Lösungen: Flächengleichheit/Puzzles (4)

3.13 Dreieck mit ähnlichen Dreiecken ausgelegt

Gegeben ist ein Dreieck ABC. In wie viele zu ABC ähnliche Dreiecke kann man folgende besonderen Dreiecke zerschneiden (gesucht sind jeweils die drei kleinsten Stückzahlen)?

  • a) ein beliebiges Dreieck ABC.
  • 4, 7, 10, …

    Abbildung: Lösung A - Dreieck mit ähnlichen Dreiecken

  • b) ein rechtwinkliges Dreieck ABC,
  • 2, 3, 4, …

    Abbildung: Lösung B - Dreieck mit ähnlichen Dreiecken

  • c) das gleichschenklig-stumpfwinklige Dreieck ABC mit den Winkeln 30°, 30° und 120°.
  • Zunächst kann man auch dieses Dreieck (wie jedes beliebige Dreieck) in minimal 4 ähnliche Dreiecke teilen. Dann aber gibt es auch eine Aufteilung in 5 ähnliche Dreiecke:

    Abbildung: Lösung C - Dreieck mit ähnlichen Dreiecken

    Aus a) übernehmen wir 4 und 7 und ergänzen die 5. Jede natürliche Anzahl (oberhalb 3) ähnlicher Teildreiecke ist möglich mit Ausnahme der Anzahl 6.

3.14 Quadrat und Rechteck

  • a) Konstruieren Sie ein Quadrat mit der Seitenlänge c und ein dazu flächengleiches Rechteck mit der Seitenlänge a (siehe Abbildung). Die andere Seitenlänge des Rechtecks sei dann b.

    Zeigen Sie, dass die durch eine Diagonale im Rechteck mit den Seitenlängen c+a und c+b abgetrennten grauen Dreiecke in der Abbildung kongruent sind.

  • Es gilt nach dem 2. Strahlensatz \( \frac{c}{y} = \frac{c + a}{c + b} \) umgeformt zu \( c^2 + c · b = y · (c + a) \). Dann erhalten wegen \( c^2 = a·b \) die Gleihchung \( a·b+c·b=y·(c+a) \). Nach Ausklammern von b und Dividieren durch c+a ist b=y. Die grauen Dreiecke stimmen in allen Winkelgrößen und der Gegenseite des kleinsten Winkels überein. Daher sind sie kongruent.

    Abbildung: Lösung A - Quadrat und Rechteck

  • b) Zerlegen sie das Quadrat durch gerade Schnitte in möglichst wenige Teilflächen, mit denen sich das Rechteck parkettieren lässt.
  • Abbildung: Lösung B - Quadrat und Rechteck

3.15 Vier Formen mit Teilen legen

Die Kreuzform oben rechts in der Abbildung ist in fünf Teile zerlegt. Parkettieren Sie die anderen vier Formen jeweils mit diesen fünf Teilen.

Abbildung: Lösung Formen mit Teilen

3.16 Kreisteile

Die hellgrauen, dunkelgrauen und schwarzen Flächen des Kreises mit dem Radius r=2 sollen zu einem Rechteck mit der Länge 6 und der Breite √3 zusammengefügt werden.

Abbildung: Lösung Kreisteile

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