AB: Anwendung Integralrechnung Fortgeschritten I
Nachfolgend findet ihr Aufgaben zur Anwendung der Integralrechnung, mit denen ihr euer Wissen testen könnt.
Gegeben sind die Funktionen f und g durch ihre Funktionsgleichungen: \( f(x) = -x^2 + 4x \) und \( g(x) = \frac{1}{2} x \)
Skizziere den prinzipiellen Verlauf der Graphen von f und g. Berechne den Flächeninhalt zwischen den Graphen f und g.
a) Um eine Skizze zu erstellen, macht man sich eine kleine Wertetabelle oder erkennt wichtige Punkte wie Nullstellen und Extrema. ~plot~ -x^2+4x;1/2*x ~plot~ Um den Flächeninhalt der beiden Funktionen zu bestimmen, braucht es zuerst deren Schnittstellen. Entweder man liest diese aus dem Schaubild ab oder errechnet sie, indem man beide Gleichungen gleichsetzt.
\( -x^2 + 4·x = \frac{1}{2} · x \quad | - \frac{1}{2}·x \\ -x^2 + 3,5·x = 0 \quad |-x \text{ ausklammern} \\ -x · (x - 3,5) = 0 \\ x_{1} = 0 \text{ und } x_{2} = 3,5 \)
Diese Schnittstellen geben unsere Integralgrenzen, die wir für die Differenzenfunktion h(x) = f(x) - g(x) = -x2 + 3,5·x verwenden können.
\( \int \limits_{0}^{3,5} -x^2 + 3,5x \; dx = \left[-\frac13\cdot x^3 + \frac{3,5}{2} x^2\right]_0^{3,5} \approx 7,146 \)
Der Flächeninhalt beträgt also A ≈ 7,146 FE.
In die Fläche zwischen den Graphen f und g ist ein Streifen parallel zur y-Achse mit einer Breite von einer Längeneinheit so einzuzeichnen, dass der Flächeninhalt dieses Streifens maximal ist.
Die Differenzenfunktion h(x) entspricht einer umgedrehten Normalparabel, die verschoben ist. Es ist in einem Graphen leicht zu erkennen, dass die maximale Fläche vom Scheitelpunkt aus in beide Richtungen gleich weit gehen muss. Da wir eine Breite von 1 suchen, haben wir also:
Scheitelpunkt liegt bei x = 1,75 (in der Mitte der Nullstellen) und die beiden senkrechten parallelen Streifen liegen bei x = 1,75 - 0,5 = 1,25 und x = 1,75 + 0,5 = 2,25.
Will man die Fläche haben, so kann man das über ein Integral bestimmen:
\( \int \limits_{1,25}^{2,25} -x^2 + 3,5·x \; dx = \left[-\frac13\cdot x^3 + \frac{3,5}{2} x^2\right]_{1,25}^{2,25} \approx 2,979 \)
Der Flächeninhalt des Streifens beträgt A ≈ 2,979 FE.
Die Gerade x = u mit 0 < u < 3,5 und \( u ∈ \mathbb{R} \) schneidet den Graphen von f in P und den Graphen von g in Q. Berechne den Wert von u so, dass die zugehörige Strecke PQ die absolut größte Länge besitzt.
Einsetzen von u in die Funktion f(x) und g(x).
\( f(u) = -u^2 + 4u \\ g(u) = \frac{1}{2}·u \)
Die Differenzenfunktion ist wieder \( h(u) = -u^2 + 3,5·u \).
Hier kann man das Extremum bestimmen, indem man die Ableitung bildet und 0 setzt:
\( h'(u) = -2u + 3,5 = 0 \\ \rightarrow u = 1,75 \)
Die Parabel f mit \( f(x) = x^3 + 4x^2 - 3x - 18 \) berührt die x-Achse im Punkt P(-3|0) und schneidet sie in einem Punkt Q.
Berechne den Flächeninhalt der von der x-Achse und der Parabel eingeschlossenen Fläche.
Die Berührstelle liegt uns bereits vor. Mit dieser können wir eine Polynomdivision durchführen um die dritte Nullstelle zu erfahren. Auch könnte man einfach probieren, auf die dritte Nullstelle zu kommen, oder man verfolgt den Ansatz:
\( x^3+4x^2-3x-18=(x+3)^2 (x+a) \)
Einmal ausmultiplizieren und die linke Seite mit der rechten Seite vergleichen:
\( x^3 + 4x^2 - 3x - 18 = x^3 + ax^2 + 6x^2 + 6ax + 9x + 9a \)
Man erkennt schon am Absolutglied (-18 und 9a), dass a = -2 sein muss.
