TRI06: Tangens einfach erklärt

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 10. Klasse

Mathe-Videos

Nach Sinus und Kosinus folgt nun der Tangens, also das Verhältnis aus Gegenkathete und Ankathete. Was das genau bedeutet, erfahrt ihr einfach erklärt in den Mathe-Videos. Testet auch die Matheprogramme zum Tangens.

Weitere Videos stehen dir als Kunde zur Verfügung:

  • TRI06-1 Tangens - Einfache Einführung

    Was ist der Tangens, wie ist er definiert. Was bedeutet das Seitenverhältnis Gegenkathete zu Ankathete. Anwendung des Tangens zur Seitenbestimmung und Anwendung des Arkustangens zur Winkelbestimmung.

  • TRI06-2 Tangens - Tangens für Winkel von 0° bis 180°

    Tangens von 0° bis 180° im Koordinatensystem ablesen, besondere Tangenswerte für 0°, 90° und 180°. Negativer Tangens. Tangens als Steigung. Ermittlung der Steigung einer linearen Funktion mit Hilfe des Tangens.

  • TRI06-3 Tangens - Zusammenfassung + Aufgaben lösen

    Zusammenfassung des neuen Wissens. Tangens als Sinus/Kosinus. Aufgaben: Höhenbestimmung aus Winkel und Distanz. Winkelbestimmung aus Höhe und Distanz. Wann nutzt man Sinus, Kosinus oder Tangens.

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Wissen zur Lektion

Einführung

Stellen wir uns vor, wir haben ein rechtwinkliges Dreieck gegeben mit den Längenangaben für Seite a und Seite b.

~draw~ dreieck(3|3 -3|-1 3|-1)#;text(3.2|3.2 "A");text(-3.4|-1.2 "B");text(3.2|-1.2 "C");kreissektor(3|-1 0.5 90 180);kreissektor(-3|-1 1 0 33);text(-2.35|-0.8 "β");text(0|-1.2 "a");text(3.2|1 "b");text(-0.2|1.3 "c");zoom(3);aus ~draw~

Um den Winkel β zu bestimmen, können wir jetzt nicht den Sinus benutzen, denn dieser verlangt Seite b und Seite c, also sin(β) = b/c. Auch der Kosinus hilft uns nicht weiter, denn dieser benötigt Seite a und Seite c, also cos(β) = a/c.

Um den Winkel β direkt aus den Seiten a und b berechnen zu können, verwenden wir den sogenannten Tangens:

tan(β) = GK / AK

tan(β) = b / a

~draw~ dreieck(3|3 -3|-1 3|-1)#;text(3.2|3.2 "A");text(-3.4|-1.2 "B");text(3.2|-1.2 "C");kreissektor(3|-1 0.5 90 180);kreissektor(-3|-1 1 0 33);text(-2.35|-0.8 "β");text(0|-1.2 "a");text(3.2|1 "b");text(-0.2|1.3 "c");text(-2.8|-1.8 "tan(β) = b/a");zoom(5);aus ~draw~

Was ist der Tangens?

Der Tangens ist das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete. Wie auch beim Sinus und Kosinus, ist der Tangenswert bei festem Winkel immer gleich, egal wie groß wir unser rechtwinkliges Dreieck wählen. Ein Beispiel mit Winkel β = 30°: Der Tangens lautet tan(30°) ≈ 0,577. Dies besagt, dass die Gegenkathete 0,577 mal so lang ist wie die Ankathete.

Zeichnen wir ein Beispieldreieck hierzu:

~draw~ dreieck(3|2.5 -3|-1 3|-1)#;text(3.2|2.7 "A");text(-3.4|-1.2 "B");text(3.2|-1.2 "C");kreissektor(3|-1 0.5 90 180);kreissektor(-3|-1 1 0 30);text(-2.35|-0.8 "β");text(-0.1|-1.3 "10 cm");text(3.2|0.7 "5.77 cm");text(-0.6|1 "11.54 cm");text(-2.8|-2 "tan(β) = GK/AK = 5.77 cm/10 cm = 0.577");zoom(5);aus ~draw~

HY = 11,54 cm
GK = 5,77 cm
AK = 10 cm

tan(30°) = GK / AK = 5,77 cm / 10 cm = 0,577

GK / AK = 0,577
GK = 0,577 · AK

Selbst wenn wir jetzt andere Seitenlängen wählen, doch den Winkel bei 30° lassen, ändert sich das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete nicht, tan(30°) ist weiterhin 0,577. Also die Gegenkathete ist 0,577 mal so lang wie die Ankathete. Ein weiteres Beispieldreieck:

~draw~ dreieck(3|2.5 -3|-1 3|-1)#;text(3.2|2.7 "A");text(-3.4|-1.2 "B");text(3.2|-1.2 "C");kreissektor(3|-1 0.5 90 180);kreissektor(-3|-1 1 0 30);text(-2.35|-0.8 "β");text(-0.1|-1.3 "7.5 cm");text(3.2|0.7 "4.33 cm");text(-0.6|1 "8.66 cm");text(-2.8|-2 "tan(β) = GK/AK = 4.33 cm/7.5 cm = 0.577");zoom(5);aus ~draw~

HY = 8,66 cm
GK = 4,33 cm
AK = 7,5 cm

tan(30°) = GK / AK = 4,33 cm / 7,5 cm ≈ 0,577

GK / AK = 0,577
GK = 0,577 · AK

Mögliche Tangenswerte

Beim rechtwinkligen Dreieck gilt: Ist die Gegenkathete kleiner als die Ankathete (GK < AK), dann ist der Tangenswert kleiner als 1. Ist die Gegenkathete genauso lang wie die Ankathete (GK = AK), dann ist der Tangenswert 1. Ist die Gegenkathete größer als die Ankathete (GK > AK), dann ist der Tangenswert größer als 1.

