AB: Lektion Symmetrie bei Funktionen (Teil 2)
Nachfolgend findet ihr Aufgaben zur Symmetrie bei Funktionen, mit denen ihr euer neues Wissen testen könnt.
Bestimme rechnerisch, ob Punktsymmetrie zum Ursprung bzw. Achsensymmetrie (zur y-Achse) vorliegt.
Man kann an solche Aufgaben herangehen, indem man eine Vermutung bezüglich der Symmetrie aufstellt und von dieser ausgeht. Für Achsensymmetrie beginnt man mit f(-x) und versucht es auf f(x) zurückzuführen. Entsprechendes mit -f(-x) für die Punktsymmetrie. Hat man keine Idee, so beginnt man mit f(-x) und führt es auf f(x) (Achsensymmetrie) oder -f(x) (Punktsymmetrie) zurück.
f(x) = x²
f(-x) = (-x)² = x² = f(x)
Es liegt also Achsensymmetrie vor.
f(x) = x³
-f(-x) = -(-x)³ = x³ = f(x) → Punktsymmetrie
f(x) = 2x² + 5
Gehen wir davon aus, wir hätten keine Idee, welche Symmetrie vorliegen könnte. Starten wir deshalb mit f(-x).
f(-x) = 2(-x)² + 5 = 2x² + 5 = f(x) → Achsensymmetrie
f(x) = 2x³ + 5
Selbiges:
f(-x) = 2(-x³) + 5 = -2x³ + 5 ≠ -f(x)
Es liegt keine der beiden Symmetrien vor.
f(x) = x4 + x²
f(-x) = (-x)4 + (-x)² = x4 + x² = f(x) → Achsensymmetrie
f(x) = x³ + 2x²
f(-x) = (-x)³ + 2(-x)² = -x³ + 2x² ≠ -f(x)
Es liegt keine der beiden Symmetrien vor.
Argumentiere, ob Punktsymmetrie zum Ursprung oder Achsensymmetrie (zur y-Achse) vorliegt.
f(x) = x6 + 3x3 + 2x
Keine Symmetrie im Sinne der Aufgabenstellung, da gerade und ungerade Exponenten vorliegen.
f(x) = x4 + 7,5x2 + 1
Nur gerade Exponenten → Achsensymmetrie.
f(x) = -5x10 + 7x8 + x6 + 3x5 + x2 + 2
Keine Symmetrie, da ungerade und gerade Exponenten vorliegen.
f(x) = 3x9 - 7x5 + 3x3 - 12x
Punktsymmetrie, da nur ungerade Exponenten.
f(x) = x2015
Nur ungerade Exponenten → Punktsymmetrie.