Übungsblatt: Kurvendiskussion

Nachfolgend findet ihr Aufgaben zur Kurvendiskussion, mit denen ihr euer Wissen testen könnt.

1. Diskutiere die Funktion f mit der Gleichung \( f(x) = \frac{1}{2} x^3 - 2x^2 + 4 \). Eine Nullstelle dieser Funktion ist 2.

2. Die Funktion f mit \( f(x) = 4x^3 - 5x^2 + 3 \) ist zu diskutieren. Bestimme außerdem die Gleichung der Wendetangente.

3. Weise für die Funktion f mit \( f(x) = \frac{1}{5}x^4 - \frac{8}{5}x^2 + \frac{16}{5} \) rechnerisch die Symmetrie nach und führe anschließend die vollständige Kurvendiskussion durch.

4. Diskutiere die Funktion mit der Gleichung \( f(x) = x^4 - 2x^3 \)

5. Untersuche das Verhalten der Funktion f mit \( f(x) = -\frac{1}{9}x^5 + x^3 \) im Unendlichen, ihr Symmetrieverhalten, die Existenz der Nullstellen, die Art der Extrempunkte, die Wendepunkte.

6. Zeige, dass die Funktionen \( f_a \) mit \( f_a(x) = a·\left( \frac{1}{8}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{4}x - 1 \right) \), wobei a ≠ 0, die gleiche (einzige) Nullstelle haben und dass auch die Wendestelle für die Funktionen \( f_a \) gleich ist. Berechne die Nullstelle und die Wendestelle. Skizziere anschließend die Schar der Graphen \( f_a \).

7. Berechne die Extrem- und Wendepunkte der Funktionen \( f_k \) und \( g_t \): $$ f_k(x) = -x^3 + x^2 - k·x + 1 \quad (k ≤ 0) \\ g_t(x) = \frac{1}{2}x^3 - t·x - 2 \quad (t > 0) $$

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