AB: Trigonometrische Gleichungen (Bogenmaß)

Nachfolgend findet ihr Aufgaben zu trigonometrischen Gleichungen, mit denen ihr euer Wissen testen könnt.
Alle Lösungen sind im Intervall x ∈ [0;2π] anzugeben.

Achtung: Alle Berechnungen und Lösungen sind im Bogenmaß vorzunehmen!

1.

Löse die folgenden trigonometrischen Gleichungen:

a)

sin(2x) = -0,5

Wegen sin(y) = -0,5 → y = 7/6π und y = 11/6π

Somit haben wir für 2x → x1 = 7/12π und x2 = 11/12π

Da wir uns das Intervall bis 2π anschauen und die Periode mit sin(2x) verdoppelt wurde, haben wir außerdem x3 = 19/12π und x4 = 23/12π (also je eine Periode bzw. 1π zu den bekannten Lösungen addiert).

Lösung der Gleichung:

sin(2·x) = -0,5   | sin-1()
2·x = sin-1(-0,5)
2·x = -30°   | : 2
x1 = -15°

Um auf weitere Lösungen zu kommen, zeichnen wir zuerst den Graphen:

Graph A1 Lösung

Graph öffnen (Desmos)

Nun verwenden wir die Identitäten, um rechnerisch auf diese Lösungen zu kommen.

b)

cos(2x) = -1

Wir wissen wiederum, dass für cos(y) = -1 folgt: y = π. Für unsere Funktion also x1 = π/2 sowie x2 = π + π/2 = 3/2π

c)

\( \sin( \frac{1}{2} x) = 2 \)

Der Sinus schwankt zwischen -1 und 1. Der Wert 2 kann also nie erreicht werden.

d)

\( sin(x + \frac{\pi}{4} ) = -0,5 \)

Für sin(y) = -0,5 erhalten wir y1 = 7/6π und y2 = 11/6 π. Wir haben eine Verschiebung von π/4 nach links. Folglich haben wir x1 = y1 - π/4 = 11/12π und x2 = y 2 - π/4 = 19/12 π

e)

tan(5x - 2) = 100

5x-2 = arctan(100)

x = (2 + arctan(100))/5

Damit haben wir eine Lösung. Wir müssen noch die Periode beachten, weswegen wir noch πn/5 hinzuaddieren dürfen. Mit n ∈ {0,1,...,8}

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