Übungsblatt: Satz des Pythagoras und verwandte Sätze (2)

Autor: Roland Schröder

1.5 Schustermesser

Die linke graue Fläche hat die Form der Klinge eines Schustermessers. Zeigen Sie, sie ist ebenso groß wie die rechte Kreisfläche.

Abbildung: Schustermesser

1.6 Satz von Tabit

In einem stumpfwinkligem Dreieck ABC liege D auf \( \overline {AB} \), sodass die Dreiecke ABC und ADC ähnlich sind. Dann ist das Quadrat mit der Seite \( \left| {\overline {AC} } \right| \) flächengleich zum Rechteck aus \( \left| {\overline {AD} } \right| \) und \( \left| {\overline {AB} } \right| \).

  • a) Beweisen Sie diesen Satz.
  • b) Wie erhält man daraus den Kathetensatz von Euklid?

Abbildung: Satz von Tabit

1.7 Ein Pythagoras-Beweis

Wie kann die diese Skizze zum Beweis des Satzes des Pythagoras verwendet werden?

Abbildung: Pythagoras-Beweis

1.8 Kathetenwegsatz

Es sei ABC ein rechtwinkliges Dreieck und \( \overline {DE} \) ein beliebiger Abschnitt auf einer Kathete. F und G seien die Fußpunkte der Lote von D bzw. E auf AB. Über \( \overline {DE} \) hat das Rechteck DEHJ die Länge \( \left| {\overline {EH} } \right| = \left| {\overline {BC} } \right| \). Über \( \overline {FG} \) hat das Rechteck GFKL die Länge \( \left| {\overline {GL} } \right| = \left| {\overline {AB} } \right|. \)

  • a) Zeigen Sie, dass die Rechtecke DEHJ und GFKL flächengleich sind.
  • b) Mit diesen Erkenntnissen lässt sich auch der Satz des Pythagoras beweisen. Führen Sie den Beweis.

Abbildung: Kathetenwegsatz

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