Lösungen: Flächengleichheit/Puzzles (5)
3.17 Regelmäßiges Sechseck zerlegen
Zerlegen Sie mit zwei geraden Schnitten ein regelmäßiges Sechseck so in drei flächengleiche Teile, dass beide Schnitte:
- a) durch den gleichen Eckpunkt gehen.
-
Die Schnitte gehen durch die Ecke C des Sechsecks sowie durch zwei Seitenmitten M und N (siehe Abbildung). Ein regelmäßiges Sechseck mit der Seitenlänge 1 hat den Flächeninhalt \( F = \frac{ {3\sqrt 3 } }{2}\). Die Fläche A1 berechnet sich am einfachsten als \( A_1 = \frac{ { {\rm{sin} }\left( {120^\circ } \right)} }{2} = \frac{ {\sqrt 3 } }{4}\). Fläche A2 ist die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Kathetenlängen √3 und \(\frac{1}{2}\), sodass \( A_2 = \frac{ {\sqrt 3 } }{4}\). Aus Symmetriegründen ist dann \( A_3 = \frac{ {\sqrt 3 } }{2}\) und \( A_4 = \frac{ {3\sqrt 3 } }{2} - \frac{ {\sqrt 3 } }{2} - \frac{ {\sqrt 3 } }{2} = \frac{ {\sqrt 3 } }{2} \).
- b) durch die gleiche Seitenmitte gehen.
-
Die Schnitte gehen durch die Seitenmitte M sowie durch die Eckpunkte des Sechsecks C und B (siehe Abbildung). Die Flächen berechnen sich wie unter a).
3.18 Dreieck zerlegen
Zerlegen Sie mit möglichst wenigen Schnitten ein Dreieck mit den Seitenverhältnissen 6:8:13 in ein flächengleiches Rechteck, dessen eine Seite auf der gleichen Geraden liegt, wie die kürzeste Dreiecksseite.
Senkrechte Seiten des Rechtecks durch zwei Seitenmitten.
3.19 Flächengleiche Quadrate
Ein gleichschenkliges Dreieck mit der Schenkellänge a habe den Winkel der Größe 120° zwischen den Schenkeln. Zeigen Sie: Das Quadrat über der Basis ist flächengleich zu 3 Quadraten über dem Schenkel.
Die Länge der Basis eines gleichschenkligen Dreiecks mit der Seitenlänge a und dem Winkel der Größe 120° gegenüber der Basis ist a·√3. Dann ist die Fläche des Quadrats über der Basis 3a² bzw. a·3a.
3.20 Geschlossener Polygonzug
Der Polygonzug ABCDEA mit A(0|2), B(2|4), C(4|2),D(6|8) und E(6|0) umschließt eine Fläche F.
- a) Wie groß ist die Fläche F?
-
Fläche der Trapeze vermindert um die Fläche des Dreiecks (siehe Bild): (2+4)+(4+2)+(2+8) – 6 =16.
- Zeigen Sie durch eine Skizze: Vier kongruente Flächenstücke F lassen sich zu einem Quadrat zusammensetzen. Kontrollieren Sie so das Ergebnis unter a).
-
Flächenkontrolle 4·16=8·8.