TRI02: Kreis und Winkel

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 9. - 10. Klasse

Mathe-Videos

Bevor wir richtig mit der Trigonometrie loslegen können, müssen wir drei geometrische Grundlagen beherrschen: 1. Kreis, 2. Winkel, 3. Dreiecke. In den folgenden 4 Videos erfahrt ihr alles, was ihr über Kreise und Winkel wissen müsst. Dies ist ein wesentlicher Wissensbaustein zum Verständnis der Trigonometrie (Sinus und Kosinus, Tangens).

Testet auch eins der vielen Lernprogramme zu Kreisen und Winkeln.

Mathe-Video TRI02-2 Kreis und Winkel - Der Kreis

Der Kreis: Entstehung und Definition des Kreises über Punkte und Polygon. Aufbau des Kreises, Elemente des Kreises. Bedeutung der Kreiszahl Pi. Berechnen von Kreisfläche und Kreisumfang.

Weitere Videos stehen dir als Kunde zur Verfügung:

  • TRI02-1 Kreis und Winkel - Punkt, Strecke, Strahl, Gerade

    Geometrische Grundlagen zur Trigonometrie: Einleitung zum Themenbereich Kreis und Winkel. Wiederholung von Punkt, Strecke, Strahl und Gerade.

  • TRI02-3 Kreis und Winkel - Winkel

    Winkel: Entstehung von Winkeln durch Drehung zweier Strahlen, Winkelmaße (Prozent, Grad, Bogenmaß), Winkelmessung mit dem Geo-Dreieck. Winkelarten und Winkelbezeichnungen. Winkel unter 0 Grad und über 360 Grad.

  • TRI02-4 Kreis und Winkel - Winkel an Geraden

    Winkel an zwei sich schneidenden Gerade. Gegenwinkel (Scheitelwinkel) und Nebenwinkel, Eigenschaften. Winkel an Parallelen: Stufen- und Wechselwinkel. Zusammenfassung.

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Wissen zur Lektion

Was ist ein Kreis?

Bei dem Kreis handelt es sich um ein geometrisches Gebilde, bei dem alle Punkte den gleichen Abstand zum sogenannten Mittelpunkt haben. Dabei betrachten wir das Ganze in einer Ebene, also auf einem Blatt Papier. Würden wir die obige Definition auf eine weitere Dimension ausweiten, uns also im Raum befinden, würde man von einer Kugel sprechen, was uns an dieser Stelle jedoch nicht weiter interessieren soll.

Aufbau des Kreises

Um in der Trigonometrie arbeiten zu können, muss man sich mit dem Kreis und den vorliegenden Begrifflichkeiten vertraut machen. Diese werden im Folgenden mit den wichtigsten Formeln eingeführt.

Kreislinie

Spricht man von einem Kreis, meint man meist die Kreislinie. Diese ist insofern besonders, da jeder Punkt auf dieser Kreislinie vom Mittelpunkt gleich weit entfernt ist. Ist man an der Länge dieser Linie interessiert, so spricht man vom Umfang. Dieser berechnet sich zu u = 2·π·r, wobei r der Radius ist und π die Zahl Pi. Die Kreiszahl π entspricht etwa 3,1415926… und gibt das Verhältnis von Kreisumfang zu Kreisdurchmesser an (π = u/d). Die Zahl ist als Konstante auf jedem Taschenrechner zu finden.

Kreislinie

Radius

Jeder Punkt auf der Kreislinie hat einen gewissen Abstand zum Mittelpunkt. Dieser Abstand wird als Radius bezeichnet. In der Mathematik wird er meist mit einem „r“ versehen bzw. abgekürzt.

Anmerkung: Der Einheitskreis ist in der Trigonometrie der wichtigste Kreis, er spielt eine entscheidende Rolle, um die Werte für Sinus und Kosinus zu bestimmen und zu veranschaulichen. Die Besonderheit dabei ist, dass der Radius beim Einheitskreis die Länge 1 hat.

Kreisradius

Durchmesser

Verlängert man den Radius auf die gegenüberliegende Seite, so hat man den Durchmesser d eines Kreises. Sprich zwei sich gegenüberliegende Punkte (bzgl. Mittelpunkt) ergeben den Durchmesser, welcher damit die Länge d = 2·r besitzt.

Kreisdurchmesser

Kreisfläche

Die Fläche innerhalb der Kreislinie wird als Kreisfläche bezeichnet. Diese lässt sich wiederum über den Radius berechnen. Es gilt A = π·r2.

Kreisfläche

Sehne

Weiterhin interessant ist die sogenannte Sehne. Als Sehne wird die Strecke bezeichnet, die sich ergibt, wenn man zwei Radien abträgt und die Schnittpunkte mit der Kreislinie verbindet. Die Formel lautet s = 2·r·sin(α/2), wobei α der Winkel zwischen den Radien ist.

Sehne vom Kreis

Kreisbogen

Hat man zwei Radien gespannt, so kann man einen Kreisbogen erkennen. Das ist der Teil der Kreislinie, welcher zwischen den beiden Schnittpunkten der Radien mit der Kreislinie liegt. Die Formel für die Länge des Kreisbogens lautet: b = r·π·α/180°, auch hier ist α der Winkel zwischen den Radien.

Kreisbogen

Kreissektor/Kreisausschnitt

Der Kreissektor (oder auch Kreisausschnitt) ist die Fläche, die sich zwischen zwei Radien und dem Kreisbogen aufspannt. Man berechnet sie mit A = r2·π·α/360°

Kreissektor

Kreissegment/Kreisabschnitt

Das Kreissegment (oder auch Kreisabschnitt) ist wiederum eine Fläche. Diese allerdings ist nur der Teil zwischen Kreisbogen und Sehne.

Kreissegment

Alle Kreisformeln in Übersicht

Bezeichnung Formel Alternative Formel
mit Durchmesser
Umfang
Länge der Kreislinie
u = 2·π·r u = π·d
Kreisfläche A = π·r2 A = ¼·π·d2
Länge der Sehne
α ist der Winkel zwischen den Radien
s = 2·r·sin(α/2) s = d·sin(α/2)
Kreisbogen (Länge) b = r·π·α/180° b = (d/2)·π·α/180°
Kreissektor (Fläche) A = r2·π·α/360° A = (d/2)2·π·α/360°
Kreissegment (Fläche) A = r2/2 · (α - sin(α))
α ist im Bogenmaß anzugeben
A = d2/8 · (α - sin(α))
α ist im Bogenmaß anzugeben

Symmetrie des Kreises

Man sagt, dass der Kreis eine perfekte Symmetrie aufweist. Als Beispiel sei eine Grafik gegeben:

Kreissymmetrie

Hier erkennt ihr, dass die gebogenen Strecken a, b und c unterschiedliche Längen haben, jedoch ihr Anteil am jeweiligen Gesamtkreis stets gleich ist.

Auch ist zu erwähnen, dass wir den Winkel als Kreisbogen abtragen können und dieser sich dabei überall auf der Kreislinie befinden kann. Der Kreisbogen bleibt stets gleich lang. Nehmen wir im Gegensatz dazu ein Quadrat, so würden wir unterschiedliche Streckenlängen je nach gewählter Winkelposition und Einzeichnung als Teil des Umfangs erhalten:

Quadrat - Winkel nicht möglich

Die Strecke d ist kürzer als die Strecke e. Wir schreiben d ≠ e bzw. d < e.

Der Kreis eignet sich aufgrund seiner Symmetrie hervorragend für die Trigonometrie. Bemerkenswert ist in diesem Zusammehang auch, dass der Kreis unendlich viele Symmetrieachsen aufweist.

Was ist ein Winkel?

Die Trigonometrie greift nicht nur auf den Kreis zurück, sondern auch auf die Winkel. Die Winkel werden einheitlich mit griechischen Buchstaben versehen, also zum Beispiel α, β, γ, δ. Auch wenn die Benennung einem frei steht, sollte man sich daran halten. Eine Tabelle mit dem griechischen Alphabet findet ihr zum Üben unten.

Der Winkel selbst ergibt sich, wenn man zwei Strahlen hat, welche von einem gemeinsamen Punkt ausgehen, der als Scheitel oder Scheitelpunkt bezeichnet wird und zwischen den Strahlen liegt. Die Strahlen, die vom Scheitelpunkt abgehen, heißen Schenkel.

~draw~ vektor(-3|0 5|5);vektor(-3|0 7|0);kreissektor(-3|0 2 0 45);text(-1.9|0.5 "α");zoom(8);aus ~draw~

Winkel können auf verschiedene Weisen definiert werden:

1. Als Figur, die durch zwei Geraden geformt wird, die von einem gemeinsamen Punkt auseinanderstreben.
2. Als Figur, die von zwei Ebenen geformt wird, die von einer gemeinsamen Geraden auseinanderstreben.
3. Als Rotation, die benötigt wird, um eine der beiden Geraden (oder Ebenen) auf die andere zu legen.
4. Die Fläche zwischen beiden Geraden. Bzw. der Raum zwischen beiden Ebenen.

