AB: Trigonometrische Gleichungen (schwierig)
Nachfolgend findet ihr Aufgaben zu trigonometrischen Gleichungen, mit denen ihr euer Wissen testen könnt.
Bemerkung: Alle Lösungen sind im Intervall x ∈ [0;2π] anzugeben.
Löse die folgenden trigonometrischen Gleichungen (mittel):
sin(2x) = cos(x)
sin(2x) = 2sin(x)cos(x) = cos(x) |-cos(x)
2sin(x)cos(x) - cos(x) = 1
cos(x)·(2sin(x) - 1) = 0
Also cos(x) = 0 und sin(x) = 1/2
cos(x) = 0: x1 = π/2 und x2 = 3/2π
sin(x) = 1/2: x3 = π/6 und x4 = 5/6π
sin(x) - x·sin(x) = 0
sin(x)·(1-x) = 0
Faktorweise betrachtet:
sin(x) = 0 → x1 = 0 und x2 = π und x3 = 2π
1-x = 0 → x4 = 1
cos(2x) - 4·cos(x) = -3
Es ist cos(2x) = 2cos²(x) - 1
→ 2cos²(x) + cos(x) - 2 = 0 |:2
→ cos²(x) + 1/2cos(x) - 1 = 0 |Binomi
→ (cos(x) - 1)² = 0
Folglich cos(x) = 1 und damit x1 = 0 und x2 = 2π
\( \frac{1}{2} ·sin(x) + 1 - cos^2(x) = 0 \)
Mit dem Pythagoras haben wir 1-cos²(x) = sin²(x)
1/2·sin(x) + sin²(x) = 0
sin(x)·(1/2 + sin(x)) = 0
Mit dem Satz vom Nullprodukt schauen wir uns das faktorweise an:
sin(x) = 0 → x1 = 0 und x2 = 2π
sin(x) = -1/2 → x3 = 7/6π und x4 = 11/6π
4·sin²(x) - 4·cos(x) - 1 = 0
Pythagoras besagt sin²(x) = 1 - cos²(x)
4(1-cos²(x)) - 4cos(x) - 1 = 0 |:(-4)
cos²(x) + cos(x) - 3/4 = 0 | Substitution cos(x) = u
u² + u - 3/4 = 0 |p-q-Formel
u1 = -3/2 und u2 = 1/2 | Resubstitution
cos(x) = -3/2 und cos(x) = 1/2 | Ersteres kann keine Lösung haben, da sich der Kosinus zwischen -1 und 1 bewegt
cos(x) = 1/2 → x1 = 1/3π und x2 = 5/3π