Ein paar Beispielwerte:

tan(0°) = 0 (da für GK/AK die GK = 0 ist und 0/AK = 0)
tan(30°) ≈ 0,577
tan(40°) ≈ 0,839
tan(45°) = 1
tan(60°) ≈ 1,732
tan(90°) = nicht definiert (da für GK/AK die AK = 0 ist und GK/0 = nicht definiert)

Tangens als Verhältnis von Sinus / Kosinus

Schauen wir uns die Definition des Tangens an und schreiben Sinus und Kosinus dazu:

sin(β) = GK / HY → umgestellt nach GK ergibt: GK = sin(β) · HY
cos(β) = AK / HY → umgestellt nach AK ergibt: AK = cos(β) · HY

Wir setzen diese beiden Formeln in die Tangensformel ein:

tan(β) = GK / AK   | GK = sin(β) · HY

tan(β) = (sin(β) · HY) / AK   | AK = cos(β) · HY

tan(β) = (sin(β) · HY) / (cos(β) · HY)

Offensichtlich können wir HY aus Zähler und Nenner des Bruches herauskürzen und es ergibt sich:

tan(β) = sin(β) / cos(β)

Dies ist eine weitere Definition des Tangens: Der Tangens des Winkels ergibt sich aus dem Verhältnis von Sinus des Winkels zu Kosinus des Winkels.

Tangens in den Taschenrechner eingeben

Nachfolgend eine kleine Animation, die euch zeigt, wir ihr den Tangenswert von einem Winkel mit dem Taschenrechner erhaltet.

Tangens in Taschenrechner eingeben

Arkustangens: Winkel aus Tangenswert berechnen

Den Tangens kann man auch umkehren, das heißt, aus einem gegeben Tangenswert lässt sich der Winkel ermitteln. Die Schreibweise mit einer hoch (-1) entspricht der beim Arkussinus und Arkuskosinus:

tan(45°) = 1
  → tan-1( 1 ) = 45°

tan(30°) ≈ 0,577
  → tan-1( 0,577 ) = 29,9849460073978529… ≈ 30°

Arkustangens in Taschenrechner eingeben

Dreiecksseiten mit Tangens bestimmen

Gegeben sind a = 5 cm und b = 4,2 cm. Wir sollen den Winkel β bestimmen.

~draw~ dreieck(3|4 -3|-1 3|-1)#;text(3.2|4.3 "A");text(-3.4|-1.2 "B");text(3.2|-1.2 "C");kreissektor(3|-1 0.5 90 180);kreissektor(-3|-1 1 0 40);text(-2.35|-0.75 "β");text(-0.1|-1.3 "a = 5 cm");text(3.2|1.4 "b = 4.2 cm");text(-0.3|1.7 "c");text(-2.8|-2 "gesucht: Winkel β");zoom(6);aus ~draw~

Wir nutzen sofort den Tangens hierfür:

tan(β) = GK / AK
tan(β) = b / a
tan(β) = 4,2 cm / 5 cm
tan(β) = 0,84

Nun wissen wir, dass die Gegenkathete 0,84 mal so lang ist wie die Ankathete. Nutzen wir nun den Arkustangens, um den dazugehörigen Winkel zu bestimmen:

tan(β) = 0,84   | tan-1
tan-1(tan(β)) = tan-1(0,84)
β = tan-1(0,84)
β ≈ 40°

Der gesuchte Winkel β ist also rund 40° groß. Hinweis: Achtet unbedingt darauf, dass euer Rechner den Modus "DEG" (Gradmaß) anzeigt und nicht "RAD" (Radiant/Bogenmaß).

Tangens am Dreieck ablesen

Wenn die Hypotenuse 1 lang ist, dann können wir den Sinuswert an der Gegenkathete ablesen (deren Länge entspricht dem Sinuswert) und den Kosinuswert an der Ankathete. Dies hatten wir in der Lektion TRI04 Sinus und Kosinus kennengelernt.

Den Tangens können wir ebenfalls ablesen, jedoch müssen wir hierzu eine weitere Strecke einzeichnen. Sie beginnt im Koordinatensystem bei P(1|0) und verläuft senkrecht nach oben, bis sie die verlängerte Hypotenuse trifft. Siehe Abbildung:

Tangens am Dreieck ablesen

Die Länge der orangen Strecke gibt uns den Tangenswert an.

Die Steigung mit Hilfe des Tangens berechnen

Der Tangenswert entspricht der Steigung. Beispiel: tan(35°) = 0,7. Das heißt, wenn die Hypotenuse ein linearer Funktionsgraph wäre, dann würde dieser mit 0,7 steigen. Die Funktionsgleichung würde lauten: f(x) = 0,7·x

~draw~ strecke(-10|-7 10|7);text(3.1|1.8 "f(x) = 0.7·x");text(3.1|1.3 "f(x) = tan(35°)·x");zoom(4) ~draw~

Statt wie bei den linearen Funktionen zu schreiben: f(x) = m·x können wir jetzt genausogut schreiben: f(x) = tan(β)·x, da m = GK/AK = tan(β).

