Übungsblatt: Extremwertaufgaben

Nachfolgend findet ihr Aufgaben zu Extremwertaufgaben, mit denen ihr euer Wissen testen könnt.

1. Welches Rechteck mit dem Umfang von 68 cm hat den größten Flächeninhalt? Berechne die Maßzahlen für Länge, Breite und Flächeninhalt.

2. Ein Bauer möchte ein möglichst großes Gemüsefeld anlegen und einzäunen. Er hat 180 m Zaun. Welche Abmessungen muss das Feld haben, wenn eine Seite des Feldes bereits durch eine vorhandene Mauer begrenzt ist?

3. Bei einer Massenproduktion fallen Blechstücke an in Form rechtwinkliger Dreiecke mit den Katheten a = 50 cm und b = 40 cm. Aus den Abfallstücken sollen zur weiteren Verwendung rechteckige Blechstücke mit möglichst großem Flächeninhalt geschnitten werden. Für welche Abmessungen wird dies erreicht?

4. Ein Bauplatz hat die Form eines Fünfecks. Auf diesem Platz soll eine Lagerhalle mit rechteckiger Grundfläche errichtet werden. Eine Ecke der Halle soll in Punkt A liegen, die diagonal gegenüberliegende Ecke soll auf der Seite CD liegen. Berechne Länge, Breite und Grundfläche unter der Bedingung, dass die Grundfläche der Halle möglichst groß wird (siehe Abbildung, Angaben in Meter).

Abbildung Bauplatz

5. Von einem rechtwinkligen Stück Blech mit den Seitenlängen 32 cm und 20 cm werden an den vier Ecken Quadrate herausgeschnitten. Biegt man die Randstücke hoch, so erhält man eine oben offene Schachtel. Berechne die Abmessungen der Schachtel mit dem größten Volumen (siehe Abbildung).

Abbildung Blech

6. Aus einer rechteckigen Scheibe mit der Kantenlänge AB = 4 m ist ein F lächenstück herausgebrochen. Der Rand wird durch den Graphen der Funktion f mit \( f(x) = \frac{1}{4}x^2 + 1 \) beschr1eben, wenn die x-Achse in Richtung AB und die y-Achse in Richtung AD verläuft. Aus dem restlichen Glasstück soll eine rechteckige Fläche herausgeschnitten werden. Welche Abmessungen muss die Scheibe haben, damit die Fläche maximal ist (siehe Abbildung)?

Abbildung Scheibe

7. Für Heizungsrohre soll aus 60 cm breitem Blech eine Abdeckung (siehe Abbildung) mit maximalem Querschnitt hergestellt werden. Berechne Höhe h, Breite y und Querschnitt A der Abdeckung.

Abbildung Heizungsrohre

8. Der Graph der Funktion f mit \( f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + 12 \) bildet mit der x-Achse und der y-Achse im I. Quadranten des Koordinatensystems eine Fläche. In diese soll ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt einbeschrieben werden. Berechne den Flächeninhalt.

9. Dem Graphen der Funktion f mit \( f(x) = -x^2 + 2x + 3 \) soll im I. Quadranten ein Dreieck ABC einbeschrieben werden. Die Ecke A bewegt sich dabei auf der x-Achse, B liegt in der Nullstelle von f und C liegt senkrecht über A auf dem Graphen. Untersuche, ob es unter allen möglichen Dreiecken ein größtes gibt.

10. Aus einer Pappe mit den Abmessungen 30 cm × 24 cm soll ein geschlossener Karton gefaltet werden.
a) Bestimme die Rauminhaltsfunktion V des Quaders in Abhängigkeit von seiner Höhe x (also V(x) mit einem geeigneten Intervall für D).
b) Für welche Abmessungen wird der Rauminhalt des quaderförmigen Kartons maximal? Berechne den maximalen Rauminhalt.

Abbildung Pappe

Weitere Aufgaben:

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