Der Begriff "Winkel" kommt wahrscheinlich aus dem Indogermanischen und bedeutet "gebogen sein", "auseinander drehen". Man kann einen Winkel mit drei Punkten bestimmen, Scheitelpunkt und zwei weitere Punkte, durch die die beiden abgehenden Strahlen gehen sollen. Mit Hilfe dieser 3 Punkte kann man den Winkel ebenfalls benennen, zum Beispiel ∠ABC, dabei ist der in der Mitte stehende Punkt der Scheitelpunkt, also "B".

Winkelbezeichnungen

Die unterschiedlichen Winkelbezeichnungen sollen nun vorgestellt werden, sie werden mit Hilfe eines Kreises veranschaulicht. Ein Kreis hat dabei 360° (360 Grad), welches die geläufigste Einheit zur Beschreibung eines Winkels ist. Man nennt diese Einheit "Gradmaß".

Nullwinkel (α = 0°)

Der Nullwinkel liegt vor, wenn der Winkel zwischen zwei Strahlen 0° entspricht.

Nullwinkel

Spitzer Winkel (0° < α < 90°)

Liegt der Winkel zwischen 0° und 90°, so liegt ein spitzer Winkel vor.

Spitzer Winkel

Rechter Winkel (α = 90°)

Ein bekannter und wichtiger Winkel ist der rechte Winkel. Hier liegt der eine Strahl senkrecht bzw. orthogonal auf dem anderen Strahl. Der rechte Winkel wird uns noch oft bei der Trigonometrie begegnen, auch beim Satz des Pythagoras spielt er eine wesentliche Rolle.

Rechter Winkel

Stumpfer Winkel (90° < α < 180°)

Spricht man von einem stumpfen Winkel, so liegt der Winkel zwischen 90° und 180°.

Stumpfer Winkel

Gestreckter Winkel (α = 180°)

Ein Halbkreis spannt einen Winkel von 180° auf, der erste Strahl wird also um den zweiten Strahl verlängert.

Gestreckter Winkel

Überstumpfer Winkel (180° < α < 360°)

Hat der Winkel mehr als 180° aber weniger als 360° so wird er überstumpfer Winkel genannt. Aus älterer Zeit mag auch noch „überspitzer Winkel“ geläufig sein, welcher für Winkel über 270° verwendet wurde.

Überstumpfer Winkel

Vollwinkel (α = 360°)

Hat man einen vollen Kreis durchlaufen, spricht man auch von einem Vollwinkel. Dieser entspricht 360°. Hier liegen die beiden Strahlen wieder aufeinander. Es ist also Sache der Interpretation, ob man einen Nullwinkel oder einen Vollwinkel meint.

Vollwinkel

Winkelarten in der Übersicht

Winkelgröße Winkelname
Nullwinkel
zwischen 0° und 90°Spitzer Winkel
90°Rechter Winkel
zwischen 90° und 180°Stumpfer Winkel
180°Gestreckter Winkel
zwischen 180° und 360°Überstumpfer Winkel
zwischen 270° und 360°Überspitzer Winkel (früher)
360°Vollwinkel

Winkel an parallelen Geraden

Winkel können an parallelen Geraden in Beziehung zueinander stehen. Um diese Beziehungen auszudrücken, hat man verschiedene Begriffe entwickelt. Die Wichtigsten folgen:

Scheitelwinkel/Gegenwinkel

Schneiden sich zwei Strecken oder Geraden, so würde man auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt C um A, B, D und E insgesamt 360° ablaufen. Die sich gegenüberliegenden Seiten haben dabei stets den gleichen Winkel. Diese Besonderheit wird Scheitelwinkel oder auch Gegenwinkel genannt.

Scheitelwinkel

Nebenwinkel

Die Winkel, die neben einem zu betrachtenden Winkel liegen, werden Nebenwinkel genannt. Der zu betrachtende Winkel und einer seiner Nebenwinkel ergeben dabei stets 180°.

Nebenwinkel

Stufenwinkel

Wählt man eine Gerade, die parallel zu einer anderen liegt und fügt man eine weitere Gerade hinzu, die die beiden Geraden schneidet, so können wieder Beziehungen zwischen Winkeln ausgemacht werden, und zwar zwischen den Winkeln an den Schnittpunkten. Es ist möglich das Wissen über einen Winkel bei Schnittpunkt A auch bei Schnittpunkt C anzuwenden (siehe Grafik), denn die sogenannten Stufenwinkel (rot) besitzen dieselbe Größe.

Stufenwinkel

Wechselwinkel

Den Wechselwinkel erhält man, indem man den Stufenwinkel nimmt und seinen Scheitelwinkel (Gegenwinkel) bildet. Der rote Winkel an Schnittpunkt C ist also der Scheitelwinkel (Gegenwinkel) vom Stufenwinkel, der sich aus dem roten Winkel am Schnittpunkt A ergibt. Beide sind gleich groß.

Wechselwinkel

Winkelmaß

Es gibt unterschiedliche Einheiten einen Winkel anzugeben. Die bekannteste Einheit wird Grad sein, was dem Gradmaß entspricht (der Modus "DEG" auf dem Taschenrechner, engl. "degree" = Grad). Dabei ergeben 360° einen Vollwinkel, also die komplette Drehung eines Strahles um seinen Anfangspunkt. Steht man im Kreismittelpunkt und möchte eine Kreislinie einmal abschauen, so muss man sich um 360° drehen. Es ist auch möglich, sich mehrfach um sich selbst zu drehen. Das ergibt dann Vielfache von 360°. Dreht man sich bspw. zweimal um sich selbst, dann dreht man sich um 2·360° = 720°.

Eine weitere Möglichkeit, einen Winkel anzugeben, ist das Bogenmaß (der Modus "RAD" auf dem Taschenrechner, RAD steht für Radiant, die Einheit des Bogenmaßes). Der Vollwinkel entspricht 2·π, also 2·3,14159... ≈ 6,2832.

Wie in der Lektion TRI01 kennengelernt, gibt es noch das geodätische Winkelmaß, bei dem ein Vollwinkel 400 gon entspricht.

Es gibt noch deutlich mehr Möglichkeiten, einen Winkel anzugeben. Neben der prozentualen Einteilung (Vollwinkel mit 100 %) sei noch das Zeitmaß erwähnt, hier entsprechen 24 h (Stunden) einem Vollwinkel.

Winkel umrechnen - Von Grad zu Bogenmaß

Oft muss man einen Winkel vom Gradmaß (DEG) ins Bogenmaß (RAD) umrechnen. Hierzu verwendet man eine Verhältnisgleichung, und zwar gilt: 1 Vollkreis = 360°, 1 Vollkreis = 2·Π ≈ 2·3,14159 ≈ 6,2832. Man hat einen Winkel, zum Beispiel 60° und kann nun im Verhältnis aufstellen:

$$ \frac{60°}{360°} = \frac{x}{2·Π} \quad |·2·Π \\ 2·Π·\frac{60°}{360°} = x \\ 2·Π·\frac{1}{6} = x \quad | \text{Anteil ist ein Sechstel von Pi} \\ x ≈ 1,0472 $$

Wir können verallgemeinern:

$$ \frac{\alpha}{360°} = \frac{x}{2·Π} \quad |·2·Π \\ x = 2·Π·\frac{\color{blue}{\alpha}}{360°} $$

Jetzt müssen wir nur noch den Winkel Alpha α in die obige Formel einsetzen und können bequem ausrechnen.

Genauso funktioniert es auch, wenn wir von Bogenmaß zu Gradmaß umrechnen wollen:

$$ \frac{x}{360°} = \frac{\alpha}{2·Π} \quad |·360° \\ x = 360°·\frac{\color{blue}{\alpha}}{2·Π} \\ $$

Jetzt nur noch den Wert für Winkel Alpha α im Bogenmaß einsetzen und Grad ausrechnen.