Den Steigungswinkel eines Funktionsgraphen bestimmen

Jetzt, wo wir wissen, dass der Tangens der Steigung entspricht, können wir auch jederzeit den Steigungswinkel aus dem Steigungswert (dem Tangenswert) bestimmen:

Gegeben ist die Funktionsgleichung: f(x) = 1,6·x und gefragt ist nach dem Winkel, mit dem diese Funktion steigt. Um dies zu bestimmen, legen wir fest:

f(x) = 1,6·x
f(x) = m·x
f(x) = tan(β)·x

tan(β) = 1,6   | Arkustangens verwenden: tan-1()
tan-1(tan(β)) = tan-1(1,6)
β = tan-1(1,6)
β ≈ 58°

Der Graph der Funktion steigt also mit 58°. Er sieht wie folgt aus:

~draw~ strecke(-10|-16 10|16);text(2|2.7 "f(x) = 1.6·x");kreissektor(0|0 1 0 58);text(0.5|0.3 "β");zoom(4) ~draw~

Das Wort "Tangens"

Vielleicht fragt ihr euch, warum man "Tangens" sagt. Dazu müsst ihr wissen, dass man den Tangens auch am sogenannten Einheitskreis ablesen kann:

Tangens am Einheitskreis

Wie wir sehen können, berührt die Tangente den Kreis in nur einem Punkt. Auf lateinisch heißt "berühren" "tangere", daher sagen wir Tangens.

Tangenswerte für Winkel von 90° bis 180°

Der Tangens ist auch für Winkel über 90° definiert. Hierzu verwendet man einen Halbkreis und zeichnet die Hypotenuse gemäß der Winkelgröße auf die linke Seite:

Tangens bis 180 Grad

Dabei stellt man fest, dass der Sinuswert immer noch positiv ist, der Kosinuswert jedoch negativ wird.

Gemäß der Definition tan(β) = sin(β) / cos(β) ergibt sich tan(β) = [+] / [-] = [-] also ein negativer Wert für den Tangens. Wichtig: Damit entspricht die Länge der Tangensstrecke nicht mehr dem Tangenswert, denn sie darf nicht negativ sein. Jedoch können wir den Betrag von Tangens (also den positiven Wert) bilden und diesen als Länge abtragen.

Dass der Tangens für Winkel zwischen 90° und 180° negativ sein muss, erkennen wir auch, wenn wir uns die Hypotenuse wieder als Graph einer linearen Funktion denken. Es ergibt sich ein negativer Wert für die Steigung, was wir mit Hilfe eines Steigungsdreiecks zeigen könnten.

Der Tangens von 180° ist übrigens 0, da die GK = 0 ist. Damit tan(180°) = GK/AK = 0/AK = 0. Also genau wie bei tan(0°) = 0.

Wann nutzt man bei Aufgaben den Sinus, Kosinus oder Tangens?

Voraussetzung ist, dass wir ein rechtwinkliges Dreieck haben. Nur dann können wir Sinus, Kosinus und Tangens direkt anwenden.

Im Folgenden die Fälle, wann Sinus, Kosinus oder Tangens anzuwenden sind:

Wann Sinus, Kosinus oder Tangens am Dreieck anwenden

Auch die Winkel lassen sich bestimmen:

Arkussinus, Arkuskosinus oder Arkustangens am Dreieck anwenden

Tangenswerte größer 1 und kleiner -1

Abschließend sei noch erwähnt, dass der Tangens sehr hohe Werte annehmen kann, aber auch sehr niedrige Werte. Zum Beispiel: tan(89,99°) ≈ 5729,578 und tan(90,01°) ≈ -5729,578. Dies steht im Gegensatz zu Sinus und Kosinus, die nur Werte zwischen -1 und 1 annehmen können. Alle Details hierzu lernen wir beim Einheitskreis kennen.

Tabelle der Tangenswerte von 0° bis 180°

Die folgende Tabelle zeigt einige Tangenswerte bei Dreiecken, meist muss gerundet werden. Merken wir uns, dass tan(0°) = tan(180°) = 0 und dass tan(90°) = nicht definiert ist.

Winkel Tangenswert Tangenswert gerundet
0,0000,000
10°0,1763269807084640,176
20°0,3639702342662020,364
30°0,5773502691896250,577
40°0,8390996311772800,840
45°1,0001,000
50°1,1917535925942101,192
60°1,7320508075688771,732
70°2,7474774194546222,748
80°5,6712818196177105,671
90°nicht definiertnicht definiert
100°-5,671281819617710-5,671
110°-2,747477419454622-2,748
120°-1,732050807568877-1,732
130°-1,191753592594210-1,192
140°-0,839099631177280-0,839
150°-0,577350269189626-0,577
160°-0,363970234266202-0,364
170°-0,176326980708465-0,176
180°0,0000,000

Mathe-Programme zum Tangens

  • Sinus und Kosinus: Seitenverhältnisse Sinus und Kosinus: Seitenverhältnisse
    Seht hier die Seitenverhältnisse beim rechtwinkligen Dreieck, die zu Sinus und Kosinus führen. Sinus als Verhältniswert von Gegenkathete/Hypotenuse und Kosinus als Ankathete/Hypotenuse.
  • Tangens beim rechtwinkligen Dreieck Tangens beim rechtwinkligen Dreieck
    Entdeckt hier die Tangens-Werte für Winkel von 0° bis 90°. Der Tangens ergibt sich aus Gegenkathete durch Ankathete aber auch aus dem Verhältnis Sinus durch Kosinus.
  • Tangens für Winkel bis 180 Grad
    Tangens für Winkel bis 180 Grad
    Bei diesem Programm werden die Werte für Sinus, Kosinus und Tangens für Winkel von 0° bis 180° angezeigt. Kosinus und Tangens sind bei Winkeln zwischen 90° und 180° negativ!
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Video Tangens 1/3: Einführung

