TRI12: Kehrwertfunktionen

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 10. - 11. Klasse

Mathe-Videos

Nachdem wir schon 11 Lektionen zur Trigonometrie hinter uns gebracht haben, können wir unseren Wissenspool mit der Lektion zu den Kehrwertfunktionen abrunden. Das letzte Video vermittelt euch außerdem ergänzend noch einige Inhalte der höheren Mathematik. Testet euer Wissen auch mit den Matheprogrammen zu den Umkehr- und Kehrwertfunktionen.

Weitere Videos stehen dir als Kunde zur Verfügung:

  • TRI12-1 Kehrwertfunktionen - Einführung

    Was bedeutet Kehrwert bei der Funktion. Wie sind die Kehrwertfunktionen definiert. Sinus → Kosekans, Kosinus → Sekans, Tangens → Kotangens. Wertebereich (mögliche y-Werte) der Kehrwertfunktionen.

  • TRI12-2 Kehrwertfunktionen - Kosekans u. Sekans am Einheitskreis

    Wir betrachten uns, wie sich die Kehrwertfunktionen Kosekans und Sekans am Einheitskreis ergeben. Klärung der Begriffe Ko-Sekans und Sekans über den Sekantenabschnitt.

  • TRI12-3 Kehrwertfunktionen - Kotangens + csc-/sec-/cot-Funktionen

    Wir schauen uns an, wie Kotangens am Einheitskreis abgelesen wird und weshalb man den Begriff Ko-Tangens verwendet. Danach betrachten wir die csc-/sec-/cot-Funktionen inklusive Definitionslücken. Beispielaufgabe zum Finden des Schnittpunktes: cot(x-30°) = tan(x-30°).

  • TRI12-4 Ergänzungen zur Trigonometrie

    Berechnung der Aufgabe sin(x)=cos(x). Was sind gemischt-goniometrische Gleichungen. Blick auf die Umkehrfunktion Arkussinus. Ausdruck des Sinuswertes sin(45°) über eine Wurzel. Rückführung der trigonometrischen Funktionen auf Sinus. Ausblick höhere Mathematik: Taylorreihen + Fourierreihen.

Zugriff auf alle Videos bestellen

Wissen zur Lektion

in Vorbereitung

Mathe-Programme

Lernprogramme zu Kehrwert- und Umkehrfunktionen der Trigonometrie:

  • Arkuskosinusfunktion Arkuskosinusfunktion
    Die Umkehrfunktion für Kosinus ist definiert für das Intervall 0° bis 180°. Sie ordnet einem Kosinuswert den entsprechenden Winkel zu.
  • Arkussinusfunktion
    Arkussinusfunktion
    Die Umkehrfunktion für Sinus ist definiert für das Intervall -90° bis 90°. Sie ordnet einem Sinuswert den entsprechenden Winkel zu.
  • Arkustangensfunktion
    Arkustangensfunktion
    Die Umkehrfunktion für Tangens ordnet einem Tangenswert den entsprechenden Winkel zu.
  • Kosekans am Einheitskreis Kosekans am Einheitskreis
    Die Kehrwertfunktion Kosekans ist definiert als csc(x) = HY/GK = 1/sin(x). Hier wird sie am Einheitskreis veranschaulicht.
  • Kosekansfunktion
    Kosekansfunktion
    Dieses Programm zeigt die allgemeine Sinusfunktion sowie die dazugehörige Kehrwertfunktion Kosekans.
  • Kotangens am Einheitskreis
    Kotangens am Einheitskreis
    Die Kehrwertfunktion Kotangens ist definiert als cot(x) = AK/GK = 1/tan(x). Hier wird sie am Einheitskreis veranschaulicht.
  • Kotangensfunktion
    Kotangensfunktion
    Dieses Programm zeigt die allgemeine Tangensfunktion sowie die dazugehörige Kehrwertfunktion Kotangens.
  • Sekans am Einheitskreis
    Sekans am Einheitskreis
    Die Kehrwertfunktion Sekans ist definiert als sec(x) = HY/AK = 1/cos(x). Hier wird sie am Einheitskreis veranschaulicht.
  • Sekansfunktion
    Sekansfunktion
    Dieses Programm zeigt die allgemeine Kosinusfunktion sowie die dazugehörige Kehrwertfunktion Sekans.
Weitere Lernprogramme aufrufen

Übungsaufgaben

Neue Aufgaben sind in Vorbereitung.

Die Übungsaufgaben findet ihr hier:

Aufgaben herunterladen (PDF) Alle Lösungen im Lernzugang

Mathegigant - Mathewissen testen Teste dein Wissen bei Mathegigant

Untertitel

Sucht ihr nach einer bestimmten Stelle in den Videos? Dann sucht hier direkt in den Untertiteln.

