AB: Lektion Lineare Gleichungssysteme (Teil 5)
Nachfolgend findet ihr Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen, mit denen ihr euer neues Wissen testen könnt.
Löse die folgenden Textaufgaben mit Hilfe von LGS:
Die Textaufgaben fallen den meisten am schwersten. Dabei ist es notwendig Informationen aus dem Text zu ziehen und Gleichungen aufzustellen. Man kann sich als Faustregel merken: Man braucht so viele Gleichungen wie man Unbekannte hat. Gehen wir die Sache an.
Gesucht ist eine zweistellige Zahl. Vertauscht man ihre Ziffern, so erhält man eine um 9 größere Zahl. Die Quersumme der gesuchten Zahl ist 15.
Der erste Gedanke, der einen in den Sinn kommen sollte, ist, wie man eine zweistellige Zahl darstellt. Dies kann man über 10·x + y tun, denn so ist beispielsweise 35 = 3·10 + 5 = 35. Das passt also. Nun kann man die Gleichung wie folgt aufstellen:
10·x + y = (10·y + x) - 9
Es muss 9 von der rechten Seite abgezogen werden, damit der Wert der linken Seite erreicht wird.
Die Quersumme ist nichts anderes als die Ziffern zu addieren.
x + y = 15
Damit hat man nun zwei Gleichungen. Die werden meist vereinfacht und dann mit einem der vorgestellten Verfahren gelöst:
10·x + y = 10·y + x - 9 | -10·y-x
x + y = 15
Daraus wird
9·x - 9·y = -9 | :9
x + y = 15
Also:
x - y = -1 (I)
x + y = 15 (II)
Additionsverfahren: (I) + (II)
x - y = -1 (I)
2·x = 14 (III)
Antwortsatz:
Es ist also x = 7 und y ergibt sich aus der ersten Gleichung zu y = 8.
Folglich lautet die gesuchte Zahl 78.
Herr Müller und sein Enkel Maier sind zusammen 100 Jahre alt. Vor 10 Jahren war Herr Müller genau dreimal so alt wie sein Enkel. Wie alt sind die beiden heute?
Das Alter von Herr Müller heute sei mit x gekennzeichnet. Das Alter des Enkels mit y.
x + y = 100 (ergibt sich direkt aus dem ersten Satz)
(x-10) = 3· (y-10) → „vor 10 Jahren“ wird berücksichtigt, indem von jedem Alter 10 abgezogen wird, zudem wird die rechte Seite mit 3 multipliziert um den Wert der rechten Seite zu erreichen.
Vereinfachen:
x + y = 100
x - 10 = 3·y - 30 | +10
Ergibt:
x + y = 100
x = 3·y - 20
Nun das Einsetzungsverfahren:
(3·y - 20) + y = 100
4·y - 20 = 100 | +20
4·y = 120
y = 30
Das y eingesetzt in die Gleichung:
x = 3·y - 20
x = 3·30 - 20
x = 70
Antwortsatz:
Herr Müller zählt heute 70 Jahre. Sein Enkel weist 30 Jahre auf.
In einem Stall befinden sich 27 Tiere, darunter Hasen und Hennen. Insgesamt haben die Tiere 72 Füße. Wie viele Hasen und Hennen sind es jeweils?
Hierzu muss man die Anzahl der Füße der Tiere kennen. Wie allgemein bekannt, haben die Hasen deren 4 und die Hennen 2. Damit kann man loslegen:
Hasen seien x und Hennen seien durch y repräsentiert:
x + y = 27 (Gesamtanzahl der Tiere)
4·x + 2·y = 72 (die Anzahl der Füße)
Einsetzungsverfahren, wozu die erste Gleichung nach y aufgelöst wird → y = 27 - x. Dann ergibt sich:
4·x + 2· (27 - x) = 72
4·x + 54 - 2·x = 72 | -54
2·x = 18
x = 9
Aus der ersten Gleichung erfahren wir: y = 18.
Antwortsatz:
Der Stall hat 9 Hasen und 18 Hennen.
