Übungsblatt: Besondere Geometrie-Aufgaben (1)

Autor: Roland Schröder

Das Besondere an diesen Aufgaben ist entweder, dass ein verblüffender Sachverhalt der jeweiligen Aufgabe zugrunde liegt oder dass die Lösung erst nach einem Gedankenblitz gelingt. In wenigen Fällen ist beides der Fall.

5.1 Dreieckszahlen und Kubikzahlen

Die nachfolgende Skizze liefert Anlass zu der Begründung der Formel 1³+2³+3³+… +n³ = (1+2+3+…+n)². Führen Sie die Begründung aus.

Abbildung: Dreieckszahlen und Kubikzahlen

5.2 Innerer Punkt eines gleichseitigen Dreiecks

Die Abstände a, b und c eines inneren Punktes von den drei Ecken eines gleichseitigen Dreiecks seien gegeben. Konstruieren Sie das gleichseitige Dreieck.

Anleitung: Konstruieren Sie ein Hilfsdreieck mit den drei gegebenen Abständen als Seitenlängen und führen Sie eine geeignete Drehung durch.

Abbildung: Innerer Punkt eines gleichseitigen Dreiecks

5.3 Drittelung einer Strecke

Gegeben ist das Parallelogramm ABCD. M sei der Mittelpunkt von \(\overline {BC} \) und N sei der Mittelpunkt von \(\overline {CD} \). Zeigen Sie: \(\overline {AM} \) und \(\overline {AN} \) dritteln die Diagonale \(\overline {BD} \) des Parallelogramms. Anleitung: Zerlegen Sie das Parallelogramm mittels der Diagonale \(\overline {AC} \) in zwei Dreiecke.

5.4 Punkte mit besonderer Eigenschaft

Die Punkte (0|0), (0|1), (1|1) und (1|0) sind Eckpunkte eines Einheitsquadrates im Koordinatensystem. Jeder von Ihnen hat die Eigenschaft, dass die Summe seiner Koordinaten gleich der Summe der Quadrate seiner Koordinaten ist, also x+y=x²+y² gilt. Gibt es weitere Punkte mit dieser Eigenschaft und kann ggf. man einen geometrischen Ort dafür angeben?

Weitere Aufgaben:

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