Winkelnamen in Übersicht

Griechische Kleinbuchstaben: α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ σ τ υ φ χ ψ ω

Griechische Großbuchstaben: Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω

Die folgende Tabelle listet alle griechischen Buchstaben mit ihrem Namen, ihrem HTML-Code (für den Einsatz in Webseiten) und Ihrem Unicode (wichtig für Programmierer) auf:

NameZeichenHTML-CodeUnicode
alpha α &alpha; &#945;
beta β &beta; &#946;
gamma γ &gamma; &#947;
delta δ &delta; &#948;
epsilon ε &epsilon; &#949;
zeta ζ &zeta; &#950;
eta η &eta; &#951;
theta θ &theta; &#952;
iota ι &iota; &#953;
kappa κ &kappa; &#954;
lambda λ &lambda; &#955;
mu μ &mu; &#956;
nu ν &nu; &#957;
xi ξ &xi; &#958;
omicron ο &omicron; &#959;
pi π &pi; &#960;
rho ρ &rho; &#961;
sigma σ &sigma; &#963;
tau τ &tau; &#964;
upsilon υ &upsilon; &#965;
phi φ &phi; &#966;
chi χ &chi; &#967;
psi ψ &psi; &#968;
omega ω &omega; &#969;
thetasym ϑ &thetasym; &#977;
piv ϖ &piv; &#982;
Alpha Α &Alpha; &#913;
Beta Β &Beta; &#914;
Gamma Γ &Gamma; &#915;
Delta Δ &Delta; &#916;
Epsilon Ε &Epsilon; &#917;
Zeta Ζ &Zeta; &#918;
Eta Η &Eta; &#919;
Theta Θ &Theta; &#920;
Iota Ι &Iota; &#921;
Kappa Κ &Kappa; &#922;
Lambda Λ &Lambda; &#923;
Mu Μ &Mu; &#924;
Nu Ν &Nu; &#925;
Xi Ξ &Xi; &#926;
Omicron Ο &Omicron; &#927;
Pi Π &Pi; &#928;
Rho Ρ &Rho; &#929;
Sigma Σ &Sigma; &#931;
Tau Τ &Tau; &#932;
Upsilon Υ &Upsilon; &#933;
Phi Φ &Phi; &#934;
Chi Χ &Chi; &#935;
Psi Ψ &Psi; &#936;
Omega Ω &Omega; &#937;
sigmaf ς &sigmaf; &#962;
upsih ϒ &upsih; &#978;

Mathe-Programme Kreis und Winkel

  • Punkt, Strecke, Strahl und Gerade Punkt, Strecke, Strahl und Gerade
    Durch dieses Programm werden Zusammenhänge zwischen Punkt, Strecke, Strahl und Gerade deutlich.
  • Kreisentstehung (Punkte)
    Kreisentstehung (Punkte)
    Mit diesem Programm lässt sich darstellen, wie ein Kreis aus unendlich vielen Punkten entsteht.
  • Kreisentstehung (Polygon)
    Kreisentstehung (Polygon)
    Hier lässt sich zeigen, wie ein Kreis als regelmäßiges Polygon mit unendlich vielen Seiten beschrieben werden kann.
  • Kreis: Aufbau des Kreises Kreis: Aufbau des Kreises
    Bei diesem Programm sind alle Elemente des Kreises aktivierbar. Sehr praktisch, um den Aufbau des Kreises zu lernen.
  • Strahlen und Winkelmessung (Geodreieck)
    Strahlen und Winkelmessung (Geodreieck)
    Hier können zwei Strahlen beliebig voneinander weggedreht werden. Anschließend kann man mit einem Geodreieck den Winkel abmessen!
  • Winkelmaße (Gradmaß, Prozent, Bogenmaß) Winkelmaße (Gradmaß, Prozent, Bogenmaß)
    Verschiedene Winkelmaße (Grad, Prozent, Bogenmaß, Gon, Zeit) zur Veranschaulichung am Kreis.
  • Winkel an der Uhr Winkel an der Uhr
    Mit diesem Programm könnt ihr Winkel an der Uhr üben. Wählt euch Minuten oder Stunden und stellt die Uhrzeit ein. Ein Winkel ergibt sich.
  • Winkelnamen (Griechische Buchstaben) Winkelnamen (Griechische Buchstaben)
    Alle griechischen Buchstaben (Klein- und Großschreibung) inklusive Lernmodus!
  • Winkelarten
    Winkelarten
    Nullwinkel, spitzer Winkel, rechter Winkel, stumpfer Winkel, gestreckter Winkel, überstumpfer Winkel und Vollwinkel.
  • Winkel: Scheitelwinkel und Nebenwinkel
    Winkel: Scheitelwinkel und Nebenwinkel
    Hier schneiden sich zwei Geraden und es entstehen 4 Winkel. Die Punkte der Geraden lassen sich bei diesem Programm bewegen, so dass beliebige Winkel entstehen können.
  • Winkel: Stufenwinkel und Wechselwinkel
    Winkel: Stufenwinkel und Wechselwinkel
    Zwei Punkte auf zwei Parallelen können frei bewegt werden. Dabei werden Zusammenhänge zwischen Stufenwinkel und Wechselwinkel erkennbar!
Weitere Lernprogramme aufrufen

Übungsaufgaben

Die folgenden Aufgaben prüfen, ob ihr das Wissen aus den Videos anwenden könnt. Schreibt Lösungswege vollständig auf, um eure Fehlerquellen nachher schneller zu entdecken. Viel Erfolg!

A: Allgemeine Fragen

1. Definiere die Begriffe Punkt und Strecke.

2. Worin unterscheiden sich Strahl und Gerade voneinander?

3. Was ist ein Geradenabschnitt?

4. Wie notiert man eine Strecke von Punkt A nach B (Schreibweise)?

5. Die drei Punkte A, B, C liegen auf einer Geraden. Welche möglichen Strecken kannst du aus ihnen bilden?

6. Die Punkte A, B, C, D liegen hintereinander auf einer Geraden. Strecke AB ist 15 cm lang, Strecke BC ist doppelt so lang wie AB, Strecke CD ist 1,5 mal so lang wie Strecke BC. Wie lang ist die Strecke AD?


B: Aufgaben zum Kreis

1. Wie ist der Kreis definiert?

2. Nenne alle dir bekannten Bestandteile des Kreises inkl. Strecken am Kreis.

3. Wie groß ist die Kreiszahl Pi (auf zwei Nachkommastellen genau)?

4. Wie ergibt sich Pi?

5. Pi ist eine irrationale Zahl, was bedeutet das?

6. Wie lautet die Formel für den Kreisumfang?

7. Wie lautet die Formel für die Kreisfläche?

8. Wie nennt man eine Gerade oder Strecke, die die Kreislinie nur in 1 Punkt berührt?


C: Aufgaben zu Winkeln

1. Wie entsteht ein Winkel?

2. Wie kann man Winkel notieren? Gib 2 mögliche Schreibweisen an.

3. Ergänze die fehlenden griechischen Buchstaben:
Alpha =
Beta =
Gamma =
Delta =

4. Wie nennt man diese griechischen Buchstaben?
ε =
λ =
μ =
π =
ω =

5. Welche Winkelmaße bzw. Einheiten für Winkel kennst du?

6. Nenne alle dir bekannten Winkelarten.

7. Misst man Winkel im Uhrzeigersinn oder entgegen dem Uhrzeigersinn?

8. Wie viel sind 27° in Prozent ausgedrückt?

9. Wie viel sind 25 % des Kreises in Grad ausgedrückt?

10. Wie viel sind 200 gon in Prozent ausgedrückt?

11. Wie viel sind 270° in gon?

12. Wandle 315° in Prozent und Gon um.


D: Allgemeine Fragen zu Winkeln an Geraden

1. Erkläre die Begriffe Scheitelwinkel (Gegenwinkel) und Nebenwinkel.

2. Was ist ein Supplementwinkel?

3. Wenn der Nebenwinkel 80° groß ist, wie groß ist dann der anliegende Winkel?

4. Zwei Gegenwinkel sind zusammen 100° groß. Wie groß ist ein Nebenwinkel?

5. Bei einer Geraden, die zwei Parallelen schneidet, entsteht ein Stufenwinkel. Was ist das?

6. Was ist ein Wechselwinkel bei einer Geraden, die zwei Parallelen schneidet?


E: Rechenaufgaben zum Kreis

1. Der Durchmesser eines kreisrunden Baumstamms beträgt 1,5 m. Wie groß ist der Umfang des Baumstamms?

2. Die Erde hat entlang des Äquators einen Umfang von 40.075 km. Der Äquator sei kreisförmig und die Erde eine Kugel. Wie weit ist es von der Erdoberfläche bis zum Erdmittelpunkt?

3. Aus einer rechteckigen Holzplatte mit den Maßen 1,20 m * 0,70 m soll ein größtmöglicher Kreis herausgeschnitten werden. Welche Fläche und welchen Radius hat dieser Kreis?

4. Die Turmuhr des Big Ben hat einen Durchmesser von 7,0 m. Der Stundenzeiger wandert von 12 Uhr auf 5 Uhr, wie viel Fläche wird dabei überstrichen?

5. Drei gleich große Kreise mit einem Radius von 3 cm werden nebeneinander gelegt. Um diese drei Kreise wird ein großer Kreis gezeichnet. Vergleiche Skizze:
Kreisaufgabe
5.A. Wie groß ist die Fläche des großen Kreises?
5.B. Wie groß ist die nicht überdeckte, gelbe Fläche des großen Kreises?

