TRI09: Bogenmaß und Kreiszahl Pi

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 10. Klasse

Mathe-Videos

In allen vorigen Videos zur Trigonometrie haben wir stets das Gradmaß benutzt, um unsere Winkel festzulegen. Wir können jedoch auch andere Winkelmaße benutzen. Das Winkelmaß, das am häufigsten in der höhere Mathematik anzutreffen ist, ist das sogenannte Bogenmaß. In dieser Lektion betrachten wir uns, wie das Bogenmaß definiert ist und was es mit der Kreiszahl Pi zu tun hat.

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  • TRI09-1 Bogenmaß - Einführung

    Wiederholung der Winkelmaße. Definition von Bogenmaß mit α = Kreisbogen / Kreisradius. Einheit: Radiant. Zusammenhang zwischen Bogenmaß und Kreiszahl Pi.

  • TRI09-2 Bogenmaß - Bogenmaß und Grad umrechnen

    Wie rechnen wir Grad in Bogenmaß um. Wie lässt sich Pi hierzu benutzen? Herleitung der Umrechnungsformeln. Abschließend 2 Aufgaben zur Umrechnung Grad ↔ Bogenmaß.

  • TRI09-3 Bogenmaß - Bogenmaß mit dem Taschenrechner

    Auf was müssen wir achten, wenn wir mit dem Taschenrechner Grad und Bogenmaß umrechnen. Taschenrechner-Modi: DEG, RAD, GRAD. Bogenmaß statt Gradmaß beim Sinus: sin(90°) = sin(0,5·Pi) = 1. Bogenmaß bei der Sinusfunktion.

  • TRI09-4 Bogenmaß - Herleitung der Kreiszahl Pi

    Wir schauen uns die Kreiszahl Pi näher an: Warum schreibt man Pi? Pi als Verhältnis von Kreisumfang/Kreisdurchmesser. Wir zeigen, wie wir uns dem Pi-Wert von 3,1415... über Polygone (Vielecke) annähern können.

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Wissen zur Lektion

Pi ist ein griechischer Buchstabe und wird geschrieben als π. Pi repräsentiert eine konstante Zahl mit einem Wert von rund 3,14159265358979324... Sie ist eine irrationale Zahl.

Formeln mit Pi

Die Kreiszahl Pi ergibt sich, wenn wir den Umfang durch den Durchmesser teilen (wir schauen also, wie oft der Durchmesser auf die Kreislinie gelegt werden kann).

Definition von Pi:


Formel für Pi


Umfang des Kreises:

Kreisumfang = 2·π·Radius
u = 2·π·r

Da sich der Durchmesser aus 2 * Radius ergibt, kann man auch schreiben:
u = 2 * π * r = 2 * r * π = (2 * r) * π = d * π


Fläche des Kreises:

Kreisfläche = π·Radius2
A = π·r2

Mathe-Programme Bogenmaß und Pi

  • Winkelmaße (Gradmaß, Prozent, Bogenmaß) Winkelmaße (Gradmaß, Prozent, Bogenmaß)
    Verschiedene Winkelmaße (Grad, Prozent, Bogenmaß, Gon, Zeit) zur Veranschaulichung am Kreis.
  • Bogenmaß und Grad umrechnen Bogenmaß und Grad umrechnen
    Dieses Programm rechnet euch Grad und Bogenmaß ineinander um, dabei wird der gewählte Winkel am Kreis dargestellt.
  • PI - Annäherung über Polygonfläche
    PI - Annäherung über Polygonfläche
    Hier nähern wir uns über die Fläche eines Polygons dem Wert der Kreiszahl Pi an. Mit steigender Seitenanzahl wird der Wert genauer.
  • PI - Annäherung über Umfang
    PI - Annäherung über Umfang
    Mit Hilfe des Sinus können wir den Umfang des Polygons berechnen. Mit steigender Seitenanzahl nähern wir uns dem Wert für Pi an.
  • Sinusfunktion (allgemein) mit Bogenmaß
    Sinusfunktion (allgemein) mit Bogenmaß
    Die allgemeine Sinusfunktion der Form f(x) = a*sin(b*x + c) + d wird hier dargestellt. Ihr könnt zwischen den Einheiten Grad und Bogenmaß wählen.
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Video Teil 1: Bogenmaß Einführung