Video Teil 1: Einführung zu den Kehrwertfunktionen

Hallo liebe Zuschauer, in dieser Lektion wollen wir uns die Kehrwertfunktionen anschauen und zwar zu Sinus, Kosinus und Tangens. Wir wollen uns die Kehrwertfunktion am Einheitskreis anschauen und dann auch im Koordinatensystem. Zur Wiederholung was meint „Kehrwert“ überhaupt? Da erinnert euch an die Bruchrechnung, da hatten wir gelernt, wenn wir den Kehrwert bilden sollen, hier bei dem Zahlenbeispiel 2, die wir zu 2/1 erweitern, können wir den sogenannten Kehrwert bilden und das bedeutete Zähler und Nenner tauschen ihre Plätze. Also aus 2/1 wird ½. Und dieser Kehrwert lässt sich nicht nur bei Brüchen anwenden, sondern auch bei Funktionen. Nehmen wir als Beispiel f(x) gleich x, dann machen wir aus dem x x/1, wenn wir jetzt von dieser Funktionsgleichung den Kehrwert bilden wollen, schreiben wir – nennen wir die Kehrwertfunktion g(x) – und die ist jetzt 1 durch x. Der Nenner ist nach oben gegangen zum Zähler und der Zähler ist nach unten gegangen in den Nenner, unser Kehrwert. Und genau das machen wir jetzt für die trigonometrischen Funktionen. Nehmen wir als erstes Sinus. Was ist also die Kehrwertfunktion von Sinus? Und nehmen wir gerade nochmal unser Beispiel, hier können wir nämlich anstatt unser x sin(x) eintragen. Hier und hier. Und wir erkennen, sin(x), unsere Funktion, hat die Kehrwertfunktion 1 durch sin(x). Also das hier können wir wieder ohne Nenner schreiben. sin(x) umgekehrt ist also 1 durch sin(x). Und diese Funktion hat auch einen eigenen Namen, man nennt sie „Kosekans“. Was dieser Begriff bedeutet das werden wir uns auch gleich anschauen, jetzt klären wir aber erstmal was das hier inhaltlich bedeutet. Erinnern wir uns, dass sin(x) definiert ist als Gegenkathete durch Hypotenuse. Das heißt wir nehmen jetzt unsere Formel hier und setzen für sin(x) jetzt den Bruch Gegenkathete durch Hypotenuse ein. Vorher schreiben wir das hier noch als Division und jetzt setzen wir diesen Term hier ein. Und jetzt brauchen wir wieder die Bruchrechenregeln. Dividieren wir durch einen Bruch ist das das gleiche als ob wir mit dessen Kehrwert multiplizieren. Wir rechnen also 1 mal Hypotenuse durch Gegenkathete. Und dann können wir auch diese 1 mal hier wegnehmen und es bleibt übrig Hypotenuse durch Gegenkathete. Also 1 durch sin(x) ist nichts weiter als Hypotenuse durch Gegenkathete. Hier in einer Zeile geschrieben. Und sin(x) war ja Gegenkathete durch Hypotenuse und der Kehrwert ist Hypotenuse durch Gegenkathete. Wir fragen jetzt also nicht mehr wie beim Sinus, wie lange ist die Gegenkathete im Verhältnis zur Hypotenuse, wir fragen jetzt vielmehr wie lang ist die Hypotenuse im Vergleich zur Gegenkathete. Und an dieser Stelle noch ein Wort zu den möglichen Werten. Bei Sinus hatten wir Werte minus 1 und 1. Und wenn ihr jetzt hier 1 durch minus 1 bis 1 rechnet, werdet ihr feststellen, dass alle reellen Zahlen möglich sind nur Zahlenwerte zwischen minus 1 und 1 werden wir nicht erreichen. Das heißt beim sin(x) haben wir Werte von -1 über 0 bis 1 und bei 1 durch sin(x) haben wir als Werte alle reellen Zahlen, außer dem Bereich minus 1 bis 1. Also das schauen wir uns gleich nochmal konkret im Einheitskreis an. Und