6. Ein Flugzeug fliegt eine kreisförmige Route, die einen Durchmesser von 400 km hat. Die Reisezeit beträgt 4 Stunden. Wie schnell fliegt das Flugzeug? Tipp: Geschwindigkeit = Strecke / Zeit

7. Eine runde Helikopterlandefläche von 50 m² wird um 40 % vergrößert. Um wie viel Prozent verändert sich der Radius?

8. Ein Kreissektor hat eine Fläche von 25 cm². Der Kreisradius ist 4 cm.
8.A. Wie groß ist der Kreis?
8.B. Wie groß ist der vom Kreissektor aufgespannte Winkel?

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Untertitel

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Video Teil 1: Einleitung Punkt, Strecke, Strahl und Gerade

Willkommen zur nächsten Lektion. Um mit der Trigonometrie richtig loslegen zu können, müssen wir uns nochmal einige Grundlagen der Geometrie anschauen, denn die Trigonometrie baut auf folgendem auf: Erstens auf den Kreisen. Wie wir nachher sehen werden, brauchen wir den Kreis für die Winkel und auch später dann für den Einheitskreis. Wir brauchen die Winkel, denn wenn wir nachher die trigonometrischen Funktionen anwenden, wie zum Beispiel den Sinus, dann ist der Sinuswert immer an den Winkel gebunden. Also Winkel und Trigonometrie sind sehr dicht miteinander verbunden. Und drittens natürlich die Dreiecke. Hier insbesondere das rechtwinklige Dreieck, wie es auch hier gut zu erkennen ist, denn mit Hilfe von rechtwinkligen Dreiecken können wir unsere Funktionen Sinus, Kosinus und so weiter definieren. Gut, bevor wir uns jetzt also die drei nochmal in Ruhe anschauen, gehen wir nochmal einen Schritt zurück und schauen uns folgendes an: Wiederholen wir beziehungsweise rufen wir uns nochmal die grundlegenden Elemente der Geometrie in Erinnerung: Den Punkt, die Strecke, den Strahl und die Gerade. Hier haben wir den Punkt eingezeichnet. Ein Punkt ist ein Objekt ohne Ausdehnung, also es hat keine Fläche und keine Länge. Ein Punkt wird in der Geometrie, um ihn besser deutlich zu machen, mit einem Kreuz gekennzeichnet und mit einem großen Buchstaben, in unserem Fall das große „A“ beschriftet. Gut, diesen Punkt, den können wir hier auf diese Fläche, also auf diese Ebene, beliebig setzen, wo wir möchten. Wenn wir jetzt einen zweiten Punkt erschaffen und Punkt A mit Punkt B, dem zweiten Punkt, direkt verbinden, ergibt sich eine sogenannte „Strecke“, die Strecke AB. Und die Strecke kann unterschiedliche Längen haben, je nachdem, wo wir den Punkt B setzen oder wo wir halt den Punkt A setzen. Und diese blaue Linie, diese Strecke zwischen A und B ist die direkte Verbindung zwischen den beiden, also die kürzeste Verbindung zwischen den beiden. Und man kann auch sagen, wenn man jetzt diese Strecke definieren möchte, dass das unendlich viele Punkte sind zwischen A und B. Gut, wenn wir jetzt diese Linie hier weiterführen wollen nach rechts, also hinter B, dann erhalten wir einen „Strahl“, der angezeigt wird mit einem kleinen Pfeil hier. Also man zeigt damit: Der Strahl geht weiter nach rechts. Und das Besondere am Strahl ist: Er hat einen Anfangspunkt, in unserem Fall heißt der A, geht durch den Punkt B und dann immer weiter. Das „immer weiter“ bedeutet, man könnte jetzt hier nach rechts immer, immer weiter zeichnen nach rechts, nach rechts, ohne ein Ende, also unendlich weit. Ihr erinnert euch an die Grundlagenlektion, da hatten wir gesagt, bei den Zahlen können wir auch immer plus 1 rechnen plus 1 plus 1 plus 1, egal um welche Zahl es sich handelt. Punkt B gibt außerdem die Richtung des Strahls an, wie hier zum Beispiel würde der Strahl nach oben gehen, oder hier nach rechts oben, nach unten, nach links und so weiter. Wenn wir auch den Strahl nach links verlängern wollen, also sozusagen eine Linie durch A, durch B, ohne ein Ende rechts oder links, erhalten wir eine sogenannte „Gerade“, oder ihr könnt auch sagen „gerade Linie“. Das heißt, die Gerade wird definiert durch die Punkte A und B und hat kein Ende: Hier rechts geht sie ins Unendliche und hier links geht sie ins Unendliche. Und die Strecke AB gibt es hier ja immer noch, und sie ist sozusagen ein „Geradenabschnitt“ auf dieser Geraden und, das hatte ich noch nicht gesagt, die Strecke zwischen AB können wir auch beschriften mit einem kleinen Buchstaben, hier als Beispiel klein „a“. Und wir können entweder schreiben Groß A Groß B mit einem Strich darüber, das meint die Strecke, oder einfach nur die Strecke klein a. Und hier bitte aufpassen, denn auch Geraden erhalten kleine Buchstaben als Kennzeichnung. Also wenn wir jetzt nur diese Gerade hier zu stehen hätten, könnte das genau so gut Gerade a sein, oder wir könnten auch einen anderen Buchstaben benutzen. Und Gleiches gilt für die Strahlen: Auch hier dürfen wir mit kleinen Buchstaben beschriften. In diesem Zusammenhang sei erwähnt, dass ihr auch manchmal auf Strahlen treffen werdet, die keine Pfeilspitze haben. Dies wird unterschiedlich gehandhabt, wobei wir benutzen, damit man es besser erkennt, die Pfeilspitze für den Strahl.
Gut, soviel zu den absoluten Grundlagen. Schauen wir uns als nächstes den Kreis und danach die Winkel an.