Hallo und willkommen zur nächsten Lektion zum Bogenmaß. Wir wollen uns also anschauen was das Bogenmaß ist und wie wir es benutzen können. In unseren bisherigen Lektionen hatten wir die Winkel stets in Grad angegeben. Doch bei der Lektion „Kreis und Winkel“ hatten wir bereits gesagt, dass wir auch andere Möglichkeiten hierzu haben. Da hatten wir gesagt, wir könnten jetzt hier anstatt 90° auch Prozent hinschreiben, dann haben wir diesen Strahl 25% des Kreises weggedreht. Wir haben aber auch gesagt, wir könnten das Zeitmaß nehmen, dann würden wir den Kreis hier in 24 Stunden einteilen und hätten hier 18 Stunden abgelaufen. Oder wir könnten auch sogenanntes Gon benutzen, dann wird der Kreis in 400 Teile eingeteilt und wir hätten dann hier 300 gon. Jetzt schauen wir uns das Bogenmaß an und betrachten uns wie hier der Kreis eingeteilt wird. Beim Gradmaß hatten wir unseren Kreis ja in 360 Schritte eingeteilt und konnten dann unsere Winkel von 0° bis 360° festlegen. Beim Bogenmaß hingegen betrachtet man das Verhältnis von diesem Kreisbogen, also von der Länge des Kreisbogens zum Radius. Also wenn der Radius r wäre und der Kreisbogen b, dann würde man aufstellen α, unser Winkel, ist b/r. Also Kreisbogen zum Radius. Das ist also das Bogenmaß. Hier wird der Winkel also als ein Verhältniswert angegeben mit Bezug auf den Radius. Bzw. könnten wir sagen wir messen den Winkel mit Hilfe des Radius. Und wie ihr seht, bei 90° haben wir rund 1,571, und dann steht hier rad. Und rad ist die Einheit für das Bogenmaß. „Radiant“. Man hat hier wahrscheinlich das Wort Radiant gewählt, da sich die Werte mit Bezug auf den Radius ergeben. Und ihr werdet feststellen egal welche Größe unser Kreis hat, bei zum Beispiel 90° ist der Kreisbogen ist der Kreisbogen immer 1,571 mal so groß wie der Radius. Also wenn wir jetzt einen Radius von 15 cm hätten, dann wäre der Kreisbogen 15 cm * 1,571 lang. Also damit konkret 23,565 cm. Und uns ist freigestellt, wie wir den Winkel angeben. Ob wir schreiben α = 90° oder α = 1,571 rad. Beide Schreibweisen sind erlaubt. Gut, wenn wir sagen, dieser Kreis ist der Einheitskreis mit der Radius 1, dann lässt sich das Bogenmaß direkt an der Länge des Kreisbogens ablesen. Also haben wir hier 1 cm, dann wäre der Kreisbogen bei 90° 1,571 cm lang. Und wenn wir jetzt mal schauen bei 0° hat unser Kreisbogen keine Länge, wir haben also 0 rad. Und wir gehen jetzt zum Beispiel auf 45° haben wir 0,785 rad, also der Kreisbogen ist 0,785 mal so lang wie der Radius. Und wenn wir jetzt unseren Kreisbogen in etwa so lang machen wollen wie den Radius. Versuchen wir hier die 1 einzustellen und wir kommen auf etwa 58°. Also bei 58° ist unser Kreisbogen in etwa so lang wie der Radius. Und ihr seht schon, diese Werte hier, die Radiantwerte für das Bogenmaß, sind fast nie rund und sie haben fast immer Nachkommastellen. Bei 90° 1,571. Gehen wir weiter. 