Hallo liebe Schüler und willkommen zur nächsten Lektion! In dieser Lektion schauen wir uns den „Tangens“ an.
Überlegen wir uns folgenden Fall: Wir haben ein rechtwinkliges Dreieck gegeben, und wir kennen die Seite a und b. Und Aufgabe ist es, den Winkel β zu bestimmen. Da können wir versuchen, den Sinus aufzustellen: Sinus von β ist Gegenkathete durch Hypotenuse, also Seite b durch Seite c, wir sehen aber, Seite c ist nicht gegeben, das heißt, wir können den Sinus nicht benutzen, um β zu ermitteln. Denn in dieser Gleichung wären zwei Unbekannte, zum einen die Hypotenuse und dann unser gesuchtes β.
Stellen wir den Kosinus auf, wissen wir: Kosinus ist Ankathete durch Hypotenuse, also Seite a durch Seite c. Seite c ist uns nicht bekannt, und wir suchen β, das heißt, auch hier können wir den Kosinus nicht benutzen, um β zu bestimmen. Natürlich könnten wir jetzt folgendes machen: Wir könnten, weil ja hier ein rechtwinkliges Dreieck ist, den Satz des Pythagoras benutzen, um Seite c zu bestimmen. Und dann könnten wir über Kosinus oder Sinus das β bestimmen.
Für unseren Fall wollen wir jedoch β direkt aus a und b berechnen! Und genau hierfür brauchen wir den Tangens. Mit dem können wir aus dem Verhältnis Gegenkathete durch Ankathete den Winkel bestimmen. Betrachten wir uns das ein bisschen genauer.
Dieses Programm hatten wir bereits bei der Einführung kennen gelernt. Hier hatten wir gesagt: Die Gegenkathete durch die Hypotenuse hat immer einen konstanten Wert bei einem festen Winkel. Also bei 30 Grad ist 4 durch 8 0,5, also Sinus ist immer 0,5. Und da konnten wir auch hier den Verhältniswert anzeigen. Und wir hatten gesagt, wir können hier beliebige Werte einstellen, 5,77, 11,54, beide miteinander dividiert und wir erhalten 0,5. Also egal, welche Länge die beiden haben, solange der Winkel 30 Grad hier ist, ist die Gegenkathete 0,5mal so lang wie die Hypotenuse. Beziehungsweise, Sinus von 30 Grad ist 0,5. Und das gleiche gilt natürlich für die Ankathete; wir hatten hier unseren Kosinus definiert: Ankathete durch Hypotenuse. Und der ist für 30 Grad immer 0,87 gerundet.
Was ist jetzt der Tangens? Beim Tangens dividieren wir die Gegenkathete durch die Ankathete! Also für unser Beispiel: 3,7 durch 6,4, und das ergibt - schauen wir hier oben - rund 0,58. Wenn wir jetzt unsere Strecken verändern, seht Ihr: Gegenkathete durch Ankathete, 5,77 durch 10 ist rund 0,58. Der Wert bleibt also konstant, er verändert sich nicht. Also der Verhältniswert „Gegenkathete durch Ankathete“ für einen festgelegten Winkel ist immer eindeutig bei unserem Dreieck. Wenn wir uns jetzt den Verhältniswert anschauen, Gegenkathete durch Ankathete ist 0,58 bei 30 Grad; gehen wir zum Beispiel auf 29 Grad, ist der Wert 0,55; 28 Grad 0,53 - und umso weiter wir gegen 0 gehen, wird der Wert immer kleiner, bis er schließlich 0 erreicht. Und natürlich können wir auch den Winkel erhöhen, um so größer wir den Winkel wählen, wie zum Beispiel 60 Grad, da haben wir einen Tangenswert von 1,73. Und wie ihr seht, der Wert wird immer größer, sofern wir uns auf 90 Grad zu bewegen. Wir können uns also merken: Umso größer die Gegenkathete ist im Vergleich zur Ankathete, desto größer unser Tangenswert, und umso kleiner die Gegenkathete ist im Vergleich zur Ankathete, desto kleiner der Tangenswert.
Benutzen wir als nächstes den Taschenrechner und berechnen aus einem Winkel, nehmen wir 61 Grad, den Tangens. Wir geben also ein: Tangenstaste und dann den Winkel 61 Grad, und wir erhalten rund 1,8, unser Tangenswert. Die Schreibweise für den Tangens lautet also:
tan(61°{der Winkel}) ist der Tangenswert.
Man kann den Tangenswert übrigens auf verschiedene Weise interpretieren. Hier bei unserem Dreieck stellen wir mal einen Winkel von 45 Grad ein, dann seht Ihr: Gegenkathete durch Ankathete, da beide den gleichen Wert haben, ist 1. Und jetzt kann man sagen, die Gegenkathete ist also einmal so lang wie die Ankathete. Stellen wir jetzt einen Winkel von 50 Grad ein, erhalten wir einen Wert von 1,19; das heißt, die Gegenkathete ist 1,19mal länger als die Ankathete. Also, wenn ihr hier die Gleichung umstellt, Gegenkathete durch Ankathete ist 1,19, dann könnt ihr die Ankathete hier rübermultiplizieren und dann steht da: Gegenkathete ist gleich 1,19 mal Ankathete. Also der Tangens kann interpretiert werden als: Wie lang ist die Gegenkathete im Verhältnis zur Ankathete? Oder aber man kann den Tangens auch interpretieren als Steigung dieser Strecke, wie wir dann im nächsten Teil sehen werden.
Wie wir gesagt haben, hat jeder Winkel einen eindeutigen Tangenswert, das heißt, sobald wir den Tangenswert kennen, können wir daraus den Winkel bestimmen, und zwar mit der Umkehrfunktion, also mit dem sogenannten „Arcustangens“. Das ist nichts weiter als SHIFT-Taste drücken, dann die Tangenstaste, damit haben wir tan-1, also den Arcustangens, und jetzt geben wir die 1,8 ein, und wir erhalten rund 61 Grad, also wieder unseren Winkel. Und dieses Umkehren hatten wir auch schon kennen gelernt: Wir hatten ja den Sinus und den Arcussinus, da konnten wir ja aus 0,87 den Arcussinus ziehen, sind auf 61 Grad gestoßen; und wir konnten den Arcuskosinus benutzen und sind von 0,48 in dem Beispiel auf 61 Grad gestoßen. Und wie wir sehen, gibt es dann auch den Arcustangens, und wir kommen von 1,8 auf 61 Grad. Wie ihr seht, ist auch der Tangens ein praktisches Hilfsmittel!
Wenden wir das Wissen auf eine Aufgabe an: Hier sind wir ja nicht weiter gekommen mit Sinus und Kosinus, um β zu bestimmen, benutzen wir also den Tangens bei folgender Aufgabe: Man gibt uns ein rechtwinkliges Dreieck und sagt uns: Seite a ist 5 Zentimeter lang, und Seite b ist 4,2 Zentimeter lang; und wir sollen den Winkel β bestimmen. Dann können wir ganz einfach den Tangens nehmen und aufstellen: Tangens von (β) ist gleich – und jetzt – Gegenkathete durch Ankathete. Gegenkathete von β ist b, Ankathete von β ist a, also b durch a. Dann setzen wir unsere beiden Werte ein und dividieren die 4,2 durch die 5 – also 4,2 dividiert durch 5 – und wir erhalten 0,84. Das ist also der Tangenswert 0,84, und wir wollen jetzt β haben, das heißt wir ziehen den Arcustangens: SHIFT Tangenstaste, Arcustangens, und jetzt die 0,84. Welchen Winkel erhalten wir?
40 Grad, und das ist unsere Lösung für β! Das heißt, aus der Gegenkathete und der Ankathete war es uns möglich, den Winkel zu bestimmen.
Soviel zur Einführung zum Tangens und auch zum Arcustangens.
Im nächsten Teil schauen wir uns den Tangens im Koordinatensystem an, schauen, wie wir ihn hier betrachten können; und wir untersuchen ihn für Winkel von 0 bis 90 Grad, aber auch für Winkel von 90 bis 180 Grad.
Also: Auf geht es in die nächste Runde!