jetzt haben wir eine Sache noch nicht gesagt. Dieses 1 durch sin(x), also die Kehrwertfunktion Kosekans hat auch eine eigene Abkürzung. Und Kosekans schreibt mal als csc. Also wenn ihr das hier seht csc(x), wisst ihr, es handelt sich um 1 durch sin(x). Bzw. um das Verhältnis im rechtwinkligen Dreieck Hypotenuse durch Gegenkathete. Als Beispiel: Haben wir sin(30°) erhalten wir den Wert 0,5. Das heißt in einem Dreieck wird, da ja Sinus Gegenkathete durch Hypotenuse ist, wenn wir das hier umstellen, die Gegenkathete halb so lang sein wie die Hypotenuse. Wenn wir jetzt den Kosekans berechnen von 30°, rechnen wir also 1 durch sin(x). Und sin(30°) ist ja 0,5. Und richtig. 1 durch 0,5 ergibt 2. Das heißt, da ja Kosekans Hypotenuse durch Gegenkathete bedeutet, können wir sagen, wenn wir das hier umstellen, dass sich die Hypotenuse ergibt aus 2 mal der Gegenkathete. Mit dem Sinus das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse. Mit dem Kosekans das Verhältnis Hypotenuse zu Gegenkathete. Gut, merkt euch bitte diesen Teil hier oben. Werfen wir als nächsten einen Blick auf die Kehrwertfunktion von Kosinus.
Beim Kosinus, also bei dessen Kehrwertfunktion, funktioniert das genauso. Wir haben unseren Kosinus mit Ankathete durch Hypotenuse. Und wenn wir jetzt hier den Kehrwert bilden, erhalten wir 1 durch cos(x). Und auch hier geht die Hypotenuse in den Zähler und die Ankathete in den Nenner. Und diese Kehrwertfunktion, die uns also angibt, wie lang die Hypotenuse im Vergleich zur Ankathete ist, nennen wir „Sekans“, bzw. „Sekansfunktion“. Und wir schreiben sie als sec(x). Das heißt wenn ihr das hier seht, wisst ihr, es handelt sich um 1 durch cos(x). Und auch hier gilt, die Werte die hier rauskommen, also bei Hypotenuse durch Ankathete, werden, wie auch beim Kosekans, niemals zwischen minus 1 und 1 groß sein, da die Hypotenuse nicht kleiner sein kann als die Ankathete. Wir merken uns also für den Sekans gilt: sec(x) ist das gleiche wie 1 durch cos(x). Gut, betrachten wir uns als nächstes den Tangens.
Da hatten wir gelernt, der Tangens gibt an, in welchem Verhältnis die Gegenkathete und die Ankathete stehen. Und wenn wir jetzt 1 durch Tangens rechnen, also den Kehrwert bilden, so drehen sich auch Gegenkathete und Ankathete, also Ankathete durch Gegenkathete. Wir schauen uns also hiermit an, in welchem Verhältnis die Ankathete zur Gegenkathete steht. Und 1 durch tan(x), diese Kehrwertfunktion, nennen wir „Kotangens“. Und Kotangens wird geschrieben als cot. Also cot(x) ist das gleiche wie 1 durch tan(x). Das bitte als drittes merken.
Betrachten wir uns noch einmal alle drei Kehrwertfunktionen in der Übersicht: Sinus wird zu Kosekans, Kosinus wird zu Sekans und Tanges wird zu Kotangens. Und hier sind die Kehrwerte abgebildet. Und bitte merkt euch, die Kehrwertfunktionen werden direkt über die Seiten, also Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse, definiert. Also wenn euch jemand fragt, wie ist der Kotangens definiert? Dann antwortet ihr mit Ankathete durch Gegenkathete. Und hieraus lassen sich dann die Formen 1 durch sin(x), 1 durch cos(x) und 1 durch tan(x) ableiten. Schauen wir uns als nächstes den Sinus und den Kosekans im Einheitskreis an.