180° 3,142 gerundet. 270° 4,712 und 360° 6,283 gerundet. Wie ihr seht, wir haben nicht so schöne ganze Zahlen wie bei den Gradwerten. Und zwar hat es damit zu tun, dass sich die Werte für die Länge des Kreisbogens mit der Zahl π ergeben. Also π hatten wir ja schon bei den Kreisen und Winkeln kurz angeschaut. Nachher betrachten wir sie uns auch nochmals etwas genauer. Vorab sei jedoch schon verraten: Ein ganzer Kreis ergibt sich aus 2* π also rund 6,283. Und ein halber Kreis aus π, also 1* π. Und jeder Radiantwert ergibt sich aus einem Faktor mal π, also aus einem Anteil aus π. Wobei wir uns auch schon merken können, dass jeder Winkel seinen eigenen Radiantwert hat. Also haben wir 0,5* π mit rund 1,571 rad, dann entspricht das 90°. Und haben wir 90° kann es nur 0,5 π sein. Die Zuordnung ist also eindeutig. Gut, für jetzt merkt euch erstmal, dass Bogenmaß ist ein Wert mit Radiant angegeben, der entsteht, wenn wir die Länge des Kreisbogens dividieren mit der Länge des Radius, also ein Verhältnis aufstellen. Und wir sehen eben, hier bei 38° ist das Bogenmaß 0,663, das heißt der Kreisbogen ist 0,663 mal so lang wie der Radius. Also kürzer. Bei 90° haben wir 1,571. Der Kreisbogen ist also 1,571 mal so lang wie unser Radius. Bei 180° ist unser Kreisbogen 3,142 mal so lang wie der Radius. Bei 270° ist der Kreisbogen 4,712 mal so lang wie der Radius und bei 360° ist der Kreisbogen 6,283 mal so lang wie der Radius. Also wir könnten jetzt den Radius nehmen und hier den Kreisbogen einlegen: 1, 2, 3, 4, 5, 6 6,283 mal.
Wichtig ist übrigens noch, dass ihr euch merkt, dass wir auch, genauso wie beim Gradmaß, über 6,283 rad gehen können, also wir könnten jetzt hier einen ganzen Kreis herumgehen und dann weiterlaufen auf 7 rad, 8 rad und so weiter. Und wir könnten auch anstatt vorwärts zu gehen rückwärtsgehen und dann hier jetzt einen negativen Wert erzeugen. Also wir hatten ja -90° da hätten wir jetzt -1,571 rad. Gut, schauen wir uns jetzt das π ein bisschen genauer an.
Wir hatten ja in der Lektion „Kreise“ gesehen, dass sich der Kreisumfang ergibt, indem wir den Durchmesser, hier blau dargestellt, mit π multiplizieren. Und wie bereits gesagt, π ist rund 3,14, das heißt ist der Durchmesser 5 cm, dann wissen wir 5*π, dann ist der Durchmesser rund 15,708 cm lang. Und wenn wir jetzt unsere Gleichung durch den Durchmesser dividieren, dann steht da u/d ist gleich π, wir erkennen also, dass sich der Wert für π aus dem Verhältnis vom Umfang zum Durchmesser ergibt. Der Umfang wird also immer rund 3,14 mal so lang sein, wie der Durchmesser. Am Ende der Lektion schauen wir uns übrigens noch an, wie sich π herleiten lässt. Als nächstes betrachten wir uns jedoch wie wir Grad in Bogenmaß und Bogenmaß in Grad umrechnen können.

