Mathe G28: Wurzelgleichungen

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 9. - 10. Klasse

Mathe-Videos

Die Lektion Wurzelgleichungen besteht aus 5 Mathe-Videos, in denen wir euch zeigen, wie ihr Wurzelgleichungen schnell lösen könnt und auf welche Besonderheiten ihr beim Lösen achten müsst. Zusätzlich wird im Teil 5 erklärt, wie der Wert einer Wurzel berechnet werden kann.

Weitere Videos stehen dir als Kunde zur Verfügung:

  • G28-1 Wurzelgleichungen - Einführung, Definitionsmenge

    Wiederholung der wichtigsten Regeln zu den Wurzeln. Einführung Wurzelgleichung und Lösung von 3 = √(x+5) mittels Quadrieren. Definitionsmenge festlegen, da Radikand nicht negativ werden darf. Pflichtprobe bei Wurzeln. Lösung der Gleichungen √(3·x) = √(14+x) und √(15-2·x) + 1 = 3,5 mit Proben.

  • G28-2 Wurzelgleichungen - Lösen mit p-q-Formel, Wurzel-Ambiguität

    Lösung der Wurzelgleichung 1+x=√(4-x) mit Hilfe der p-q-Formel. Ambiguität (Zweideutigkeit) der Wurzel und Scheinlösungen. Lösungsmenge bei Wurzelgleichungen. Quadratwurzel führt immer zu postivem Ergebnis.

  • G28-3 Wurzelgleichungen - Lösungsschritte, Lösen mit Graphen

    Lösungsschritte für Wurzelgleichungen. Lösung der Gleichung 4·√(x)=100 sowie 3·√(x-16)=√(20+x) und √(3+x)=x+5. Wurzelgleichungen lösen über Deutung als Funktionsgraphen und Schnittpunkt finden. Lösung von √(3+x)=x über Funktionsgraphen.

  • G28-4 Wurzelgleichungen - Verschachtelte Wurzeln, 4. Wurzel

    Lösung einer Wurzelgleichung mit verschachtelter Wurzel: √(-x + √(-x+5)) = 4 mit p-q-Formel. Lösung einer Gleichung mit 4. Wurzel: √(3x+3)=^4√(-9x) mit Potenzierung. Wurzelgleichung mit 2. und 3. Wurzel durch Umwandlung in Potenzen.

  • G28-5 Wurzelgleichungen - Wurzeln selbst berechnen

    Wurzeln mittels Intervallschachtelung berechnen, Methode 1: Annäherung an die Grenze über weitere Nachkommastellen, Methode 2: Annäherung über den Mittelwert aus den Grenzen. Heron-Verfahren zur Bestimmung des Wurzelwertes inklusive geometrischer Deutung.

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Wissen zur Lektion

Wiederholung der Wurzeln

Wurzeln haben die Form:

$$ \sqrt [ a ]{ b } =\quad c $$

a nennt man Wurzelexponent.

b nennt man Radikand.

c nennt man Wurzelwert.

Einige wichtige Rechenregeln für Wurzeln haben wir bereits kennengelernt, sie lauten:

$$ \sqrt [ 2 ]{ x } \quad =\quad \sqrt { x } \\ \sqrt [ a ]{ { x }^{ a } } \quad =\quad x\\ \sqrt [ a ]{ { x }^{ b } } \quad =\quad { x }^{ \frac { b }{ a } }\\ \sqrt [ a ]{ { x } } \quad =\quad { x }^{ \frac { 1 }{ a } } $$

Einfache Wurzelgleichungen lösen

1. Beispiel:

Nehmen wir zunächst einmal die Gleichung 3 = 3 und bauen uns aus dieser Gleichung eine Wurzelgleichung. Wir wissen, dass 3·3 = 9 ist und können deswegen auf folgendes schließen:

$$ 3\quad =\quad \sqrt { 9 } $$

Teilen wir jetzt die 9 auf in 9 = 4 + 5 und verstecken die 4, indem wir sie durch ein x ersetzen, so erhalten wir:

$$ 3\quad =\quad \sqrt { 4+5 } \\ 3\quad =\quad \sqrt { x+5 }$$

Wir wissen, dass x = 4 die Gleichung löst. Gehen wir davon aus, dass wir die Lösung dieser Gleichung nicht kennen. Welche Werte könnte x überhaupt annehmen, ohne, dass es zu Problemen kommt. Wir wissen, dass unter der Wurzel (der Radikand) nichts Negatives stehen darf. Also schauen wir uns an, für welche x die Wurzel keinen negativen Ausdruck beinhaltet.

Wir sehen direkt, dass x alle reellen Zahlen annehmen kann, die größer gleich (-5) sind, ohne dass wir Probleme mit der Wurzel bekommen.

Was wir gerade bestimmt haben, nennt man Definitionsmenge. Unsere Aussage schreibt man wie folgt auf:

D = { x ϵ ℝ | x ≥ -5 }

Das heißt so viel wie: Die Definitionsmenge besteht aus allen reellen Zahlen unter der Bedingung, dass x größer gleich (-5) ist.

Möchten wir unsere Gleichung jetzt auflösen, so müssen wir die Gleichung nach x umformen. Uns stört hier jedoch die Wurzel. Wir beseitigen die Wurzel, indem wir beide Seiten quadrieren:

$$ 3\quad =\quad \sqrt { x+5 } \quad |\quad { () }^{ 2 }\\ { 3 }^{ 2 }\quad =\quad { (\sqrt { x+5 } ) }^{ 2 }\\ 9\quad =\quad x\quad +5\quad $$

Wir können diese Gleichung nun wie bereits bekannt auflösen:

$$ 9\quad =\quad x\quad +5\quad |\quad -5\\ x\quad =\quad 4 $$

Wichtig ist jetzt, dass wir unsere Lösung überprüfen. Denn es kann sein, dass unsere Lösung nicht in der Definitionsmenge liegt. Somit wäre unsere vermeintliche Lösung gar keine echte Lösung der Gleichung. Also machen wir die Probe und setzen x = 4 ein:

$$ 3\quad =\quad \sqrt { 4+5 } \quad \\ 3\quad =\quad \sqrt { 9 } \\ 3\quad =\quad 3\\ $$

Unsere Lösung ist also wirklich eine Lösung.

2. Beispiel:

Schauen wir uns jetzt eine andere Wurzelgleichung an:

$$\sqrt { 3·x } =\sqrt { 14\quad +\quad x }$$

Wir haben auf beiden Seiten eine Wurzel stehen. Lösen wir diese Gleichung auf, so quadrieren wir wieder beide Seiten und formen anschließend nach x um:

$$ \begin{align} &\sqrt{3·x} = \sqrt { 14+x } &\vert { () }^{ 2 } \\ &{ (\sqrt { 3·x } ) }^{ 2 } = { (\sqrt { 14+x } ) }^{ 2 } \\ &3·x = 14 + x &\vert -x \\ &2·x = 14 &\vert :2 \\ &x = 7 \end{align} $$

Machen wir auch hier die Probe, so erhalten wir:

$$ \sqrt{3·x} = \sqrt { 14+x } \quad\vert x=3 \\ \sqrt { 3·7 } = \sqrt { 14 + 7 } \\ \sqrt { 21 } = \sqrt { 21 } \\ $$

Unsere Lösung ist also wirklich eine Lösung.

Auch hier können wir die Definitionsmenge bestimmen. Für unsere Definitionsmenge dürfen wir nun in beiden Wurzeln keine Probleme erhalten. Wir haben also auf der linken Seite der Gleichung die Definitionsmenge:
D = { x ϵ ℝ | x ≥ 0 }

Auf der rechten Seite der Gleichung haben wir die Definitionsmenge:

D = { x ϵ ℝ | x ≥ -14 }

Wir müssen aber eine Definitionsmenge für die gesamte Gleichung angeben. Diese finden wir, wenn wir uns anschauen, welche Werte für x in beiden Definitionsmengen liegen. Zum einen x ≥ 0 und zum anderen x ≥ -14. Unsere Definitionsmenge für die gesamte Gleichung ist somit:

D = { x ϵ ℝ | x ≥ 0 }

3. Beispiel:

Lösen wir noch eine dritte Wurzelgleichung:

$$ \sqrt { 15 - 2·x } + 1 = 3,5 $$

Wir können jetzt nicht einfach direkt beide Seiten quadrieren. Wenn wir dies machen würden, so müssten wir die binomische Formel auf der linken Seite der Gleichung anwenden. Das würde unser Problem nicht lösen, da immer noch eine Wurzel enthalten sein würde.

Was wir machen müssen ist ganz simpel. Wir subtrahieren von beiden Seiten den Wert 1. Somit haben wir den Wurzelausdruck alleine auf einer Seite stehen. Wir können dann ganz normal weiter machen:

$$ \begin{align} \sqrt { 15 - 2·x } + 1 = 3,5 &\quad\vert -1 \\ \sqrt { 15 - 2·x } = 2,5 &\quad\vert { () }^{ 2 } \\ 15 - 2·x = 6,25 &\quad\vert -15 \\ -2·x = -8,75 &\quad\vert :(-2) \\ x = 4,375 \end{align} $$

Auch hier machen wir wieder die Probe, indem wir x= 4,375 einsetzen:

$$ \sqrt { 15 - 2·4,375 } + 1 = 3,5\\ \sqrt { 15 - 8,75 } + 1 = 3,5\\ \sqrt { 6,25 } + 1 = 3,5\\ 2,5+1 = 3,5\\ 3,5 = 3,5 $$ Unsere Gleichung ist wahr, also ist unsere Lösung auch richtig.

Wichtigkeit der Probe / Scheinlösungen

Bei den vorherigen Beispielen ist die Probe am Ende immer aufgegangen. An den folgenden Beispielen werden wir sehen, warum wir überhaupt eine Probe durchführen müssen und dass diese Probe nicht immer funktioniert.

1. Beispiel

$$ 1+x = \sqrt { 4 - x } $$

Wir verfahren genau so wie bei den anderen Beispielen:

$$ 1+x = \sqrt { 4 - x } \qquad |{ () }^{ 2 }\\ { (1+x) }^{ 2 } = { (\sqrt { 4 - x } ) }^{ 2 } $$

Auf der linken Seite wenden wir nun die binomische Formel an:

$$ \\ 1 + 2·x + { x }^{ 2 }= { 4 - x } $$

Wir bringen die rechte Seite auf die linke Seite und ändern anschließend die Reihenfolge der Summanden:

$$ 1 + 2·x + { x }^{ 2 } = { 4 - x } \qquad |-(4-x)\\ 1 + 2·x + { x }^{ 2 } - 4 + x = 0\\ { x }^{ 2 } + 3·x - 3 = 0 $$

Jetzt sehen wir, dass wir die pq-Formel anwenden können mit p = 3 und q = -3.

$$ { x }_{ 1,2 } = -\frac { 3 }{ 2 } \pm \sqrt { ({ \frac { 3 }{ 2 } ) }^{ 2 } - (-3) } \\ { x }_{ 1,2 } = -\frac{ 3 }{ 2 } \pm \sqrt { 5,25 } $$

Wir nehmen jetzt den Taschenrechner zur Hilfe um die Wurzel zu berechnen und erhalten:

$$ { x }_{ 1 } \approx 0,791 \\ { x }_{ 2 } \approx -3,791 $$

Machen wir mit beiden eventuellen Lösungen jetzt die Probe (auch hier müssen wir den Taschenrechner benutzen):

$$ 1 + x = \sqrt { 4 - x } \qquad | x = 0,791 \\ 1 + 0,791 = \sqrt { 4 - 0,791 } \\ 1,791 = \sqrt { 3,209 } \\ 1,791 = 1,791 $$

x1 = 0,791 ist also eine korrekte Lösung der Gleichung.

Anmerkung: Eigentlich hätten wir hier mit dem nicht gerundeten Wert rechnen müssen, also einsetzen von x1 = (-3/2 + √5,25), da die √3,209 nicht exakt 1,791 ergibt. Der Einfachheit halber haben wir oben jedoch den gerundeten Wert gewählt.

