AB: Gemischte Rechenaufgaben XV

I. Polynomfunktionen (ganzrationale Funktionen)

1.

1.1. Bestimmen Sie folgende Eigenschaften der Polynomfunktion \( f \):
- Symmetrie
- Schnittpunkt mit der y-Achse
- Nullstellen
- Faktordarstellung des Funktionsterms und Vielfachheit der Nullstellen

1.2. Erstellen Sie eine Wertetabelle und zeichnen Sie den Graphen der Funktion \( f \) in einem geeigneten Intervall.

1.3. Lesen Sie aus der Zeichnung die Extrempunkte und die Wendepunkte ab. (Hinweis: Es handelt sich hier um ganzzahlige Werte.)

1.4. Geben Sie die Monotonie- und Krümmungsintervalle an.

a)

\( f(x) = x^{3} -3x + 2 \)

1.1 Eigenschaften der Polynomfunktion

\( f(x) = x^{3} -3x + 2 \)

→ keine Symmetrie, da gerade und ungerade Exponenten
→ \( S_y (0|2) \)
→ Nullstelle erraten mit \( x_{N1} = 1 \) → Linearfaktor \( (x-1) \)

Polynomdivision:
\( \left(x^{3}-3 x+2\right):(x-1)=x^{2}+x-2 \\ \frac{-\left(x^{3}-x^{2}\right)}{x^{2}-3 x} \\ \frac{-\left(x^{2}-x\right)}{-2 x+2} \\ \frac{-(-2 x+2)}{R: 0} \)

p-q-Formel zum Lösen von \( x^2 + x - 2 = 0 \)
\( x_{N2,3} = -\left( \frac{1}{2} \right) \pm \sqrt{ \left( \frac{1}{2} \right)^2 - (-2) } \\ x_{N2,3} = -\frac{1}{2} \pm \sqrt{ 2,25 } \\ x_{N2,3} = -\frac{1}{2} \pm 1,5 \)
\( x_{N2} = 1 \\ x_{N3} = -2 \)

Faktordarstellung:
\( f(x) = (x-1)·(x-1)·(x+2) \\ f(x) = (x-1)^2·(x+2) \)

Nullstellen:
\( x_{N1,2} = 1 \)   (doppelte Nullstelle)
\( x_{N3} = -2 \)   (einfache Nullstelle)

1.2 Wertetabelle und Graph:

x -2,5 -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2 2,5
f(x) -6,125 0 4 3,375 2 0,625 0 4 10,125

Graph:

~plot~ x^3-3x+2;[[-4|4|-3|5]] ~plot~

1.3 Extrempunkte:
Hochpunkt bei (-1|4)
Tiefpunkt bei (1|0)
Wendepunkt bei (0|2)

1.4 Monotonie- und Krümmungsintervalle
Monoton steigend \( ]∞,~ -1] \)
Monoton fallend \( [-1,~ 1] \)
Monoton steigend \( [1,~ ∞[ \)
Rechtskrümmung \( ]∞,~ 0] \)
Linkskrümmung \( [0,~ ∞[ \)

b)

\( f(x) = x^3 - 3x^2 \)

1.1 Eigenschaften der Polynomfunktion

\( f(x) = x^3 - 3x^2 \)

→ keine Symmetrie, da gerade und ungerade Exponenten
→ \( S_y (0|0) \)
→ Nullstelle berechnen:
\( f(x) = x^3 - 3x^2 = 0 \\ x^2·(x - 3) = 0 \)
Demnach \( x_{N1,2} = 0 \)   (doppelte Nullstelle)
sowie \( x_{N3} = 3 \)   (einfache Nullstelle)

Faktordarstellung:
\( f(x) = (x-0)^2·(x-3) = x^2·(x-3) \)

Nullstellen:
\( x_{N1,2} = 0 \)   (doppelte Nullstelle)
\( x_{N3} = 3 \)   (einfache Nullstelle)

1.2 Wertetabelle und Graph:

x -2,5 -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2 2,5
f(x) -34,375 -20 -4 -0,875 0 -0,625 -2 -4 -3,125

Graph:

~plot~ x^3-3x^2;[[-2|4|-5|5]] ~plot~

1.3 Extrempunkte:
Hochpunkt bei (0|0)
Tiefpunkt bei (2|-4)
Wendepunkt bei (1|-2)

1.4 Monotonie- und Krümmungsintervalle
Monoton steigend \( ]∞,~ 0] \)
Monoton fallend \( [0,~ 2[ \)
Monoton steigend \( [2,~ ∞[ \)
Rechtskrümmung \( ]∞,~ 1] \)
Linkskrümmung \( [1,~ ∞[ \)

c)

\( f(x) = x^4 - 8x^3 + 18x^2 \)

1.1 Eigenschaften der Polynomfunktion

\( f(x) = x^4 - 8x^3 + 18x^2 \)

→ keine Symmetrie, da gerade und ungerade Exponenten
→ \( S_y (0|0) \)
→ Nullstelle berechnen:
\( f(x) = x^4 - 8x^3 + 18x^2 = 0 \\ x^2 · (x^2 - 8x + 18) = 0 \)
Demnach \( x_{N1,2} = 0 \)   (doppelte Nullstelle)
sowie lösen von \( x^2 - 8x + 18 \):
\( x_{N3,4} = -( \frac{8}{2} ) \pm \sqrt{ ( \frac{-8}{2} )^{2} - 18} \\ x_{N3,4} = 4 \pm \sqrt{-2} = \text{ nicht l}\ddot{o}\text{sbar } \)
→ hier keine Nullstelle

Faktordarstellung:
\( f(x) = x^2·(x^2 -8x + 18) \)

Nullstellen:
\( x_{N1,2} = 0 \)

1.2 Wertetabelle und Graph:

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
f(x) 459 152 27 0 11 24 27 32

Graph:

~plot~ x^4-8x^3+18x^2;[[-2|5|-2|30]] ~plot~

1.3 Extrempunkte:
kein Hochpunk
Tiefpunkt bei (0|0)
Wendepunkt bei ca. (1|11)

1.4 Monotonie- und Krümmungsintervalle
Monoton fallend \( ]∞,~ 0] \)
Monoton steigend \( [0,~ ∞[ \)
Linkskrümmung \( ]∞,~ 0] \)
Rechtskrümmung \( [0,~ ∞[ \)

Name:  
Datum: