AB: Lektion Exponentialfunktionen (Teil 2)

Wiki: Exponentialfunktionen

Nachfolgend findet ihr Aufgaben zu den Exponentialfunktionen, mit denen ihr euer neues Wissen testen könnt.

Es sind jeweils zwei Punkte der Exponentialfunktion der Form f(x) = b·a^x bekannt. Berechne die Funktionsgleichungen.

A(0|2) und B(1|8)

Gleichung der Exponentialfunktion allgemein:
f(x) = b·a^x

Gegebene x- und y-Werte der Punkte einsetzen:
I: f(x) = b·a^x = y
f(0) = b·a⁰ = 2
II: f(x) = b·a^x = y
f(1) = b·a¹ = 8

Beide Gleichungen nach a auflösen:
b·a⁰ = 2
Hier ergibt sich jedoch a⁰ zu 1, damit:
b = 2

Diesen Wert für b eingesetzt in b·a¹ = 8 ergibt:
2·a¹ = 8
a¹ = 8:2 a = 4

Zusammengefasst:
f(x) = b·a^x | b=2; a=4
→ f(x) = 2·4^x

A(-1|0,5) und B(1|4,5)

Gleichung der Exponentialfunktion allgemein:
f(x) = b·a^x

Gegebene x- und y-Werte der Punkte einsetzen:
I: f(x) = b·a^x = y
f(-1) = b·a^-1 = 0,5
II: f(x) = b·a^x = y
f(1) = b·a¹ = 4,5

Gleichung I nach a aufgelöst:
b·a^-1 = 0,5 |·a¹
b·a^-1·a¹ = 0,5·a¹
b·a^-1+1 = 0,5·a
b·a⁰ = 0,5·a
b·1 = 0,5·a
b = 0,5·a |·2
2·b = 2·0,5·a
a = 2·b

Gleichung II nach a aufgelöst:
b·a¹ = 4,5 |:b
a = 4,5:b

Beide Terme für a gleichsetzen:
a = a
2·b = 4,5:b |·b
2·b² = 4,5 |:2
b² = 2,25 |±√
b_1,2 = ±√2,25
b₁ = +1,5
b₂ = -1,5

Den Wert für b₁ = 1,5 einsetzen in Gleichung I oder II: b·a¹ = 4,5 | b = 1,5
1,5·a¹ = 4,5 | :1,5
a = 3

Und das Gleiche für b₂ = -1,5 in Gleichung I oder II: b·a¹ = 4,5 | b = -1,5
(-1,5)·a¹ = 4,5 | :(-1,5)
a = -3

Der Wert für a darf nicht negativ sein und ist damit keine Lösung.

Zusammengefasst:
f(x) = b·a^x | b = 1,5; a = 3
→ f(x) = 1,5·3^x

A(0|3) und B(3|375)

Gleichung der Exponentialfunktion allgemein:
f(x) = b·a^x

Gegebene x- und y-Werte der Punkte einsetzen:
I: f(x) = b·a^x = y
f(0) = b·a⁰ = 3
II: f(x) = b·a^x = y
f(3) = b·a³ = 375

Beide Gleichungen nach a auflösen:
b·a⁰ = 3
Hier ergibt sich jedoch a⁰ zu 1, damit:
b = 3

Diesen Wert für b eingesetzt in b·a³ = 375 ergibt:
3·a³ = 375
a³ = 375:3
a³ = 125 | ³√
a = ³√125
a = 5

Zusammengefasst:
f(x) = b·a^x | b=3; a=5
→ f(x) = 3·5^x

A(1|3,5) und B(2|24,5)

Gleichung der Exponentialfunktion allgemein:
f(x) = b·a^x

Gegebene x- und y-Werte der Punkte einsetzen:
I: f(x) = b·a^x = y
f(1) = b·a¹ = 3,5
II: f(x) = b·a^x = y
f(2) = b·a² = 24,5

Gleichung I nach a aufgelöst:
b·a¹ = 3,5 |:b
a = 3,5:b

Gleichung II nach a aufgelöst:
b·a² = 24,5 |:b
a² = 24,5:b |√
a = \( \sqrt{24,5:b} \)

Beide Terme für a gleichsetzen:
a = a
3,5:b = \( \sqrt{24,5:b} \) |·b
3,5 = \( \sqrt{24,5:b} \) · b | ()²
3,5² = \( \sqrt{24,5:b}^2 \) · b²
12,25 = 24,5:b · b²
12,25 = 24,5 · b·b : b
12,25 = 24,5 · b·1 |:24,5
b = 0,5

Den Wert für b = 0,5 einsetzen in Gleichung I oder II: a = 3,5:b |b=0,5
a = 3,5:0,5
a = 7

Zusammengefasst:
f(x) = b·a^x | b=0,5; a=7
→ f(x) = 0,5·7^x

Lösungen