Video Teil 2: Der Kreis

Die erste Frage, die sich stellt, ist: Wie entsteht ein Kreis? Beziehungsweise, damit erklärt sich auch die Frage: Wie ist der Kreis definiert? Wenn wir uns jetzt hier eine Strecke nehmen und sie zweimal erschaffen und dann um diesen Punkt hier, den wir jetzt mal Mittelpunkt nennen können, rotieren, sehen wir, dass diese Bewegung einen Kreis beschreibt, also einen Kreis zeichnet. Da es nicht so gut zu erkennen ist, zeichnen wir jetzt mal die Punkte ein beim Bewegen. Das heißt, ihr seht hier: Es ergeben sich sehr viele Punkte, die alle im gleichen Abstand zum Mittelpunkt sind, und wenn wir jetzt unendlich viele einzeichnen würden, erhalten wir natürlich einen Kreis. Wir können also sagen: Ein Kreis ergibt sich aus unendlich vielen Punkten im gleichen Abstand zu einem Mittelpunkt. Das ist eine Möglichkeit, den Kreis zu beschreiben.
Eine andere Möglichkeit besteht darin, sich ein Polygon zu nehmen, also ein sogenanntes „Vieleck“. Ganz wichtig: Es muss ein „regelmäßiges“ Polygon sein. Das bedeutet: Alle benachbarten Ecken müssen den gleichen Abstand haben, und somit sind auch alle Seiten gleich lang. Hier ist jetzt ein Dreieck eingezeichnet, wir haben also eins, zwei, drei Ecken. Wir können die Eckenzahl erweitern, hier zum Beispiel ein Quadrat, ein Fünfeck (Pentagon), Sechseck (Hexagon) und so weiter. Und wenn wir mal die Dreiecke einzeichnen, seht Ihr, dass sich jedes Polygon aus mehreren Dreiecken ergibt. Deshalb lassen sich auch Polygone mittels Dreiecken berechnen. Wenn wir jetzt die Anzahl der Polygonseiten erhöhen, stellen wir fest, dass sich die Seitenlänge hier immer mehr verkürzt, immer kleiner wird, und dass sich, wenn wir jetzt mal den Kreis anzeigen, sich dieses Polygon, die Seiten immer mehr dem Kreis annähern. Also gehen wir nochmal zurück auf das Fünfeck. Ihr seht: Hier sind große Abstände, aber die Punkte liegen alle auf der Kreislinie. Gehen wir weiter. Sechseck, Siebeneck, Achteck, und ihr seht: Die Abstände hier zwischen werden immer geringer und nähern sich der Kreislinie an. Das heißt, wenn wir hier Polygonseiten bis ins Unendliche fortführen würden, hätten wir einen perfekten Kreis. Daher kann der Kreis auch definiert werden als ein regelmäßiges Polygon mit unendlich vielen Seiten. Jetzt wissen wir, wie Kreise zustande kommen. Schauen wir uns die Bezeichnungen der Elemente des Kreises an: Wie ist der Kreis aufgebaut? Diese äußere Linie bezeichnet man als „Kreislinie“. Die rote Strecke hier vom Mittelpunkt zu einem äußeren Punkt bezeichnet man als „Radius“. Und, ganz klar, der Radius kann nicht nur sich hier befinden, er kann auch auf jeden beliebigen äußeren Punkt gesetzt werden. Merken wir uns also: Der Radius ist die Strecke zwischen einem beliebigen Punkt der Kreislinie und dem Mittelpunkt. In unserem Fall haben wir den „M“ genannt, wir könnten natürlich hier auch einen anderen Großbuchstaben heranschreiben. Es gibt noch mehr Elemente im Kreis: Wenn wir diesen Radius auf die andere Seite weiterführen, also zweimal die Länge des Radius haben, haben wir den – richtig! - den „Durchmesser“. Von einer Seite durch den Mittelpunkt zur anderen Seite, das ist der Durchmesser. Und wir sehen, dass wir den Durchmesser erhalten, wenn wir den Radius verdoppeln, also zweimal den Radius rechnen. Und kennen wir den Durchmesser, dann kommen wir auf den Radius, indem wir den Durchmesser durch 2 dividieren, also wir halbieren ihn wieder. Und wenn wir jetzt mal einen zweiten Radius einzeichnen, sehen wir: Einmal nach rechts – einmal Radius, einmal nach links – zweimal der Radius. Also merken wir uns: Durchmesser ist gleich zweimal Radius. Und wenn wir jetzt nochmal an die erste Lektion denken: Da hatten wir die sogenannte Sehne, also die Strecke zwischen zwei Punkten auf der Kreislinie nennt man Sehne, und wir hatten gesagt: Die Sehne kann maximal zweimal den Radius lang sein, aber auch kleiner bis Null mal den Radius.
Was haben wir noch? Wir haben natürlich die „Kreisfläche“ und wenn wir jetzt nochmal den zweiten Radius einzeichnen, seht ihr schon: Hier ist ein Teil der Fläche abgegrenzt. Und man nennt ihn dann nicht Kreisfläche, sondern „Kreissektor“, der von den beiden Radien begrenzt wird. Manchmal sagt man übrigens statt Kreissektor auch „Kreisausschnitt“. Der Kreissektor kann natürlich dann entsprechende Größen haben: Er kann sehr klein sein, kann die Hälfte des Kreises sein, aber auch einen Großteil des Kreises ausmachen. Durch den Kreissektor, seht ihr hier oben, wird auch die Kreislinie begrenzt. Diesen nennt man dann „Kreisbogen“, also der Bogen, der hier durch die beiden Radien abgegrenzt wird. Den Kreisbogen schauen wir uns nochmal ganz konkret bei der Lektion „Bogenmaß“ an, die wir später behandeln. Für jetzt merkt euch erstmal die Begriffe
Kreissektor und Kreisbogen. Gut, als nächstes stellt sich die Frage: Wie können wir denn die grundlegenden Elemente des Kreises berechnen, also speziell seine Fläche und seinen Umfang? Also mit Umfang ist hier die Länge der Kreislinie gemeint. Und dazu gibt es eine sehr berühmte „Naturkonstante“, also eine besondere Zahl, eine festgelegte Zahl, die π („Pi“) heißt - π ist ein griechischer Buchstabe, den hat man nur als Bezeichnung verwendet. Und die Zahl π hat den Wert von etwa 3,14159265 – gerundet! Und warum sagen wir „gerundet“? Ganz einfach deshalb, weil sie noch unendlich viele Nachkommastellen hat, also hinter der 5 geht es noch weiter und weiter. Die Zahl π gehört zu den Irrationalen Zahlen, das heißt, sie hat unendlich viele Nachkommastellen, die Nachkommastellen sind nicht periodisch, also wiederholen sich nicht, und die Zahl ist nicht als Bruch darstellbar. Wer sich nicht erinnern kann an irrationale Zahlen, der schaut sich bitte die Grundlagen an, da haben wir entsprechende Videos dazu. Gut, was hat nun π direkt mit dem Kreis zu tun? Man sagt ja auch: Die „Kreiszahl“ π. Schauen wir uns das als nächstes an, und vereinbaren wir noch, dass wir π nur auf 3,14 runden, der Einfachheit halber. Dann gibt es die Formel für den Umfang des Kreises, also für die Kreislinie, die Länge der Kreislinie, die da lautet: 2 * Radius * π.
Und das kürzen Mathematiker ab: Sie schreiben anstatt Kreislinie ein kleines „u“, also wie der Umfang des Kreises, und sie schreiben für Radius ein kleines „r“, die Strecke „r“. Und π ist dann unsere 3,14. Das heißt also, wenn wir die Formel mal beschreiben wollen, dass sich der Umfang, die blaue Linie hier ergibt aus zweimal den Radius, wobei wir gesagt haben, dass zweimal der Radius ja der Durchmesser ist – zeichnen wir diesen gleich ein -, und jetzt steht da Durchmesser * π, also * 3,14. Das heißt, wir müssen den Durchmesser nicht verdoppeln, sondern verdreifachen, also ver3,14fachen, damit er die gleiche Länge hat wie unsere Kreislinie außen. Und Sie können sich vorstellen, dass wir diese Linie hier, die Durchmesserlinie, hier ranlegen, einmal, zweimal und 3,14mal. Und das sagt diese Formel aus: Der Umfang ergibt sich aus Durchmesser mal π, also mal 3,14 beziehungsweise zweimal den Radius mal π.
Die nächste Formel wäre die Formel für die Fläche. Da können wir mal gucken: Die Formel für die Kreisfläche lautet π mal Radius ins Quadrat, wobei wir in der Mathematik die Kreisfläche mit Groß „A“ abkürzen, von Lateinisch „area“, was übersetzt nichts weiter als „Fläche“ heißt – und hier aufpassen: Das Groß „A“ hat nichts mit einem Punkt zu tun – und Radius kürzt man wieder mit klein „r“ ab, was ja die Strecke meint. Und jetzt überlegen wir mal: π ist 3,14 gerundet. Also müssen die Fläche r-Quadrat – die können wir jetzt hier einmal einzeichnen – das ist Radius r, und den sollen wir jetzt quadrieren, das heißt, wir machen hier ein Quadrat draus. Und dieses r-Quadrat, dieses Radius-Quadrat, können wir jetzt hier anlegen, hier anlegen und hier anlegen. Das heißt, wir haben's dann viermal angelegt. Viermal r-Quadrat ergibt dann dieses große Quadrat. Wie ihr aber seht, sind die Ecken zu viel, diese Flächen hier. Wir haben jetzt also nicht viermal das r-Quadrat, sondern nur 3,14mal. Und damit ergibt sich dann die Kreisfläche. Das ist 3,14mal Radius-Quadrat.
Wie sich die Zahl π übrigens konkret ergibt, das schauen wir uns nachher beim Bogenmaß an. Jetzt erstmal nur dieser Zusammenhang, dass dieser euch klar ist.
Gut, nach den Kreisen gehen wir über zu den Winkeln.