Video Tangens 2/3: Tangens für Winkel von 0° bis 180°

Benutzen wir wieder den Trick und sagen, dass wir hier einen Teil eines Kreises haben und jeder Punkt auf dem Kreis zum Mittelpunkt des Koordinatensystems die Distanz 1 hat, also 0 bis 1, 0 bis 1, aber auch hier 0 bis 1. Diese Möglichkeit hatten wir bereits kennen gelernt, und was passiert dadurch? Wir können den Sinuswert direkt an der blauen Linie ablesen und den Kosinuswert direkt an der roten Linie ablesen. Also die Länge der Gegenkathete ist der Sinuswert, und die Länge der Ankathete ist der Kosinuswert. Und jetzt können wir für den Tangens Gegenkathete durch Ankathete rechnen, das ist hier unten dargestellt. Also Tangens von 43 Grad ist Gegenkathete durch Ankathete ist 0,682 durch 0,731, also rund 0,933. Und den Tangens können wir hier außen einzeichnen, hier mit einer orangen Linie angedeutet. Die Länge dieser Linie gibt uns also den Tangenswert an. Und wie ihr seht, wenn wir den Winkel erhöhen, vergrößert sich der Tangens: Die orange Linie wird immer länger. Und verkleinern wir den Winkel, wird unser Tangens ebenfalls kleiner.
An dieser Stelle fragt sich der ein oder andere vielleicht: Warum zeichnet man denn die Tangenslinie hier bei x = 1 ein? Da könnt ihr euch denken, dass wir mit der Division von Gegenkathete durch Ankathete, also 0,574 durch 0,819 den Wert von 0,7 bekommen, das heißt, es handelt sich um eine Steigung von 0,7. Und wenn wir dann einen Schritt nach rechts gehen, also x wird 1, müssen wir 0,7 nach oben gehen; y wird 0,7. Hierzu erfahrt ihr gleich mehr im Zusammenhang mit den linearen Funktionen.
Und an dieser Stelle können wir auch klären, warum Tangens „Tangens“ heißt, denn diese orange Linie berührt unseren Kreis hier in nur einem Punkt, sie „tangiert“ ihn. Und „berühren“ heißt auf Lateinisch „tangere“.
Aber wieder zurück zum ursprünglichen Gedanken: Jeder Winkel, wie zum Beispiel hier 35 Grad, hat seinen Tangenswert, tan(35°) ist 0,7. Oder ändern wir 35 Grad auf 0, dann sehen wir: tan(0°) ist 0. Also Gegenkathete durch Ankathete: Gegenkathete, Höhe ist 0, Ankathete, Länge ist 1, 0 durch 1 ist 0.
Bei 45 Grad ist übrigens die Gegenkathete genauso lang wie die Ankathete, und wenn wir diese zwei gleichen Elemente dividieren, kommt natürlich 1 heraus.
Und gehen wir weiter, seht Ihr, dass der Tangenswert größer als 1 sein kann. Das ist übrigens sehr wichtig, weil wir hatten ja beim Sinus und Kosinus gelernt, dass das Maximum für zum Beispiel Sinus bei 1 erreicht ist! Der Sinuswert kann nie größer als 1 sein, also nie größer als die Hypotenuse. Und gleiches für den Kosinus: Er kann höchstens 1 groß sein. Der Tangens hingegen kann Werte über 1 annehmen! Wie ihr hier seht: Tangens von 57 Grad ist 1,54. Und wenn wir jetzt weiter gehen, hier verlässt übrigens unsere Anzeige den Bildschirm, schauen wir also hier: Und wir gehen jetzt auf 88 Grad beispielsweise, sehen wir, haben wir schon einen Wert von 28,636 für den Tangens. Und wir haben hier Gegenkathete bei 88 Grad ist rund 0,999, und Ankathete bei 88 Grad ist rund 0,035; und dividieren wir die beiden, kommt rund 28,636 raus, also ein sehr hoher Wert. Und wenn wir jetzt auf 90 Grad gehen, dann passiert folgendes: Die Ankathete wird 0, beziehungsweise der Kosinuswert von 90 Grad ist ja 0, wie es hier steht, und die Gegenkathete beziehungsweise der Sinuswert ist 1. Und 1 durch 0, das wissen wir, durch 0 ist nicht definiert.
Wir merken uns also bei Winkeln von 0 bis 90 Grad: Der Tangens kann Werte von 0 bis Unendlich annehmen, also er kann sehr, sehr, sehr groß sein, jedoch kann er nie 90 Grad sein, weil dann ist er nicht definiert. Spaßeshalber könnt ihr mal Euren Taschenrechner rausnehmen und den Tangens berechnen für einen Winkel, der sehr nahe an der 90 ist, zum Beispiel 89,987654. Und ihr erhaltet 4640, also unsere orange Linie, unser Tangens wäre bei 89,987654 Grad 4640 Einheiten lang. Wie ihr seht, ein äußerst hoher Wert.