Video Teil 2: Kosekans und Sekans am Einheitskreis

Schauen wir uns also als erstes die Kehrwertfunktion Kosekans im Einheitskreis an. Wir hatten im Einheitskreis ja, Sinus als Gegenkathete des rechtwinkligen Dreiecks definiert, wo befindet sich jetzt Kosekans? Und hier sehen wir schon: das ist der Einheitskreis, hier ist die Gegenkathete blau dargestellt und unser Sinuswert und die lila Linie hier ist unser Wert für Kosekans. Also die Länge dieser Linie ist der Wert des Kosekans. Sinus ist 0,5 und 1 durch 0,5 ist 2. Und wir sehen diese 2 lässt sich hier ablesen. Der Radius von der Mitte des Kreises bis hier ist 1 und dann nochmal die gleiche Strecke bis hier ist 2. Jetzt fragt ihr euch, warum lässt sich Kosekans gerade an dieser Strecke ablesen?! Und da könnt ihr euch vorstellen, dass wir hier ein rechtwinkliges Dreieck einzeichnen, wobei sich hier die Gegenkathete befindet. Und können dann für dieses größere Dreieck aufstellen: sin(α) ist gleich diese Gegenkathete dividiert durch diese lange lila Linie, also jetzt für diesen Fall hier die Hypotenuse dieses großen Dreiecks. Und wenn wir das jetzt aufstellen sin(α) ist gleich Gegenkathete durch Hypotenuse, wissen wir ja, die Höhe hier, ihr sehr ja, wir haben hier eine gestrichelte Linie, die geht bei 1 durch. Das heißt die Höhe der Gegenkathete soll immer 1 sein. Also wir können auch mal kurz einen anderen Winkel einstellen; ihr seht sie geht immer auf diese Linie. Das heißt die Gegenkathete ist 1 und wir können jetzt bei der Formel Gegenkathete mit 1 ersetzen. Wir erhalten also sin(α) ist gleich 1 durch Hypotenuse. Und wenn wir jetzt diese Gleichung umformen, können wir die Hypotenuse auf die linke Seite multiplizieren und dann sin(α) auf die rechte Seite dividieren. Wir erhalten dann also, Hypotenuse ist gleich 1 durch sin(α). Und wir wissen ja 1 durch sin(α) ist Kosekans, csc(α). Also Kosekans. Also die Länge der Hypotenuse entspricht dem Wert für Kosekans. Wir hatten ja vorher gesagt, dass der Wert für Kosekans nie zwischen 0 und 1 liegen kann, da ja die Hypotenuse nie kleiner als die Gegenkathete ist. Also die Hypotenuse mit 1. 1 durch diesen Wert ist hier 1,057. Und wenn wir die Gegenkathete verkleinern. 1 durch 0,799 ist rund 1,252. Also umso kleiner die Gegenkathete wird desto größer wird unser Kosekanswert. Und zum Beispiel bei 0,105 für die Gegenkathete haben wir schon einen Kosekanswert von 9,5. Und wenn wir jetzt auf 0 gehen, erhalten wir ein „nicht definiert“, weil 1 durch 0 nicht definiert ist. Wir merken uns also, csc(0°) ist nicht definiert, da 1 durch 0 nicht definiert ist. Und jetzt lassen wir die Gegenkathete größer werden. Wir hatten ja gesagt 1 durch diesen Wert für dieses Beispiel ist Kosekans 1,015. Wenn wir auf 90° gehen, hat unsere Gegenkathete die gleiche Länge wie die Hypotenuse. Wir rechnen also 1 durch 1 und Kosekans von diesen 90° ist 1. Und wenn wir jetzt hier in den zweiten Quadranten gehen, richtig, die Gegenkathete wird wieder kürzer als die Hypotenuse, das heißt der Wert für Kosekans wird wieder größer als 1. Und wenn wir jetzt auf 180° gehen, haben wir wieder eine Division durch 0, deswegen ist csc(180°) nicht definiert. Und, wenn wir jetzt in den dritten Quadranten gehen, seht ihr, haben wir jetzt negative Werte für Sinus und damit auch für Kosekans. Und hier, ihr seht, csc(270°) ist 1 durch minus 1 und das ergibt minus 1. Und hier haben wir wieder im Betrag große Werte und wenn wir jetzt auf die 360° gehen, bzw. 0°, haben wir wieder ein nicht definiert. Gut, ihr merkt euch also, für den Einheitskreis, ihr könnt den Kosekanswert an dieser Linie hier ablesen. Die Länge dieser Linie gibt euch den Kosekanswert. Aber aufpassen: Im negativen Bereich ist hier ein Minus vorzusetzen, denn dann haben wir hier einen negativen Wert für Kosekans. Gut, wie sieht es aus mit dem Cosinus?
Beim Cosinus, bzw. beim Sekans, am Einheitskreis, ist es dem Sinus natürlich sehr ähnlich, denn der Kosinus ist ja nichts weiter als der um 90° verschobene Sinus. Das heißt hier gucken wir uns ebenfalls das große Dreieck an. Wählen wir die Hypotenuse hier aus. Und wir sehen diese lila Linie soll unser Wert für den Sekans sein. In diesem Fall mit 2. Denn Kosinus ist 0,5. 1 durch 0,5 ist 2. Eine Einheit, zwei Einheiten. Und für dieses große Dreieck hier sagen wir, die Ankathete ist 1 lang. Dieser Radius des Einheitskreises. Also wir können nun aufstellen für dieses große Dreieck der cos(α) ergibt sich aus Ankathete durch Hypotenuse. Die Ankathete ist 1 lang und wir erhalten cos(α) gleich 1 durch Hypotenuse. Jetzt formen wir wieder um, multiplizieren die Hypotenuse nach links und dividieren cos(α) nach rechts, und wir haben so stehen: Die Länge der Hypotenuse ergibt sich aus 1 durch cos(α). Und wie wir gelernt haben 1 durch cos(α) ist Sekans. Das heißt die Länge der Hypotenuse entspricht dem Wert für Sekans. Wir können ihn dort also ablesen. An dieser Stelle sei erwähnt, warum man überhaupt Sekans und Kosekans sagt. Dazu müsst ihr wissen, dass Sekante aus dem Lateinischen kommt und „secare“ „schneiden“ bedeutet. Und eine Sekante ist eine Linie, die einen Kreis in zwei Punkten schneidet. Das heißt wenn wir jetzt diese lila Linie verlängern, erhalten wir eine Sekante, die hier und hier ihre Schnittpunkte mit dem Kreis hat. Und dieser Teil hier, dieser lila Teil, ist ein Sekantenabschnitt, also ein Abschnitt auf dieser Geraden. Deshalb sagt man hierzu Sekans. Und beim Sinus ist es der Sekans des Komplementärwinkels. Und jetzt haben wir eins noch nicht gezeigt und zwar den Kotangens, den betrachten wir uns als nächstes.