Video Teil 3: Winkel

In diesem Video schauen wir uns an, was Winkel sind und wie sie entstehen. Weshalb brauchen wir sie überhaupt? Schauen wir uns hierzu ein kleines Lernprogramm an, bei dem wir Strahlen haben, die sich frei bewegen können, und wir wollen wissen, welcher Winkel sich hier ergibt. Und was ist ein Winkel überhaupt – falls wir noch nie das Wort „Winkel“ gehört haben? Legen wir als erstes den einen Strahl auf den anderen Strahl und drehen ihn dann von diesem weg. Man sagt auch „rotieren“ dazu. Also beide Strahlen haben den gleichen Anfangspunkt A, und wir haben C um A rotiert. Dann wollen wir wissen, wie weit wir ihn denn wegrotiert haben. Und dazu benutzen wir die Winkel. Die Winkelangaben geben uns immer an, wie weit der eine Strahl vom anderen Strahl wegrotiert wurde, weggedreht wurde. Nur, wie messen wir das? Wir haben natürlich jetzt die Möglichkeit, also wir können es mal testen, die Punkte C und B zu verbinden. Da haben wir diese Strecke hier, wir könnten jetzt versuchen zu messen, wir hätten also diese Länge und könnten dann sagen: Okay, dann ist es wahrscheinlich dieser Winkel hier, diese Drehung. Aber das geht so nicht! Warum? Gucken wir uns diese Länge an. Wir können diese Länge auch erzeugen, indem wir den hier rüberrotieren und in etwa die gleiche Länge einstellen. Und ihr seht: Das ist ein ganz anderer Winkel, aber trotzdem die gleiche Länge. Also das Problem hierbei ist, dass die Strecken auf den Strahlen unterschiedlich lang sind und die Strecke hier damit auch unterschiedlich lang ist, also wir können damit keinen Winkel messen. Doch was wir sehen ist: Dieser Winkel hier bleibt konstant, wenn wir die Strahlenlänge, die Strecke AB verändern. Das heißt: Was wir brauchen ist den gleichen Abstand vom Scheitelpunkt, von A, in alle Richtungen. Und das kann man erreichen, indem wir einen Kreis nutzen. Die Kreislinie beziehungsweise alle Punkte auf der Kreislinie haben den gleichen Abstand zu A. Und jetzt können wir mal gucken: Wir bewegen den Punkt B hin und her, das heißt die Strecke AB wird kürzer und länger, und trotzdem haben wir immer noch hier den gleichen Winkel. Den können wir jetzt mal einzeichnen. Die Strecke BC brauchen wir jetzt gar nicht mehr, denn es interessiert nur noch der Strahl in eine Richtung und der Strahl in die andere Richtung. Und jetzt können wir auch C verändern, und der Winkel bleibt gleich. Und wenn wir C jetzt rotieren, sehen wir: Wir haben hier unseren Winkel aufgespannt. Und gleich einige Hinweise: Das Schöne am Kreis ist, dass wir hier auch einen größeren Kreis einzeichnen könnten und wir immer noch den gleichen Winkel messen würden. Der Winkel ist also unabhängig von der Kreisgröße. Außerdem können wir die Elemente des Winkels bezeichnen: Die beiden Strahlen nennen wir „Schenkel“, und unseren Punkt A, den nennen wir „Scheitelpunkt“, beziehungsweise kurz „Scheitel“. Und an dieser Stelle wollen wir ja festlegen, wie groß der Winkel ist, und dazu haben wir zwei Möglichkeiten: Möglichkeit Nr. 1 ist: Wir sagen: Dieser Kreissektor, dieser Kreisausschnitt, die blaue Fläche, ist ein Anteil von der Gesamtfläche. Also wenn wir zum Beispiel hier eins von vier Teilen haben, ein Viertel – erinnern wir uns an die Prozent- und an die Bruchrechnung -, da haben wir gesagt: Ein Viertel sind 25 Prozent. Also 25 Prozent, diese Fläche von der ganzen Fläche, von der 100 Prozent. Das heißt, der Winkel lässt sich über die Fläche beschreiben, aber auch über diese Kreislinie. Wir können sagen: Die Kreislinie – gesamt hier – sind 100 Prozent, und dieser Kreisbogen, die blaue Linie hier, ist ein Anteil von der Kreislinie, von 100 Prozent. Und das seht ihr auch: Das ist ein Teil, das ist ein Teil, das ist ein Teil, und das ist ein Teil, das heißt: Wir haben vier Teile. Eins von vier sind ein Viertel, das sind 25 Prozent. Wir können also sagen: Wir haben den Strahl um 25 Prozent gedreht. Und jetzt natürlich noch die Frage, da wir ja Winkel nicht in Prozent angeben wollen, sondern in Grad: Wieviel Grad hat denn ein Kreis? Und ein Kreis – das hat historische Ursprünge, das geht auf die sogenannten „Babylonier“ zurück – hat 360 Grad, also man hat den Kreis in 360 Stücke eingeteilt, zerschnitten sozusagen, 360 gleichmäßige Stücke, in gleichem Abstand, um so die Winkel zu messen. Und falls ihr euch fragt: Warum gerade 360? Das geht wahrscheinlich darauf zurück, dass die Babylonier ihr Jahr in 360 Tage einteilten. Das heißt: Ein Grad stand für einen Tag.
Übrigens kommt das Wort „Grad“ aus dem Lateinischen „gradus“, und das heißt übersetzt „Schritt“. Das heißt, wir haben hier 360 Schritte, unsere Einteilung. An dieser Stelle sei folgendes gesagt: Man misst Winkel grundsätzlich entgegen des Uhrzeigersinns, also wenn ihr eine Uhr vor euch habt, geht die Zeit normalerweise so rum, der Zeiger bewegt sich im Uhrzeigersinn. Bei der Mathematik grundsätzlich entgegen des Uhrzeigersinnes. Also messen aber auch bezeichnen. Also wenn ihr ein Dreieck habt, ABC, dann müsst ihr das entgegen des Uhrzeigersinns beschriften. Also A, B, C. Gut, das heißt, wir messen entgegen des Uhrzeigersinns, Ausnahmen gibt es übrigens nur bei der Landvermessung und bei der Zeit natürlich. So, zurück zu unserem ursprünglichen Problem, die Winkelmessung. Wir haben jetzt mal festgelegt, dass wir ab dieser Linie hier den Winkel messen wollen, und wir sehen schon: Wenn wir das hier in Prozent ausdrücken, was wir schon gesagt haben, das sind 25 Prozent. Also die blaue Linie, der Kreisbogen von dem gesamten Kreis im Anteil sind 25 Prozent. Und natürlich die Hälfte, ganz klar, sind 50 Prozent, hier unten haben wir dann 75 Prozent, und der volle Kreis, das sind 100 Prozent, beziehungsweise 0 Prozent und 100 Prozent haben die gleiche Position. Das könnt ihr euch dann vorstellen wie 12 Uhr ist das Gleiche wie 0 Uhr. Der Zeiger steht auf der gleichen Stelle. Es ist dann Frage der Festlegung, ob wir 0 Prozent oder 100 Prozent meinen. So, und wie messen wir nun die Winkel? Wir hatten gesagt, 360 Grad, da sagt man „Gradmaß“ dazu, stellen wir hier mal um, und wir sehen dann: Hier kommen wir auf 90 Grad, das ist der sogenannte „rechte“ Winkel, dann kommen wir weiter auf 180 Grad, auf 270 Grad und auf 360 Grad, beziehungsweise dann eben 0 Grad. Und warum sind dann hier 90 Grad? Na, wir hatten gesagt: Das sind 25 Prozent, erinnert euch an die Prozentrechnung. Wir haben gerade festgelegt: Der Kreis hat insgesamt 360 Grad, 25 Prozent von 360 Grad, dann dividieren wir 360 durch 100, also damit erhalten wir 1 Prozent, das sind 3,6 Grad, und 3,6 Grad mal 25 ergibt 90 Grad, unsere 25 Prozent. Wir haben natürlich auch noch neben Grad das „Bogenmaß“, das wir uns später konkret angucken, hier werden jedoch keine Winkel benutzt, sondern die Länge des Kreisbogens. Aber dazu später mehr. Gut, wenn wir uns jetzt das Gradmaß anschauen, haben wir Winkel in diesem Bereich bis 90 Grad, wir haben Winkel über 90 Grad, wir haben Winkel über 180 Grad und dann einen Vollwinkel, 360 Grad. Schauen wir uns die etwas genauer an, damit wir auch die Winkelbezeichnungen beherrschen: Hier haben wir einen vereinfachten Kreis mit der Winkelbezeichnung, 0 Grad nennen wir „Nullwinkel“. Zwischen 0 und 90 Grad ist der „spitze Winkel“, also man hat hier diese Spitze, die entsteht, bei 90 Grad haben wir den sogenannten „rechten Winkel“. „Rechter“ kommt nicht von „rechts“, sondern von „richtig“, also er steht richtig auf dieser Linie hier. Man sagt auch „senkrecht“ oder „orthogonal“ dazu. Über 90 Grad nennen wir dann „stumpfer Winkel“. 