Lösungen: Beweisen und Rechnen mit Kreisen (4)

4.13 Angebissener Apfel

Der Rand nebenstehender Figur besteht aus vier Viertelkreisen mit dem gleichen Radius r. Welchen Flächeninhalt hat die Figur in Abhängigkeit von r?

Schneidet man die Rundungen oben und unten ab und fügt sie rechts und links wieder an, entsteht ein Quadrat mit der Diagonalenlänge 2r. Wenn a die Seitenlänge dieses Quadrats ist, dann gilt nach Pythagoras a²+a²=(2r)² oder a²=2r².

Abbildung: Lösung Angebissener Apfel

4.14 Flächenverhältnis

Einem Quadrat wird ein größtmöglicher Kreis einbeschrieben und dem Kreis wieder ein größtmögliches Quadrat (siehe Abbildung). In welchem Flächenverhältnis stehen die hellgrau unterlegten zu den dunkelgrau unterlegten Flächen?

Legt man die Längeneinheit so fest, dass der Radius des Kreises 1 ist, dann hat das große Quadrat die Seitenlänge 2 (Durchmesser des Kreises) und den Flächeninhalt 4. Der Flächeninhalt der dunkelgrauen Fläche ist also a1=4 – π. Wenn a die Seitenlänge des inneren Quadrats ist, dann ist nach Pythagoras a²=2. Der Flächeninhalt der hellgrauen Fläche ist dann A2=π – 2. Das gesuchte Flächenverhältnis ist demnach \(\frac{ { {A_1} } }{ { {A_2} } } = \frac{ {4 - \pi } }{ {\pi - 2} } \approx 0,752\).

Abbildung: Lösung Flächenverhältnis

4.15 Flächenteilung

Auf dem Durchmesser AB eines Kreises K liegt ein Punkt P. Die Halbkreise über AP und über BP liegen auf verschiedenen Seiten des Durchmessers. Die S-Linie der beiden Halbkreise zerschneidet den Kreis K in zwei Teilflächen. Welches Flächenverhältnis haben die beiden Teile, wenn:

  • a) P die Strecke AB im Verhältnis 1:4 teilt?
  • Abbildung: Lösung A - Flächenteilung

    Wenn das Verhältnis der Durchmesser des kleinen und des mittleren Halbkreises 1:4 ist, dann ist auch das Verhältnis der Radien 1:4. Wählt man als Längeneinheit den Radius des kleinen Halbkreises, so können Radien und Flächen in folgender Übersicht dargestellt werden:

    Radius Fläche
    kleiner Halbkreis 1 \({A_1} = \frac{\pi }{2}\)
    mittlerer Halbkreis 4 \({A_1} = \frac{ {16\pi } }{2}\)
    großer Halbkreis 5 \({A_3} = \frac{ {25\pi } }{2}\)

    Die hellgraue Fläche setzt sich zusammen als \( A_3 - A_1 + A_2 = \frac{25π}{2} - \frac{π}{2} + \frac{16π}{2} = 20 π \). Die dunkelgraue Fläche setzt sich zusammen als \( A_3 - A_2 + A_1 = \frac{ {25\pi } }{2} - \frac{ {16\pi } }{2} + \frac{\pi }{2} = 5\pi \). Das gesuchte Flächenverhältnis ist dann \( \frac{ {5π } }{ {20π } } = \frac{1}{4} = 1:4 \).

  • b) P die Strecke AB im Verhältnis 1:m teilt?
  • Abbildung: Lösung B - Flächenteilung

    Da das Längenverhältnis von der Wahl der Längeneinheit unabhängig ist, wählen wir als kleinsten Radius wieder 1. Wenn das Verhältnis der Durchmesser des kleinen und des mittleren Halbkreises 1:m ist, dann ist auch das Verhältnis der Radien 1:m. Die Radien und Flächen können dann in folgender Übersicht dargestellt werden:

    Radius Fläche
    kleiner Halbkreis 1 \({A_1} = \frac{\pi }{2}\)
    mittlerer Halbkreis m \({A_1} = \frac{\pi }{2}{m^2}\)
    großer Halbkreis m+1 \({A_3} = \frac{\pi }{2}{\left( {m + 1} \right)^2}\)

    Die hellgraue Fläche setzt sich zusammen als \( A_3 - A_1 + A_2 = \frac{\pi }{2}{\left( {m + 1} \right)^2} - \frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{2}{m^2} = \left( {m^2 + m} \right)\pi \). Die dunkelgraue Fläche setzt sich zusammen als \( A_3 - A_2 + A_1 = \frac{\pi }{2}{\left( {m + 1} \right)^2} - \frac{\pi }{2}{m^2} + \frac{\pi }{2} = \left( {m + 1} \right)\pi \). Das gesuchte Flächenverhältnis ist dann \(\frac{ {\left( {m + 1} \right)\pi } }{ {\pi \left( { {a^2} + a} \right)} } = \frac{1}{m} = 1:m\).

4.16 Ein Irrtum Malfattis

Gianfrancesco Malfatti beantwortete 1803 die Frage, wie man aus einem Dreieck drei Kreise mit möglichst großer Gesamtfläche schneiden könne mit der Behauptung, dass jeder Kreis die beiden anderen sowie zwei Dreiecksseiten berühren müsse.

Das war ein Irrtum, wie sich durch Lösung der folgenden Aufgaben an einem gleichseitigen Dreieck zeigen lässt:

  • a) Wählen Sie drei Kreise mit gleichem Radius.
  • Man mache sich zunächst klar, dass die Höhe im gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge a die Länge \(\frac{a}{2}\sqrt 3 \) hat. Die Seitenläge des abgebildeten gleichseitigen Dreiecks sei 2, dann ist seine Höhe √3. Wenn jetzt r der Radius der drei gleichgroßen einbeschriebenen Kreise ist, dann gilt 2=2r√3+2r und dann \(r = \frac{1}{ {\sqrt 3 + 1} }\). Dann ist der Flächeninhalt aller drei einbeschriebenen Kreise \( 3πr^2 = 3π·\left( \frac{1}{\sqrt{3+1}} \right)^2 ≈ 1,26 \).

    Abbildung: Lösung A - Irrtum Malfattis

  • b) Wählen Sie den Inkreis und zwei weitere Kreise, von denen jeder nur den Inkreis und zwei Dreiecksseiten berührt.
  • Der Radius des Inkreises eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge 2 ist ein Drittel seiner Höhe √3, also \(\frac{ {\sqrt 3 } }{3}\). Tangenten an den Inkreis trennen kleine gleichseitige Dreiecke ABC wie dargestellt ab, in denen jeweils ein kleiner Kreis Inkreis ist. Die Fläche des Dreiecks ABC ist \(\frac{1}{9}\) der großen Dreiecksfläche und daher ist auch die Fläche des kleinen Inkreises \(\frac{1}{9}\) der Fläche des großen Inkreises. Ein großer und zwei kleine Inkreise haben zusammen die Fläche \( π {\left( {\frac{ {\sqrt 3 } }{3} } \right)^2} + \frac{2}{9}\pi {\left( {\frac{ {\sqrt 3 } }{3} } \right)^2} = \frac{\pi }{3}\left( {1 + \frac{2}{9} } \right) \approx 1,28 \).

    Abbildung: Lösung B - Irrtum Malfattis

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