Video Teil 3: Kotangens am Einheitskreis + csc-/sec-/cot-Funktionen

Der Kotangens lässt sich im Einheitskreis hier oben ablesen an dieser lila gefärbten Linie. Und wir hatten ja gesagt Kotangens ist 1 durch Tangens und der tan(45°) ist 1. 1 durch 1 ist 1. Jetzt fragt ihr euch vielleicht, warum der Kotangens hier oben als Linie eingezeichnet ist. Das könnt ihr euch genauso über Sinus und Kosinus herleiten. Wir sagen ganz einfach, nehmen wir ein größere Dreieck, und zwar dieses hier, dass der tan(α) diese Gegenkathete durch diese Ankathete ist. Und wir haben ja hier mit dieser gestrichelten Linie die Gegenkathete auf 1 angepasst, also diese wird immer 1 sein bei diesem großen Dreieck, das heißt wir können schreiben tan(α) ist gleich 1 durch Ankathete. Jetzt multiplizieren wir Ankathete nach links und dividieren tan(α) nach rechts. Und wir sehen die Ankathete dieses Dreiecks ist immer 1 durch tan(α), also Kotangens. Und wir haben diese Ankathete nicht hier, sondern hier oben eingezeichnet, wir hätten sie aber auch hier unten einzeichnen können. Und wiederholen wir, der Tangens gibt an in welchem Verhältnis Gegenkathete und Ankathete stehen, also ist der Tangens 1, sind beide gleich groß. Wenn hier einen Tangenswert von etwa 0,5 einstellen, also 0,51, dann wissen wir, die Gegenkathete ist halb so lang, also 0,5 mal so lang wie die Ankathete. Und hier oben sehen wir, der Kotangens ist rund 2, das heißt die Ankathete ist 2 mal so lang wie die Gegenkathete. Also das was wir schon gesagt haben. Und jetzt fragt ihr euch, warum heißt das Ding denn Kotangens? Und da könnt ihr mal in diesen Bereich schauen. Dieser Winkel ergibt sich ja aus 90° minus α, also das ist der Komplementärwinkel von α. und wenn ihr jetzt dieses Dreieck hier nehmt, könnt ihr Gegenkathete durch Ankathete rechnen, also diese Strecke geht hier hoch und diese Strecke hier könnt ihr hier her setzen und Gegenkathete durch Ankathete sind in dem Fall rund 1,961. Das heißt diese Linie hier oben ist die Tangenslinie für diesen Winkel hier, für den Komplementärwinkel. Und aus diesem Grund sagt man Tangens des Komplementärwinkels, also Kotangens. Gut, an dieser Stelle folgt ein wichtiger Hinweis: Wir hatten ja die Kehrwertfunktion von Tangens, also den Kotangens definiert als Ankathete durch Gegenkathete und hatten gesagt hieraus folgt 1 durch tan(x). Wenn wir aber 1 durch tan(x) schreiben, gibt es jedoch eine wichtige Sache, die wir beachten müssen. Schauen wir uns diese kurz an. Wie wir wissen ist tan(90°) nicht definiert. Wenn wir jetzt sagen würden der cot(x) ist 1 durch tan(x), dann hieße das cot(90°) ist 1 durch tan(90°). Und hier oben steht’s, dieser wäre nicht definiert. Womit auch cot(90°) nicht definiert wäre. Jedoch, wie wir bereits gelernt haben, ist Kotangens Ankathete durch Gegenkathete und damit auch schreibbar als cos(x) durch sin(x). Also ihr erinnert euch, das ist wie beim Tangens. Das können wir hier auflösen zu Kosinus Ankathete durch Hypotenuse; Sinus Gegenkathete durch Hypotenuse. Diesen Bruch dividieren wir, in dem wir den Kehrwert multiplizieren. Hypotenuse und Hypotenuse kürzen sich weg und es bleibt Ankathete durch Gegenkathete übrig. Ihr seht also Kosinus durch Sinus ist Ankathete durch Gegenkathete und wir dürfen hier oben das so schreiben. Und mit cos(x) durch sin(x) können wir jetzt die 90° lösen, indem wir hier die 90° einsetzen. Denn dann können wir ausrechnen, cos(90°) ist 0 und sin(90°), richtig, ist 1. Und 0 durch 1 ist 0. So erhalten wir also tatsächlich für cot(90°) den Wert 0. Also hier bitte unbedingt aufpassen wenn ihr Kotangens verwendet und sagt 1 durch tan(x), muss tan(x) definiert sein. Verwendet daher besser direkt Ankathete durch Gegenkathete bzw. Kosinus durch Sinus. Gucken wir uns das im Einheitskreis nochmals an. Wir erhalten also für Kotangens stets einen Wert, nur nicht, wenn der Tanges 0 wird. Der Tangens von 0° ist 0, das heißt 1 durch 0 ist nicht definiert für den Kotangens. Genauso auf der anderen Seite bei 180°. tan(180°) ist 0 und der Kotangens ist mit 1 durch 0 nicht definiert. Wie aber gesagt, wir müssen aufpassen, hier bei 90° haben wir hier den Tangens nicht definiert, jedoch den Kotangens definiert. Und zwar rechnen wir hier anstatt 1 durch Tangens ganz einfach Kosinus durch Sinus. cos(90°) ist 0. sin(90°) ist 1. 0 durch 1 ist 0, wir erhalten also den Kotangenswert 0. Gleiches auch hier unten bei 270°. Der Tangens ist nicht definiert, jedoch der Kotangens mit 0. Das bitte merken. Ihr seht also, alle unsere Kehrwertfunktionen sind dann nicht definiert, wenn Sinus, Kosinus oder Tangens 0 sind. Gut, jetzt haben wir Sekans, Kosekans und Kotangens am Einheitskreis angeschaut, als nächstes wollen wir uns das als Funktionsgraphen betrachten.