Jetzt fehlt noch die Probe mit der 2. Lösung x2 = -3,791:

$$ 1 - 3,791 = \sqrt { 4 + 3,791 } \\ -2,791 = \sqrt { 7,791 } \\ -2,791 \neq 2,791 $$

Wir sehen, dass unsere zweite angebliche Lösung die Gleichung nicht löst.

Als Lösung haben wir also nur x1 = 0,791.

Warum kommt es zu zwei Lösungen?

Warum ist es überhaupt möglich, dass wir zwei Lösungen erhalten können? Betrachten wir dazu folgende Gleichung:

$$ { (-5) }^{ 2 } = 25 $$

Wir setzen x = (-5) und verstecken damit unsere (-5):

$${ x }^{ 2 } = 25 $$

Wenn wir das auflösen wollen, so ziehen wir die Wurzel auf beiden Seiten. Da aber die Wurzel einer positiven Zahl immer positiv ist, erhalten wir:

$${ x }^{ 2 } = 25 \quad |\sqrt { \quad } \\ x = 5 $$

Unser x war ursprünglich jedoch (-5). Deshalb müssen wir, wenn wir bei solchen Gleichung die Wurzel ziehen, vor die Wurzel ein ± setzen. Wir haben also die Lösung:

$$ { x }^{ 2 } = 25 \quad |\pm \sqrt { \quad } \\ x = \pm \sqrt {25} \\ x = 5 \quad \text{oder} \quad x = -5 $$

In diesen Fällen spricht man auch von der Ambiguität (Zweideutigkeit) der Wurzel. Wir sehen also, dass wenn wir quadrieren, wir immer ein positives Ergebnis erhalten. Wollen wir dies nun mit der Wurzel rückgängig machen, so erhalten wir unter Umständen nicht den ursprünglichen Wert.

Es ist also wichtig, jedes Mal die Probe zu machen.

2. Beispiel

$$ \sqrt { x + 20 } = -5 $$

Wir werden sehen, dass wir bei diesem Beispiel keine Lösung erhalten. Versuchen wir diese Gleichung zu lösen:

$$ \sqrt { x + 20 } = -5 \quad |{ () }^{ 2 }\\ x + 20 = 25 \quad \quad | -20\\ x = 5 $$

Wir erhalten also x = 5 als Lösung. Diese Lösung nennt man eine Scheinlösung. Warum wir die Lösung so nennen, sehen wir bei der Probe:

$$\sqrt { x + 20 } = -5 \\ \sqrt { 5 + 20 } = -5 \\ \sqrt { 25 } \neq -5 \\ 5 \neq -5 $$

Die Lösung scheint also nur richtig zu sein, ist es jedoch nicht, wie die Probe bestätigt hat. Die Gleichung hat in Wirklichkeit keine Lösung.

Wir halten dann die leere Lösungsmenge fest mit: L= { }

3. Beispiel

Einen weiteren Fall sehen wir in diesem Beispiel:

$$ \sqrt { 2·x } = \sqrt { x - 1 } $$

Lösen wir dies einmal auf:

$$ \sqrt { 2·x } = \sqrt { x - 1 } \quad |{ () }^{ 2 }\\ 2·x = x-1 \quad \quad |-x \\ x = -1 $$

Auch hier überprüfen wir, ob unsere Lösung richtig ist oder ob nur eine Scheinlösung vorliegt. Wir setzen x = (-1) ein:

$$ \sqrt { 2·x } = \sqrt { x - 1 } \quad | x = -1 \\ \sqrt { 2·(-1) } = \sqrt { (-1) - 1 } \\ \sqrt { -2 } = \sqrt { -2 } $$

Da eine Wurzel aus einem negativen Wert nicht definiert ist, geht unsere Gleichung nicht auf. Unsere Lösung ist also wieder nur eine Scheinlösung. Wir haben somit keine Lösung, also L = { }

Schwierigere Wurzelgleichungen

Auch hier machen wir uns das Lösungsverfahren noch an zwei anspruchsvolleren Gleichungen anschaulich.

1. Beispiel

$$ 4·\sqrt { x } = 100\\ $$

Wir können die Wurzel wieder isolieren, in dem wir beide Seiten durch 4 teilen:

$$4·\sqrt { x } = 100 \quad |:4\\ \sqrt { x } = 25 $$

Dies können wir ganz einfach auflösen. Wir erhalten, nachdem wir quadriert haben:

$$ x = 625 $$

Die Probe zeigt uns, dass unsere Lösung richtig ist:

$$ 4·\sqrt { 625 } = 100\\ 4·25 = 100 \\ 100 = 100 $$

2. Beispiel

$$ 3·\sqrt { x - 16 } = \sqrt { 20 + x } $$

Wir können den Vorfaktor auf der linken Seite nicht einfach entfernen. Wir quadrieren zuerst beide Seiten:

$$ 3·\sqrt { x - 16 } = \sqrt { 20 + x } \quad |{ () }^{ 2 } \\ { (3·\sqrt { x - 16 } ) }^{ 2 } = { (\sqrt { 20 + x } ) }^{ 2 } $$

Wir wenden nunmehr folgendes Potenzgesetz an:

$$ { (a·b) }^{ 2 }= { a }^{ 2 }{ b }^{ 2 } $$

Und erhalten somit:

$$ 3^2·(\sqrt{ x - 16 })^2 = { (\sqrt { 20 + x } ) }^{ 2 } \\ 9·(x - 16) = 20 + x \\ 9·x - 144 = 20 + x \quad |+144 \\ 9·x = 164 + x \quad |-x \\ 8·x = 164 \quad |:8 \\ x = 20,5 $$

Als mögliches Ergebnis haben wir also x = 20,5.

Machen wir auch hier die Probe:

$$ 3·\sqrt { x - 16 } = \sqrt { 20 + x } \quad |x=20,5\\ 3·\sqrt { 20,5 - 16 } = \sqrt { 20 + 20,5 } \\ 3·\sqrt { 4,5 } = \sqrt { 40,5 } \\ 6,364 = 6,364 $$

Unser Ergebnis löst die Gleichung also.

Grafische Lösung

Wenn wir eine Wurzelgleichung vorzuliegen haben, können wir uns auch vorstellen, dass wir zwei Funktionsgleichungen (Linksterm = Rechtsterm) miteinander gleichgesetzt haben. Das macht man im Allgemeinen, wenn man den Schnittpunkt zweier Funktionen bestimmen möchte. Schauen wir uns das genauer an:

$$ \sqrt { 3 + x } = x + 5 $$

In diesem Beispiel wäre dann:
$$ f(x) = \sqrt { 3 + x } \\ g(x) = x + 5 $$

Betrachten wir die dazugehörigen Graphen:

wurzelfunktionen zwei graphen

Wir sehen, dass die Funktionen keinen Schnittpunkt haben. Wenn wir die Gleichung also mit unserem Verfahren auflösen, würden wir mit der Probe erkennen, dass die Gleichung keine Lösung besitzt.

Ändern wir die Gleichung zu:

$$ \sqrt { 3 + x } = x $$

Als Schnittpunktberechnung zweier Funktionen betrachtet, wäre dies:

$$ f(x) = \sqrt { 3 + x } \\ g(x) = x $$

Die Graphen dazu:

wurzelfunktionen mit schnittpunkt

Wir sehen, dass die Graphen sich schneiden. Es muss also eine Lösung existieren. Versuchen wir abzulesen, wo diese Lösung ungefähr liegt, bei etwa x = 2,3.

Rechnen wir nach:

$$\sqrt { 3 + x } = x \quad |{ () }^{ 2 } \\ 3 + x = { x }^{ 2 } \quad |-(3 + x) \\ { x }^{ 2 }- x - 3 = 0 $$

Wenden wir die pq-Formel an:

$$ { x }_{ 1,2 } = -(\frac { -1 }{ 2 } ) \pm \sqrt { { (\frac { -1 }{ 2 } ) }^{ 2 }-(-3) } \\ { x }_{ 1,2 } = -(\frac { -1 }{ 2 } ) \pm \sqrt { 3,25 } $$

Berechnen wir mit dem Taschenrechner die Lösungen:

$$ { x }_{ 1 } = 2,303\\ { x }_{ 2 }= -1,303 $$

Aus dem Graphen wissen wir, dass nur eine Lösung richtig sein kann, nämlich x = 2,303. Auch mit der Probe erhalten wir das selbe Ergebnis.

Verschachtelte Wurzeln

Es können auch Gleichungen auftreten, bei denen in den Wurzeln wieder Wurzeln stehen. Zeigen wir, wie man diese Gleichungen löst:

1.Beispiel

$$ \sqrt { -x+\sqrt { -x + 5 } } = 4 $$

Wir quadrieren beide Seiten und bringen das x auf die rechte Seite:

$$ \sqrt { -x+\sqrt { -x + 5 } } = 4 \quad |{ () }^{ 2 } \\ -x+\sqrt { -x + 5 } = 16 \quad |+x \\ \sqrt { -x + 5 } = 16 + x $$

Wir können nun noch einmal quadrieren und auf der rechten Seite die binomische Formel anwenden:

$$ \sqrt { -x + 5 } = 16 + x \quad | { () }^{ 2 }\\ -x + 5 = 256 + 32·x + { x }^{ 2 } \quad |+x -5 \\ { x }^{ 2 } + 33·x + 261 = 0 $$

Mit der pq-Formel erhalten wir:

$$ { x }_{ 1 } \approx -11,8902\\ { x }_{ 2 } \approx -21,1098 $$

Durch die Probe stellen wir fest, dass nur x = -11,8902 die Gleichung löst.

2. Beispiel

$$ \sqrt { 3·x + 3 } = \sqrt [ 4 ]{ -9·x } $$

Hier müssen wir die vierte Wurzel auflösen. Also beide Seiten mit 4 potenzieren:

$$ \sqrt { 3·x + 3 } = \sqrt [ 4 ]{ -9·x } \quad |{ () }^{ 4 } \\ { (\sqrt { 3·x + 3 } ) }^{ 4 } = {(\sqrt [ 4 ]{ -9·x } ) }^{ 4 } $$

Am Anfang hatten wir gezeigt, dass man die Wurzeln auch als Potenz darstellen kann. Nehmen wir uns diese Schreibweise als Hilfe:

$$ { (\sqrt { 3·x + 3 } ) }^{ 4 } = { (\sqrt [ 4 ]{ -9·x } ) }^{ 4 }\\ { ({ (3·x+3) }^{ \frac { 1 }{ 2 } }) }^{ 4 } = { -9·x }\\ { (3·x+3) }^{ \frac { 4 }{ 2 } } = -9·x\\ { (3·x+3) }^{ 2 } = -9·x $$

Auch hier können wir ganz normal die binomische Formel anwenden und anschließend die pq-Formel:

$$ { (3·x+3) }^{ 2 } = -9·x \\ 9·{ x }^{ 2 } + 18·x + 9 = -9·x \quad |+9·x \\ 9·{ x }^{ 2 } + 27·x + 9 = 0 \quad |:9 \\ { x }^{ 2 } + 3·x + 1= 0 $$

Mit der pq-Formel erhalten wir als mögliche Lösungen:

$$ { x }_{ 1 } \approx -0,382\\ { x }_{ 2 } \approx -2,618 $$

Mit der Probe stellen wir fest, dass nur x = -0,382 die Gleichung löst.