Video Teil 2: Bogenmaß und Grad umrechnen

Schauen wir also uns als nächstes an wie wir von Bogenmaß zu Grad kommen, bzw. wie wir von Grad zu Bogenmaß kommen. Wie können wir beide Werte ineinander umrechnen? Und tatsächlich, die wichtigste Sache, die wir wissen müssen ist, dass ein kompletter Kreis 360° sind, bzw. im Bogenmaß 2*π, denn dann können wir für jeden Anteil den Winkel in Grad oder Radiant bestimmen. Stellen wir also 90° ein und damit eins von vier Teilen des Kreises. ¼. Dann könnten wir sagen, ¼ des Kreises ist in Grad ausgedrückt 360°*1/4 bzw. 360/4 und wir erhalten 90°. Das gleiche in Radiant ausgedrückt. Wir wissen, ein voller Kreis sind 2π, also rund 2*3,14 rad und 2π*1/4 bzw. durch 4, ergibt 0,5*π. Und wenn wir jetzt 0,5π umrechnen wollen in diese Zahl hier oben können wir uns den Taschenrechner nehmen und eingeben 0,5 multipliziert, und dann hier unten, das ist die Taste für π. π ist rund 3,14*0,5 und wir erhalten 1,5707 und so weiter und da wir ja hier nur drei Stellen nach dem Komma angeben erhalten wir rund 1,571. Wir können also notieren: 90° ist das gleiche wie 0,5*π und 0,5*π können wir runden zu 1,571. Und die Einheit bei Bogenmaß ist natürlich rad. Wir können für diese Umrechnung auch eine Formel umstellen. Tun wir das! Wir haben ja definiert 360° für den Kreis entspricht in Bogenmaß ausgedrückt 2 π. An dieser Stelle sei erwähnt, dass wir das rad nicht mitschreiben müssen, also lassen wir es hier weg. Wir haben hier also ein Verhältnis aufgestellt das wir für unsere Berechnung benutzen können. Wir können es uns sogar noch einfacher machen, indem wir einfach nur π betrachten und diese 2 hier entfernen. Dazu dividieren wir einfach auf beiden Seiten durch 2 so erhalten wir links 180° und rechts bleibt π stehen. Und jetzt können wir folgendes machen. Wenn wir einen Winkel, nennen wir ihn allgemein α, haben, können wir sagen α verhält sich zu 180° genauso wie unser Winkel in Radiant, hier einfach als x dargestellt, zu, richtig, π. Und wie gesagt, beachtet bitte bei x und α handelt es sich um den gleichen Winkel nur einmal in Grad angegeben und einmal in Radiant. Wir haben also aus diesem Verhältnis hier eine Verhältnisgleichung aufgestellt. Erinnert hier auch an die Lektion „Proportionalität und Dreisatz“. Und auf Grundlage dieser Gleichung können wir das Bogenmaß in Grad umwandeln und Grad in Bogenmaß. Sagen wir für ein Beispiel α ist 90°, dann können wir unsere Formel benutzen, setzen die 90° ein, sehen, dass 90°/180° 0,5 ist. Und jetzt multiplizieren wir noch das π herüber und wir haben x = 0,5*π. Und wir können auch noch die Einheit rad dahinter schreiben. Und schauen wir nochmal in unser Programm. Wenn wir jetzt von 0° auf 90° gehen, haben wir 0,5*π. 1π hatten wir gesagt wäre bis zu 180°, der Halbkreis. Und davon die Hälfte, 0,5*π, ist dieser Viertelkreis. Und jetzt fragt sich noch, wie kommen wir auf 1,571 und das hatten wir vorhin schon gezeigt: Wir multiplizieren 0,5 mit π, also mit rund 3,14. 0,5*π ist rund 1,571. Und dann können wir, müssen aber nicht, noch rad heranschreiben um zu zeigen, dass es sich um das Bogenmaß handelt. Gut, machen wir hieraus noch eine allgemeine Formel, das heißt wir müssen diese hier einfach umstellen. Wir müssen nichts weiter machen als das π hier herüber multiplizieren, dann erhalten wir für x α/180° *π und das ist unser Bogenmaß. Wir können also einen Winkel der in Grad angegeben ist in einen Winkel umwandeln der mit Radiant angegeben wird. Und genauso geht es auch andersherum. Wenn wir Radiant gegeben haben, also das Bogenmaß, dann können wir diese Formel hier umstellen, indem wir einfach die 180° hier rüber multiplizieren. Und dann erhalten wir α ist gleich x/π * 180°. Mit dieser Formel können wir also Bogenmaß ins Gradmaß umrechnen.