Schauen wir uns also jetzt die Graphen der Kehrwertfunktionen an. Hier in rot dargestellt diesmal, ist der Sinusgraph und er ist diesmal nicht so hochgeschwungen, weil wir hier eine Einteilung von 2, 4 gewählt haben. Also hier ist die 1 in etwa, das heißt hier bei 90° ist er bei 1. Und hier bei 270° ist der Graph bei minus 1. Und diese blauen Linien hier, das ist der Funktionsgraph für die Kosekansfunktion. Und wie könnt ihr euch das vorstellen? Ihr nehmt den Wert der Sinusfunktion, bei 90° wäre der ja 1. 1 durch 1 sind 1, also sind wir an der gleichen Stelle. Wenn wir hier zu 30° gehen, sin(30°) ist 0,5. 1 durch 0,5 ist 2. Wir sind hier oben angelangt. Und so wird jeder einzelne Wert der Sinusfunktion 1 durch gerechnet und wir erhalten diesen blauen Graphen. Und hier sehen wir auch, dass kein Wert der Kosekansfunktion kleiner als 1 sein darf, denn die Hypotenuse kann ja nicht kürzer als die Gegenkathete sein. Das hatten wir bereits erwähnt. Und ihr seht, dass hier in diesem Bereich der niedrigste Wert bei 1 ist. Und hier in diesem Bereich ist der höchste Punkt bei minus 1. Und ihr seht auch, dass wir hier eine Periode haben und zwar auch von 0° bis 360° und dann geht der Graph wieder von vorne los. Entsprechend dem Sinusgraphen. Außerdem sehen wir, dass der Kosekansgraph dort nicht definiert ist, wo Sinus gleich 0 ist, also zum Beispiel bei 0° und 180°. Dort haben wir durch das „nicht definiert“ sogenannte Definitionslücken. Und auch bei der Kosekansfunktion können wir, wie beim Sinus, die Periode verändern. Den Graphen nach oben und nach unten verschieben. Nach links und nach rechts verschieben. Und stauchen und strecken. Und schließlich damit auch Berechnungen anstellen. Beim Kosinus, also der Sekansfunktion, funktioniert das genauso, wir haben bloß den gesamten Graphen um 90° verschoben. Also verschieben wir jetzt den Kosinusgraphen, hier auch in Rot dargestellt, um 90° nach rechts, haben wir den Sinusgraphen. Wir können also auch sagen, verschieben wir die Sekansfunktion um 90° nach rechts haben wir die Kosekansfunktion. Und auch hier können wir die Werte beliebig verändern. Stauchen, strecken, verschieben und so weiter. Und als letztes noch den Tangens und den Kotangens. Tangens hier Orange dargestellt und Kotangens in Blau. Und hier ist es auch so, der blaue Kotangesgraph ergibt sich, indem wir 1 durch jeden Tangenswert rechnen. Bei 45° ist der Tangens 1. 1 durch 1 ist 1. Wir erhalten die gleiche Position. Und im Gegensatz zum Kosekans und Sekans, kann der Graph der Kotangensfunktion alle beliebigen Werte annehmen. Er hat aber auch Definitionslücken, wo Tangens gleich 0 ist. Also zum Beispiel bei 0° oder bei 180°. Er hat damit Definitionslücken bei 0°, 180° und so weiter. Und hier ist gut zu sehen, der Graph kommt aus dem positiv Unendlichen, schneidet bei 90° die 0 und danach geht er ins negative Unendliche. Und auch hier haben wir eine Periode von 180°. Von 0° bis 180° und dann von 180° bis 360°. Und auch hier könnt ihr strecken, stauchen, nach rechts und links verschieben und nach oben und unten verschieben. Gut. Als allerletztes wollen wir noch eine Aufgabe rechnen und zwar wollen wir den Schnittpunkt ausrechnen von einer Tangensfunktion mit einer Kotangensfunktion. Wie das geht schauen wir uns als nächstes an.
Wir wollen also hier für diese Funktion cot(x minus 30°) und tan(x minus 30°) den Schnittpunkt berechnen und zwar im Intervall 0° bis 90°. Also genau diesen Schnittpunkt hier. Wie machen wir das? Grundsätzlich, das hatten wir bei den Funktionen gelernt, wenn wir einen Schnittpunkt finden wollen, müssen wir die beiden Gleichungen gleichsetzen. Und unsere beiden Gleichungen sind f(x) und k(x), also unsere Kotangensfunktion und unsere Tangensfunktion. Und die beiden hießen cot(x minus 30°) und tan(x minus 30°). Wie gehen wir also da ran um hier den Winkel x ermitteln zu können? Und das erste was ihr machen könnt, wenn ihr Kotangens habt; wandelt ihn in Tangens um. Denn wir wissen ja, cot(α) ist nichts weiter als 1 durch tan(α). Das heißt wir schreiben hier 1 durch tan(x minus 30°) und jetzt ziehen wir diesen Teil auf die rechte Seite rüber. Und wir erhalten 1 gleich tan(x minus 30°) mal tan(x minus 30°). Und diesen Teil können wir jetzt als Quadrat schreiben. Und wir erhalten tan^2(x minus 30°). Und jetzt können wir, da hier ein Quadrat ist, die Wurzel auf beiden Seiten ziehen. So erhalten wir Plusminus Wurzel aus 1 ist gleich Wurzel aus tan^2(x minus 30°). Wurzel aus 1 ist 1 und Wurzel aus tan^2, da heben sich Wurzel und Quadrat auf und es bleibt tan(x minus 30°) übrig. An dieser Stelle haben wir also einen Wert und tan(x minus 30°) und wir können das hier auflösen mit dem Arkustangens. Und wir wissen, dass arctan(minus 1) -45° ergeben würde und wir damit einen negativen Winkel haben, was jedoch nicht in unserem Lösungsintervall von 0° bis 90° wäre, deswegen können wir die minus 1 hier verwerfen und nehmen nur die plus 1. Dann erhalten wir arctan(1) ist gleich x minus 30°. Und der arctan(1) ist 45°, dann können wir noch die 30° hier rüber ziehen und wir erhalten für unseren Winkel x 75°. Die Lösung unserer Aufgabe. Und schauen wir uns das noch im Koordinatensystem an, da sehen wir hier, bei 75°, den Schnittpunkt beider Graphen tan(x minus 30°) und cot(x minus 30°). Also unsere Lösung ist korrekt.

