AB: Lektion Potenzen (Teil 4)

Berechne alle folgenden Potenzaufgaben ohne Taschenrechner.

1.

Berechne alle nachstehenden Potenzaufgaben, versuch es vorteilhaft.

Achtung: Die Division ist stets von links nach rechts auszuführen.

a)

35 · 36 = 35 + 6 = 311

b)

35 : 36 = 35 - 6 = 3-1

c)

\( (\frac{10}{5})^5 \) = \( (\frac{2}{1})^5 = 2^5 = 32 \)

d)

\( (\frac{1}{4})^5 · (\frac{8}{3})^5 \) = \( ( \frac{1}{4} · \frac{8}{3} )^5 = ( \frac{1·8}{4·3} )^5 = ( \frac{8}{12} )^5 = ( \frac{2}{3} )^5 = \frac{2^5}{3^5} = \frac{32}{243} \)

e)

\( (\frac{6}{10})^{-5} · (\frac{12}{20})^{5} \) = \( (\frac{3}{5})^{-5} · (\frac{3}{5})^5 = (\frac{3}{5})^{-5+5} = (\frac{3}{5})^0 = 1 \)

f)

\( (\frac{2}{4})^{-4} \) = \( \frac{2^{-4}}{4^{-4}} \) = 2-4 : 4-4 = 2-4 : (4)-4 = 2-4 : (22)-4 = 2-4 : 22·(-4) = 2-4 : 2-8 = 2-4 - (-8) = 2-4 + 8 = 24 = 16

Hier sind auch andere Weg der Berechnung möglich. Zum Beispiel: \( (\frac{2}{4})^{-4} = \frac{1}{2^4} : \frac{1}{4^4} = \frac{1}{2^4} · 4^4 = \frac{4^4}{2^4} = \frac{2^8}{2^4} = 2^4 = 16 \)

g)

\( (\frac{1}{3})^{-2} · (\frac{1}{3})^{-4} \) = \( (\frac{1}{3})^{-2 + (-4)} = \frac{1}{3}^{-6} = (3^{-1})^{-6} = 3^{(-1)·(-6)} = 3^6 = 729 \)

h)

\( ( (\frac{3}{4})^{2} )^4 \) = \( (\frac{3}{4})^{2·4} = (\frac{3}{4})^8 \)

i)

(-3)5 · (-35) = (-3)5 · (-35) = ( (-1)·(3) )5 * (-1·35) = (-1)5 · (3)5 · (-1)·35 = (-1)5 · (-1) · 35 · 35 = (-1)6 · 310 = 310

Hier lässt sich schneller rechnen, indem man die Regel nutzt, dass ein ungerader Exponent bei negativer Basis zu einem negativen Wert führt, also (-3)5 = -35, denn dann können wir aufstellen:
(-3)5 · (-35) = (-35) · (-35) = (-1)·35 · (-1)·35 = 35 · 35 = 310

j)

(-3)0 · (2²) = 1 · 22 = 4

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