Nachfolgend zeigen wir noch einen anderen Weg, wie man sich die Umrechnungsformeln herleiten kann. Nehmen wir hierzu noch einmal das Beispiel von 90° und wir wollen wissen wie viel denn 90° von 180° sind. Und das kann man im Kopf machen. Wir erhalten 90°, wenn wir 180° durch 2 dividieren. Und lasst uns diese Division als Multiplikation schreiben, also durch 2 ist das gleiche wie *0,5. Und lasst uns jetzt auch noch die beiden Seiten hier vertauschen, dann steht da 0,5*180°. Wir kommen also auf 90°, indem wir 180° mit 0,5 multiplizieren. Und 180° hatten wir gesagt, verhält sich ja genauso wie π, das heißt um jetzt Radiant, das Bogenmaß herauszubekommen, können wir schreiben: Ist gleich 0,5, es muss der gleiche Faktor sein, und jetzt mal π. Hier haben wir 0,5*180° gerechnet, also müssen wir auch π mit 0,5 multiplizieren und wir erhalten rund 1,571 rad. Und jetzt fragt sich, wie kommen wir denn auf diese 0,5? Da betrachten wir diesen Teil der Gleichung und dann können wir hier die 180° herüber dividieren. Und wir erhalten 90°/180° ist 0,5. Also 90° ist die Hälfte von 180°. Diese Zahl drückt also einen Anteil aus. Und jetzt hatten wir ja gesagt, hier oben haben wir ja auch die 0,5 benutzt, nehmen wir diesen Teil also nochmals herunter und jetzt wissen wir ja 0,5 muss bei beiden gleich sein. Also hier und hier. Und wir hatten hier 0,5 übermittelt über den Winkel zu 180°. Also können wir 90°/180° hier für 0,5 eintragen, denn es ist ja der gleiche Wert. So sehen wir also, dass 90°/180° 0,5 ist und 0,5*π dann unser gesuchter Wert in Radiant. Und da hier ja nicht 90° sein muss, sondern auch ein beliebig anderer Winkel, setzen wir hier allgemein das α ein. Und hier Radiant, den Wert, der ergibt sich jetzt entsprechend dem eingesetzten α, also schreiben wir hier x. So seht ihr also, wie aus diesem Zusammenhang unsere Formel entsteht. Wir bilden bei α/180° einen Anteil und multiplizieren diesen mit π. So erhalten wir also unser Bogenmaß, den Wert in Radiant. Und natürlich, jetzt wisst ihr, wie ihr von Grad zu Bogenmaß kommt. Erklären wir auf diese Weise noch kurz wie wir von Bogenmaß zu Grad kommen. Dafür nehmen wir diesen Teil der Gleichung hier hin. Drehen wir diese Seiten noch um und dividieren jetzt durch π. Dann erhalten wir 1,571/π ist 0,5. Und jetzt schreiben wir diesen Teil der Gleichung hier runter und ersetzen die 0,5 durch diesen Term. Und jetzt können wir noch sagen, wir setzen hier einen allgemeinen Winkel ein, also nennen wir ihn wieder x, also x soll α in Radiant sein und jetzt wissen wir, wenn wir hier einen beliebigen Winkel einsetzen, kommt ja auch ein anderer Wert raus, schreiben wir also hier α hin. Und schon haben wir die Formel für die Umrechnung von Bogenmaß in Grad. Sagen wir, wir erhalten die Aufgabe: Rechne 50° ins Bogenmaß um. Dann schreiben wir α gleich 50°. Und jetzt brauchen wir die Formel x, unser Winkel im Bogenmaß, ist α/180°, also der Anteil, mal π. Und jetzt setzen wir einfach die 50° hier ein und tippen das in den Taschenrechner ein: 50°/180° *π ist gleich 0,873 gerundet. Und das ist schon der Wert für das Bogenmaß und die Aufgabe wäre hiermit gelöst. Als zweite Aufgabe steht da: Rechne 4,7 rad ins Gradmaß um. Das heißt wir notieren wir haben α, bzw. x gegeben mit 4,7 rad und nehmen uns unsere Umrechnungsformel die da lautet: α ergibt sich aus x/π * 180°. Und jetzt setzen wir 4,7 für x ein und tippen das in den Taschenrechner ein. Also 4,7/π * 180°. Und wir erhalten rund 269°. Wie ihr seht haben wir also durch diese Umformung sehr schnell aus 4,7 rad die 269° gemacht.
Ihr merkt euch also bitte die beiden Verhältnisse 360° ist das gleiche 2*π und 180° ist das gleiche wie π. Und hieraus lassen sich die beiden Formeln ableiten für das Bogenmaß, also wenn wir Grad gegeben haben können wir das Bogenmaß ausrechnen. Oder hier drüben das Gradmaß können wir ausrechnen, wenn wir das Bogenmaß gegeben haben.
Wenn ihr also das nächste Mal Gradmaß in Bogenmaß umrechnen sollt, dann erinnert ihr euch als erstes daran, dass der Halbkreis, also 180° 1π sind und die Hälfte von 180° damit ein halbes π. Und wenn ihr 270° ins Bogenmaß umrechnen sollt, dann habt ihr ein halbes π hier, ein halbes π hier und noch ein halbes π. Also 1,5*π. Und wenn wir dann auf 360° gehen, habt ihr 2*π, also 2*180°. So könnt ihr also die Formeln nehmen, die wir uns bereits angeschaut haben und jeweils Bogenmaß oder Grad berechnen.

