Übungsblatt: Besondere Geometrie-Aufgaben (4)

Autor: Roland Schröder

5.13 Bewegungsaufgabe und harmonisches Mittel

Das Trapez ABCD hat bei A und bei B je einen rechten Innenwinkel (siehe Abbildung).

Abbildung: Bewegungsaufgabe und harmonisches Mittel

  • a) Es sei \(\left| {\overline {BC} } \right| = a\) und \(\left| {\overline {AD} } \right| = b\). Welchen Abstand hat der Diagonalenschnittpunkt des Trapezes ABCD von der Strecke AB?
  • b) Der Papst sendet einen Boten mit einer Nachricht von Rom nach Venedig, der sich Tag und Nacht in gleichmäßigem Tempo fortbewegt und für die gesamte Strecke 9 Tage braucht. Der Empfänger der Nachricht eilt dem päpstlichen Boten Tag und Nacht in gleichmäßigem Tempo entgegen und hätte für die ganze Strecke 7 Tage gebraucht. Wann begegnen sich die beiden, wenn sie gleichzeitig starten.

5.14 Der Satz von Ceva

Der italienische Mathematiker Giovanni Ceva (1647 bis 1734) bewies 1678 in seinem Werk „De lineis rectis" den Satz: Wenn auf den Seiten eines Dreiecks ABC die Punkte D, E und F liegen, welche die Seiten in den Verhältnissen \(\frac{a}{b}\), \(\frac{c}{d}\) und \(\frac{e}{f}\) teilen und die Strecken von je einem Eckpunkt des Dreiecks zum gegenüberliegenden Teilungspunkt durch einen gemeinsamen Punkt gehen, dann ist das Produkt der Teilungsverhältnisse gleich 1 (\( \frac{f}{e}·\frac{b}{a}·\frac{d}{c} = 1 \)).

Abbildung: Satz von Ceva (1)

Zum Beweis braucht man den folgenden Hilfssatz:

Im Dreieck ABC teilt D die Strecke \(\overline {AB} \) im Verhältnis \(\frac{a}{b}\). E sei ein Punkt auf \(\overline {CD} \). Dann wird die Fläche des Dreiecks ABE von \(\overline {ED} \) im Verhältnis \(\frac{a}{b}\) geteilt. Auch die Flächen der Dreiecke AEC und EBC stehen in diesem Flächenverhältnis.

Abbildung: Satz von Ceva (2)

  • a) Beweisen Sie diesen Hilfssatz.

  • b) Begründen Sie mit Hilfe der Skizze und dem Hilfssatz den Satz von Ceva.

    Abbildung: Skizze und Hilfssatz zum Satz von Ceva

5.15 Sätze über Winkel

Gegeben ist ein Dreieck ABC sowie sein Um- und Inkreis mit den Mittelpunkten M bzw. N. Die Gerade CM schneidet den Umkreis in D. Der Fußpunkt der Höhe durch C auf AB sei H.

Abbildung: Sätze über Winkel

  • a) Beweisen Sie: Die Dreiecke AHC und DBC sind ähnlich.
  • b) Beweisen Sie: Die Winkelhalbierende durch C im Dreieck ABC halbiert auch den Winkel HCM (das ist der Winkel zwischen HC und CM).

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