Video Teil 4: Ergänzungen zur Trigonometrie

In all den vorigen Lektionen haben wir uns diverse Themen der Trigonometrie angeschaut, damit seid ihr in der Lage die Trigonometrie als Werkzeug zu verwenden. Ihr könnt jetzt also beliebige Dreiecksaufgaben berechnen, aber auch trigonometrische Funktionen lösen. Wir wollen die letzten Minuten noch nutzen um euch ein paar ergänzende Hinweise und Tipps mit auf den Weg zu geben. Wir haben ja in den Lektionen gelernt, dass ihr für das Lösen trigonometrischer Gleichungen verschiedene Methoden zur Auswahl habt. Als Hinweis: Manchmal reicht es schon, wenn ihr die Gleichung mit einer Division umformt. Wir wollen kurz dieses Beispiel lösen und hierfür reicht es, wenn wir diese Gleichung durch cos(x) dividieren. Denn dadurch erhalten wir sin(x) durch cos(x) ist gleich cos(x) durch cos(x) und das ist 1. Und sin(x) durch cos(x), das wissen wir, ist tan(x). Und hieraus den Arkustangens. arctan(1) ist, richtig, 45°. Wie ihr seht, habt ihr manchmal die Möglichkeit auch schneller ans Ziel zu kommen. Ohne Additionstheoreme oder das Wissen aus der Lektion „Trigonometrische Gleichungen“. Aber aufpassen, es kann auch manchmal passieren, dass ihr so eine Gleichung habt, für die es keinen allgemeinen Lösungsalgorithmus gibt. Also wir könnten jetzt spaßeshalber die 4x hier rüber ziehen und wenn wir jetzt den Arkussinus ziehen, erhalten wir arcsin(4x). Also hier ist wieder ein x und hier ist ein x. Ihr seht, mit den uns bekannten Methoden lässt sich das hier nicht berechnen. Für solche Gleichungen gibt es graphische Methoden der Lösung, aber auch numerische Näherungsverfahren. Die Gleichungen haben auch einen Namen, man nennt sie „Gemischt-goniometrische Gleichungen“. Es kann übrigens auch mal passieren, dass ihr auf die Funktion von Arkussinus trefft. Das heißt wir betrachten uns nicht den sin(x) als Funktion, sondern den arcsin(x). Und bei diesen sogenannten Umkehrfunktionen müssen wir ein Intervall festlegen, damit sie funktionieren. Also hier nur ganz kurz gezeigt. Die Arkussinusfunktion ist definiert für den Bereich -90° bis 90°, also ihr müsst euch jetzt vorstellen, die x-Achse ist jetzt unsere Winkelangabe und die y-Achse ist tatsächlich unser Sinuswert. Und wir sehen sin(90°) ist 1 bzw. der arcsin(1) ist 90° Im Intervall -90° bis 90°. Oder hier der sin(0°) ist 0. Oder der sin(-90°) ist -1. Und das hier ist die umgekehrte Form der allgemeinen Sinusfunktion. Und auch hier lässt sich der Graph verschieben. Strecken und stauchen. Verschieben. Und strecken und stauchen. Also hier hilft es meistens sich das Koordinatensystem gedreht vorzustellen und sich das als Ausschnitt der Sinusschwingung zu denken. Gut, hier noch kurz gezeigt, wie man auf die Umkehrfunktion kommt, von der allgemeinen Sinusfunktion ausgehend. Das ist die allgemeine Sinusfunktion mit a, b, c und d und hier kommt unser y heraus, unser Sinuswert. Und diese Gleichung stellen wir jetzt nach x um. Wir subtrahieren das d auf die rechte Seite, wir dividieren durch a. Ziehen jetzt den Arkussinus. Erhalten dann bx + c gleich arcsin( (y-d)/a ). Jetzt noch das c rüber subtrahiert. Und als letztes das b herüber dividiert. Und so erhalten wir die Umkehrung für unsere Funktion, die uns aus dem Sinuswert für y nachher den Winkel wiedergibt. Und das ist hier auf einer Zeile dargestellt. Mit d, a, c und b. Und dieses hoch -1, das könnt ihr euch auch merken, das heißt Umkehrung. Genauso wie bei sin^(-1) schreiben wir auch hier ein f^(-1). Ihr werdet auch, übrigens, bei einigen Lehrbüchern auf Fall treffen, dass Sinusangaben mit Wurzeln gemacht werden. Für ein Beispiel sin(45°), wird auch manchmal geschrieben als ½*Wurzel 2, also damit rund 0,707. Und jetzt fragt ihr euch, wie kommt man denn hier auf ½*Wurzel 2?! Und da erinnert euch an die Sehnenfunktion, da hatten wir einen Kreis kennen gelernt, bei dem wir zwei Punkte gegenüber gesetzt haben und auf diese Weise zwei rechtwinklige Dreiecke erzeugen konnten. Und wenn wir jetzt