Video Teil 3: Bogenmaß mit dem Taschenrechner

Schauen wir uns also als nächstes an, auf was wir achten müssen, wenn wir den Taschenrechner zum umrechnen benutzen. Vorab sei jedoch noch erwähnt, dass wir jetzt für unsere Sinusfunktion zum Beispiel, also sin(α) ist gleich unser Sinuswert, das wir jetzt hier für α einmal Grad einsetzen könnten oder den entsprechenden Bogenmaßwert, also für 90° wären das 0,5π rad, und beides muss uns den gleichen Sinuswert geben, da es sich ja um den gleichen Winkel handelt, nur einmal in Grad angegeben und einmal in Radiant. Ein weiterer Hinweis an dieser Stelle: In den meisten Büchern wird das „rad“, also Radiant, hier nicht mitgeschrieben. Ihr findet an der Stelle nur 0,5π. Lasst euch hiervon nicht verwirren. Also wir merken uns 90° und 0,5*π ist das gleiche. Der Winkel hat bei beiden die gleiche Größe es handelt sich nur um zwei verschiedene Einheiten. Somit muss bei beiden natürlich der gleiche Sinuswert herauskommen. Okay, auf was müssen wir nun achten, wenn wir den Taschenrechner benutzen um den Sinuswert von 90° oder von 0,5*π zu berechnen?
Wenn wir bei unseren Winkelfunktionen bisher die Sinustaste gedrückt haben, haben wir als Winkel immer das Gradmaß eingegeben. Also sin(90°) ist 1. Ihr müsst aber aufpassen, denn es gibt natürlich auch den Modus für das Bogenmaß. Beim Taschenrechner findet ihr meistens eine „Mode“-Taste oder „Modus“-Taste, die, wenn ihr sie betätigt, euch die beiden Modi „Degree“, also englisch für Grad und „Radian“, englisch für Radiant, anzeigt. Hier übrigens noch aufpassen: Dieses „Grad“ was hier steht meint „Gon“, englisch „Gradian“. Das ist die Einteilung des Kreises in 400 Schritte. 360°, da nehmt ihr bitte Deg, Degree. Nehmen wir jetzt den Modus Radiant, drücken also die 2 und ihr seht hier oben klein im Taschenrechner RAD angezeigt. Und würden wir jetzt hier sin(90) eingeben, dann wären das jetzt nicht Grad, sondern Radiant und wir würden einen falschen Wert erhalten. Wenn wir jetzt jedoch den sin(90°) haben wollen, wissen wir, 90° ist 0,5*π. Ein halbes π. Das heißt wir haben sin(0,5* π), also rund 1,57 rad und das ist 1. Denn 0,5π ist ja 90° und sin(90°) ist 1. Wollen wir den sin(π) haben, also den sin(180°) tippen wir ein sin(π). Und sin(180°), richtig, ist 0. Und wir erhalten hier: 0. Deswegen achtet bitte darauf, wenn ihr einen Taschenrechner benutzt tippt als erstes sin(90) ein, wenn da eine 1 angezeigt wird, wisst ihr, ihr seid im Degree-Modus, kommt ein gebrochener Wert raus, wisst ihr, ihr seid in einem anderen Modus. Und wenn ihr dann sin(π) eingebt und ihr erhaltet 0, okay, ihr habt den Radian-Modus. Ihr rechnet im Bogenmaß. Darauf bitte insbesondere achten, weil hier auch viele Fehler gemacht werden. Gut, stellen wir unseren Modus jetzt zurück auf Degree, auf Grad. Und können jetzt, wenn wir sin(90) eingeben unsere ist gleich 1 genießen. Und wenn wir übrigens im Degree-Modus sin(π) eingeben, rechnen wir den sin(3,14…°) aus. Das ist natürlich auch nicht das was wir wollen, denn mit π wollten wir nicht Grad, sondern Bogenmaß berechnen. Hier hätten wir den Taschenrechner Radiant umstellen müssen. Gut, werfen wir noch einen Blick auf unsere Sinusfunktion, bei der wir ja gesagt hatten, wir können das auch in Radiant angeben anstatt Grad. Bei der Sinusfunktion hatten wir hier ja auf der x-Achse unsere Grade abgetragen und dann die entsprechenden Höhen, also die Sinuswerte eingezeichnet und sind dann auf diese Schwingung gekommen. Nehmen wir jetzt statt das Gradmaß das Bogenmaß, sehen wir, dass wir bei 90° ein halbes π haben. Bei 180° 1π. Bei 270° 1,5π und bei 360° 2π. Also einmal um den Kreis herum sind 2π. Ein halber Kreis sind 1π. Und dann kann man sich eben merken, der Sinuswert ist 0 bei hier 180°, 360°. Bei π und 2π. Und auch hier gilt die allgemeine Sinusfunktion, das heißt wir können die Parameter verändern, zum Beispiel verschieben wir hier den Graphen jetzt nicht um Grad, sondern um π. Auf beispielsweise 0,5π, das heißt wir haben ihn 0,5π vom Original nach links verschoben. Und das entsprach ja, richtig, 90°. Von 180° auf 90° ist das gleiche wie von π auf 0,5π. Und natürlich, hier für unser x müssten wir jetzt das Bogenmaß eintragen. Also den Wert in Radiant. Gut, wie ihr seht, Grad und Bogenmaß sind letztendlich das gleiche jedoch nur in anderen Einheiten. Ihre Auswirkungen, zum Beispiel hier in dieser Funktion, sind dieselben. Wir geben den Winkel jedoch beim Bogenmaß in Radiant bzw. mit Hilfe von π an und beim Gradmaß mit den Gradzahlen. Abschließend noch ein Wort zu π.