3.Beispiel

Eine weitere Aufgabe zeigt uns, dass es manchmal hilfreich ist, die Potenzschreibweise zu benutzen:

$$\frac { \sqrt [ 3 ]{ a } ·\sqrt { a } }{ \sqrt [ 3 ]{ { a }^{ 1/2 } } :\sqrt [ 3 ]{ { a }^{ 4 } } } = 49 $$

Die Gleichung sieht sehr kompliziert aus. Benutzen wir jedoch die Potenzschreibweise und vereinfachen Schritt für Schritt, so erhalten wir:

$$ \frac { { a }^{ \frac { 1 }{ 3 } }·{ a }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }{ { a }^{ \frac { 1/2 }{ 3 } }:{ a }^{ \frac { 4 }{ 3 } } } = 49\\ \frac { { a }^{ \frac { 1 }{ 3 } +\frac { 1 }{ 2 } } }{ { a }^{ \frac { 1 }{ 6 } }:{ a }^{ \frac { 4 }{ 3 } } } = 49\\ \frac { { a }^{ \frac { 1 }{ 3 } +\frac { 1 }{ 2 } } }{ { a }^{ \frac { 1 }{ 6 } -\frac { 4 }{ 3 } } } = 49\\ \frac { { a }^{ \frac { 5 }{ 6 } } }{ { a }^{ -\frac { 7 }{ 6 } } } = 49\\ { a }^{ \frac { 5 }{ 6 } -(-\frac { 7 }{ 6 } ) } = 49\\ { a }^{ \frac { 12 }{ 6 } } = 49\\ { a }^{ 2 } = 49\\ { a }_{ 1 } = 7 \quad oder \quad { a }_{ 2 }= -7 $$

Wir haben gesehen, dass die Gleichung mit Hilfe der Potenzschreibweise durch reines Anwenden der Potenzgesetze zu lösen ist.

Wurzeln selbst berechnen

Es gibt auch Methoden, mit denen man Wurzeln näherungsweise berechnen kann. Drei davon werden folgend erläutert:

1. Intervallschachtelung durch Annäherung

Bei dieser Methode versucht man eine Wurzel näherungsweise zu berechnen, indem man sich zwei Werte nimmt, die im Quadrat nah an dem Radikanden der gesuchten Wurzel liegen. Diese Werte verringert (oder erhöht) man dann immer wieder um einen kleinen Betrag, sodass man dem gesuchten Wurzelwert näherkommt. Machen wir das anhand eines Beispiels. Berechnen wir:

$$ \sqrt { 5 } = x $$

Wir nehmen uns jetzt als untere Grenze den Wert 2 und als obere Grenze den Wert 3. Wir wissen, dass:

$$ { 2 }^{ 2 } = 4\qquad { 3 }^{ 2 } = 9 $$

Unser gesuchter Wert liegt also zwischen 2 und 3, denn:

$$ \sqrt { 4 } < \sqrt { 5 } < \sqrt { 9 } \\ 2 < x < 3 $$

Wir müssen nun entweder die obere Grenze verringern oder die untere Grenze erhöhen. Man sollte immer den Wert wählen, der im Quadrat näher am Radikanden der Wurzel liegt. Wählen wir die untere Grenze, erhöhen diese und testen die Quadrate der erhöhten Werte. Wir erhöhen im Nachkommastellenbereich, da unsere Zahl zwischen 2 und 3 liegt und somit keine ganze Zahl ist. Also:

$$ { 2,1 }^{ 2 } = 4,41 \qquad { 2,2 }^{ 2 } = 4,84 \qquad { 2,3 }^{ 2 } = 5,29 $$

Wir können uns nun neue Grenzen legen, der gesuchte Wert muss zwischen √4,84 und √5,29 liegen:

$$ \sqrt { 4,84 } < \sqrt { 5 } < \sqrt { 5,29 } \\ 2,2 < x < 2,3\\ $$

Möchten wir noch genauer an den gesuchten Wert gelangen, so müssen wir wieder eine Nachkommastelle anhängen. Wir fahren so fort wie gerade gezeigt. Betrachten wir also die Quadrate der Werte, die etwas größer als die neue untere Grenze sind:

$$ { 2,21 }^{ 2 } = 4,8841 \qquad { 2,22 }^{ 2 } = 4,9248 \qquad { 2,23 }^{ 2 } = 4,9729 \qquad { 2,24 }^{ 2 } = 5,0176 $$

Wir können uns jetzt 2,23 und 2,24 nun als neue Grenzen setzen, da der gesuchte Wert zwischen √4,9729 und √5,0176 liegen muss:

$$ \sqrt { 4,9729 } < \sqrt { 5 } < \sqrt { 5,0176 } \\ 2,23 < x < 2,24 $$

Wenn wir kein noch genaueres Ergebnis haben möchten, können wir sagen, dass:

$$ \sqrt { 5 } \approx 2,24 $$

Soll die gesuchte Zahl aber noch genauer bestimmt werden, so müssten wir mit dem Verfahren weitere Nachkommastellen finden. Angemerkt sei aber, dass die Zahl, die wir suchen, irrational ist. Sie hat unendlich viele Nachkommastellen. Mit dem Verfahren können wir uns irrationalen Zahlen also immer mehr annähern. Wir können sie jedoch nie genau bestimmen. Exakt ist die Angabe des Wurzelwertes nur mit dem Wurzelzeichen als √5 möglich.

2. Intervallschachtelung durch Mittelwertbildung

Diese Methode beruht auf dem selben Prinzip wie die vorherige Methode. Der Unterschied liegt darin, wie wir uns unsere neue Grenze wählen. Haben wir zwei Anfangsgrenzen, so betrachten wir deren Mittelwert und setzen uns diesen als neue obere oder untere Grenze. Wenden wir die Methode auf unser Beispiel an:

$$ \sqrt { 5 } = x $$

Wir wählen wieder 2 und 3 als Grenzen.

$$ \sqrt { 4 } < \sqrt { 5 } < \sqrt { 9 } \\ 2 < x < 3 $$

Wir bilden den Mittelwert der Grenzen:

$$\frac { 2+3 }{ 2 } = 2,5$$

Überprüfen wir das Quadrat des Mittelwertes:

$$ { 2,5 }^{ 2 } = 6,25 $$

Da das Quadrat größer als 5 ist, ist 2,5 unsere neue obere Grenze. Wir erhalten also:

$$\sqrt { 4 } < \sqrt { 5 } < \sqrt { 6,25 } \\ 2 < x < 2,5 $$

Erneut bilden wir jetzt den Mittelwert, um einen genaueren Wert zu erhalten:

$$ \frac { 2+2,5 }{ 2 } = 2,25 $$

Auch hier wird das Quadrat überprüft:

$$ { 2,25 }^{ 2 } = 5,0625 $$

Also haben wir 2,25 als neue obere Grenze und somit:

$$ \sqrt { 4 } < \sqrt { 5 } < \sqrt { 5,0625 } \\ 2 < x < 2,25 $$

Führen wir dieses Verfahren weiter aus, so erhalten wir auch hier ein genaueres Ergebnis.

3. Heron-Verfahren

Das Heron-Verfahren beruht auf einem geometrischem Ansatz. Wir wissen, dass die Seiten eines Quadrates gleichlang sind.

Quadrat

Der Flächeninhalt A lässt sich bei diesem Quadrat mit A = a·a bestimmen. Die Wurzel des Flächeninhaltes ist somit gleich einer Seitenlänge a. (A = a², damit a = √A). Diese Eigenschaft machen wir uns beim Heron-Verfahren zu nutze.

Wir können aus dem Quadrat ein Rechteck mit dem gleichen Flächeninhalt A machen (das Quadrat hat die gleiche Fläche wie das Rechteck):

Rechteck

Den Flächeninhalt berechnen wir mit A = a·b . Soll aus diesem Rechteck jetzt ein Quadrat werden, ohne dass der Flächeninhalt verändert werden soll, so muss die Seite b kleiner werden und die Seite a um den selben Faktor größer. Auf diesen Sachverhalten beruht das Heron-Verfahren. Wenden wir das Verfahren an einem Beispiel an:

$$ \sqrt { 16 } = x $$

Wir wollen nun x berechnen. Also bilden wir ein Rechteck, dessen Flächeninhalt 16 ist. Wir nehmen als Seitenlängen 8 und 2, denn 8·2 = 16.

rechteck 2 mal 8

Die längere Seite muss nun verkleinert werden. Das machen wir, indem wir den Mittelwert der beiden Seiten bilden:

$$ \frac { 8+2 }{ 2 } = 5 $$

Eine der neuen Seitenlängen ist also 5. Da der Flächeninhalt weiterhin gleich bleiben soll muss gelten:

$$ 16 = 5·a $$

Wir bestimmen daraus also die neue zweite Seitenlänge:

$$ 16 = 5·a\\ \frac{16}{5} = a\\ 3,2 = a $$

Unser neues Rechteck sieht also so aus:

rechteck 5 mal 3,2

Da wir jetzt aber noch kein Quadrat erhalten haben, bilden wir erneut den Mittelwert der beiden Seitenlängen und nehmen diesen als neue Seitenlänge. Dann bestimmen wir die dazugehörige zweite Seite des Rechtecks:

$$ \frac { 5+3,2 }{ 2 } = 4,1 $$

Die zweite Seite berechnen:
$$ 16 : 4,1 \approx 3,9 $$

rechteck 4,1 mal 3,9

Wir nähern uns unserem Quadrat immer mehr an. Wiederholen wir den Vorgang noch ein letztes Mal:

$$ \frac { 4,1 + 3,9 }{ 2 } = 4 $$

Wir erhalten jetzt ein Quadrat:

heron verfahren rechteck quadrat

Die Lösung von:

$$ \sqrt { 16 } = x $$

ist also die Seitenlänge des Quadrates. Wir erhalten damit:

$$ \sqrt { 16 } = 4 $$

Damit man sich nicht bei jedem Schritt Rechtecke aufzeichnen oder denken muss, gibt es eine Formel, die bei jedem Schritt verwendet werden kann:

$$ { x }_{ n+1 } = \frac { { x }_{ n } + \frac { A }{ { x }_{ n } } }{ 2 } $$

xn ist jeweils eine Seite unseres jetzigen Rechteckes und xn+1 ist eine Seite des nächsten Rechteckes. Benutzen wir die Formel anhand eines Beispieles. Wir wollen folgendes berechnen bzw. annähern:

$$ \sqrt { 79 } = 8,88819441731558885 ≈ 8,888 $$

Wenden wir jetzt die Formel an und wählen als Startwert: x0 = 10

$$ { x }_{ 1 } = \frac { 10 + \frac { 79 }{ 10 } }{ 2 } = 8,95 $$

Jetzt setzen wir x1 = 8,95 als neuen Wert in die Formel ein:

$$ { x }_{ 2 } = \frac { 8,95 + \frac { 79 }{ 8,95 } }{ 2 } \approx 8,888 $$

Wir sind jetzt bereits nach zwei Schritten fertig, denn:

$$ 8{ 8,888 }^{ 2 } \approx 79 \\ \sqrt { 79 } \approx 8,888 $$

Wir sehen also, dass man mit dem Heron-Verfahren schnell ans Ziel gelangt.

Anleitung zum Auflösen von Wurzelgleichungen

Zum Schluss nochmal eine kurze Anleitung zum Auflösen von Wurzelgleichungen:

  1. Wurzel allein auf eine Seite der Gleichung bringen (also die Wurzel, die die Unbekannte x enthält)
  2. Gleichung quadrieren (Wurzel fällt weg)
  3. Gleichung nach x auflösen
  4. Probe durchführen

Mathe-Programme

Im Folgenden findet ihr einige Lernprogramme zu Wurzeln, mit denen ihr euer Wissen testen könnt:

  • Wurzeln
    Wurzeln
    Hier können Wurzeln berechnt werden. Die Probe erfolgt mit Hilfe des Potenzierens. Wurzelexponent und Radikand dürft ihr frei wählen.
  • Wurzelwert berechnen (Heron-Verfahren) Wurzelwert berechnen (Heron-Verfahren)
    Dieses Programm zeigt, wie man sich dem Wurzelwert aus einer natürlichen Zahl annähern kann (Quadratwurzel).
  • Wurzelwert berechnen (Intervallschachtelung) Wurzelwert berechnen (Intervallschachtelung)
    Dieses Programm nähert sich dem Wert einer Wurzel mittels Intervallschachtelung an.
Weitere Lernprogramme aufrufen

Übungsaufgaben

Nachfolgend findet ihr Aufgaben zum Thema "Wurzelgleichungen", mit denen ihr euer neues Wissen testen könnt.