Jetzt steht noch die Frage: Was passiert für Winkel über 90 Grad, also wenn wir auf die linke Seite herübergehen? Sinus und Kosinus für 90 bis 180 Grad hatten wir schon definiert. Machen wir dies also auch für Tangens. Untersuchen wir also den Tangens von 0 bis 180 Grad. Den Tangens hier hatten wir bereits, und ab 90 Grad seht Ihr, springt er auf die linke Seite beziehungsweise wird negativ. An der Stelle müsst ihr aber aufpassen: Es ist hier nicht wie beim Sinus, dass diese Seite jetzt nach oben zeigt und damit positiv ist, nein, sie ist hier negativ. Warum? Schauen wir: Tangens ist definiert als Gegenkathete durch Ankathete, also in dem Fall 0,7193 durch -0,6947! Denn wir hatten gesagt: Kosinus über 90 Grad ist immer negativ. Und der Sinus zwischen 90 und 180 Grad ist immer positiv. Das heißt, positiv durch negativ ist immer negativ. Der Tangens zwischen 90 und 180 Grad ist also damit immer negativ! Wie ihr hier seht: Minuswerte, Minuswerte, Minuswerte; bis schließlich 180 Grad, und da haben wir Gegenkathete mit 0, also Sinuswert von 180 ist 0, und Ankathete beziehungsweise Kosinus von 180 Grad ist -1, und 0 durch -1 ist natürlich 0.
Und noch ein wichtiger Hinweis: Wir wissen ja jetzt, dass der Tangenswert definiert ist als Gegenkathete durch Ankathete, und erinnern wir uns an die Videos zu den linearen Funktionen, da hatten wir das in ähnlicher Weise kennen gelernt: Wir hatten einen linearen Graphen gezeichnet und dann ein Steigungsdreieck eingesetzt, um die Steigung des Graphen zu ermitteln. Also für die, die sich nicht erinnern können: Hier ist nochmal das Programm, und wir hatten einen Graphen festgelegt, haben hier ein Dreieck eingezeichnet, ein Steigungsdreieck, und haben gesehen: Einen nach rechts, zwei nach oben, und dann haben wir die Höhe, die 2, durch die 1 dividiert, durch die Breite. Und 2 : 1 = 2, also war die Steigung des Graphen 2. Und wir hatten dann 2*x geschrieben. Oder:
3,3 nach oben, 1,1 zur Seite; 3,3 durch 1,1 ist 3. Also hatten wir 3*x geschrieben.
Und genau hier sehen wir auch den Tangens. 3,3 ist die Gegenkathete dieses Winkels, und die 1,1 hier, die grüne Linie, ist die Ankathete des Winkels. Gegenkathete durch Ankathete ist, richtig, der Tangens beziehungsweise unsere Steigung des Graphen. Also der Tangenswert entspricht der Steigung eines linearen Graphen. Hier finden wir also eine Anwendung, um nicht nur Dreiecke berechnen zu können, sondern auch den Tangens bei den linearen Funktionen einzusetzen. Wenn wir jetzt nämlich den Winkel hier ermitteln wollen, die Steigung kennen wir ja jetzt mit 3, wir wollen aber den Winkel haben, in welchem Winkel verläuft denn unser roter Graph hier? - Dann brauchen wir nichts weiter zu machen als den Arcustangens zu ziehen aus 3. Das heißt: SHIFT, Tangens von 3 ist rund 71,57 Grad. Unser Winkel hier ist also rund 71,57 Grad groß.
Und genauso: Ist uns der Winkel bekannt, können wir die Steigung ausrechnen. Gibt man uns zum Beispiel folgenden Graphen und sagt uns, der Winkel hier, in dem der Graph die x-Achse schneidet, ist 58 Grad, und wir sollen jetzt die Steigung dieses Graphen bestimmen, dann brauchen wir nichts weiter zu tun als den Tangens aus diesem Winkel zu ziehen, also den Tangens aus 58 Grad. Wir geben also ein: Tangens von 58 ist gleich rund 1,6. Das heißt, unser Graph hier wird eine Steigung von 1,6 haben. Und schauen wir: Wir gehen einen Schritt nach rechts und dann 1,6 hoch, und hier ist auch der Punkt auf dem Graphen. Und schon haben wir die Funktionsgleichung f(x) = 1,6 * x. Wie ihr seht, der Tangens ist ein sehr praktisches Hilfsmittel, nicht nur bei der Dreiecksberechnung, sondern auch beim Bestimmen von Steigungen!


