Lösungen: Satz des Pythagoras und verwandte Sätze (1)

1.1 Rechtwinklige Dreiecke im Quadrat

Gegeben ist ein Dreieck ABC mit den Seitenlängen a = √13 cm, b = √17 cm und c = √20 cm.

  • a) Zeigen Sie, dass sich die Punkte A, B und C auf den Seiten eines Quadrates mit der Seitenlänge 4 cm anordnen lassen.
  • Abbildung: Fast Pythagoras

  • b) Berechnen Sie auf der Basis bisheriger Ergebnisse den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
  • 16 – 3 – 4 – 2 = 7

1.2 Fast Pythagoras

Das Dreieck ABC ist nicht rechtwinklig. Das Lot von C auf AB teilt AB in die Abschnitte p und q. ADEB ist ein Quadrat. Zeigen Sie: Die hellgrau unterlegten Quadrate haben zusammen den gleichen Flächeninhalt wie die dunkelgrau unterlegten Quadrate zusammen.

Abbildung: Fast Pythagoras

Nach Pythagoras gilt:
(1) h² + p² = b²
und
(2) h² + q² = a².

(1) – (2) ergibt p² – q² = b² – a² oder p² + a² = b² + q².

1.3 Inkreismittelpunkt

  • a) Zeigen Sie: Für den Inkreisradius r im rechtwinkligen Dreieck gilt r = \( \frac{1}{2} \) (a+b-c). Verwenden Sie nebenstehende Skizze.
  • Der Mittelpunkt des In-kreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden. Daher lässt sich aus neben-stehender Skizze c = a – r + b – r ablesen. Auflösen nach r ergibt r = ½ (a+b-c).

  • b) Zeigen Sie: Für den Inkreisradius r im rechtwinkligen Dreieck gilt r = \( \frac{ {ab} }{ {a + b + c} }\)
  • r sei jeweils Höhe in den drei Dreiecken mit a, b und c als Grundseiten: Dann gilt \( \frac{ {ar} }{2} + \frac{ {br} }{2} + \frac{ {cr} }{2} = \frac{ {ab} }{2} \). Auflösen nach r ergibt r = \( \frac{ {ab} }{ {a + b + c} } \).

  • c) Beweisen Sie mit Hilfe der Gleichungen aus a) und b) den Satz des Pythagoras.
  • Gleichsetzen der Ergebnisse aus a) und b) führt zu \( \frac{ {ab} }{ {a + b + c} } = \frac{ {a + b - c} }{2} \). Durchmultiplizieren mit dem Hauptnenner ergibt 2ab = ((a+b) – c)·((a+b)+c)=(a+b)² – c² und schließlich a²+b²=c².

Abbildung: Inkreismittelpunkt

1.4 Zwei Kreise

Die Mittelpunkte zweier Kreise und ihr Berührpunkt B liegen auf einer Geraden g. M sei der Mittelpunkt des größeren Kreises. Die Senkrechte auf g in M sei h. Der Abstand zwischen den Kreisen auf g ist 9 cm, der Abstand zwischen den Kreisen auf h ist in beiden Fällen 5 cm (siehe Abbildung). Wie groß sind die Radien der Kreise?

Abbildung: Zwei Kreise

Führen Sie diese Hilfslinien und Bezeichnungen ein: Dann ist (1) h² = p · q und p + 9 = q sowie (3) h = q - 5. Das sind drei Gleichungen mit drei Unbekannten. Lösungen: p = 16, q = 25 und h = 20.

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