A: Allgemeine Fragen zu den Wurzelgleichungen

1. Was kann man über die Wurzel einer positiven Zahl sagen?

2. Wie nennt man die Bestandteile einer Wurzel?

3. Was ist die Definitionsmenge einer Wurzelgleichung?

4. Was ist zu machen, nachdem man mögliche Lösungen einer Wurzelgleichung bestimmt hat?

5. Bei manchen Aufgaben ist es sinnvoll, Wurzeln anders darzustellen. Wie heißt diese Darstellung und wie sieht sie aus? Stelle eine beliebige Wurzel in dieser Form dar.

B: Bestimme die Definitionsmenge

Ihr sollt hier die Definitionsmenge L = … bestimmen. Es ist nicht nach der Lösung gefragt.

1. Aufgabe

√(x + 7) = 2

2. Aufgabe

√(x) = √(x - 3)

3. Aufgabe

√(-x + 6) = √(x + 19)

C: Wurzelgleichungen lösen

Löse die folgenden Gleichungen.

1. Aufgabe

√(x + 20) = 5

2.Aufgabe

√(x + 12) = √(4·x)

3. Aufgabe

6· √(8·x + 16) - 3 = 45

4. Aufgabe

√(x + 7) = -5

D: Anspruchsvollere Wurzelgleichungen lösen

Löse die folgenden Gleichungen.

1. Aufgabe

√(x + 5) = x + 3

2. Aufgabe

√(x - 10) = x - 5

3.Aufgabe

√( x + √( x - 4) ) = 4

4. Aufgabe

√ (x3/2) : √( √(x) ) = 7

E: Wurzelwert berechnen

Berechne √10 auf eine Nachkommastelle genau

1. mit der Intervallschachtelung (Annäherung).

2. mit der Intervallschachtelung(Mittelwert).

3. mit dem Heron-Verfahren.

Ihr werdet sehen, dass ihr je nach Methode unterschiedlich viele Schritte braucht.

Alle Lösungen im Lernzugang
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Untertitel

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Video Teil 1: Einführung Wurzelgleichungen und Definitionsmenge

Hallo liebe Schüler, in dieser Lektion schauen wir uns die Wurzelgleichungen an, also Gleichungen bei denen unter dem Wurzelzeichen eine Unbekannte steht. Bevor wir jedoch richtig loslegen, schauen wir uns nochmals die wichtigsten Informationen an aus der Lektion „Wurzeln“ Grundlagen 2. Dort hatten wir die Begriffe gelernt. Wurzelexponent, Radikand und was hier rauskommt, das Ergebnis, Wurzelwert. Und wir hatten gesagt, wenn wir 5² rechnen, kommt 25 raus und die zweite Wurzel aus 25 ist 5. Und wir hatten wesentliche Wurzelgesetze kennengelernt: Hier eine Übersicht. Und für unsere Lektion „Wurzelgleichungen“ brauchen wir folgende. Zum einen müsst ihr wissen, dass das Wurzelzeichen, wenn es ohne einen Wurzelexponenten steht immer zweite Wurzel bedeutet, also man sagt auch Quadratwurzel. Weiterhin müsst ihr euch erinnern, dass wenn wir eine Potenz haben mit hoch a und wir dann die a-te Wurzel ziehen, dass dann wieder unser x herauskommt. Also Exponent und Wurzel heben sich gegenseitig auf, wenn sie den gleichen Exponenten haben. Und erinnert euch, wenn wir die a-te Wurzel aus x^b haben, dann dürfen wir die Wurzel, insofern x positiv ist, als Potenz schreiben mit einem Bruch im Exponenten. Wobei der Wurzelexponent a in den Nenner des Bruches geht. Also a-te Wurzel aus x^b ist x^(b/a). Hieraus folgt dann, wenn wir ein x^1 haben, dass a-te Wurzel aus x^1 das gleiche ist wie x^(1/a). Diese Regeln hier unten benötigen wir für diese Lektion erst einmal nicht. Wer sich nicht an diese Regeln erinnern kann, der schaut sich bitte nochmal die Lektion „Wurzeln“ an. Gut, legen wir also los mit den Wurzelgleichungen. Tasten wir uns an das Thema ran. Stellen wir eine Gleichung auf, eine sogenannte Identität. 3 ist 3. Jetzt lasst uns das mal verändern. Wir wissen ja, dass die Wurzel(9) 3 ist. Also ersetzen wir jetzt mal diese 3 durch Wurzel(9). Dadurch stimmt die Gleichung immer noch. Wenn wir jetzt die 9 als Addition schreiben, zum Beispiel 4+5 und jetzt noch unsere 4 verstecken, indem wir daraus eine Variable machen, haben wir auch schon unsere erste Wurzelgleichung erzeugt, die da heißt Wurzel(x+5) ist gleich 3. Bevor wir jedoch die Gleichung lösen, ist es bei Wurzeln notwendig, die sogenannte Definitionsmenge festzulegen. Wir müssen also klären, welche Werte grundsätzlich für x eingesetzt werden dürfen, ohne dass es zu Problemen kommt. So wie wir es auch schon bei den Bruchgleichungen gemacht hatten. Denn die Wurzel aus einem negativen Wert ist nicht definiert. Der Wert der aus x+5 entsteht, darf also nie negativ sein. Das heißt wir müssen hier die Definitionsmenge festlegen mit, wir können für x alle reellen Zahlen einsetzen unter der Bedingung, dass x größer gleich -5 ist. Warum haben wir hier x größer gleich -5 geschrieben? Schauen wir mal: Wenn wir jetzt also den kleinstmöglichen Wert -5 hier einsetzen erhalten wir -5+5, also 0. Wurzel(0) wäre 0, also ist erlaubt. Wenn wir jetzt jedoch einen Wert kleiner als -5, also die -6 hier einsetzen würden, würden wir sofort eine negative Zahl unter der Wurzel haben, was nicht definiert ist. Und jetzt schreiben wir hier x kann auch größer als -5 sein. Also das wäre dann zum Beispiel -4, dann hätten wir eine positive 1 unter der Wurzel, das wäre erlaubt. Oder -3, -2, -1, selbst die 0 und dann alle positiven Zahlen. Gut, jetzt zurück zur Lösung dieser Gleichung, die Definitionsmenge haben wir bestimmt. Jetzt gilt es diese Gleichung zu lösen. Und wir wissen, wenn wir Gleichungen lösen, wollen wir das x alleine auf einer Seite haben. Also x ist gleich. Und um hier das x zu isolieren, also alleine stehen zu haben, müssen wir irgendwie diese Wurzel wegbekommen. Und wenn wir uns erinnern, wenn wir die Wurzel aus einem Wert haben, wie zum Beispiel Wurzel(9) und wir wollen diese Wurzel auflösen, dann können wir sie quadrieren. Also rechnerisch hieße das, wir ziehen die Wurzel aus 9, das sind 3 und 3² ist 9. So haben wir also mit dem Quadrat die Wurzel entfernt. Und die Zahl hier unten erhalten. Wurzel und Quadrat heben sich also gegenseitig auf. Genau das machen wir hier oben. Wir quadrieren unsere Gleichung. Also auf beiden Seiten und wir schreiben ins Quadrat. Dadurch quadrieren wir die linke Seite und die rechte Seite und erhalten folgendes: 3² ist gleich (Wurzel(x+5))². Und jetzt können wir das ausrechnen. 3² ist 9 und auf der rechten Seite hebt sich die Wurzel mit dem Quadrat auf und es bleibt übrig x+5. Wie wir erkennen, haben wir also durch das Quadrieren die Wurzel aufgelöst und jetzt eine ganz einfache Gleichung bei der wir -5 rechnen können auf beiden Seiten und dann erhalten, x gleich 9-5, also x gleich 4. Unsere Lösung. Und bei den Wurzelgleichungen merkt euch, bitte macht stets die Probe. Bei den Wurzelgleichungen ist das ein Muss, das Ergebnis zu prüfen! Also wir setzen jetzt die 4 für x ein und erhalten 3 gleich Wurzel(4+5). 4+5 ist 9 und die Wurzel aus 9 ist 3. Also eine wahre Aussage, was wiederum heißt, dass x gleich 4 die richtige Lösung ist. Und x gleich 4, prüfen wir noch unsere Definitionsmenge: Ist die 4 größer gleich -5? Und das kann mit „Ja“ beantwortet werden, die 4 ist größer als -5, es ist also ein erlaubter Wert, den wir für x einsetzen können. Wäre es kein erlaubter Wert gewesen, so hätte die Probe natürlich auch nicht funktioniert. Sehr schön, damit haben wir unsere erste Wurzelgleichung gelöst. Um jetzt weitere Wurzelgleichungen lösen zu können, die auch etwas schwieriger werden, braucht ihr das folgende Wissen: Ganz klar, ihr müsst wissen wie die Regeln zu den Wurzeln funktionieren. Außerdem braucht ihr die Rechenregeln zu den Potenzen. Zusätzlich werden benötigt die binomischen Formeln und die pq-Formel, bzw. Mitternachtsformel genannt. Gut, wenn ihr diese vier Lektionen gesehen habt, können wir uns die nächste Wurzelgleichung vornehmen. Die nächste Gleichung lautet: Wurzel(3*x) gleich Wurzel(14+x). Hier gehen wir genauso vor, wie wir es gerade gesehen haben. Wir wollen die Wurzeln weghaben, damit wir an das x rankommen. Das heißt wir quadrieren auf beiden Seiten. So erhalten wir den Linksterm ins Quadrat und den Rechtsterm ins Quadrat. Und jetzt fällt diese Wurzel durch das Quadrat weg und diese Wurzel fällt durch dieses Quadrat weg. Und wir haben wieder eine schöne Gleichung, die wir recht einfach lösen können. Wir wollen x alleine auf einer Seite haben, also subtrahieren wir das x nach links. Dann taucht es hier links auf und hier rechts fällt es weg. Und 3*x-1*x ergibt natürlich 2x. Und um jetzt diese 2 wegzubekommen, richtig, das haben wir auch gelernt, dividieren wir durch 2. So erhalten wir x ist gleich 7 unsere Lösung für diese Gleichung. Jetzt machen wir die Pflichtprobe und setzen die 7 hier ein. Also hier und hier. Und wir sehen 3*7 21, das heißt hier haben wir die Wurzel(21). Und hier 14+7 21, also auch die Wurzel(21). Beide Seiten sind gleich, die 7 ist richtig ermittelt. Und müssten wir auch die Definitionsmenge bestimmen, was wäre das für diese Gleichung? Das heißt wir schreiben D ist gleich geschwungene Klammer auf x ist, richtig, Element der reellen Zahlen, aber wir müssen die Aussage noch einschränken, denn wir wissen ja unter der Wurzel darf kein negativer Wert stehen, das heißt wir schreiben hier unter der Bedingung und jetzt das x, was ist, richtig, es darf kein negativer Wert sein, denn wenn wir hier eine -1 einsetzen hätten wir 3*(-1) also -3, also können wir hier schon mal festhalten, x darf nicht kleiner 0 sein, also es muss größer sein oder gleich 0. Und jetzt schauen wir hier, für diesen Term könnten wir -14 und Zahlen darüber einsetzen, dadurch würde unter der Wurzel ein positiver Wert entstehen, das wäre möglich. Legen wir jedoch hier -14 für x fest, müssen wir nachher auch hier die -14 einsetzen, was jedoch durch x größer gleich 0 nicht erlaubt ist. Das heißt alle negative Zahlen, die wir hier einsetzen könnten, fallen sozusagen weg, durch die Einschränkung durch diesen Term. Daher gilt als Bedingung nur x ist größer gleich 0. Also diese Definitionsmenge gilt auch für diesen Term. Und da wir ja hier sagen, es ist 0 und alle positiven Zahlen könnten wir das auch kürzer schreiben als Definitionsmenge gleich x aus allen reellen Zahlen, die positiv sind und der 0. Also das Zeichen für reelle Zahlen mit dem Plus für positive reelle Zahlen inklusive der 0. Gut, gehen wir über zu einer weiteren Aufgabe. Schauen wir uns also eine weitere Wurzelgleichung an und betrachten, wie wir diese lösen können. Einige würden, sobald sie diese Gleichung sehen, beide Seiten der Gleichung quadrieren. Was aber dazu führen würde, dass sich die binomische Formel mit diesem Teil als a und diesem Teil als b rechnen müsstet und dann immer noch eine Wurzel da ist. Wir haben hier jedoch die Möglichkeit uns das viel einfacher zu machen, indem wir vorher die +1 auf die rechte Seite rüber ziehen mit -1, denn dann erhalten wir die Wurzel alleine auf einer Seite ist gleich 2,5. Und wenn wir jetzt quadrieren ergibt sich die Wurzel ins Quadrat gleich 2,5². Wurzel und Quadrat heben sich auf, das heißt es bleibt nur 15-2x übrig. Und hier rechts, 2,5*2,5 sind 6,25. Und ja, diese Gleichung lässt sich wieder wunderbar lösen. 15 ziehen wir nach rechts rüber. Das ergibt hier -8,75 und wenn wir jetzt hier noch die -2 hier weghaben wollen, richtig, dann dividieren wir durch -2. So ergibt sich x ist gleich 4,375. Das ist also unser Ergebnis für diese Gleichung. Und richtig, was müssen wir jetzt als nächstes machen? Die Probe! Wir müssen den Wert für x einsetzen und schauen ob das auch wirklich funktioniert. x wird also 4,375 und wir können rechnen: 2*4,375 sind 8,75. 15-8,75 sind 6,25. Und die Wurzel(6,25) ist, richtig, 2,5. Und da sehen wir 2,5+1 ist 3,5, also Linksterm und Rechtsterm stimmen im Wert überein, eine wahre Aussage. Das heißt unsere Lösung mit 4,375 ist korrekt.