Video Tangens 3/3: Zusammenfassung + Anwendungsaufgaben

Merkt euch also für diese Lektion: Der Tangens ist definiert aus Gegenkathete durch Ankathete und für jeden Winkel von 0 bis 180 Grad eindeutig. Tangens von 43 Grad ist 0,933, Tangens von 44 Grad ist 0,966 und so weiter.
Dann merkt euch bitte, dass der Tangens von 0 Grad 0 ist und dass der Tangens von 90 Grad nicht definiert ist, da die Ankathete 0 ist. Und dann Gegenkathete durch Ankathete, durch 0 ist nicht definiert. Warum die Division durch 0 nicht definiert ist, also nicht funktioniert, das hatten wir bereits bei der Teilbarkeit kennen gelernt.
Und merkt euch bitte außerdem: Für Winkel über 90 Grad bis 180 Grad ist der Tangens negativ, da der Kosinuswert immer negativ ist.
Und eine Sache noch zum Abschluss, die hatten wir noch nicht erwähnt: Der Tangens ist ja definiert als Gegenkathete durch Ankathete, und das sind ja hier Sinus- und Kosinuswert, das heißt wir können Tangens auch definieren als Sinus durch Kosinus. Und dass das geht, das könnt ihr euch auch rechnerisch herleiten: Schreiben wir tan(α) = sin(α)/cos(α), dann halten wir fest, sin(α) ist ja Gegenkathete durch Hypotenuse, und cos(α) ist Ankathete durch Hypotenuse, und jetzt können wir hier für sin(α) das einsetzen und für cos(α) das hier einsetzen. Bevor wir das einsetzen, schreiben wir noch den Bruchstrich als Division, und jetzt sin(α) ist Gegenkathete durch Hypotenuse, und cos(α) Ankathete durch Hypotenuse. Dann hatten wir bei der Bruchrechnung gelernt, dividieren wir durch einen Bruch, so ist es das gleiche, als ob wir mit dessen Kehrwert – also die beiden umdrehen – multiplizieren. Und wie wir jetzt sehen, kürzen sich Hypotenuse hier und Hypotenuse hier weg, und wir erhalten Gegenkathete durch Ankathete - so, wie wir den Tangens definiert hatten. Tangens ist Gegenkathete durch Ankathete, aber auch, wie wir gerade gesehen haben, sin(α) durch cos(α). - Ein weiterer Zusammenhang, den ihr euch merken könnt!
Als letztes rechnen wir noch eine Dreiecksaufgabe mit Hilfe des Tangens. Wir sollen die folgende Aufgabe lösen: Wir stehen auf einem 56 Meter hohen Bürohaus, auf diesem hier, und blicken in einem Winkel von 17 Grad auf das Dach eines zweiten Hochhauses. Also von hier schauen wir in einem Winkel von 17 Grad auf das Dach des anderen Hochhauses. Übrigens dürfen wir für diese Aufgabe unsere Körperhöhe außer Acht lassen. Und hier steht noch: Das andere Hochhaus ist 80 Meter entfernt, also die Distanz zwischen den beiden ist 80 Meter. Gefragt ist: Wie hoch ist dieses zweite Hochhaus? Und hierzu können wir jetzt den Tangens anwenden, denn hier bildet sich ein rechtwinkliges Dreieck. Die Distanz 80 Meter, die Teilhöhe, die Unbekannte, und hier oben die Hypotenuse, und unser Winkel, nennen wir ihn α, mit 17 Grad. Dann können wir aufstellen:
tan(α) = Gegenkathete durch Ankathete. Die Gegenkathete kennen wir nicht, aber die Ankathete, denn das sind die 80 Meter, die Distanz zwischen den beiden Hochhäusern. Und unser Winkel α, der beträgt 17 Grad. Wir suchen die Gegenkathete, also multiplizieren wir die 80 Meter hier rüber. Und schon können wir die Gegenkathete berechnen aus dem Tangenswert von 17 Grad mal 80 Meter. Wir geben also in den Taschenrechner ein: tan(17), der liegt bei 0,3, und jetzt noch die mal 80 Meter, und wir erhalten 24,46 Meter gerundet für unsere Gegenkathete. Das heißt, diese blaue Linie hier hat eine Höhe von 24,46 Metern, und wir sehen: Das ist der Teil, den dieses Hochhaus größer ist als unser Hochhaus. Das heißt, um die Gesamtlänge dieses Hochhauses zu berechnen, nehmen wir die Länge unseres Hochhauses mit 56 Metern und addieren die blaue Linie, unsere 24,46 Meter da drauf. Wir erhalten also: Die Höhe ist gleich 56 Meter unseres Büros plus die ausgerechneten 24,46 Meter, und das ergibt 80,46 Meter. Das ist die Lösung unserer Aufgabe: Das zweite Hochhaus ist 80,46 Meter hoch.
