Übungsblatt: Beweisen und Rechnen mit Kreisen (4)

Autor: Roland Schröder

4.13 Angebissener Apfel

Der Rand nebenstehender Figur besteht aus vier Viertelkreisen mit dem gleichen Radius r. Welchen Flächeninhalt hat die Figur in Abhängigkeit von r?

Abbildung: Angebissener Apfel

4.14 Flächenverhältnis

Einem Quadrat wird ein größtmöglicher Kreis einbeschrieben und dem Kreis wieder ein größtmögliches Quadrat (siehe Abbildung). In welchem Flächenverhältnis stehen die hellgrau unterlegten zu den dunkelgrau unterlegten Flächen?

Abbildung: Flächenverhältnis

4.15 Flächenteilung

Auf dem Durchmesser AB eines Kreises K liegt ein Punkt P. Die Halbkreise über AP und über BP liegen auf verschiedenen Seiten des Durchmessers. Die S-Linie der beiden Halbkreise zerschneidet den Kreis K in zwei Teilflächen. Welches Flächenverhältnis haben die beiden Teile, wenn:

  • a) P die Strecke AB im Verhältnis 1:4 teilt?
  • b) P die Strecke AB im Verhältnis 1:m teilt?

Abbildung: Flächenteilung

4.16 Ein Irrtum Malfattis

Gianfrancesco Malfatti beantwortete 1803 die Frage, wie man aus einem Dreieck drei Kreise mit möglichst großer Gesamtfläche schneiden könne mit der Behauptung, dass jeder Kreis die beiden anderen sowie zwei Dreiecksseiten berühren müsse.

Das war ein Irrtum, wie sich durch Lösung der folgenden Aufgaben an einem gleichseitigen Dreieck zeigen lässt:

  • a) Wählen Sie drei Kreise mit gleichem Radius.
  • b) Wählen Sie den Inkreis und zwei weitere Kreise, von denen jeder nur den Inkreis und zwei Dreiecksseiten berührt.

Weitere Aufgaben:

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