Die gesuchte Nullstelle ist also x = 2.
Folglich integrieren wir in den Grenzen von -3 bis 2.
\( \int \limits_{-3}^{2} x^3 + 4 x^2 - 3 x - 18 \; dx = \left[ \frac{1}{4} x^4 + \frac{4}{3} x^3 - \frac{3}{2} x^2 - 18x \right]_{-3}^2 = \frac{625}{12} \approx -52,083 \)
Da wir eine Fläche suchen, ist der Betrag zu nehmen. Wir erhalten als Flächeninhalt A ≈ 52 FE.
Durch welchen Wert \( x_h \) verläuft die zur y-Achse parallele Gerade, die die von der Parabel und der x-Achse eingeschlossene Fläche halbiert? (Wende das Newton-Verfahren an. Startwert: \( x_0 = 0 \). Die Genauigkeit ist ausreichend, wenn der Wert des Terms kleiner als 0,0001 ist.)
Der halbe Flächeninhalt ergibt sich zu:
\( \int \limits_{-3}^{a} x^3 + 4 x^2 - 3 x - 18 \; dx = \frac{ \frac{625}{12} }{2} \)
\( \frac{1}{4} a^4 + \frac{4}{3} a^3 - \frac{3}{2} a^2 - 18 a + \frac{31}{24} = 0 \)
Dies lässt sich bspw. mit dem Newtonverfahren lösen.
Es ergibt sich x ≈ 0,0714
Zeichne den Graphen der Funktion f mit \( f(x) = \frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 5 \) sowie g mit \( g(x) = \frac{1}{2}x + \frac{7}{2} \). Ermittle den Flächeninhalt zwischen den Graphen von f und g im Intervall [-2; 3].
Zeichen wir zuerst die Graphen: ~plot~ 1/2*x^3-3/2*x^2+5; 1/2*x+3,5; [[7]] ~plot~ Um die Fläche zu bestimmen, werden erst die Schnittstellen gesucht. Diese findet man bspw. über Probieren oder mit Hilfe der Polynomdivision oder durch direktes Ablesen am Graphen.
\( h(x) = f(x) - g(x) \\ = \frac{1}{2}·x^3 - \frac{3}{2}·x^2 - \frac{1}{2}·x + 1,5 = 0 \)
Die Schnittstellen sind x = -1, x = 1 und x = 3.
Zu integrieren ist also immer zwischen den Grenzen und Schnittstellen:
\( \left|\int_{-2}^{-1} (½\cdot x^3-3/2\cdot x^2-½\cdot x+1,5)\; dx \right|+ \\ \left|\int_{-1}^{1} (½\cdot x^3-3/2\cdot x^2-½\cdot x+1,5) \;dx \right| + \\ \left|\int_{1}^{3} (½\cdot x^3-3/2\cdot x^2-½\cdot x+1,5) \;dx \right| \\ = 7,125 \)
Der Flächeninhalt beträgt also 7,125 FE.
Im Schnittpunkt des Graphen der Funktion f mit \( f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x + 5 \) mit der y-Achse wird die Tangente an den Graphen von f gezeichnet. In welchem Verhältnis wird die von dieser Tangente und den beiden Achsen eingeschlossene Fläche durch den Graphen von f geteilt?
Skizze: ~plot~ -1/2*x^2+3,5x+5;3,5x+5; [[20]] ~plot~
Um die Tangente zu bestimmen, bestimmt man die Ableitung der Funktion f(x).
f'(x) = -x + 3,5
Die Steigung der Tangente an der Stelle x = 0 ist also f'(0) = 3,5 und damit die gesuchte Tangente t(x) = 3,5x + 5
Die eingeschlossene Fläche der Tangente ergibt sich aus:
\( \int \limits_{-\frac{5}{3,5}}^{0} 3,5·x + 5 \; dx \approx 3,571\)
wobei die untere Grenze die Nullstelle der Tangente ist.
Die eingeschlossene Fläche des Graphen f mit den Achsen ergibt sich aus:
\( \int \limits_{-1,217}^0 -\frac{1}{2}·x^2 +1,5x + 5 \; dx \approx 3,193\)
Die Fläche der Tangente wird von der Funktion f in ein Verhältnis von 3,571 zu 3,193 geteilt.