Video Teil 2: Lösen mit p-q-Formel + Ambiguität der Wurzel

Schauen wir uns die nächste Aufgabe an bei der wir die binomischen Formeln brauchen. Die Aufgabe soll lauten 1+x ist gleich Wurzel(4-x). Wie gehen wir wieder vor? Wir müssen als erstes die Wurzel loswerden und das machen wir wieder, indem wir quadrieren. So ergibt sich der Linksterm quadriert und der Rechtsterm quadriert. Dieses Quadrat löst diese Wurzel auf, es bleibt 4-x stehen und ihr seht hier drüben müssen wir die binomische Formel anwenden um diesen Term aufzulösen. Und das ergibt, ordnen wir zu: Das a ist die 1 und das b ist unser x. Und genauso hier in der Auflösung, so erhalten wir also, wenn wir das jetzt noch zusammenrechnen: 1² ist 1. 2*1*x ist 2x und dann x² bleibt so stehen. Wir dürfen also (1+x)² auch schreiben als 1+2x+x². Tun wir das. Wie wir sehen haben wir jetzt keine Wurzel mehr und können die Gleichung auflösen. Und da wir ein x² und ein x haben, müssen wir diese Gleichung in eine sogenannte Normalform bringen, damit wir sie mit Hilfe der pq-Formel lösen können. Das heißt alle x und alle Zahlen auf eine Seite und dann rechts soll dann nur noch ist gleich 0 stehen. Das heißt wir ziehen die 4 hier rüber und wir ziehen das x hier rüber. Und jetzt können wir hier die -4 mit der +1 zu -3 verrechnen und die 2x mit diesem x addieren, also erhalten wir hier 3x. Und wenn wir das jetzt hier noch umschreiben. x² nach vorne, dann 3x, dann -3, erkennen wir die Normalform. Und diese lässt sich lösen mit Hilfe der pq-Formel. Und die hatten wir bereits bei den quadratischen Gleichungen und quadratischen Funktionen kennen gelernt. Also lösen wir als nächstes diese Gleichung mit der pq-Formel. Die pq-Formel hieß allgemein, aus der Normalform mit p*x+q, können wir lösen über diese Formel -p/2 Plusminus Wurzel((p/2)² - q). Wir ordnen also zu. Unser p ist die 3. Dann hier und hier. Und unser q ist die -3. Hier aufpassen, hier steht -3, hier haben wir ein +. Also schreiben wir hier +(-3) und setzen diese hier bei q ein. Und zur Erinnerung, wir haben ja hier ein x_(1,2), das heißt wir werden zwei Lösungen erhalten. Schauen wir mal und rechnen das jetzt aus. -(-3) ist 3. (3/2)², da können wir rechnen 3/2 sind 1,5 und 1,5² sind 2,25. Plus die 3, also 5,25. Diese 3/2 können wir auch als 1,5 schreiben und die Klammer auflösen. Ja, und jetzt gilt es nur noch da auszurechnen. x_1 ist also -1,5+Wurzel(5,25) und x_2 ist -1,5-Wurzel(5,25). Und das tippen wir jetzt in den Taschenrechner ein. Die Wurzel aus 5,25 und wir erhalten 2,2913 gerundet. Das jetzt noch -1,5 und es ergibt sich rund 0,79. Und rechnen wir noch unsere zweite Zeile, unser x_2 aus. Die Wurzel(5,25) war ja 2,29 und so weiter, dieser Wert soll nun jedoch negativ sein, also -2,29 und so weiter. Und das jetzt -1,5. Wir erhalten rund -3,79 für unser x_2. Ja und jetzt gilt es diese beiden Lösungen in die Ursprungsgleichung einzusetzen und zu schauen, welche von Beiden denn richtig ist. Löschen wir die Rechnung und schreiben wieder unsere ursprüngliche Formel hin. Und jetzt ist die Frage, welcher der beiden Werte ergibt hier ein richtiges Ergebnis. Setzen wir als erstes x_1 ein mit 0,79, dann ergibt sich auf der linken Seite 1,79. Und den Wert auf der rechten Seite, da brauchen wir den Taschenrechner: 4-0,79 sind 3,21 und daraus die Wurzel. Wir erhalten 1,79 gerundet. Also ergibt sich hier eine wahre Aussage für unseren Wert x_1 mit 0,79. Diese Lösung ist korrekt. Versuchen wir jetzt die Probe mit den -3,79. Wir setzen also für x -3,79 ein. Und wenn wir das jetzt ausrechnen erhalten wir auf der linken Seite -2,79 und hier unter der Wurzel erhalten wir 7,79. Und wir wissen, die Wurzel aus einem Wert kann nur ein positives Ergebnis sein. In unserem Fall ist das 2,79. Aber hier links wird ein negativer Wert angezeigt. Das heißt beide sind ungleich. Was wiederum heißt, diese Gleichung stimmt, wenn wir diesen Wert -3,79 einsetzen, nicht! -3,79 ist also kein Ergebnis dieser Gleichung. Der ein oder andere fragt sich an der Stelle vielleicht, warum kommt es denn überhaupt zu einer zweiten Lösung? Und das können wir wie folgt beantworten, wenn wir einen negativen Wert quadrieren, also im Beispiel (-5)², erhalten wir einen positiven Wert, hier 25. Wenn wir jetzt jedoch wissen wollen, welche Zahl war denn hier die quadriert 25 ergibt, also nicht wissen, dass es eine (-5) war, dann würden wir jetzt hier die Wurzel ziehen aus der 25. Und wir sehen dann, dass die Wurzel(25) immer 5 ist. Und wie ihr seht, diese 5 ist positiv. Wir hatten aber vorher gesehen unser x war -5. Und (-5)² war ja auch 25. Mit anderen Worten, wenn wir die Wurzel ziehen kommen wir nicht unbedingt auf das richtige Ergebnis. Daher setzt man vor das Wurzelzeichen auch ein Plusminus um anzudeuten, dass die Lösung auch zwei Vorzeichen haben kann. Man spricht in dem Fall übrigens von der „Ambiguität“, der Zweideutigkeit, der Wurzeln. Denn so gewährleisten wir, dass wir zwei Lösungen erhalten, also x_(1,2). Einmal die positive und einmal die negative 5. Was ihr also seht, wenn wir quadrieren erhalten wir stets ein positives Ergebnis und wir erkennen nicht ob das ursprüngliche x ein positiver oder ein negativer Wert war. Und deshalb müssen wir mit unseren gewonnen Ergebnissen stets die Probe machen. Wir müssen sie also für x einsetzen und schauen ob die Gleichung noch funktioniert. Bei diesem Fall, bei diesem Beispiel funktionieren tatsächlich beide Lösungen 5 und -5. Beide ergeben ins Quadrat 25. Ihr werdet aber auch auf Gleichungen stoßen, bei denen dann eben nur ein Ergebnis funktioniert und bei manchen wird auch gar kein Ergebnis funktionieren. Ihr merkt euch also folgendes, wenn wir quadrieren, dann kommen wir immer auf ein positives Ergebnis. Wenn wir das Quadrieren jedoch rückgängig machen wollen mit Hilfe der Wurzel kommen wir nicht mehr auf den ursprünglichen Wert zurück. Deshalb sagt man auch, dass Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung, denn wie wir sehen kommt ein weiterer Wert als Lösung hinzu, eine sogenannte „Scheinlösung“. Betrachten wir uns noch kurze eine Gleichung, bei der wir tatsächlich keine Lösung erhalten werden. Die Gleichung lautet Wurzel(x+20) gleich -5. Wenn wir jetzt hier quadrieren erhalten wir x+20 gleich (-5)². Das ergibt 25. Und wenn wir jetzt die 20 herüber subtrahieren, dann erhalten wir hier 5. Die Lösung für x scheint also 5 zu sein, doch setzen wir hier die 5 ein. 5+20 sind 25. Wurzel(25) ist 5. Auf der rechten Seite der Gleichung steht aber -5. Wie ihr seht ist x gleich 5 eine Scheinlösung, sie scheint richtig zu sein, ist es aber nicht. Und genau deshalb müssen wir immer die Probe machen. Hier könnten wir also festhalten wir haben keine Lösung und schreiben L für Lösungsmenge ist gleich leer. Also hier drin ist nichts, wir haben keine Lösung. Es gibt also keinen Wert für x, der diese Gleichung erfüllen kann. Und noch ein schönes, interessantes Beispiel die Wurzelgleichung Wurzel(2x) gleich Wurzel(x-1). Hier würden wir auch auf beiden Seiten quadrieren, erhalten 2*x gleich x-1, dann ziehen wir das x hier nach links rüber mit -x und erhalten 2x-x, also x gleich -1. Wir haben also einen Wert für x ermittelt, müssen jetzt aber wieder die Probe machen, um zu sehen, ob dann hier eine wahre Aussage entsteht. Also setzten wir jetzt x gleich -1 für x ein. Dann ergibt sich für die linke Seite Wurzel(-2) und für die rechte Seite Wurzel(-2). Hier könnte man denken, es ist ja das gleiche, aber da die Wurzel aus einem negativen Wert im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert ist, ist auch diese Probe damit falsch, also nicht definiert. Und da wir also keine sinnvolle Aussage erhalten, ist unser x gleich -1 keine Lösung dieser Gleichung. Denn wenn wir x gleich -1 einsetzen erhalten wir eine Gleichung mit zwei Termen, die nicht definiert sind. Die Lösungsmenge ist leer. An dieser Stelle übrigens noch er zusätzliche Hinweis: Wenn ihr die Wurzel(25) habt ist das immer 5. Dies wird von einigen Schülern verwechselt, die dann auch hier -5 schreiben, was nicht korrekt ist. Die Quadratwurzel, also die zweite Wurzel, aus einer positiven Zahl ist immer positiv! Nur, wie gesagt, wenn wir eine Gleichung haben, mit zum Beispiel einem x², reicht es nicht, wenn wir einfach die Wurzel ziehen, wir müssen auch andeuten, dass, wegen der Ambiguität, auch ein negativer Wert zustande kommen kann, hier drin für das x, das heißt wir schreiben hier Plusminus davor. Und dann, wie wir gerade gesehen haben, ergeben sich für x zwei Werte. Der sofort ersichtliche x gleich 5 und durch die Ambiguität, der zweite, x gleich -5. Das bitte merken!

