Übungsblatt: Besondere Geometrie-Aufgaben (2)

Autor: Roland Schröder

5.5 Geometrische Reihe

Gegeben sei ein Rechteck ABCD mit der Seitenlänge \(\left| {\overline {AD} } \right| = 1\). Das Rechteck ist so gewählt, dass darin das Einheitsquadrat AEGD und das zu ABCD ähnliche Rechteck PFCG sowie ein Rechteck EBFP Platz finden. Dann liegt P auf der Diagonalen AC (Strahlensatz; siehe Abbildung).

Abbildung: Geometrische Reihe

  • a) Das Rechteck PFCG ist das Bild von ABCD bei zentrischer Streckung (besser: Stauchung) mit dem Streckzentrum C und dem Streckfaktor q < 1. Drücken Sie die Seitenlängen und den Flächeninhalt des Rechtecks EBFP mit Hilfe von q aus.
  • b) Die genannte zentrische Streckung soll auch \(\left| {\overline {EG} } \right|\) und \(\left| {\overline {PF} } \right|\) abbilden (Bilder gestrichelt angedeutet). Welchen Flächeninhalt haben die Bilder von AEGD und EBFP?
  • c) Drücken Sie die Fläche des Rechtecks ABCD durch q aus und nennen Sie eine Formel für die Summe \({q^0} + {q^1} + {q^2} + {q^3},\; \ldots \) mit unendlich vielen Summanden.

5.6 Das Fibonacci-Prinzip

Bilden Sie eine Zahlenfolge auf folgende Weise: Legen Sie die ersten beiden Glieder der Folge beliebig fest. Ein nächstes Folgenglied ist immer die Summe der beiden Vorgänger. Beispiel: Die ersten beiden Folgenglieder seien 2 und 5 (frei festgelegt).Dann ist das dritte Folgenglied 7 (= 2 + 5) und es geht so weiter 2, 5, 7, 12, 19, 31, …Das 7. Folgenglied ist 50. Zeigen Sie: Die Summe der ersten 10 Folgenglieder ist (unabhängig von den Startgliedern) das 11-fache des siebten.

5.7 Kongruente Dreiecke

Gegeben sei ein beliebiges Dreieck GHE. EHCB sei das Quadrat über EH. FGED sei das Quadrat über GE und JKHG sei das Quadrat über GH. DEBA und KICH seien Parallelogramme.

Abbildung: Kongruente Dreiecke

  • a) Zeigen Sie die Kongruenz der Dreiecke AEB, GHE und HIC.
  • b) Zeigen Sie: AGI ist gleichschenklig.

5.8 Langleys Aufgabe

Der britische Mathematiker E.M. Langley gründete 1884 „The Mathematical Gazette". Darin wurde (sinngemäß) folgende Aufgabe abgedruckt:

Im Dreieck ABC sind vier Winkelgrößen gegeben (siehe Abbildung) und \(\overline {AD} \) ist Hilfslinie mit der Länge \(\left| {\overline {AB} } \right|\).

  • a) Tragen Sie alle Winkelgrößen, die sich aus den gegebenen schließen lassen, in die Skizze ein.
  • b) Wo liegen gleichschenklige Dreiecke? Umgrenzen Sie diese (ggf. durch eine weitere Hilfslinie).
  • c) Bestimmen Sie die Größe des Winkels α.

Abbildung: Langleys Aufgabe

Weitere Aufgaben:

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