180 Grad ist der „gestreckte Winkel“, wie man hier sieht, ist diese Linie gestreckt. Über 180 Grad nennt man „überstumpfer Winkel“. Also zwischen 180 und 360 Grad überstumpfer Winkel. Früher sagte man noch zu dem Winkel über 270 Grad „überspitzer Winkel“, und bei 360 Grad haben wir den „Vollwinkel“, also den gesamten Kreis. Jetzt natürlich noch die Frage: Wie schreibt man die Winkel auf? Hier haben wir schon geschrieben: α (Alpha) = 27° (Grad). Das gucken wir uns noch etwas genauer an: Wenn wir hier unseren Winkel haben aus B, A und C, schreiben wir auch Winkelzeichen BAC ist gleich. Und dann müssen wir hier diesen Wert noch festlegen, beziehungsweise diesen Wert finden für den Winkel. Und bei BAC ist A in der Mitte, das heißt, A ist unser Scheitelpunkt, sozusagen der Anfangspunkt für beide Strahlen, den beide Strahlen gemeinsam haben. Gut, wie kriegen wir jetzt diesen Winkel hier raus? Wir benutzen ganz einfach ein Geodreieck, mit dem wir dann diesen Winkel messen können. Also das Geodreieck enthält hier, gelb dargestellt, einen Halbkreis. Wir können also Winkel von 0 bis 180 Grad messen. Das heißt, wenn wir jetzt diesen Winkel hier messen wollen, BAC, legen wir den Mittelpunkt vom Kreis des Geodreiecks auf A und richten seine Nulllinie, also die rechte Seite, auf B aus. Und dann gucken wir von A zu C, dieser Strahl geht wo durch? Da haben wir die Einteilung: 10 Grad, 20 Grad, 30 Grad, 40 Grad, also der geht etwa bei 37,5 Grad durch. Und bei den Winkeln ist es übrigens unabhängig, welche Richtung sie zeigen, also wenn wir zum Beispiel hier einen Winkel haben, da kann das ebenfalls 37,5 Grad sein. Und hierzu müssten wir jetzt das Dreieck rotieren und müssten jetzt schräg ablesen: 10 Grad, 20 Grad, 30 Grad, 40 Grad, 50 Grad, 60, 61, 62, knapp über 62 Grad. Also diese 62 Grad können hier sein, können aber auch hier sein und so weiter. Und das Geodreieck hilft uns immer, jeden Winkel in Grad zu messen. Falls ihr übrigens mal einen Winkel über 180 Grad messen sollt, da verwendet ihr ebenfalls das Geodreieck. Wir legen es hier auf Strecke AB an. Dann wissen wir, dass das hier ein Halbkreis ist, ein halber Kreis sind 180 Grad; jetzt drehen wir das Geodreieck komplett herum, also wir drehen es um 180 Grad, und jetzt müssen wir noch diesen kleinen Teil hier abmessen. Denn wir haben jetzt 180 plus diesen kleinen Teil, das ist dann unser Winkel. Und jetzt schauen wir mal: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70. Das heißt, dieser kleine Teil sind 70 Grad, der hier oben sind 180 Grad, und 180 plus 70 sind 250 Grad. So können wir also auch Winkel über 180 Grad messen. Beim Geodreieck erkennen wir auch das, was wir schon vorher gesagt hatten: Für das Messen spielt es keine Rolle, welche Länge die Strecken auf den Strahlen haben, denn es entscheidet nur die Richtung über den Winkel, also hier A und C können wir vergrößern, es sind 90 Grad, können wir verkleinern die Strecke, und es sind immer noch 90 Grad. Das gilt für jeden beliebigen Winkel. Wir merken uns: Durch diesen Halbkreis haben wir stets eine gleichbleibende Winkelangabe. Nochmal zu der Winkelbezeichnung: Wie gesagt, man kann BAC schreiben, aber man kann auch griechische Buchstaben verwenden, also dann braucht man nicht BAC schreiben, sondern ganz kurz einfach nur in dem Beispiel α (Alpha) und trägt α dann in diesen Bogen ein. Man könnte auch β (Beta), γ (Gamma) oder andere Buchstaben verwenden. Hier werdet ihr feststellen, dass man auch den Winkel entsprechend seines Punktes bezeichnet. Also Punkt A α, B β, C γ, D δ (Delta) und so weiter. Wer sich nicht an die griechischen Buchstaben erinnern kann, der findet auf unserer Webseite ein Programm, das alle Buchstaben darstellt, von α, β, γ über ο (Omikron) über τ (Tau) bis schließlich ω (Omega). Und ihr habt auch einen Lernmodus, das heißt, euch werden die Bezeichnungen nicht angezeigt, ihr klickt dann drauf, und ihr seht dann den Buchstaben, hier zum Beispiel unser π (Pi). Gut, jetzt haben wir eine ganze Menge an Wissen gesammelt, was die Winkel betrifft, und dieses Wissen werden wir selbstverständlich noch benötigen. Wir haben also gelernt, dass es Winkel von 0 bis 360 Grad gibt, und was wir jetzt noch ergänzen müssen ist, dass es auch Winkel über 360 Grad gibt. Wenn wir jetzt hier die 90 Grad hätten, könnten wir genauso gut 360 Grad gehen und jetzt 361, 362 und so weiter bis insgesamt nicht 90 Grad, sondern 450 Grad. Es gibt also Winkel, die über 360 Grad groß sind und damit in die gleiche Richtung zeigen wie die Winkel zwischen 0 und 360 Grad. Also wie gesagt: 90 Grad entspräche 450 Grad. Oder 180 Grad entspricht, wenn wir jetzt nochmal eine Runde herumgehen würden, 180 plus 360 sind 540 Grad. Und auch 360 selbst, wenn wir jetzt hier nochmal eine Runde herumgehen würden, wären wir bei 720 Grad. Das bitte unbedingt merken! Genau so gut kann man rückwärts gehen, das heißt, wenn wir auf 0 kommen und jetzt unter 0 Grad gehen, wäre das auch negativ. Also minus 90 Grad, denn wir sind hier 90 Grad zurückgegangen, entspricht, wie man's hier auch sieht, 270 Grad. Minus 180 Grad entspricht 180 Grad. Minus 270 Grad entspricht 90 Grad. Und natürlich, machen wir den Kreis zu Ende, minus 360 Grad ist 0 Grad beziehungsweise 360 Grad. Das bitte auch merken! Entscheidend ist immer der Strahl, der die Richtung angibt, also hier grün dargestellt. Diese Position entscheidet über den Winkel, wobei der Winkel wie gesagt mehrere Werte annehmen kann. Okay, soviel hierzu. Im letzten Video betrachten wir uns noch kurz die Winkel an Parallelen und die entsprechenden Bezeichnungen.