Video Teil 3: Lösungsschritte bei Wurzelgleichungen + Lösen mit Graphen

Benennen wir also an dieser Stelle kurz die Schritte zur Lösung von Wurzelgleichungen. Schauen wir hierzu auf eine Aufgabe, die wir bereits berechnet haben. Und zwar diese hier. Der erste Schritt den wir gemacht haben. Wir haben die Wurzel alleine auf eine Seite gebracht, indem wir die Elemente bei der Wurzel auf die andere Seite gezogen haben. Hier die 1 auf die rechte Seite rüber gezogen. Notieren wir den ersten Schritt. 1. Die Wurzel soll alleine auf einer Seite der Gleichung stehen. Im zweiten Schritt haben wir die Gleichung quadriert. Notieren wir das. Wir quadrieren die Gleichung. Im nächsten Schritt haben wir das Quadrat ausgerechnet und nach x umgestellt. Also hier mit diesen Operationen und sind dann auf eine Lösung von x gekommen. Das heißt Schritt 3 lautet: Gleichung nach x auflösen. Und, was haben wir dann gemacht? Um zu sehen ob das x richtig ist, mussten wir eine Probe durchführen, indem wir den Wert für x hier eingesetzt haben. Wir halten also fest Punkt 4 mit: Probe durchführen. Und das sind die vier wesentlichen Schritte, wie man Wurzelgleichungen löst. Zuerst die Wurzel alleine auf eine Seite der Gleichung bringen, dann die Gleichung quadrieren, damit die Wurzel wegfällt. Dann die Gleichung nach x auflösen und dann, wenn wir die Lösung für x haben, die Probe durchführen und schauen ob es eine korrekte Lösung ist, oder ob die Lösung nicht gilt. Gut, schauen wir uns im Folgenden noch ein paar schwierigere Wurzelgleichungen an und lösen sie nach diesem Schema. Die nächste Wurzelgleichung soll lauten 4 Wurzel(x) gleich 100. Hier erinnern wir uns daran, dass wenn eine Zahl neben einem Wurzelzeichen steht, bedeutet das Multiplikation. Also 4*Wurzel(x). Das heißt wir können die 4 hier wegbekommen, in dem wir beide Seiten der Gleichung, durch 4 dividieren. So bleibt links die Wurzel(x) alleine und rechts rechnen wir 100/4 gleich 25. Als nächstes wollen wir ja die Wurzel wegbekommen, also quadrieren wir auf beiden Seiten. So löst sich hier die Wurzel und das Quadrat auf und es bleibt x übrig. Und 25² können wir entweder so stehen lassen als Ergebnis oder ausrechnen zu 625. Gut, wir haben jetzt unser Ergebnis, das jetzt zu prüfen gilt. Setzen wir also die 625, bzw. die 25² hier oben ein. So erhalten wir 4*Wurzel(25²). Und die Wurzel und das Quadrat heben sich auf. Es bleibt 25 übrig. Mal 4 sind 100. Das heißt unser Ergebnis mit 25² bzw. 625 ist korrekt. Schauen wir uns die nächste Wurzelgleichung an. Die Gleichung lautet 3*Wurzel(x-16) ist gleich Wurzel(20+x). Wie gehen wir hier vor? Im ersten Schritt, das seht ihr schon, hier ist eine Wurzel, hier ist eine Wurzel, das heißt wir quadrieren beide Seiten. Dann erhalten wir den linken Term quadriert und den rechten Term quadriert. Den rechten Term, da löst sich die Wurzel durch das Quadrieren auf es bleibt 20+x übrig und beim linken Term müssen wir aufpassen, denn hier steht ja eine Multiplikation und bei der Potenzrechnung hatten wir gelernt, stehen hier zwei Elemente in Multiplikation, so muss das Quadrat auf beide gezogen werden. Also wir erhalten hier 3³ mal die Wurzel ins Quadrat. Jetzt haben wir die Möglichkeit die Wurzel mit dem Quadrat zu verrechnen und es bleibt übrig x-16. Und hier drüben. 3² ist natürlich 9. Als nächstes nutzen wir das Distributivgesetz und multiplizieren die 9 auf das x und die 9 auf die 16. Dann können wir 9*16 ausrechnen, das ergibt 144. Du jetzt können wir das x hier nach links rüber ziehen mit -x. Und 9x-x sind natürlich 8x. Und die 144 wollen wir nach rechts haben, also +144. Schreiben wir die Operation auch hier hin. Damit fällt sie hier weg und hier drüben +144. Jetzt können wir das verrechnen. Das sind 164. Jetzt noch durch 8 und wir erhalten 20,5 als mögliche Lösung. Ob die Lösung wirklich stimmt, das müssen wir wieder über die Probe bestimmen. Wir setzen also hier oben für x die 20,5 ein und schauen, hier ergibt sich 3*Wurzel(4,5) und hier ergibt sich Wurzel(40,5). Das geben wir jetzt in den Taschenrechner ein und schauen ob das gleich ist. Also Wurzel(4,5)*3 ist rund 6,364. Und was ist die Wurzel(40,5)? Wurzel(40,5) ist rund 6,364. Wie wir sehen sind beide Seiten gleich, es handelt sich um eine wahre Aussage. Unser Ergebnis mit x gleich 20,5 ist also korrekt. Die nächste Aufgabe soll lauten Wurzel(3+x) ist gleich x+5. Hier haben wir schon auf einer Seite die Wurzel isoliert, also alleine stehen. Jetzt können wir gleich wieder quadrieren. Dadurch erhalten wir hier auf der linken Seite das 3+x und auf der rechten Seite müssen wir die binomische Formel anwenden. Und diesen Term ausmultipliziert. Wir erhalten als erstes x² + 2*x*5 und dann hinten noch die 5². Also wie gesagt, wir haben jetzt die erste binomische Formel angewendet. Jetzt 2*x*5 sind 10x und 5² sind 25. Da wir ein x² haben und ein x müssen wir diese Gleichung mit der pq-Formel lösen. Wir stellen also die Normalform her, dazu subtrahieren wir das x und die 3 auf die rechte Seite. Links erhalten wir 0 und hinten kommen -x und -3 hinzu. Jetzt können wir 10x-x berechnen zu 9. Und 25-3 sind 22. Jetzt stellen wir die pq-Formel auf und ordnen z: 9 ist das p. Das heißt hier und hier setzen wir die 9 ein. Und das q ist die 22. Und jetzt schauen wir, 9/2 sind 4,5 und 4,5² sind 20,25. Und wir erkennen 20,25-22, das ergibt einen negativen Wert. Und zwar -1,75. Und wir wissen, wir können keine Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen im Bereich der reellen Zahlen. Das heißt wir haben für x keine Lösung. Es gibt kein x das diese Gleichung erfülle kann. An dieser Stelle sei noch ein Hinweis gegeben, wie ihr so etwas dann zusätzlich kontrollieren könnt. Und zwar haben wir bei den Funktionen gelernt, dass wir, um einen Schnittpunkt bei Funktionen zu finden, zwei Gleichungen miteinander gleichsetzen. Also wir hatten f(x) gleich g(x) geschrieben. Bitte erinnert euch daran! Und wenn wir jetzt sagen, die linke Seite ist eine Funktion und die rechte Seite ist eine Funktion, also f(x) und g(x) und wir diese entsprechend nach x umstellen, so wie wir es auch beim Schnittpunkt berechnen gemacht haben, erhalten wir hier ein x ist gleich. Und wenn wir hier kein Ergebnis erhalten, dann heißt das, die beiden Graphen schneiden sich nicht. Und wenn wir jetzt also diese Funktionsgleichung hier links und diese Funktionsgleichung hier rechts, als Funktion in ein Koordinatensystem einzeichnen, dann sollten sie sich auch nicht schneiden, denn wir haben ja für x keinen Wert gefunden. Gucken wir mal. Hier haben wir unser Koordinatensystem und wir haben schon den Graphen aus Wurzel(3+x) eingezeichnet. Er sieht so aus. Jetzt lasst uns noch den Graphen für x+5 einzeichnen. Wir sehen, dieser Graph geht hier entlang und der Graph aus der Wurzel geht hier entlang. Das heißt die beiden treffen sich nicht. Daher haben wir auch kein Ergebnis für unser x. Wir können ja spaßeshalber aus der x+5 x machen. Wie ihr seht haben wir hier einen Schnittpunkt. Das heißt es gibt ein x, welches die Gleichung Wurzel(3+x) gleich x erfüllt. Lasst uns das kurz berechnen. Es müsste etwa bei 2,2 liegen. Das heißt, wenn wir jetzt hier diese Gleichung verändern zu ist gleich x, sollte eine Lösung existieren. Berechnen wir diese als nächstes. Wir quadrieren beide Seiten und erhalten 3+x gleich x² und jetzt können wir -x und -3 rechnen und erhalten die Normalform 0 gleich x²-x-3. Jetzt nehmen wir uns wieder die pq-Formel zur Hand und schauen was ist p, was ist q. Hier ist unser p -1, denn wir können -x ja auch schreiben als +(-1)*x. Und unser q ist -3, also +(-3). Jetzt setzen wir hier die -1 ein und hier die -3. So können wir also berechnen: Minus Minus ist Plus, also hier ½. Und hier (-1/2)² sind ¼. Und Minus Minus ist natürlich Plus, also +3. ¼+3 sind 3,25. Und jetzt können wir das in den Taschenrechner eingeben. x_1 mit ½ plus die Wurzel und x_2 ist ½ minus die Wurzel aus 3,25. Wurzel(3,25) ist rund 1,803. Und jetzt darauf 0,5 addiert. Wir erhalten für x_1 2,303 gerundet. Und für den zweiten möglichen Wert, rechnen wir 0,5-1,803 und erhalten -1,303. So haben wir also für die Ausgangsgleichung zwei mögliche Lösungen, einmal 2,303 und einmal -1,303. Schauen wir uns diese im Koordinatensystem an. Und hier sehen wir bei etwa 2,3 haben die beiden Graphen, also unser x und unsere Wurzel(3+x) ihren Schnittpunkt. Wir können also sagen, dass 2,303 eine richtige Lösung ist. Und das -1,303 eine Scheinlösung ist, also nicht korrekt. Und natürlich könnt ihr das auch rechnerisch machen, indem ihr für x diese Werte jeweils einsetzt und prüft. Machen wir das schnell. Machen wir die Probe mit 2,303. Wir erhalten die Wurzel(3+2,303) gleich 2,303. Das ergibt 5,303 und ziehen wir mit dem Taschenrechner die Wurzel daraus. Wurzel(5,303) ergibt rund 2,303. Eine wahre Aussage. Das heißt der x-Wert 2,303 ist korrekt. Probieren wir den Wert mit -1,303 so stellen wir fest, dass sich unter der Wurzel 1,697 ergibt. Und hier brauchen wir gar nicht mehr weitermachen, weil die Wurzel aus einer positiven Zahl immer ein positiver Wert sein wird. Also die Wurzel aus 1,697 ist 1,303 und nicht -1,303. Beide sind ungleich, also ist x_2 die Scheinlösung, also nicht korrekt. Es gibt nur eine Lösung mit 2,303. Sehr schön! Schauen wir uns im nächsten Teil weitere Typen von Wurzelgleichungen an.