Video Teil 4: Herleitung der Kreiszahl Pi

In diesem Video wollen wir uns die Kreiszahl π näher anschauen, die etwas ganz besonderes ist. Die Kreiszahl π wird durch den Buchstaben π, also ein griechischer Buchstabe, dargestellt. Wir hatten uns ja bereits die Winkelnamen angeschaut, also die griechischen Buchstaben: α, β, γ und so weiter. Und hier unten das P ist dann das griechische π. Und jetzt fragt ihr euch, warum hat man das P genommen und keinen anderen Buchstaben. Dazu müsst ihr wissen, dass Kreisumfang auf lateinisch „peripheria“ heißt und Leonhard Euler, einer der berühmtesten Mathematiker, hat diesen Buchstaben in seinen Berechnungen für die Kreiszahl verwendet. Und seit dem 18. Jahrhundert benutzt man also π für diese besondere Zahl. π wird also definiert als das Verhältnis zwischen Umfang des Kreises und Durchmesser des Kreises. Also wie oft passt der Durchmesser hier in den Kreisumfang. Und da hatten wir ja vorhin schon gesehen, das ist etwa 3,14 mal der Fall. Also wenn wir diese Gleichung hier umstellen, kürzen wir Umfang noch mit u ab und Durchmesser mit d, dann können wir den Umfang berechnen, wenn wir den Durchmesser gegeben haben, denn wir müssen ja nur d hier rüber multiplizieren. Und erhalten: Der Umfang ergibt sich aus π*d. Und wir können hier ein Ist-gleich setzen, wenn wir das hier mit π ersetzen. Und bei den Formeln zum Kreis hatten wir gesehen: Durchmesser ist ja nichts anderes als zweimal der Radius, also schreiben wir hier 2*r. Und schon haben wir die Formel für den Kreisumfang π*2*r. So wie ihr sie in den Büchern findet. Jetzt fragt ihr euch, gut, das ist über ein Verhältnis angegeben dieser Wert, kann man ihn den vielleicht irgendwie herleiten. Und die Antwort ist ja. Es gibt mehrere verschiedene Wege um sich den Wert von π anzunähern. Gucken wir uns im Folgenden einen hiervon an.
Wenn wir also den Umfang des Kreises bestimmen wollen, der ja π*d sein soll, also rund 3,14 mal den Durchmesser und wir wollen uns diesem Wert annähern, können wir ein regelmäßiges Vieleck hier reinlegen, in dem Fall ein Quadrat. Dann wissen wir, der Umfang des Kreises ist größer als der Umfang dieses innenliegenden Quadrates. Und wenn wir jetzt die Seitenzahl dieses Vielecks erhöhen, zum Beispiel hier ein Achteck, sehen wir der Umfang des Polygons, also unseres Vielecks, nähert sich der Kreislinie an. Und um so mehr Seiten wir haben, desto näher kommt der Wert des Umfangs des Polygons dem Wert für des Kreises. Wir können also sagen, mit steigender Seitenanzahl nähert sich der Umfang des Vielecks dem Kreisumfang an. Das heißt mit einer Formel zur Beschreibung des Umfangs des Polygons können wir uns dann an den Kreisumfang annähern. Und um den Umfang des Polygons zu bestimmen haben wir mehrere Möglichkeiten. Lasst uns eine Möglichkeit nehmen, bei der wir unser bisheriges Wissen einsetzen können. Und zwar wollen wir den Sinus benutzen um die Seiten eines Vielecks zu berechnen. Es fragt sich also, wie können wir hier die Länge der Seite berechnen. Wie gesagt, wir wollen den Sinus benutzen, das heißt wir benötigen ein rechtwinkliges Dreieck. Hierzu können wir von dem Mittelpunkt auf die Seite des Polygons eine Senkrechte ziehen. Dadurch erhalten wir hier einen rechten Winkel und damit ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem wir Sinus, Cosinus und Tangens anwenden dürfen. Dieser Winkel hier hat also die längste Seite, also die Hypotenuse, diese Seite liegt an, also ist das die Ankathete von unserem Winkel. Und die Seite hier drüben, das ist die Gegenkathete. Das heißt wir können die Gegenkathete berechnen, dann haben wir die Hälfte der Seite des Polygons und wenn wir diese Seite also verdoppeln haben wir die gesamte Seite und dann noch mal 4 und wir haben alle Seiten des Polygons. Erste Frage: Wie ergibt sich der Wert dieses Winkels hier? Wir wissen ja, der Vollkreis, also alle Winkel zusammen, muss 360° ergeben. Und wir wissen außerdem jeder Seite liegt ein Winkel gegenüber. Das heißt wir haben vier Seiten in dem Fall, also haben wir auch eins, zwei, drei, vier Winkel. Und der Winkel den wir hier brauchen ist die Hälfte von diesem Winkel. Das heißt wir rechnen 360° durch