Die Summe aus 3 Zahlen ist 180. Subtrahiert man die Hälfte der zweiten Zahl vom Doppelten der ersten Zahl und addiert dann die dritte Zahl, erhält man 2. Addiert man jedoch die Hälfte der zweiten Zahl zur ersten Zahl, erhält man 80.
Man nenne die Zahlen x, y und z. Aus dem Text ergeben sich folgende Gleichungen:
x + y + z = 180 (I)
2·x - y/2 + z = 2 (II)
x + y/2 = 80 (III)
Das kann man nun munter mit dem Additionsverfahren lösen. Hierzu y/2 = 0,5·y.
(II) - (I)
x + y + z = 180 (I)
x - 1,5·y = -178 (IV)
x + 0,5·y = 80 (III)
(III) - (IV)
x + y + z = 180 (I)
x + 0,5·y = 80 (III)
2·y = 258 (V)
Aus (V) erfahren wir: y = 129. Damit in (III) und wir erhalten x = 31/2 = 15,5. Aus (I) erhalten wir z = 71/2 = 35,5
L = {(15,5 | 129 | 35,5)}
Auf einem Fest kauft Familie Müller 2 Portionen Pommes, 2 Würstchen und 4 Waffeln. Sie bezahlen 14,60 €. Familie Schulze kauft sich 2 Pommes, 4 Würstchen und 1 Waffeln. Sie bezahlen 13,60€, Für 13,50€ bekommt Familie Langhorn 1 Portion Pommes, 3 Würstchen und 3 Waffeln. Wie viel kosten eine Portion Pommes, ein Würstchen und eine Waffel?
Man muss nicht immer mit x, y und z arbeiten. Arbeiten wir hier einmal mit p für Pommes, w für Würstchen und a für Waffeln. Direkt wieder aus dem Text die Gleichungen ablesen. Dabei sind alle Angaben in Euro:
2·p + 2·w + 4·a = 14,60 (I)
2·p + 4·w + 1·a = 13,60 (II)
1·p + 3·w + 3·a = 13,50 (III)
2·(III)
2·p + 2·w + 4·a = 14,60 (I)
2·p + 4·w + 1·a = 13,60 (II)
2·p + 6·w + 6·a = 27,00 (IV)
(IV) - (I) und (II) - (I)
2·p + 2·w + 4·a = 14,60 (I)
2·w - 3·a = -1 (V)
4·w + 2·a = 12,40 (VI)
2·(V)
2·p + 2·w + 4·a = 14,60 (I)
4·w - 6·a = -2 (Va)
4·w + 2·a = 12,40 (VI)
(VI) - (Va)
2·p + 2·w + 4·a = 14,60 (I)
4·w + 2·a = 13,40 (VI)
8·a = 14,40 (VII)
Aus (VII) ergibt sich a = 1,80. Aus (VI) ergibt sich dann w = 2,20. Mit der Gleichung (I) erfahren wir p = 1,50.
Antwortsatz:
Die Pommes kosten 1,50 €. Die Würstchen kosten 2,20 €.
Für eine Waffel hat man 1,80 € zu bezahlen.
Ein Hotel hat insgesamt 20 Zimmer mit 64 Betten. Je Zimmer gibt es entweder 2 oder 4 Betten. Wie viele 2- und wie viele 4-Bettzimmer gibt es?
Das aufgestellte LGS lautet:
I: x + y = 20 (Anzahl der Zimmer)
II: 2·x + 4·y = 64 (Anzahl der Betten)
Nach dem Ausrechnen mit einem der bekannten Verfahren erhält man:
x = 8
y = 12
Probe:
12 Zimmer à 4 Betten = 48 Betten
8 Zimmer à 2 Betten = 16 Betten
48 + 16 = 64 Betten
Schlussbemerkung:
Für Berechnungen mit mehr als zwei Variablen bietet es sich an, generell
mit dem Additionsverfahren zu arbeiten. Allerdings kann man gerne nach der
Reduzierung von zwei Gleichungen auf zwei Variablen eines der anderen
vorgestellten Verfahren nutzen. Man ist also nicht festgelegt, sondern darf
sich eines der Verfahren wählen. Bei den Gleichungssystemen mit zwei
Variablen bleibt die Wahl also völlig euch überlassen.