hier mal 90° einstellen, dann wissen wir, die Hälfte davon sind 45° und diese grüne Strecke hier, mit 1,414 ergibt sich, in dem wir, weil hier ein rechter Winkel ist, den Satz des Pythagoras anwenden: 1² und hier 1², das heißt die Wurzel aus (1² + 1²) ist diese lange Seite. Und das ist die Wurzel aus 2, also im Wert rund 1,414. Und wenn wir jetzt die Hälfte dieser Strecke nehmen, also ½*Wurzel 2 rechnen, kommen wir auf diese Seitenlänge. Deshalb sin(45°) ist ½*Wurzel 2. Also rund 0,707. Diese Information, wie gesagt, nur als Ergänzung. So wisst ihr also, warum hier ½*Wurzel 2 geschrieben wird. Und erinnert euch stets daran, ihr könnt alle trigonometrischen Funktionen auf Sinus zurückführen, den wir ja als erstes im rechtwinkligen Dreieck definiert hatten. Also cos(x) ist sin(90°-x). Oder csc(x) ist, richtig, 1/sin(x). Oder tan(x) kann geschrieben werden als sin(x)/cos(x) und cos(x) ist ja sin(90°-x), können es also hier ersetzen. Oder als letztes Beispiel: sec(x) ist, richtig, 1/cos(x) und cos(x) ist sin(90°-x) und auch hier haben wir wieder eine trigonometrische Funktion mit Sinus ausgedrückt. Also wie ihr seht, die trigonometrischen Funktionen sind alle auf den Sinus zurückzuführen.
Noch ein kleiner Ausblick. Wir hatten ja bisher noch nicht geklärt, wie sich der Sinuswert von einem Winkel konkret berechnen lässt. Wir hatten bisher hier immer einen Winkel eingesetzt und unseren Sinuswert herausbekommen. Es gibt aber auch Möglichkeiten den Sinuswert anhand des eingesetzten Winkels zu berechnen. Und das geht über sogenannte Taylorreihen. Mithilfe dieser sogenannten Taylorreihen ist es möglich sich an den Sinuswert eines Winkels anzunähern. Und gleiches gilt auch für den Kosinus, da gibt es ebenfalls eine solche Vorschrift, die so aussieht. Aber wie ihr schon sehen könnt, handelt es sich hier um höhere Mathematik, die erst viel später behandelt wird. Falls ihr Mathematik oder Naturwissenschaften studieren solltet, werdet ihr sicherlich auch auf die Fouriertransformationen bzw. auf die Fourierreihen stoßen, was nichts weiter bedeutet, als das ihr Schwingungen zerlegen könnt in Sinus- und Kosinusschwingungen, sie also damit berechnen und analysieren könnt. Hier ein kleines Beispiel. Stellt euch vor ihr hättet diesen roten Graphen, diese Schwingung, dann könntet ihr diese Schwingung annähern, in dem ihr ein 0,5*cos(2x) wählt, das sieht dann so aus, und hierauf addiert ihr ein sin(0,5x). Und die grüne und die blaue Schwingung ergeben zusammen die rote Schwingung. Also wir können uns ein paar Beispielpunkte wählen. Hier bei x gleich 0, hat unser grüner Graph die Höhe 0 und der blaue Graph die Höhe 0,5. 0 + 0,5 ist 0,5. Wir sind hier mit dem roten Graphen. Oder hier bei ca. 0,25. Grüner Graph und blauer Graph haben die gleiche Höhe: 0,25 + 0,25 ergibt 0,5 für den roten Graphen. Oder hier drüben auch sehr gut zu sehen. Das ist die Höhe 0,5 für den blauen, das ist die Höhe 1 für den grünen, 1 + 0,5 sind 1,5 für den roten Graphen. Ihr seht wir können die ursprünglich rote Schwingung zerlegen in zwei Teilschwingungen. Bzw. wir können sagen: Sie ergibt sich aus 0,5*cos(2x) + sin(0,5x). Aber wie gesagt, die Fourierreihe/Fourieranalyse fällt in den Bereich der höheren Mathematik. Wir ihr also seht, ist der Bereich der Trigonometrie ein sehr weitreichender und ihr werdet im Alltag, oder auch im Studium, viele Anwendungsmöglichkeiten entdecken. Wir hoffen es hat euch Freude bereitet, ihr habt einiges gelernt und werdet bei zukünftigen Aufgaben entsprechende Lösungen finden und vor allen Dingen, was noch wichtiger ist, alle möglichen Sachverhalte auf die ihr noch stoßen werdet, vollständig verstehen. Für die Zukunft wünschen wir euch hiermit alles, alles Gute.
Tags: Trigonometrie einfach erklärt, Trigonometrische Kehrwertfunktionen wie Sekans, Kosekans und Kotangens

Weitere Lektionen:

Themenauswahl:

Schreib uns deine Hinweise und Ideen

Auf dem Laufenden bleiben per Newsletter:

Durchschnittlich zwei Mails pro Monat.