Lösungen: Beweisen und Rechnen mit Kreisen (5)

4.17 Zwei Kreise

Zwei Kreise K1 und K2 mit unterschiedlichen Radien r1 bzw. r2 schneiden sich in P und C. Eine Gerade durch P schneidet außerdem den Kreis K1 in Ai und den Kreis K2 in Bi. Welche gemeinsame Eigenschaft haben alle Dreiecke AiBiC? Unterscheiden Sie zwei Fälle:

  • a) Bi liegt auf dem kürzeren der Bögen bzw. des Kreises K2.
  • Wir zeichnen zwei derartige Dreiecke (gestrichelt und fett). Die Dreiecke stimmen sowohl in den Winkeln α und β (Winkel über dem gleichen Bogen von K1) als auch in den gegenüberliegenden Nebenwinkeln γ und δ (Winkel über m gleichen Bogen von K2) überein. Mit einem Nebenwinkel ist auch sein anliegendes Komplement festgelegt. Daher stimmen die Dreiecke in zwei Winkeln überein und sind ähnlich.

    Abbildung: Lösung Zwei Kreise

  • b) Sowohl Bi als auch Ai liegen jeweils auf dem längeren Bogen ihres Kreises.
  • Hier ist der Nachweis ähnlich und einfacher, weil nicht mit Nebenwinkeln argumentiert werden muss.

4.18 Drei Kreise im Dreieck

Das Längenverhältnis der Seiten eines Dreiecks ist 9:10:7. Konstruieren Sie drei Kreise mit gleichen Radien, die einen gemeinsamen Punkt haben und jeweils zwei Seiten des Dreiecks berühren.

Konstruieren Sie ein beliebiges Dreieckmit dem gegebenen Seitenverhältnis sowie dessen Umkreis mit dem Radius r. Schlagen Sie um jeden Eckpunkt des Dreiecks einen Kreis mit dem Radius r. Konstruieren Sie zu jeder Dreiecksseite eine Parallele im Abstand r, die zwei Kreise berührt, aber keinen weiteren der Kreise schneidet. Diese Parallelen schließen das gesuchte Dreieck ein.

Abbildung: Lösung Drei Kreise im Dreieck

4.19 Kreise im Quadrat

In je einem Quadrat mit der Seitenlänge 1 Längeneinheit werden n Kreise mit jeweils gleichem Radius so angeordnet, dass sie eine möglichst große Fläche des Einheitsquadrates bedecken (siehe Abbildung).

Welcher prozentuale Anteil (auf 3 Stellen hinter dem Komma genau) der Quadratfläche wird jeweils für n = 1, 2, 3, 4, 5 von den Kreisflächen bedeckt?

Hinweis zu den 3 Kreisen: Zeichnen Sie ein gleichseitiges Dreieck mit den 3 Kreismittelpunkten als Eckpunkte. Welchen kleinsten Winkel bildet eine Dreiecksseite mit einer Quadratseite?

Befolgen Sie den Hinweis für den Fall der 3 Kreise. Dann lässt sich die Quadratseite (1 LE) mit Hilfe des Radius ausdrücken und umgekehrt der Radius als Anteil von 1. Dann ist mit A = kπr² der Anteil der k Kreisflächen an der Quadratfläche 1 FE gegeben.

Abbildung: Lösung Kreise im Quadrat

1 Kreis: \( r = \frac{1}{2} \); \( A = \left( \frac{1}{2} \right)^2·π ≈ 0,78540 = 78,54 \% \)

2 Kreise: 2r + 2r·cos(45°) = 1 und \(r = \frac{1}{2 + 2·cos45°} \). A = 2πr²

A ≈ 0,53901 = 53,901 %

3 Kreise: 2r + 2r·cos(15°) = 1 und \(r = \frac{1}{ {2 + 2·cos(15°) } }\). A = 3πr²

A ≈ 0,60964 = 60,964 %

4 Kreise: \( r = \frac{1}{4} \); \( A = 4· \left( \frac{1}{4} \right)^2 · π ≈ 0,78540 = 78,54 \% \)

5 Kreise: 2r + 4r·cos(45°) = 1 und \(r = \frac{1}{ {2 + 4·cos(45°) } }\). A = 5πr²

A ≈ 0,67377 = 67,377 %

4.20 Kreis durch Seitenmitten

  • a) Zeigen Sie: Die Seitenmitten eines beliebigen Vierecks sind die Eckpunkte eines Parallelogramms.
  • Zeichnen Sie die Diagonalen des Vierecks, dann verlaufen die Verbindungsstrecken der Mitten zweier benachbarter Seiten parallel zu einer Diagonale (Umkehrung eines Strahlensatzes). Immer zwei Seiten des Seitenmittenvierecks sind parallel zur gleichen Diagonale.

  • b) Zeigen Sie: Die Seitenmitten eines Vierecks, dessen Diagonalen senkrecht zueinander sind, liegen auf einem Kreis.
  • Wenn die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen, tun dies auch jeweils zwei dazu parallele Seiten des Seitenmittenvierecks. Ein Parallelogramm mit je zwei zueinander senkrechten Seiten ist ein Rechteck und jedes Rechteck hat einem Umkreis.

    Abbildung: Lösung Kreis durch Seitenmitten

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