Video Teil 4: Verschachtelte Wurzeln, 4. Wurzel, Wurzeln als Potenzen

Bei der nächsten Wurzelgleichung haben wir eine verschachtelte Wurzel, also wir ziehen die Wurzel aus einer Summe, wobei der zweite Summand eine Wurzel ist. Wie lösen wir das? Und auch hier gilt es wieder, die Wurzel wegzubekommen. Und das schöne ist, sie ist bereits auf einer Seite. Wir quadrieren also beide Seiten, wodurch die äußere Wurzel wegfällt und sich hier drüben eine 4², also 16 ergibt. Jetzt haben wir wieder eine Wurzel und wollen diese wieder alleine auf einer Seite haben. Das heißt hierzu müssen wir das x entfernen mit +x. So erhalten wir Wurzel(-x+5) gleich 16+x. jetzt wollen wir wieder diese Wurzel weghaben. Wir quadrieren wieder. Und erhalten wieder -x+5 gleich (16+x)². Das gilt es mit der binomischen Formel aufzulösen. Wir erhalten 16²+2*16*x+x². 2*16 sind 32 und 16² sind 256. Und wir sehen wieder. Hier ist ein x², hier ist ein x und hier ist ein Zahlenwert, das sogenannte absolute Glied, das heißt wir brauchen hier wieder die pq-Formel um die Werte für x zu berechnen. Dazu ziehen wir die 5 und das x hier rüber. So erhalten wir 256-5 ergibt 251. Und hier 32x+1x sind 33x. Stellen wir das noch um, dass x² vorne steht und die 251 hinten und wenden jetzt die pq-Formel an. Unser p sind die 33 und das q die 251. 33/2 sind 16,5. Und 16,5² sind 272,25. Diese mit 251 subtrahiert und wir erhalten 21,25. Hier vorne 33/2 sind 16,5. Und schon können wir unser x_1 und x_2 ausrechnen. Wir erhalten für x_1 rund -11,8902 und für x_2 rund -21,1098. Wenn ihr jetzt die Probe macht mit beiden Werten werdet ihr feststellen, dass nur die -11,8902 als Lösung funktioniert. Der andere Wert führt zu einem falschen Ergebnis. Das heißt die Lösung dieser Aufgabe ist -11,8902. Stürzen wir uns als auf die letzten beiden Aufgaben. Die vorletzte Aufgabe heißt: Wurzel(3x+3) ist gleich 4te Wurzel(-9x). Wie rechnen wir das? Und jetzt reicht es nicht mehr einfach nur zu quadrieren, denn dadurch würde die 4te Wurzel nicht verschwinden. Stattdessen müssen wir die gesamte Gleichung nicht mit hoch 2 rechnen, sondern mit hoch 4. Dann erhalten wir den Linksterm hoch 4 und den Rechtsterm hoch 4. 4te Wurzel und hoch 4 lösen sich auf. Hier bleibt -9x übrig und um diesen Term aufzulösen erinnern wir uns an die Regel, dass wir eine Wurzel auch in eine Potenz umwandeln können. Also a-te Wurzel aus x ist das gleich wie x^(1/a). Das heißt hier ist die zweite Wurzel aus dieser Summe. Wir können also die Summe hoch ½ schreiben. Und das sieht dann so aus: (3x+3)^(1/2) und das ganze hoch 4. Und jetzt erinnern wir uns an die Potenzgesetze, da haben wir gesehen, wenn wir eine Potenz potenzieren, dann dürfen wir die beiden Exponenten multiplizieren. Also hier dürfen wir rechnen ½*4, was natürlich 4/2 sind. Und 4/2, na klar 4:2 sind 2, wir können ein Quadrat an diesen Term schreiben. Und jetzt, das seht ihr, können wir diesen Term auflösen mit der binomischen Formel. (3x)² + 2*3x*3+3². Wenn wir das jetzt ausrechnen: (3x)² ist 3²x², also 9x². Dann 2*3 sind 6. Mal 3 sind 18. Und hier ergibt sich 9. Wir sehen wir haben hier ein x², hier ist ein x. Das ist also ein Fall für die pq-Formel. Und um diese anwenden zu können, müssen wir die 9x hier noch herüber addieren. Und 18x+9x sind 27x. Und, das seht ihr auch, wir brauchen hier 1x², keine 9x², wir müssen also die gesamte Gleichung durch 9 dividieren. Und so erhalten wir 1x²+3x+1 ist gleich 0. Und hier können wir jetzt die pq-Formel anwenden. Wir lösen jetzt also diese quadratische Gleichung mit der pq-Formel. Unser p ist die 3 und q ist die 1. Und wenn wir das hier ausrechnen erhalten wir für x_1 und x_2 einmal -0,382 und einmal -2,618. Beide gerundet. Und dann müsst ihr die Probe mit diesen beiden Werten machen, setzt sie also hier oben ein und ihr stellt fest, dass nur -0,382 eine wahre Aussage erzeugt. Das heißt das ist der einzige richtige Wert für x. Das hier ist eine Scheinlösung und sie kann gestrichen werden. So haben wir also auch hier eine Lösung ermittelt. Und jetzt geht es schon zur letzten Aufgabe. Bei der letzten Aufgabe haben wir die Wahl. Wir könnten jetzt die gesamte Gleichung mit 3 potenzieren und das dann ausrechnen. Andererseits bietet es sich hier an, die Wurzeln in Potenzschreibweise festzuhalten. Also wir hatten ja die Regel kennen gelernt a-te Wurzel(x^b) ist das gleiche wie x^(b/a). Also der Wurzelexponent springt zum Exponenten, aber in den Nenner. Und hier: a-te Wurzel(x^1) ist das gleiche wie x^(1/a). Und genau diese beiden Regeln können wir benutzen um das umzuformen. Dritte Wurzel(a) ist also a^(1/3). Die Wurzel(a) ist also a^(1/2). Dann schauen wir im Nenner. Hier haben wir a^(1/2) und wenn wir jetzt noch die Dritte heranschreiben haben wir a^((1/2)/3). Und hier erhalten wir a^(4/3). Und das können wir jetzt auflösen. Fangen wir hier oben an. Wenn wir zwei Potenzen miteinander multiplizieren, die die gleiche Basis haben, also a, dann dürfen wir ihre Exponenten miteinander addieren. Also hier oben können wir schreiben a^(1/3+1/2). Und hier unten im Zähler: (1/2)/3 ist das gleiche wie ½*1/3. Also hier kommt 1/6 heraus. Und bei den Potenzgesetzen haben wir gelernt, dividieren wir zwei Potenzen mit der gleichen Basis, hier a, dürfen wir die Exponenten subtrahieren. Also hier unten im Nenner erhalten wir a^(1/6-4/3). Und mit der Bruchrechnung können wir jetzt das zu Ende rechnen: 1/3+1/2, erinnern wir uns, da hatten wir beide gleichnamig gemacht, also auf den Nenner 6, das heißt wir erhalten hier 2/6 + 3/6, also insgesamt 5/6. Das nochmal zur Wiederholung. Also das können wir ersetzen mit 5/6. Und hier unten rechnen wir ebenfalls die Brüche aus: 1/6-4/3, da erweitern wir 4/3 um 2 auf 8/6 und erhalten -7/6. Also ersetzen wir diesen Exponenten mit -7/6. Und jetzt wissen wir, wenn wir zwei Potenzen mit gleicher Basis dividieren, also mit dem Bruchstrich, so dürfen wir die Exponenten voneinander subtrahieren. Wir können das hier also schreiben als a^(5/6-(-7/6)). Und Minus und Minus ist Plus. 5+7 sind 12, also wir erhalten hier 12/6. Und richtig 12/6, 12:6 sind 2, wir erhalten also a². Wir haben also unseren ursprünglichen Term so weit aufgelöst, dass dann da nur noch steht a² gleich 49. Und dann, um das a zu ermitteln, rechnen wir an dieser Stelle Plusminus die Wurzel aus 49. So ergibt sich also a_1, a_2 gleich Plusminus Wurzel(49), also damit a_1 mit 7 und a_2 mit -7. Jetzt müssen wir natürlich noch mit diesen beiden Werten die Probe machen. Setzen 7 ein und setzen -7 ein und schauen ob da 49 jeweils rauskommt. Und dabei werdet ihr feststellen, dass, wenn wir die -7 einsetzen hier stehen würde Wurzel(-7) und eine Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ist nicht definiert. Das heißt a_2 mit -7 fällt weg. Nur die Lösung 7, positiv, ist korrekt. Eine kleine Ergänzung: Wenn ihr die Probe macht und die 7 für a einsetzt, werdet ihr euch vielleicht fragen „Ja, wie gebe ich denn die dritte Wurzel(7) ein“?! Und das möchten wir euch jetzt noch kurz verraten. Zum einen könnt ihr, je nach Taschenrechner, hier die n-te Wurzel(x) nehmen. Über dem Potenzzeichen. Dazu müsst ihr die 3 eingeben, dann Shift und dann n-te Wurzel(x). Dann wird hier „root“ angezeigt. „root“ ist englisch für Wurzel und jetzt die 7 und wir erhalten 1,9129 und so weiter. Einige Taschenrechner haben aber nicht die n-te Wurzel aus x, was macht ihr dann? Dann nutzt ihr die Regel, dass a-te Wurzel(x^b) das gleiche ist wie die Potenz x^(b/a). Das heißt, wenn wir jetzt die dritte Wurzel(7) rechnen wollen entspricht das der dritten Wurzel(7^1), also 7^(1/3). Das heißt im Taschenrechner könnt ihr dann eingeben 7, dann die Hochtaste für die Potenz und dann Klammer auf und jetzt das was im Exponenten steht, also 1/3 und die Klammer zusetzen ist gleich 1,9129 und so weiter. Der korrekte Wert. Und so könnt ihr die Wurzeln ebenfalls berechnen. Hier zum Beispiel die dritte Wurzel aus, in der Probe, 7^4. Dann wäre das 7^(4/3). Also 7 hoch Klammer auf 4/3 Klammer zu ist gleich 13,9 und so weiter. Und das ist die dritte Wurzel(7^4). So viel dazu. Schauen wir uns im letzten Teil an wie wir eigentlich Wurzeln selbst berechnen können. Auf geht’s.