Video Teil 4: Winkel an Geraden

Hallo zum vierten und letzten Teil zu den Kreisen und Winkeln. Wir hatten uns in den letzten Videos angeschaut, wie ein Winkel zustande kommt, also wir haben hier einen Anfangspunkt, den sogenannten Scheitelpunkt, und von ihm gehen zwei Schenkel weg, zwei Strahlen. Und dadurch entsteht dieser Winkel, in dem Beispiel α. Wenn wir jedoch zwei Geraden haben, die sich schneiden, hier mal als Beispiel Gerade g und Gerade f, dann entstehen eins, zwei, drei, vier Winkel. Und zwar kann man sich das so vorstellen, dass dieser Schnittpunkt hier der Scheitelpunkt ist. Und dieser Scheitelpunkt trennt Gerade g in zwei Halbgeraden, beziehungsweise zwei Strahlen nach oben und nach unten, und dieser Punkt trennt Gerade f ebenfalls in zwei Strahlen, die nach rechts und nach links weggehen, so dass wir dann diese vier Winkel hier einzeichnen können. Schauen wir uns das ein bisschen genauer an: Hier haben wir ebenfalls zwei Geraden beziehungsweise Geradenabschnitte, und hier sind die vier Winkel schon eingezeichnet. Und wir sehen, wenn die Gerade hier senkrecht auf der anderen ist, haben wir vier rechte Winkel. Also jeder Winkel ist 90 Grad groß, und, das können wir an der Stelle schon sagen, alle vier Winkel müssen immer 360 Grad ergeben. Das heißt, auch wenn wir hier eine andere Stellung nehmen, wie zum Beispiel 20 160, 20 160, sind alle vier Winkel in der Summe 360 Grad groß, also sie ergeben immer einen Vollkreis. Wir haben auch Eigenschaften hier bei den Winkeln: Wir sehen, dass die gegenüberliegenden Winkel immer gleich groß sind, hier 110 und 110, hier 70 und 70, und wenn wir die Gerade rotieren, bewegen, sehen wir, dass sich alle Winkel in gleichem Maße verändern und die Winkelgrößen gleich bleiben: 18 18, 162 162. Und wir sehen hier auch, dass jeder Winkel einen Wert zwischen 0 und 180 Grad annehmen kann. Zu den Bezeichnungen: Die gegenüberliegenden Winkel, die nennt man auch „Gegenwinkel“ beziehungsweise „Scheitelwinkel“, und die Winkel, die neben dem aktiven Winkel liegen, heißen „Nebenwinkel“. Und da kommen wir schon zu einer Eigenschaft: Wenn wir diesen Winkel hier exemplarisch auswählen, 110 Grad, und seinen Nebenwinkel 70 Grad hinzuaddieren, kommen wir auf – richtig! - 180 Grad. Und natürlich können wir diese 110 Grad auch mit diesem Nebenwinkel, mit dieser 70 Grad addieren, und da kommen wir auch auf 180 Grad. Diese Eigenschaft, wenn sich zwei Winkel zu 180 Grad ergeben, nennt man auch „Supplementwinkel“ beziehungsweise „Ergänzungswinkel“, denn beide zusammen ergänzen sich zu 180 Grad. So können wir auch alle möglichen Positionen hier, Situationen herstellen, es werden immer 180 Grad sein. Und hier sehen wir auch das, was wir schon vorher gesagt hatten, hier zum Beispiel der Winkel DCE, gucken wir hier unten DCE ist γ, ist 88 Grad. Und jetzt schalten wir mal nur auf Variablen, das heißt, wir haben hier DCE mit γ abgekürzt. DCB ist β, ACB ist α, und ECA ist δ. Also C ist immer der Scheitelpunkt. Und hier unten habt ihr dann die Aufstellung der Winkel. Merkt euch also: Jeder Winkel an zwei sich schneidenden Geraden hat einen Nebenwinkel, δ den Nebenwinkel γ und α, γ hat den Nebenwinkel δ und β, β den Nebenwinkel γ und α, und α den Nebenwinkel β und δ. Und jeder Winkel hat selbstverständlich einen Gegenwinkel, der Scheitelwinkel, der ihm gegenüber liegt. Und was wir gesagt hatten, Winkel und Nebenwinkel ergeben immer 180 Grad, einen gestreckten Winkel. Jetzt haben wir uns die Situation angeschaut, wenn sich zwei Geraden schneiden. Was passiert nun, wenn wir noch eine dritte Gerade haben, die parallel zu der einen Gerade hier ist? Schauen wir uns das ebenfalls an. Wenn wir hier zwei Parallelen haben, „parallel“ heißt übrigens soviel wie „nebeneinander“, und „parallel“ meint weiterhin: Die beiden Geraden schneiden sich nicht. Wenn wir also die zwei Parallelen haben und dann eine Gerade diese beiden schneidet, ergeben sich insgesamt 8 Winkel, an jedem Schnittpunkt 4 Winkel, hier grün und rot dargestellt. Und was wir gerade gesagt haben, gilt hier immer noch: Wenn wir jetzt hier den Punkt C zum Beispiel verschieben, verändern sich die beiden roten Bereiche in gleichem Maße und die beiden grünen Bereiche in gleichem Maße. Und auch hier: Winkel und Nebenwinkel ergeben immer 180 Grad, und die gegenüberliegenden Winkel sind immer gleich groß. Doch wie ist nun die Beziehung zu dem zweiten Scheitelpunkt, zu den anderen vier Winkeln? Und da sehen wir, dass, wenn wir den Punkt C nochmal hier bewegen, dass dieser rote Winkel und dieser rote Winkel immer gleich groß sind. Sie haben also immer den gleichen Wert. Und man kann sich das hier gut vorstellen, indem man beide aufeinander legt, und sozusagen dann den einen von dem anderen entfernt, wir duplizieren ihn sozusagen, wir kopieren ihn, und verschiebt diese Kopie dann entsprechend nach links oder nach rechts und erkennt, dass sich die Winkel gleichmäßig verändern. Und da das hier aussieht dann wie eine Stufe, die man höher geht, sagt man auch „Stufenwinkel“ zu diesen beiden Winkeln. Und das gilt nicht nur für diesen roten hier, das gilt auch für diesen grünen und diesen grünen, das ist ebenfalls ein Stufenwinkel, dieser grüne auf der Seite und dieser grüne hier drüben sind ebenfalls Stufenwinkel, und dieser rote und dieser rote sind ebenfalls Stufenwinkel. Man springt sozusagen eine Etage höher und hat dort einen Winkel mit gleichem Maß. Nehmen wir jetzt als nächstes den „Wechselwinkel“, das heißt nichts weiter als dass wir von der Seite einen hochspringen und auf die andere Seite überwechseln, und auch dort ist der Winkel gleich groß. Also wenn wir den jetzt hier bewegen, seht Ihr: Die roten Bereiche haben die gleiche Größe. Woran liegt das? Blenden wir nochmal alle Winkel ein, und ihr seht: Wenn wir hier diesen Winkel nach oben setzen, dann haben wir ja den Stufenwinkel, und der Gegenwinkel, der Scheitelwinkel vom Stufenwinkel muss ja gleich groß sein, wie wir vorher festgelegt hatten. Das heißt, wenn dieser Winkel und dieser Winkel gleich groß sind, dann muss auch dieser Winkel hier, weil es ein Gegenwinkel ist, gleich groß sein. Und daher sagt man dann, das ist der „Wechselwinkel“. Und auch hier gilt: Das ist nicht nur für den roten der Fall, sondern auch für diesen grünen und diesen grünen, für diesen grünen und diesen grünen, für diesen roten und diesen roten, das hatten wir ja schon gesagt, und für diesen roten und diesen roten. Bei Wechselwinkeln ist also immer interessant, dass er auf der anderen Seite liegt und gleich groß ist. Noch als Zusatz: Die beiden hier, die sich sozusagen benachbart angucken, nennt man „Nachbarwinkel“. Das nur als Zusatzinformation. Gleiches gilt natürlich auch für diese Seite. Sehr gut, wir haben jetzt das notwendige Wissen zu den Winkeln und Kreisen erlangt und können uns als nächstes die Dreiecke anschauen. Gehen wir nochmal im Schnelldurchlauf durch, was wir gelernt haben: Wir hatten gelernt, was ein Punkt ist, wir hatten gelernt, wie eine Strecke zustande kommt, wie sich der Strahl ergibt, und was dann eine Gerade ist. Wir hatten uns angeschaut, wie der Kreis entsteht, durch unendlich viele Punkte im gleichen Abstand zum Mittelpunkt oder als Polygon mit unendlich vielen Seiten. Dann hatten wir gelernt, wie man bei zwei Strahlen den Winkel messen kann und das Geodreieck dazu benutzt. Wir hatten auch gelernt, dass man den Kreis in 360 Grad zum Winkelmessen einteilt. Dann hatten wir noch gesagt, Winkel können zwischen 0 und 360 Grad groß sein, aber auch größer als 360 Grad, aber auch negativ, also unter 0 Grad groß. Wir hatten kennengelernt, dass man Winkel in Grad messen kann, aber auch in anderen Größen wie zum Beispiel prozentual, also am Anteil vom Kreis, da hatten wir ja zu Beginn 25 Prozent festgelegt und gesehen, dass das 90 Grad sind. Wir könnten aber auch in Bogenmaß messen, dazu später mehr, und wir hatten gesagt, dass wir immer entgegengesetzt des Uhrzeigersinns messen, außer bei der Zeit: Da wird immer im Uhrzeigersinn gemessen, hier aber bitte aufpassen: Bei dem sogenannten „Zeitmaß“ haben wir für einen Umlauf 24 Stunden und nicht 12 Stunden wie bei einer Uhr. Hier könnt ihr euch vorstellen, dass wenn das die Erde wäre, die Sonne die Erde umrundet, und zwar in insgesamt 24 Stunden. Und auch bei der „Geodäsie“, also bei der Landvermessung wird im Uhrzeigersinn gemessen. Statt 360 Grad wird hier der Kreis in 400 Schritte eingeteilt, mit der Einheit „gon“, also 360 Grad entsprechen dann 400 gon. Und erinnern wir uns: Wir hatten nicht nur gesagt, wie ein Kreis entsteht, wir hatten auch all seine Elemente angeschaut, beginnend vom Radius über die Kreislinie, über den Durchmesser des Kreises, über die sogenannte Sehne bis hin zur gesamten Kreisfläche, dem Kreissektor und dem Kreisbogen. Dann hatten wir noch die zwei Formeln gesehen, einmal für den Umfang, also die Kreislinie, der Umfang, die da lautete: Umfang ist gleich 2π mal r beziehungsweise 2 mal Radius mal π, und dann, bei zweimal Radius hatten wir gesagt: Das ist auch der Durchmesser, also Durchmesser mal π. Und wir hatten uns die Kreisfläche angeguckt, die Formel, und die lautete: Groß A für Fläche ist gleich π mal r-Quadrat. Und natürlich ganz wichtig zu merken: π steht für einen Zahlenwert, der etwa bei 3,14 liegt. Und nicht vergessen: π ist eine irrationale Zahl. Wir hatten außerdem gesagt, dass wir den Winkel als BAC, also mit Hilfe der Punkte angeben können, oder ganz einfach griechische Buchstaben einsetzen können, also zum Beispiel α. Dann hatten wir noch uns über die Winkelarten unterhalten. Wir sind vom Nullwinkel ausgegangen, spitzer Winkel, ganz wichtig: Der rechte Winkel. Stumpfer Winkel, gestreckter Winkel, überstumpfer Winkel und Vollwinkel. Dann hatten wir uns die Winkel an Geraden angeschaut, dass da, wenn sich zwei Geraden schneiden, vier Winkel entstehen. Wir hatten uns die Nebenwinkel und den Scheitelwinkel angeschaut, gesagt, dass beide immer 180 Grad groß sein müssen, und wir hatten gesagt, dass wenn wir zwei Parallelen haben und eine Gerade schneidet, wir so etwas haben wie einen Stufenwinkel, der immer gleich groß ist, und ein Wechselwinkel, der ebenfalls gleich groß ist. Falls jemand noch Probleme mit den Inhalten haben sollte, kann er sich gerne auf unserer Webseite das jeweilige Programm raussuchen und entsprechend üben. Gut, weiter geht’s in der nächsten Lektion mit den Dreiecken.

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