Lösungen Lektion Binomische Formeln (gesamt)

A. Multipliziere erst die Klammern aus, berechne dann das Ergebnis:

1. (1 + 4)·(2 + 2) = 1·2 + 1·2 + 4·2 + 4·2 = 2 + 2 + 8 + 8 = 20

2. (-2 + 8)·(3 + 4) = (-2)·3 + (-2)·4 + 8·3 + 8·4 = (-6) + (-8) + 24 + 32 = -6 - 8 + 24 + 32 = -14 + 24 + 32 = 10 + 32 = 42

3. (-2 + 2 - 3)·(5 - 10) = (-2)·5 + (-2)·(-10) + 2·5 + 2·(-10) + (-3)·5 + (-3)·(-10) = (-10) + (20) + 10 + (-20) + (-15) + (30) = -10 + 20 + 10 - 20 - 15 + 30 = 10 + 10 - 20 + 15 = 20 - 20 + 15 = 15

4. (9 - 9)·(9 + 9) = (9 - 9)·(9 + 9) = 9·9 + 9·9 + (-9)·9 + (-9)·9 = 81 + 81 + (-81) + (-81) = 81 + 81 - 81 - 81 = 0

5. (8 + 8)·(8 - 8 - 8) = 8·8 + 8·(-8) + 8·(-8) + 8·8 + 8·(-8) + 8·(-8) = 64 + (-64) + (-64) + 64 + (-64) + (-64) = 64 - 64 - 64 + 64 - 64 - 64 = 0 - 64 + 0 - 64 = - 64 - 64 = - 128

B. Löse die folgenden Aufgaben nur mit Hilfe der Binomischen Formeln, danach erst zusammenrechnen:

1. (4 + 3)² = 4² + 2·4·3 + 3² = 16 + 24 + 9 = 49

2. (-4 + 5)² = (-4)² + 2·(-4)·5 + 5² = (+16) + (-4)·2·5 + 25 = 16 - 40 + 25 = -24 + 25 = 1

3. (10 + 9)² = 10² + 2·10·9 + 9² = 100 + 180 + 81 = 361

4. (5 - 12)² = 5² - 2·5·12 + 12² = 25 - 120 + 144 = 25 + 24 = 49

5. (6 - 8)² = 6² - 2·6·8 + 8² = 36 - 96 + 64 = -60 + 64 = 4

6. (12 + 2)·(12 - 2) = 12² - 2² = 144 - 4 = 140

7. (200 - 4)·(200 + 4) = 200² - 4² = 40.000 - 16 = 39.984

8. (100 - 10)·(100 + 10)·(100 + 10) = (100 - 10)·(100 + 10)·(100 + 10) = (100² - 10²)·(100 + 10) = (100² - 10²)·(100 + 10) = 100²·100 + 100²·10 + (-10²)·100 + (-10²)·10 = 100²·100 + 100²·10 - 10²·100 - 10²·10
Jetzt müssen wir noch zusammenrechnen, dafür schreiben wir die Quadrate nochmals als Multiplikationen aus:
100²·100 + 100²·10 - 10²·100 - 10²·10 = 100·100·100 + 100·100·10 - 10·10·100 - 10·10·10 = 1.000.000 + 100.000 - 10.000 - 1.000 = 1.100.000 - 11.000 = 1.089.000
Bei dieser Aufgabe könnt ihr euch zu Beginn übrigens aussuchen, welche der drei Klammern ihr als erstes verrechnen wollt.

C. Nehmen wir als nächstes anstatt Zahlen ein paar Variablen (also Platzhalter, in die wir beliebige Zahlen einsetzen können). Berechnet diese Aufgaben mit den Binomischen Formeln so weit wie möglich:

Beispiellösung:
(x - 8)² = x² - 2·x·8 - 8² = x² - 16·x - 64
(a - b)² = a² - 2·a·b - b²

1. (x + 7)² = x² + 2·x·7 + 7² = x² + 14·x + 49

2. (10 - x)² = 10² - 2·10·x + x² = 100 - 20·x + x²

3. (4·x - y)² = (4·x)² - 2·(4·x)·y + y² = 4·x·4·x - 2·4·x·y + y² = 16·x² - 8·x·y + y²

4. (x + 10·y)² = x² + 2·x·(10·y) + (10·y)² = x² + 2·x·10·y + 10·y·10·y = x² + 20·x·y + 100·y²

5. (2 - a·b)² = 2² - 2·(2)·(a·b) + (a·b)² = 4 - 4·a·b + (a·b)·(a·b) = 4 - 4·a·b + a²·b²

6. (2·x + a·b)² = (2·x)² + 2·(2·x)·(a·b) + (a·b)² = (2·x)·(2·x) + 2·2·x·a·b + (a·b)·(a·b) = 4·x² + 4·x·a·b + a²·b²

7. (a·2 - a·b)² = (a·2)² - 2·(a·2)·(a·b) + (a·b)² = (a·2)·(a·2) - 2·a·2·a·b + (a·b)·(a·b) = a²·4 - 4·a·a·b + a·b·a·b = 4·a² - 4·a²·b + a²·b²

8. (x + 3)·(x - 3) = x² - 3²

9. (x + y) (x - y) = x² - y²

10. (2·a + 3·b) (2·a - 3·b) = (2·a)² - (3·b)²

D. Faktorisiere (das heißt, Du musst die ursprüngliche Form der Binomischen Formel wieder herstellen):

Beispiellösung:
x² + 6x + 9 = x² + 2·3·x + 3² = x² + 2·x·3 + 3² = (x + 3)²
a² + 2ab + b² = (a + b)²

1. 25 - 40 + 16 = 5² - 2·5·4 + 4² = (5 - 4)²

2. x² + 6·x·y + 9·y² = x² + 2·3·x·y + 3·3·y·y = x² + 2·x·3·y + 3·y·3·y = x² + 2·(x)·(3·y) + (3·y)·(3·y) = (x + 3·y)²

3. 100 - 20·x + x² = 10² - 2·10·x + x² = (10 - x)²
Alternativ wäre hier ebenso (-10 + x)² richtig, da beim Auflösen dieser Klammer auch 100 - 20·x + x² herauskommt.

4. 400 - 100·x² = 400 - 10·10·x·x = 20·20 - 10·x·10·x = 20² - (10·x)² = (20 - 10x)·(20 + 10x)

5. x² - 18·x + 81 = x² - 2·9·x + 9² = (x - 9)²
Alternativ könnte man auf (-x + 9)² als Lösung kommen, da beim Auflösen dieser Klammer tatsächlich auch x² - 18·x + 81 herauskommt.

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