AB: Gemischte Rechenaufgaben III
I. Rechnen mit Brüchen
Berechnen Sie die folgenden Brüche.
\( \frac{2}{5}+\frac{1}{3}+\frac{5}{6} \)
\( \frac{2}{5}+\frac{1}{3}+\frac{5}{6}=\frac{12}{30}+\frac{10}{30}+\frac{25}{30}=\frac{47}{30} \)
\( \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} \)
\( \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} : \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{1}=\frac{4}{2}=2 \)
\( 1 \frac{1}{2}: 1 \frac{1}{3}+2 \cdot \frac{1}{4} \)
\( \begin{aligned} 1 \frac{1}{2}: 1 \frac{1}{3}+2 \cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{4}+\frac{1}{2} &=\frac{9}{8}+\frac{1}{2} \\ &=\frac{9}{8}+\frac{4}{8}=\frac{13}{8} \end{aligned} \)
II. Rechnen mit Potenzen
Fassen Sie mit Hilfe der Potenzgesetze zusammen.
\( x^{5} \cdot x^{-7} \cdot x^{3} \)
\( x^{5} \cdot x^{-7} \cdot x^{3}=x^{5+3} \cdot \frac{1}{x^{7}}=\frac{x^{8}}{x^{7}}=x \)
\( 24 x^{2} y^{3}:\left(6 x^{-1} y\right) \)
\( 24 x^{2} y^{3}:\left(6 x^{-1} y\right)=24: 6 \cdot x^{2}: x^{-1} \cdot y^{3}: y^{2}=4 \cdot x^{2}: \frac{1}{x} \cdot y^{2} \\ = 4 \cdot x^{3} \cdot y^{2} \)
\( \left(\frac{15 a^{2}}{5 a}\right)^{3} \cdot\left(\frac{2}{a}\right)^{3} \cdot 6^{7} \)
\( \begin{aligned}\left(\frac{15 a^{2}}{5 a}\right)^{3} \cdot\left(\frac{2}{a}\right)^{3} \cdot 6^{7}=(3 a)^{3} \cdot \frac{8}{a^{3}} \cdot 6^{7} \\=27 a^{3} \cdot \frac{8}{a^{2}} \cdot 6^{7} &= 27 · 8 \cdot 6^{7} \\ &=60.466 .176 \end{aligned} \)
\( \left(a^{2} x^{3}\right)^{6} \)
\( \left(a^{2} x^{3}\right)^{6}=a^{2 \cdot 6} \cdot x^{3 \cdot 6} ={a^{12} \cdot x^{18}} \)
\( 6 x^{3}+\left(3 a^{-2}-34\right)-\left(3 x^{3}-5 a^{-2}+19\right) \)
\( 6 x^{3}+\left(3 a^{-2}-34\right)-\left(3 x^{3}-5 a^{-2}+19\right) \\ = 6 x^{3}+3 a^{-2}-34-3 x^{3}+5 a^{-2}-19 \\ = 3 x^{3}+8 a^{-2}-53 \)
III. Rechnen mit Termen / Klammern
Lösen Sie die Klammern auf und fassen Sie zusammen.
\( 3,5(2 u-4 v+6 w)-(u+v) \)
\( 3,5(2 u-4 v+6 w)-(u+v) \\ = 7 u-14 v+21 w-u-v \\ = 6 u-15 v+21 w \)
\( 2 r^{2}+(2 r-2 s)(4 r+3)+s^{2}-6 r s \)
\( 2 r^{2}+(2 r-2 s)(4 r+3) + s^{2}-6 r s \\ =2 r^{2}+8 r^{2}+6 r - 8rs-6 s+s^{2}-6 r s \\ =10 r^{2}+6r-14 rs - 6 s+s^{2} \)
\( 12 b^{2}+(2 a+2 b)(7 a-3 b)-2 a b-2 a^{2} \)
\( 12 b^{2}+(2 a+2 b)(7 a-3 b)-2 a b-2 a^{2} \\ =12 b^{2}+14 a^{2}-6 a b+14 a-6 b^{2}-2 a b-2 a^{2} \\ =6 b^{2}+12 a^{2}+6 a b \)
IV. Lösen von Gleichungen
Vereinfachen Sie die Terme auf beiden Seiten der Gleichung (falls nötig) und lösen Sie anschließend die Gleichung.
\( 3 x+5=4 x+1 \)
\( 3 x+5=4 x+1 \\ 5-1=4 x-3 x \\ x=4 \)
\( 5 x-8=4 x-1 \)
\( 5 x-8=4 x-1 \\ 5 x-4 x=-1+8 \\ x=7 \)
\( 8 x-6=15 x+8 \)
\( 8 x-6=15 x+8 \\ -15 x+8 x=8+6 \\ -7 x=14 \\ x=-2 \)
\( 36-(7 x+8)=6 x+2 \)
\( \begin{aligned} 36-(7 x+8) &=6 x+2 \\ 36-7 x-8 &=6 x+2 \\ 36-8-2 &=6 x+7 x \\ 13 x &=26 \\ x &=2 \end{aligned} \)
\( (x+55)-30=7 x-5 \)
\( \begin{aligned}(x+55)-30 &=7 x-5 \\ x+55-30 &=7 x-5 \\ x-7 x &=-5-55+30 \\-6 x &=-30 \\ x &=5 \end{aligned} \)
\( 2(194-6 x)=100(3-x) \)
\( \begin{aligned} 2(194-6 x) &=100(3-x) \\ 388-12 x &=300-100 x \\-12 x+100x &=300-388 \\ 88 x &=-88 \\ x &=-1 \end{aligned} \)
\( 210-(18 x-4)=5(x+5)+5 \)
\( \begin{aligned} 210-(18 x-4)=& 5(x+5)+5 \\ 210-18 x+4=5 x+25+5 \\ 214-18 x=5 x+30 \\ 214-30=5 x+18 x \\ 23 x=184 \\ x=8 \end{aligned} \)
\( 3(x+1)+x+5=-(x-10)+2 x+4 \)
\( \begin{aligned} 3(x+1)+x+5 &=-(x-10)+2 x+4 \\ 3 x+3+x+5 &=-x+10+2 x+4 \\ 4 x+8 &=x+14 \\ 4 x-x &=14-8 \\ 3 x &=6 \\ x &=2 \end{aligned} \)