 0,5 bzw. 1 plus 0,5. Und diese plus 2,25 können wir auch schreiben als 2 plus 0,25. Und jetzt können wir die ganzen Teile. Also die 1 und die 2 nach vorne schreiben und die 0,5 und die 0,25 nach hinten. Und bei der 0,25 hier können wir auch die 5 abtrennen, mit plus 0,05. Dann sehen wir, dass wir auf der letzten Stelle die 5 addieren. Auf der nächsten Stelle die 5 und die 2 zur 7. Und auf der ersten Stelle, die 1 und die 2 zur 3. Wie wir sehen können, haben wir die einzelnen Stellen miteinander addiert, so wie wir es auch in der Additionsregel anwenden. Überträge kommen übrigens zustande, wenn wir hier zum Beispiel keine 2, sondern eine 7 stehen würde. Das Ergebnis, schauen wir noch mal zum Programm, wäre dann, mit 2,75 4,25. Und hier wird euch schon ein Übertrag angezeigt. Das heißt, wenn wir jetzt die 2,75 auftrennen, haben wir die 0,75 zu stehen und hier dann die 0,7 plus 0,05. Und dann sehen wir 0,5 plus 0,7 ist 1,2. Also die beiden fallen zusammen zu 1,2. Wodurch wir ja auf der Einerstelle plus 1 haben. Also die plus 1 können wir jetzt auch wieder trennen in 1 plus die 0,2. Somit springt vorne zu 1 plus 2 noch eine weitere 1 und wir erhalten die 4. Hinten bleibt die 2 alleine zurück. Und dann, das haben wir nicht verändert, die 5. Und wir erhalten 4,25. Schauen wir uns nochmal die Multiplikationsregel an. Wir hatten ja gesagt, wenn wir so etwas rechnen wie 0,4 mal 2,5 rechnen wir einfach ohne Komma, also 4 mal 25. Das ergibt 100. Und anschließend tragen wir die Nachkommastellen ab. Hier ist eine. Hier ist eine zweite. Also springen wir mit dem Komma. 1, 2 nach links. Und bei der Aufgabe kommt ein schönes Ergebnis raus: 1,0. Warum funktioniert das? Schauen wir mal: Wir können uns die 0,4 auch denken als 4 durch 10. Denn durch die durch 10, springt ja das Komma wieder nach vorne und wir hätten die 0,4. Und die 2,5 können wir uns denken als 25 durch 10. So erhalten wir also 4 mal 25 durch 10 durch 10. Und dann können wir natürlich rechnen: 4 mal 25, so wie wir es oben gemacht hatten, sind 100. Und das ist die eine Nachkommastelle und das ist die zweite Nachkommastelle, bzw. durch diese durch 10 springt das Komma eins nach links, dann können wir die hier wegnehmen und durch diese 10 springt das Komma ein weiteres Mal nach links und wir haben unser Ergebnis. Aus diesem Grund ist es uns erlaubt ohne die Kommas zu multiplizieren und anschließend die Kommas wieder abzutragen, so dass wir das richtige Ergebnis erhalten.
Noch ein paar Hinweise zum Schluss. Wenn ihr euch ein Buch zur Hand nehmt, werden Kommazahlen oft als Dezimalbrüche bezeichnet, also so eine Zahl wie 0,5 heißt dann dort Dezimalbruch. Dies wird so bezeichnet, da man aus einer endlichen Kommazahl immer ein Bruch machen kann. Also 0,5 könnten wir auch schreiben als 5 durch 10. Und na klar, erinnern wir uns an die Brüche, das sind dann 5/10. Ein Dezimalbruch, da unten eine 10 im Nenner steht. Und das könnt ihr mit beliebigen Zahlen machen. Hier könnte auch eine 1,234 stehen. Dann wären das 1,234, also 1234 durch 1000, erinnert euch, für jede 0 springt das Komma eins nach links, also 1, 2, 3 1,234 wie es hier steht und das können wir jetzt natürlich als Dezimalbruch schreiben. Wie gesagt, das ist mit allen rationalen Zahlen möglich. Und solltet ihr mal einen Bruch in eine Kommazahl umwandeln. Nehmen wir mal ½. Dann würden natürlich viele, wie wir es am Anfang der Lektion gesehen hatten 1 durch 2 ausrechnen mit dem Taschenrechner und 0,5 erhalten. Doch bei manchen Aufgaben sollt ihr dann noch den Dezimalbruch dazwischen schalten. Das heißt wir müssen die ½ so erweitern, dass da 1/10 unten steht und das machen wir mit der 5. So erhalten wir dann als Dezimalbruch 5/10, also unsere 0,5. Und hier steckt übrigens genau das drin, was wir zu Beginn der Lektion gemacht hatten. Wir hatten die 1 durch 2 jeweils mit 5 multipliziert zu 5 durch 10 und dann daraus die 0,5 erhalten. Hier ist es also in Bruchschreibweise dargestellt. Und bitte merkt euch, dass Kommazahlen wie gesagt als Dezimalbrüche bezeichnet werden, aber auch als Dezimalzahlen und manchmal auch als Dezimalbruchzahlen. Um jedoch keine Verwirrung zu stiften, haben wir sie Kommazahlen genannt. Und noch als wesentlicher Hinweis, da endliche Kommazahlen als Brüche geschrieben werden können, dürfen wir auch jede Rechnung mit Kommazahlen als Bruch rechnen. Ein Beispiel für die Addition: 0,123 plus 0,2. Das können wir jetzt in Dezimalbrüche umwandeln, also 123 durch 1000 wäre die erste Zahl und die nächste Zahl wäre 2 durch 10. In Bruchschreibweise: 123/1000 plus 2/10, dann wie wir es bei den Brüchen gelernt haben, können wir jetzt die 2/10 erweitern, dass wir hier auf Tausendstel kommen und die beiden Brüche addieren dürfen. Das heißt wir erweitern hier mit 100, so steht dann hier 200/1000. Und wir dürfen jetzt Zähler zusammen addieren. 123 plus 200 sind 323. Und natürlich Tausendstel. Und schreiben wir den Dezimalbruch jetzt als Division oben hin 323 durch 1000, was wiederum heißt, wir nehmen das Komma und setzen es 1, 2, dreimal nach links. Also 1, 2, dreimal und die 0 davor. Und wir erhalten 0,323 als Ergebnis. Bei der Subtraktion dürfen wir auch diese Regel der Bruchrechnung anwenden. Bei der Multiplikation dürfen wir sie ebenfalls anwenden. Also Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner, dann erhalten wir 123 mal 2 durch 1000 mal 10 und das ergibt 246/10000. Das wieder hierhin geschrieben als Division und dann wieder das Komma abgetragen und zwar 1, 2, 3, viermal, das heißt wir springe 1, 2, 3, jetzt aufpassen mit den Nullen, viermal nach links, also erhalten 0,0246. Und hier sehen wir auch die Regel, wir multiplizieren die Zahlen ohne Komma, also 123 mal 2, sind 246. Und tragen dann die Anzahl der Nachkommastellen ab. 1, 2, 3 und hier die vierte Nachkommastelle. 1, 2, 3, 4 Nachkommstellen abgetragen bzw. das Komma versetzt um 4 Stellen. Und natürlich jetzt noch die Division. Nochmal am Beispiel 0,4 durch 0,02. 0,4 sind 4/10. 0,02 sind 2/100 und beide in Division. Das heißt bei den Bruchrechenregeln hatten wir gelernt, Zähler und Nenner tauschen ihren Platz und wir multiplizieren. Dann steht hier 4/10 mal 100/2. Und wir rechnen Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner. Das heißt wir erhalten 4 mal 100 und dann die 10 mal 2. Und daraus ergibt sich 400/20. Und 400 durch 20, das sind 20, das Ergebnis unserer Division. Und hier empfehlen wir immer noch die Probe zu machen, ob das Ergebnis denn auch stimmt. Ihr multipliziert ganz einfach die 20 mit den 0,02 und da muss die 0,4 rauskommen. Also Probe: 0,02 mal 20. Das heißt wir rechnen 2 mal 20, das ergibt 40. Und dann noch zwei Nachkommastellen nach links und wir erhalten 0,4 unser Dividend. Die Aufgabe ist damit richtig und gelöst. Selbstverständlich dürft ihr auch jederzeit den Taschenrechner wählen, als Hilfsmittel, und mit ihm die Aufgaben lösen. Wie zum Beispiel dieses hier und wir erhalten 20. Eine Möglichkeit der Probe und Kontrolle. Nur wichtig ist, dass ihr auch mit Komma rechnen könnt, falls der Taschenrechner einmal nicht funktionieren sollte. Also übt fleißig mit den Kommazahlen und werdet sicherer.
Tags: Nachkommazahl, Kommazahl, Division, Treppendivision, Dezimalzahl, Dezimalbrüche, Dezimalbruchzahlen

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