AB: Lektion Lineare Gleichungssysteme (Teil 1)
Nachfolgend findet ihr Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen, mit denen ihr euer neues Wissen testen könnt.
Löse unter Verwendung des Gleichsetzungsverfahrens:
Beim Gleichsetzungsverfahren werden die Gleichung je nach einer Variablen umgestellt und diese dann gleichgesetzt.
I: y = 3·x + 6
II: y = 4·x + 8
y = 3·x + 6
y = 4·x + 8
Hier sind die beiden Gleichungen schon nach y aufgelöst. Man kann also direkt gleichsetzen.
y = y
3·x + 6 = 4·x + 8 | -3·x - 8
x = -2
Hat man die Lösung für eine der Variablen gefunden, kann man die andere Variable bestimmen, indem die gefundene Lösung in eine der Ursprungsgleichungen eingesetzt wird:
y = 3·x + 6
y = 3·(-2) + 6
y = 0
Die Lösung ist also aufzuschreiben als L = {(-2|0)}
Hinweis zur Schreibweise: "L" steht für die Lösungsmenge und Mengen werden mit diesen Klammern { } angegeben. Die Lösungsmenge besteht also aus dem Element (-2|0). Dabei wissen wir, dass x=-2 und y=0. Einfacher ist es, als Lösung zu notieren: x = -2 und y = 0. Das ist euch überlassen.
I: y = 1,5·x - 20
II: y + x = 5
y = 1,5·x - 20
y + x = 5
Hier sollte die letzte Gleichung noch nach y aufgelöst werden. Dann kann man wieder gleichsetzen.
y = 1,5·x - 20
y = 5 - x
Gleichsetzen:
y = y
1,5·x - 20 = 5 - x | +x +20
2,5x = 25 | :2,5
x = 10
Damit in die zweite Gleichung: y = 5 - 10 = -5.
L = {(10|-5)}
I: 5·x + y = 1
II: 5·x - 2·y = 13
5·x + y = 1
5·x - 2·y = 13
Hier haben wir den Fall, dass in beiden Gleichungen 5·x vorliegt. Wir können also die Gleichungen nach 5·x auflösen und dann gleichsetzen.
5·x = 1 - y
5·x = 13 + 2·y
Gleichsetzen:
5·x = 5·x
1-y = 13 + 2·y | +y -13
3·y = -12 | :3
y = -4
Damit in eine der obigen Gleichungen eingesetzt:
5·x = 1 - (-4)
5·x = 1 + 4
5·x = 5
→ x = 1
L = {(1|-4)}
I: 6·x = -18·y
II: 2·x = -5·y + 4
6·x = -18·y
2·x = -5·y + 4
Die erste Gleichung auf 2·x gebracht (:3) und man kann gleichsetzen:
2·x = -6·y
2·x = -5·y + 4
Gleichsetzen:
-6·y = -5·y + 4 | +6·y - 4
y = -4
Damit in die erste Gleichung: 6·x = -18·(-4) = 72 → x = 12
L = {(12|-4)}
I: 3·y = 2·x - 7
II: 3·y = x - 3
3·y = 2·x - 7
3·y = x - 3
Die beiden Gleichungen sind schon so aufgestellt, dass man nur noch gleichzusetzen braucht.
2·x - 7 = x - 3 | -x + 7
x = 4
Damit nun in die zweite Gleichung: 3·y = 4 - 3 = 1 → y = \( \frac{1}{3} \)
L = { (4|\( \frac{1}{3} \)) }