die Seitenanzahl, also durch 4, erhalten dann ¼ von 360°. Und dieses ¼ müssen wir noch halbieren. Also hier steht es: durch 2. Und dann kommen wir auf 45°. Das bedeutet, wir können den Sinus von diesem Winkel α hier bestimmen als Gegenkathete durch Hypotenuse. Schreiben wir das hier hin. Die Hypotenuse ist der Kreisradius und wir haben hier den Einheitskreis, denn der Radius ist immer 1 lang. Das heißt Hypotenuse ist 1. Und wir wissen, dass uns der Sinus dadurch die Länge der Gegenkathete angibt, wir berechnen als sin(45°). sin(45°) ist gleich 0,707. Das ist diese Seite. Und diese haben wir jetzt eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben, achtmal. Also wir müssen sie mit 8 multiplizieren. Und wir erhalten als Umfang rund 5,66 cm. Das heißt unser Kreisumfang muss größer sein als 5,66 cm, also größer als der Umfang des innenliegenden Polygons. Und hier unten haben wir auch die Gesamtrechnung für dieses Polygon. Wir haben hier sin(45°) und die mit 8 multipliziert und sind dann auf 5,66 gerundet gekommen. Und hier ist auch die Formel nochmal aufgestellt. Allgemein: Wir haben unser α, das ist dieser Winkel. Und α erhalten wir, indem wir 360° durch die Seitenanzahl dividieren, also 360°/4 war das. Und dann nochmal das Ergebnis durch 2. Also 360°/4 war 90°. Durch 2 sind 45°. Dieser Winkelwert für α. Und wir können das abkürzen. Wir können die 360° gleich durch die 2 dividieren und dann gleich 180° durch die Seitenanzahl rechnen. So verkürzen wir die Berechnung. Also 180° durch eins, zwei, drei, vier ist 45°. Richtig. So ergibt sich also dieses α hier bei dem Sinus. Und wie gesagt wir sind hier im Einheitskreis, das heißt mal Hypotenuse, mal Radius, der ist 1. Also können wir ihn weglassen. Und jetzt steht hier zweimal die Länge, die sich hieraus ergibt. Also einmal, zweimal. Und das jetzt noch mit der Seitenanzahl multipliziert, mal 4. Also eine Seite, zwei, drei, vier Seiten. Also 8 mal die halbe Seite. Das ist also der gesamte Weg um den Umfang des Polygons zu berechnen. Und diese Formel lässt sich anwenden auf jedes Polygon. Das heißt wir können hier jetzt noch mehr Seiten einstellen, nehmen wir ein Achteck. Dann schauen wir, wie groß ist unser Winkel α. Der ergibt sich aus 180° durch die Seitenanzahl, also 180°/8, damit ist α 22,50° groß. Und jetzt schauen wir in unsere Formel. Wir berechnen den Sinus von 22,50°. Also damit erhalten wir die Länge dieser Seite und das noch mal 16, denn wir haben ein Achteck. So erhalten wir 6,1223 cm für den Umfang. Und je mehr Seiten unser Polygon hat, desto mehr nähert sich dessen Umfang dem Kreisumfang an. Wir hatten ja gesagt, der Gesamtumfang des Kreises ist 2*π, also damit 6,283 und so weiter. Und unser Umfang hat hier in dem Beispiel beim 33-Eck 6,2737 cm. Also wir sind schon der 6,28 relativ nahe. Gehen wir weiter erreichen wir 6,28 bereits beim 58-Eck und damit sind die ersten beiden Nachkommastellen identisch mit denen von 2π, denn hier haben wir auch die 6,28. Und ihr seht, je mehr Seiten wir haben für das Polygon desto näher kommen wir der 6,283185 und so weiter. Wir werden sie jedoch nie erreichen mit unseren Zahlen, denn wie gesagt, sie ist eine irrationale transzendente Zahl. Das heißt sie hat unendlich viele Ziffern hinter dem Komma. Unendlich viele Nachkommastellen. Gut, hier habt ihr mindestens eine Möglichkeit kennen gelernt, wie sich π ergibt. Es gibt noch weitere Möglichkeiten π herzuleiten, wobei meist der Umfang genutzt wird und dieser dem Kreis angenähert wird. Jetzt habt ihr die wichtigsten Sachen zum Bogenmaß und auch zu π gelernt, als nächstes geht es zu den trigonometrischen Gleichungen. Wir schauen uns einfache Sachen an, wie sin(x) gleich 0,5. Für welche x-Werte ist das definiert. Oder auch schwierigere Sachen wie zum Beispiel 2*cos(x) gleich -0,5. Für welche x ist das definiert? Und auch hier werden wir die Lösung nicht nur in Grad angeben, sondern auch in Bogenmaß. Schauen wir uns also an, wie wir trigonometrische Gleichungen lösen können.
Tags: Trigonometrie, Bogenmaß, Kreiszahl Pi, Sinusfunktion mit Bogenmaß, Annäherung an Pi bzw. Herleitung von Pi

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