Die zweite Aufgabe heißt: Unser Ball, der rote hier unten, liegt 24 Meter von einem 15 Meter hohen Haus entfernt. Das hier soll das Haus sein, skizzenhaft, und der Ball liegt von dem Haus 24 Meter entfernt. In welchem Winkel müssen wir den Ball direkt schießen, damit er die Hauskante oben trifft? Hier ist die Hauskante, und das soll die direkte Fluglinie sein. Natürlich, in der Realität hätten wir eine gebogene Linie, aber für diese Matheaufgabe soll unser Ball wie ein Lichtstrahl direkt hier einschlagen. Das heißt, wir wollen wissen, für diesen Fall, in welchem Winkel der Ball fliegen muss. Dazu können wir wieder den Tangens benutzen, denn wir haben ja hier ein rechtwinkliges Dreieck mit der Gegenkathete, die 15 Meter lang ist, und die Ankathete, die 24 Meter lang ist. Wir können also aufstellen: Tangens von dem Winkel ist Gegenkathete durch Ankathete, und jetzt die Werte einsetzen: 15 Meter und 24 Meter. Und das geben wir in den Taschenrechner ein: 15/24 = 0,625, das ist also der Tangenswert von diesem Winkel α, das heißt rechnen wir aus diesem Tangenswert den Arcustangens, erhalten wir den Winkel α. Wenn ihr das hinschreiben sollt, schreibt ihr das übrigens so: α = tan-1, also Arcustangens, von dem Wert 0,625 {α = tan-1(0,625)}. Und dann erhalten wir α. Und das tippen wir jetzt in den Taschenrechner ein: SHIFT Tangens von unserer 0,625, und wir erhalten einen Winkel von 32 Grad gerundet. Und schon ist das die Lösung unserer Aufgabe. Wenn wir also den Ball abschießen im Winkel von 32 Grad, wird er, wenn er direkt fliegt, die Hauskante treffen.
Wir haben ja jetzt Sinus, Kosinus und Tangens kennen gelernt, und abschließend noch der Hinweis, wann wir welche dieser drei Funktionen anwenden können:
Grundvoraussetzung ist immer, dass wir ein rechtwinkliges Dreieck haben, denn nur am rechtwinkligen Dreieck sind diese drei definiert. Und, wenn wir dann hier unseren Winkel β haben, können wir für diesen Winkel definieren: Gegenkathete Seite b, Ankathete Seite a, und Hypotenuse, die längste Seite im Dreieck die Seite c. Übertragen wir a, b, c hier in unsere Formeln, und dann wird es einfach: Habt ihr zum Beispiel Seite b und Seite c gegeben, dann wisst Ihr: Gegenkathete durch Hypotenuse, wir können den Sinus benutzen, um β auszurechnen. Haben wir Seite a und c gegeben, die Ankathete und die Hypotenuse, können wir den Kosinus benutzen, um β zu berechnen.
Und haben wir Seite b und a gegeben, die Gegenkathete und die Ankathete, können wir den Tangens benutzen, um β zu berechnen. Und hier benötigen wir natürlich Arcussinus, Arcuskosinus und Arcustangens, die Umkehrfunktionen, die uns den Winkel ermitteln.
Und wenn ihr β gegeben habt und eine dieser drei Seiten, könnt ihr jeweils die anderen Seiten ausrechnen, also habt ihr β gegeben und die Seite a, dann wisst Ihr, a ist von β die Ankathete, Ankathete sagt euch: Nehmt den Kosinus. Kosinus von β ist a durch c. Das heißt, ihr müsstet hier umstellen und könntet c berechnen. Habt ihr β gegeben und die Seite b, dann könnt ihr den Sinus benutzen, und dann hier umstellen und auch c berechnen. Alternativ, habt ihr β gegeben und Seite a, könntet ihr über den Tangens die Seite b berechnen; oder habt ihr β gegeben und Seite b, könntet ihr über den Tangens die Seite a berechnen.
Beim Tangens braucht ihr nicht die Seite c!

Dies war eine kleine Übersicht. Probiert diese drei Formeln einfach aus, wie wir es bereits in den vorigen Videos getan hatten, und je mehr ihr übt, desto sicherer werdet ihr auch.

Als nächstes gehen wir einen großen Schritt weiter und verlassen sozusagen die Dreiecke und gehen über zum Einheitskreis, also wir schauen uns als nächstes Sinus, Kosinus und Tangens an einem Kreis an und definieren unsere Werte für Sinus und Kosinus an diesem Kreis und damit für alle beliebigen Winkel. Wie das geht, das zeigen wir euch in der nächsten Lektion.
Tags: Trigonometrie, Einführung, Tangens, Herleitung, Sinus, Kosinus, Dreiecksberechnung

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