Lösungen: Flächengleichheit/Puzzles (5)

3.17 Regelmäßiges Sechseck zerlegen

Zerlegen Sie mit zwei geraden Schnitten ein regelmäßiges Sechseck so in drei flächengleiche Teile, dass beide Schnitte:

• a) durch den gleichen Eckpunkt gehen.

• Die Schnitte gehen durch die Ecke C des Sechsecks sowie durch zwei Seitenmitten M und N (siehe Abbildung). Ein regelmäßiges Sechseck mit der Seitenlänge 1 hat den Flächeninhalt \( F = \frac{ {3\sqrt 3 } }{2}\). Die Fläche A₁ berechnet sich am einfachsten als \( A_1 = \frac{ { {\rm{sin} }\left( {120^\circ } \right)} }{2} = \frac{ {\sqrt 3 } }{4}\). Fläche A₂ ist die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Kathetenlängen √3 und \(\frac{1}{2}\), sodass \( A_2 = \frac{ {\sqrt 3 } }{4}\). Aus Symmetriegründen ist dann \( A_3 = \frac{ {\sqrt 3 } }{2}\) und \( A_4 = \frac{ {3\sqrt 3 } }{2} - \frac{ {\sqrt 3 } }{2} - \frac{ {\sqrt 3 } }{2} = \frac{ {\sqrt 3 } }{2} \).

  

• b) durch die gleiche Seitenmitte gehen.

• Die Schnitte gehen durch die Seitenmitte M sowie durch die Eckpunkte des Sechsecks C und B (siehe Abbildung). Die Flächen berechnen sich wie unter a).

  

3.18 Dreieck zerlegen

Zerlegen Sie mit möglichst wenigen Schnitten ein Dreieck mit den Seitenverhältnissen 6:8:13 in ein flächengleiches Rechteck, dessen eine Seite auf der gleichen Geraden liegt, wie die kürzeste Dreiecksseite.

3.19 Flächengleiche Quadrate

Ein gleichschenkliges Dreieck mit der Schenkellänge a habe den Winkel der Größe 120° zwischen den Schenkeln. Zeigen Sie: Das Quadrat über der Basis ist flächengleich zu 3 Quadraten über dem Schenkel.