Video Teil 5: Wurzeln selbst berechnen

Willkommen zum letzten Teil. In diesem Video schauen wir uns an, wie wir Wurzeln selbst berechnen können. Vielleicht habt ihr hierzu schon in der Schule die sogenannte „Intervallschachtelung“ kennen gelernt, bei der es darum geht, sich dem Wurzelwert anzunähern. Also für ein Beispiel lasst und die Wurzel(5) berechnen. Wie können wir das machen? Bei der Intervallschachtelung gibt es zwei Methoden. Bei der einen Methode wählt man sich zwei Zahlen, die im Quadrat dieser Zahl nahe kommen. Also wenn wir 2² rechnen erhalten wir 4. Und wenn wir 3² rechnen erhalten wir 9. Und damit wissen wir, da die Wurzel(5) zwischen Wurzel(4) und Wurzel(9) liegt, dass, wenn wir den Wurzelwert berechnen, dieser zwischen 2 und 3 liegt. Also der Wert aus Wurzel(5) muss größer als 2 sein aber kleiner als 3. Der gesuchte Wert liegt also innerhalb dieses Intervalls. Wie können wir uns jetzt näher an diesen unbekannten Wert, nennen wir ihn x, annähern? Und richtig, um das genauer zu machen, müssen wir auf die Nachkommastelle gehen. Also, wenn wir jetzt nicht 2 quadrieren, sondern 2,1, dann erhalten wir 2,1² sind 4,41. Dieser Wert liegt immer noch unter 5. Testen wir nun einmal nicht 2,1, sondern 2,2. 2,2² ist 4,84. Und das ist immer noch unterhalb der 5. Testen wir 2,3. 2,3² ist 5,29. Hier mit 2,3 haben wir also einen Wert erzeugt, der größer als 5 ist. Das heißt die Wurzel aus 5 liegt zwischen der Wurzel aus 4,84 und der Wurzel aus 5,29. Setzen wir das hier ein. Also damit zwischen dem Wert - Wurzel(4,84) ist 2,2 und Wurzel(5,29) ist 2,3. Wir können also sagen, der Wert, der sich aus Wurzel(5) ergibt, liegt irgendwo zwischen 2,2 und 2,3. Wir haben ihn also noch weiter eingegrenzt. Und so können wir jetzt hier weitermachen, indem wir eine weitere Nachkommastelle hinzufügen, also 2,21, also damit noch genauer werden. Wir schauen uns jetzt also die Quadrate an von 2,21, 2,22, 2,23 und 2,24. Dabei stellen wir fest, dass 2,24 über der 5 liegt, also unsere neue Grenze jetzt liegt zwischen Wurzel(4,9729) und Wurzel(5,0176). Also zwischen den beiden Werten 2,23 und 2,24. Der Wert für Wurzel(5) liegt also in diesem Intervall, in diesem Zahlenbereich. Und auf diese Weise, in dem wir immer eine Nachkommastelle hinzufügen können wir uns dem Wert für Wurzel(5) annähern. Da Wurzel(5) ja eine irrationale Zahl ist, also unendlich viele Nachkommastellen hat, die nicht-periodisch sind, können wir sie natürlich nie exakt berechnen. Exakt steht sie hier da mit Wurzel(5). Wenn wir sie mit Nachkommastellen ausschreiben wollten, würde dies nicht funktionieren. Auf unserer Webseite findet ihr hierzu ein kleines Programm, mit dem ihr diese Intervallschachtelung durchführen könnt. Bei diesem Programm haben wir hier schon die Wurzel(5) eingegeben und eine Präzision von 1, also einer Nachkommastelle, eingestellt. Und ihr seht hier stehen genau die Schritte, die wir gerade gemacht haben. Wir haben mit den Grenzen 2 und 3 angefangen, also Wurzel(5) liegt zwischen Wurzel(4) und Wurzel(5). Danach haben wir eine Kommastelle hinzugefügt, haben gesehen, dass Wurzel(5) zwischen 2,2 und zwischen 2,3 liegt. Und dann haben wir eine weitere Kommastelle hinzugefügt und haben gesehen, dass Wurzel(5) zwischen 2,23 und 2,24 liegt. Wir haben die Präzision auf 1 festgelegt bei dem Programm, also haben wir ein Ergebnis von rund 2,2. Wir können die Präzision erhöhen und ihr seht 2,236 wäre der nächste Schritt. Und mit dieser 2,236 sind wir schon sehr dicht an dem Wert für Wurzel 5 dran. Wie ihr hier gut erkennen könnt. Es gibt noch eine zweite Variante bei der die Grenzen, also Linksgrenze und Rechtsgrenze, über den Mittelwert bestimmt werden. Hierzu noch kurz ein Wort. Bei diesem Verfahren wird das erste Intervall ebenfalls mit ganzen Zahlen festgelegt, wie wir es vorher auch gemacht hatten. 2² ist 4, 3² ist 9. Also die Wurzel(5) liegt zwischen der Wurzel(4) und der Wurzel(9). Hier wird jetzt jedoch im nächsten Schritt nicht hier eine 2,1, 2,2 und so weiter erzeugt, sondern wir nehmen uns diese beiden Werte 2 und 3 und bilden den Mittelwert aus ihnen. Also 2+3 sind 5. 5/2 sind 2,5. Das ist also die nächste Grenze, die es zu prüfen gilt. Das heißt wir testen diesen Wert im Quadrat und stellen fest, dass 2,5² 6,25 ist und dieser Wert bereits über der 5 liegt. Das heißt diese 2,5 wird jetzt unsere neue Rechtsgrenze. Wir nehmen jetzt also die 9 hier weg und setzen 6,25 ein. Und wir sehen jetzt, dass die Wurzel(5) zwischen 2 und 2,5 liegt. Im nächsten Schritt bilden wir wieder den Mittelwert und diesmal aus 2 und 2,5. Und erhalten 2,25. Jetzt benutzen wir diesen Wert, quadrieren ihn und stoßen auf 5,0625. Der Wert ist größer als 5, also bildet er unsere neue Rechtsgrenze. So sehen wir schon, dass Wurzel(5) zwischen 2 und 2,25 liegt. Dies ist also eine andere Methode der Intervallschachtelung. Und diese könnt ihr auch im Programm einstellen, indem ihr hier oben auf Mittelwert klickt und dadurch die Grenzen links und rechts jeweils den Mittelwert bestimmt werden. Ihr seht hier auch 2 und 3. 2 und 2,5. 2 und 2,25. Und dann geht das hier weiter. Das unserer Meinung nach beste Verfahren ist jedoch das sogenannte „Heron-Verfahren“. Bei dem ihr mit nur wenigen Rechenschritten auf eine sehr hohe Genauigkeit des Wurzelwertes stoßt. Dieses schauen wir uns abschließend an. Wie berechnen wir also Wurzeln mit dem Heron-Verfahren? Heron war übrigens ein griechischer Mathematiker, der dieses Verfahren das erste Mal schriftlich festgehalten hatte. Um das Verfahren zu verstehen wiederholen wir ein wenig Grundwissen. Erinnern wir uns, dass wenn wir ein Quadrat haben alle Seiten gleich lang sind und wir die Fläche A ermitteln über a*a. Und ziehen wir die Wurzel aus der Fläche erhalten wir die Seite des Quadrats. Also a. Auch müsst ihr wissen, dass wir jedes Rechteck in ein Quadrat verwandeln können. Machen wir hieraus ein Rechteck und da das Rechteck zwei verschieden lange Seiten hat berechnen wir den Flächeninhalt über a*b. Wenn wir jetzt aus diesem Rechteck ein Quadrat machen wollen, wobei der Flächeninhalt gleich bleiben soll, muss diese Seite hier länger werden und diese Seite muss kürzer werden. Für ein einfaches Beispiel: Wir wollen 16 m² zu einer Quadratsfläche umwanden. Hierfür wählen wir uns einen beliebigen Wert für die Seite b. b legen wir fest mit 8 m und a mit 16/8, also 2m. Unser Ziel ist es ja die 2 m und die 8 m auf den gleichen Wert zu bringen, so dass nachher a*a dasteht, also beide Seiten gleich lang sind. Um jetzt die 2 zu verlängern und die 8 zu verkürzen, können wir den Mittelwert aus beiden berechnen. Wir nehmen uns beide Seiten, addieren diese und teilen diese durch 2. Wir erhalten damit 5 m. Wenn wir jetzt diese 5 m als eine Seite einsetzen, ergibt sich 5 m für die eine Seite. Und wie ergibt sich jetzt diese Seite? Richtig, in dem wir die 16 m² durch 5 m teilen. Und 16/5 sind 3,2. Und was machen wir im nächsten Schritt? Richtig, wir bilden hieraus wieder den Mittelwert, damit die 3,2 wächst und sich die 5 reduziert. Und wir erhalten 5+3,2 sind 8,2. Durch 2 sind 4,1. Das heißt die neue Länge einer Seite beträgt 4,1 m. Und wir wenden das gleiche an. Wir ersetzen eine der Seiten durch 4,1 m. Und wie ergibt sich jetzt hier die rechte Seite? Richtig, wir teilen den Flächeninhalt 16 m² durch die 4,1 m und erhalten rund 3,9 m. Wir ihr seht sind wir schon sehr nahe an einer Quadratsform und beide Seiten sind fast gleich. Wir haben also fast unser a². Und wenn wir jetzt mal die beiden Seiten runden, dann wird 4,1 zu 4 und 3,9 zu 4 und wir wissen 4*4, also 4² sind 16. Das heißt also die Wurzel aus 16 ist 4. So haben wir uns also über dieses Verfahren an den Wert der Wurzel(16) angenähert und wir wissen ja auch Wurzel(16) ist 4. Und auch hierzu findet ihr ein Programm bei uns, bei dem wir jetzt mal unsere Werte eingegeben haben. Wurzel(16), Startwert war 8 für eine Seite und da sehen wir, hier unsere Graphik, 16 m²/8 m ergibt 2 m. dann hatten wir den Mittelwert aus 2 und 8 berechnet. Das waren 5.Und hier wie ihr seht machen wir mit der 5 weiter. Wir berechnen hier den Mittelwert aus 5 und 16/5. Nicht wundern, 16/5 das sind unsere 3,2 m. Wir haben ja 16/5 gerechnet um diese Seite zu bekommen. Also jedes Mal wenn ihr hier oben einen Bruch seht meint das die Berechnung dieser Seite. Und wie ihr seht im dritten Schritt sind wir schon fast bei 4. Und dann, beim sechsten Schritt, haben wir aus unserem Rechteck ein Quadrat gemacht. Und wenn ihr jetzt nur hier unten hinguckt, dann seht ihr, wie sich das Rechteck dem Quadrat angenähert hat. Und wir hatten ja jetzt hier die Wurzel aus 16 genommen, das ist ja einfach, denn die könnten wir ja auch im Kopf berechnen. Aber für unser Beispiel war es halt praktisch. Wenn wir jetzt mal die Wurzel(5) nehmen, sehen wir, dass wir in nur sechs Schritten auf einen sehr exakten Wert für die Wurzel kommen. Wir hatten hier den Startwert 8 gewählt und uns an die Wurzel angenähert auf acht Nachkommastellen. Können das auch mal gerne in unseren Taschenrechner eingeben um zu prüfen ob es wirklich dieser Wert in etwa ist. Tippen wir also ein Wurzel(5). Und dann sehen wir hier 2,23606798. Und hier sehen wir 2,2360679 77 und das ist gerundet 8. Also absolut korrekt. Da das Heron-Verfahren sehr schnell viele Nachkommastellen exakt liefert empfehlen wir euch dieses Verfahren zu merken. Hier oben ist übrigens die allgemeine Formel, die genau das besagt, was wir gerade gemacht haben: Nimm einen Startwert, das war die 8, addiere die zweite Seite, die sich ergibt aus Flächeninhalt durch 8 und halbiere diesen. Und so erhalten wir die neue Seite des Rechtecks, die wir dann wieder in diese Formel einsetzen um die Rechteckseite in jedem Schritt weiter der Quadratseite anzupassen. Und so könnt ihr von beliebigen Wurzeln, nehmen wir die Wurzel(79) in hier nur drei Schritten sehr genau berechnen. Also ein sehr zeitsparendes Verfahren. Damit die allgemeine Formel klarer wird berechnen wir noch ein letztes Beispiel. Und zwar Wurzel(79). Das erste was ihr machen müsst, ist einen Startwert festlegen, der zwischen 0 und 79 liegen sollte. Wählen wir die 10. Und wir schreiben gleich x_0 gleich 10, denn es ist der Ausgangswert für die Formel. Jetzt nehmen wir die allgemeine Formel und was bedeutet hier x_(n+1)? Und hier x_n? Das heißt wir setzen hier einen Wert ein, bekommen ein Ergebnis, unser x_(n+1), und im nächsten Schritt, in der nächsten Zeile, werden wir dann den neuen Wert hier für x_n einsetzen. Also berechnen wir jetzt Wurzel(79) und fangen bei x_0 gleich 10 an. Wir setzen hier die 10 ein und hier ebenfalls. Und unser A, das war ja vorhin unsere Fläche von dem Rechteck, das wir uns angeguckt hatten, ist hier 79. Und unser Schritt ist nicht n+1, sondern wir haben jetzt den Startwert 0 eingesetzt, also 0+1, also ist das hier x_1. Also den Wert, den wir im ersten Schritt herausbekommen werden. Und das müssen wir jetzt ausrechnen und wir erhalten 8,95. Das ist als unser x_1. Halten wir den Wert hier kurz fest. Und jetzt nehmen wir wieder unsere Formel hier runter und setzen jetzt nicht x_0 ein, sondern unseren neuen Wert x_1 mit 8,95. Unser A ist wieder 79. Er verändert sich nicht. Und unser n ist ja hier die 1, also haben wir hier x_2. Das müssten wir jetzt wieder ausrechnen und hier ergibt sich rund 8,888. Und an der Stelle hätten wir schon unseren Wurzelwert sehr genau ermittelt. Wenn wir also diese Zahl quadrieren müsste 79 herauskommen. Geben wir das in den Taschenrechner ein. Und ihr seht es kommt 78,996, also rund 79 heraus. Das heißt wir haben diesen Wert relativ genau ermittelt. Und das, wie ihr gesehen habt, in nur zwei Schritten. Da wir ja hier immer einen Wert errechnen, diesen herausbekommen und dann wieder in dieses Verfahren einsetzen, nennt man dieses Verfahren auch Iteration. In unserem Fall meint das also die Annäherung an den Wurzelwert, durch die wiederholte Anwendung dieser Formel. Gut, versucht euch selbst, berechnet ein paar Werte mit diesem Verfahren und nutzt dann dieses Programm um eure Werte zu kontrollieren. Wir wünschen viel Erfolg dabei!

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