Übungsblatt: Kurvendiskussion komplex (Erweitert)

Nachfolgend findet ihr eine komplexe Aufgabe zur Kurvendiskussion, mit denen ihr euch testen könnt.

Gegeben sind die reellen Funktionen \( f_k \) durch \( f_k(x) = \frac{1}{9}·(x^4 - kx^2 - 9x^2 + 9k) \) mit \( k ≥ 0 ∧ k > 2 ∈ \mathbb{R} \)

Der Graph einer solchen Funktion \( f_k \) in einem Koordinatensystem heißt \( G_{f_k} \).

1.1. Untersuche den Graphen \( G_{f_k} \) in Bezug auf Symmetrie.

1.2. Zeige, dass sich der Funkt1onsterm \( f_k(x) \) auch in der Form \( f_k(x) = \frac{1}{9}· \left( x^2-k \right) \left( x^2-9 \right) \) schreiben lässt und ermittle Anzahl, Lage und Vielfachheit aller Nullstellen der Funktion \( f_k \) in Abhängigkeit von k.

1.3. Berechne k so, dass die Tangente an den Graphen \( G_{f_k} \) an der Stelle \( x_0 = 1,5 \) parallel zur Geraden mit der Gleichung \( y = -\frac{9}{2}x \) verläuft.

2.0. Setze für die folgenden Teilaufgaben k = 9.

2.1. Begründe, dass für alle x ∈ ℝ gilt: \( f_9(x) ≥ 0 \). Was kann daraus über die Lage des Graphen \( G_{f_9} \) im Koordinatensystem gefolgert werden?

Für die folgenden Berechnungen sollte der Funktionsterm der Funktion \( f_9 \) in der Form \( f_9(x) = \frac{1}{9}x^4 - 2x^2 + 9 \) verwendet werden.

2.2. Ermittle für den Graphen \( G_{f_9} \) Art und Koordinaten aller relativen Extrempunkte sowie die Koordinaten der Wendepunkte.

2.3. Zeichne den Graphen \( G_{f_9} \) mit Hilfe bisheriger Ergebnisse und einer geeigneten Wertetabelle für |x| ≤ 4. Verwende ein gesondertes DIN-A4-Blatt in Hochformat mit dem Koordinatenursprung in der Bildmitte. (Maßstab auf beiden Achsen : 1 LE = 1 cm)

3.0. Die Parabel \( G_p \) ist der Graph der quadratischen Funktion p. Diese Parabel verläuft symmetrisch zur y-Achse, schneidet die x-Achse im Punkt N(3|0) und die Ordinate ihres Scheitelpunktes hat den Wert -3.

3.1. Bestimme den Funktionsterm p(x) und zeichne die Parabel \( G_p \) im Bereich |x| ≤ 4 in das unter Teilaufgabe 2.3 beschriebene Koordmatensystem em. (Teilergebnis ist: \( p(x) = \frac{1}{3}x^2 - 3 \))

3.2. Die Graphen \( G_{f_9} \) und \( G_p \) schließen drei endliche Flächenstücke ein. Berechne für das Flächenstück, das den Koordinatenursprung enthält, die Maßzahl seines Flächeninhaltes.

4.0. Die Funktion F ist diejenige Stammfunktion der Funktion \( f_9 \), deren Graph den Punkt A(-3|0) enthält.

4.1. Bestimme den Funktionsterm F(x).

4.2. Zeige unter Verwendung bereits vorhandener Ergebnisse ohne weitere Rechnung, dass der Graph \( G_F \) für alle x ∈ ℝ monoton steigt. Begründe auch, dass dieser Graph genau zwei Terrassenpunkte enthält.

5.0. Die Geraden mit den Gleichungen x = u und x = -u, 0 < u < 3 und u ∈ ℝ schneiden den Graphen \( G_{f_9} \) in den Punkten P und Q. Zusammen mit dem Koordinatenursprung O bilden die Punkte P und Q das Dreieck OPQ.

5.1. Zeichne für den Sonderfall u = 1,5 das Dreieck OPQ in das vorhandene Koordinatensystem ein und zeige, dass für die von u abhängige Flächenmaßzahl A(u) des Dreiecks OPQ gilt: \( A(u) = \frac{1}{9}·\left( u^5 - 18u^3 + 81u \right) \)

5.2. Bestimme u ∈ (0; 3) so, dass der Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks OPQ den absolut größten Wert besitzt. Runde dabei auf zwei Stellen nach dem Komma.

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