Lösungen: Besondere Geometrie-Aufgaben (1)

5.1 Dreieckszahlen und Kubikzahlen

Die nachfolgende Skizze liefert Anlass zu der Begründung der Formel 1³+2³+3³+… +n³ = (1+2+3+…+n)². Führen Sie die Begründung aus.

Abbildung: Lösung 1 - Dreieckszahlen und Kubikzahlen

Abbildung: Lösung 2 - Dreieckszahlen und Kubikzahlen

Für n=1 und n=2 kann man nachrechnen: 1³=1², 1³+2³=(1+2)². Für n=3 verwendet man denn einen Ausschnitt der gegebenen Skizze (rechts). Hier sind zu (1+2)² =1³+2³ insgesamt 3·3² hinzugefügt und so die Fläche der Größe (1+2+3)² entstanden. Also gilt: 1³+2³+3³=(1+2+3)². Für n=4 fügt man an diese Skizze rechts und oben einen Streifen der Breite 4 an (siehe Abbildung rechts):

Auf diese Weise ist eine Fläche von 4·4² zu 1³+2³+3³ hinzugekommen und so die Fläche der Größe (1+2+3+4)² entstanden. Also ist 4·4²+3·3²+2·2²+1·1²=(1+2+3+4)². Jetzt fügen wir rechts und oben einen Streifen der Breite 5 an und erhalten die in der Aufgabe gegebene Skizze. Dabei ist eine Fläche von 5 mal 5² hinzugekommen. Wenn man die Summe der ersten n natürlichen Zahlen mit d(n) bezeichnet, dann sieht man hier, dass n³=n·(2·d(n-1)+n) ist. Nach Addition [d(n-1)]² auf beiden Seiten folgt [d(n-1)]²+ n³= [d(n-1)]² +n·(2·d(n-1)+n) und [d(n-1)]²+ n³= [d(n-1) +n]².

5.2 Innerer Punkt eines gleichseitigen Dreiecks

Die Abstände a, b und c eines inneren Punktes von den drei Ecken eines gleichseitigen Dreiecks seien gegeben. Konstruieren Sie das gleichseitige Dreieck.

Anleitung: Konstruieren Sie ein Hilfsdreieck mit den drei gegebenen Abständen als Seitenlängen und führen Sie eine geeignete Drehung durch.

Konstruieren Sie das Hilfsdreieck und über einer Seite AC das gleichseitige Dreieck ACD. Drehen Sie das Hilfsdreieck um 60° um den Punkt D, sodass A auf C fällt (Abbildung unten rechts). Dann ist DBB' (Abbildung unten links) das gesuchte gleichseitige Dreieck.

Abbildung: Lösung Innerer Punkt eines gleichseitigen Dreiecks

5.3 Drittelung einer Strecke

Gegeben ist das Parallelogramm ABCD. M sei der Mittelpunkt von \(\overline {BC} \) und N sei der Mittelpunkt von \(\overline {CD} \). Zeigen Sie: \(\overline {AM} \) und \(\overline {AN} \) dritteln die Diagonale \(\overline {BD} \) des Parallelogramms. Anleitung: Zerlegen Sie das Parallelogramm mittels der Diagonale \(\overline {AC} \) in zwei Dreiecke.

Der Diagonalenschnittpunkt sei S. Im Dreieck ACD sind AN ebenso wie DS Seitenhalbierende. Ihr Schnittpunkt P teilt DS im Verhältnis 2:1. Bei Drehung von ACD um 180° fällt DS auf BS und BS wird durch AM ebenfalls im Verhältnis 2:1 geteilt. Daraus folgt die Behauptung.

Abbildung: Lösung Drittelung einer Strecke

5.4 Punkte mit besonderer Eigenschaft

Die Punkte (0|0), (0|1), (1|1) und (1|0) sind Eckpunkte eines Einheitsquadrates im Koordinatensystem. Jeder von Ihnen hat die Eigenschaft, dass die Summe seiner Koordinaten gleich der Summe der Quadrate seiner Koordinaten ist, also x+y=x²+y² gilt. Gibt es weitere Punkte mit dieser Eigenschaft und kann ggf. man einen geometrischen Ort dafür angeben?

Die Gleichung x+y=x²+y² kann umgeformt werden zu (x-0,5)²+(y-0,5)²=0,5, also zur Gleichung eines Kreises um M(0,5|0,5) mit dem Radius 0,5·√2. Der geometrische Ort aller Punkte mit der geforderten Eigenschaft ist der Umkreis des gegebenen Einheitsquadrates.

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