Übungsblatt: Besondere Geometrie-Aufgaben (3)

Autor: Roland Schröder

5.9 Konstruktionen ohne Lineal

1672 beschrieb der Däne Georg Mohr, wie man Grundkonstruktionen mit dem Zirkel allein (also ohne Lineal) durchführen kann. Mohr geriet aber in völlige Vergessenheit. Über ein Jahrhundert später erfand 1797 Lorenzo Mascheroni diese Konstruktionen neu. Erst 1928 fand ein Student das Buch von Mohr auf einem Flohmarkt, und daraufhin wurde Mohr als erster Erfinder der bis dahin nach Mascheroni benannten Konstruktionen gewürdigt. Hier zwei Beispiele aus dem Buch von Mohr:

  • a) Konstruktion eines Quadrats

    Zeichnen Sie einen Kreis KM um M mit beliebigem Radius r. Wählen Sie A auf KM. Tragen Sie von A ausgehend und mit dem Radius r nacheinander auf dem Kreis KM die Punkte B, C und D ab. Schlagen Sie den Kreis KD um D mit dem Radius DB und den Kreis KA1 um A mit dem gleichen Radius. KD und KA1 schneiden sich in E. Schlagen Sie den Kreis KA2 um A mit dem Radius ME. KA2 und KM schneiden sich in F und in G. Zeigen Sie: AFDG ist ein Quadrat.

  • b) Konstruktion des Mittelpunktes einer Strecke

    Zum Verständnis der Konstruktion sei nebenstehende Skizze gegeben. Die darin enthaltenen Punkte werden ab C in alphabetischer Reihenfolge konstruiert. Die Punkte A und B sowie die Strecke dazwischen sind gegeben. Zeigen Sie: Der Kreis um F mit dem Radius FA schneidet AB in ihrem Mittelpunkt.

    Abbildung: Konstruktionen ohne Lineal

5.10 Satz von van Aubel

Der holländische Mathematiklehrer Henri van Aubel veröffentlichte 1878 folgenden Satz:

Über den Seiten eines beliebigen Vierecks werden Quadrate konstruiert (die das Viereck nicht überdecken). Dann sind beide Strecken zwischen den Mittelpunkten gegenüberliegender Quadrate gleich lang und zueinander rechtwinklig (siehe Abbildung).

Abbildung: Konstruktionen ohne Lineal

  • a) Beweisen Sie zunächst folgenden Hilfssatz: Über zwei Seiten des Parallelogramms ABCD werden die Quadrate DCEF und HADG errichtet. Dann sind die Dreiecke HAB und BCE kongruent und die Seiten HB sowie BE stehen senkrecht aufeinander.

    Abbildung: Teil A - Konstruktionen ohne Lineal

  • b) Beweisen Sie damit einen weiteren Hilfssatz:

    Sei ABC ein beliebiges Dreieck und P und Q die Mittelpunkte der Quadrate über den Seiten \(\overline {AC} \) bzw. \(\overline {CB} \): Dann gilt für den Mittelpunkt M1 der Seite AB: \(\overline { {M_1}Q} \) und \(\overline { {M_1}P} \) sind gleichlang und stehen senkrecht aufeinander.

    Abbildung: Teil B - Konstruktionen ohne Lineal

  • c) Beweisen Sie jetzt den Satz von Aubel unter Verwendung der folgenden Skizze

    Abbildung: Teil C - Konstruktionen ohne Lineal

5.11 Harmonisches Mittel im Trapez

Gegeben ist ein Trapez mit seinen Diagonalen. Aus der Parallelen durch den Diagonalenschnittpunkt zu den parallelen Trapezseiten schneidet das Trapez eine Länge d = m + n heraus (siehe Abbildung). Zeigen Sie: d = m + n ist das harmonische Mittel aus den Längen der parallelen Seiten a und c, also \(d = \frac{ {2ac} }{ {a + c} }\).

Abbildung: Harmonisches Mittel im Trapez

5.12 Mittelpunkt einer Strecke ohne Zirkel

Der Mittelpunkt einer gegebenen Strecke AB ist nur mit Hilfe eines Geodreiecks, aber ohne Zirkel zu konstruieren.

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