Lösungen: Beweisen und Rechnen mit Kreisen (7)

9.1 Elf Kreise im Kreis

Welchen Radius ein Kreis, in dem 11 Einheitskreise in der dargestellten Weise Platz finden.

Abbildung

Nehmen wir zunächst an, die Mittelpunkte der äußeren kleinen Kreise im großen Kreis liegen auf einem Einheitskreis, dann ist der Radius r aller kleinen Kreise der halbe Abstand zwischen P(1|0) und \( \mathrm { Q } \left( \left( \cos \left( \frac { 2 \pi } { 9 } \right) , \sin \left( \frac { 2 \pi } { 9 } \right) \right)\right. \). Dann gilt \( r = \sin \left( \frac { \pi } { 9 } \right) \) und der volle Kreis hat den Radius R=1+r. Da nun aber r=1 gelten soll, muss R durch \( \sin \left( \frac { \pi } { 9 } \right) \) dividiert werden. Der gesuchte Radius ist also \( \frac { 1 } { \sin \left( \frac { \pi } { 9 } \right) } + 1 \).

9.2 Neunzehn Kreise in einem Kreis

a) Beide Kreise enthalten je 19 kleinere Kreise der gleichen Größe, deren Mittelpunkte einmal auf konzentrischen Kreisen und einmal auf regelmäßigen Sechseckenliegen. Wieviel % der größeren Kreisfläche beträgt die kleinere Kreisfläche?

Abbildung

Nehmen wir an, die Mittelpunkte der kleinen Kreise im linken großen Kreis liegen auf einem Einheitskreis, dann ist der Radius r aller kleinen Kreise der halbe Abstand zwischen P(1|0) und \( \mathrm { Q } \left( \left( \cos \left( \frac { \pi } { 6 } \right) , \sin \left( \frac { \pi } { 6 } \right) \right)\right. \). Dann gilt \( r = \frac { \sqrt { 6 } - \sqrt { 2 } } { 4 } \) und der volle linke Kreis hat den Radius S=1+r. Der volle rechte Kreis hat den Radius R=5r. Dann gilt für das Flächenverhältnis \( \frac { \text { kleinere Kreisfläche } } { \text { grofsere Kreisfläche } } = \frac { ( 1 + r ) ^ { 2 } } { ( 5 r ) ^ { 2 } } ≈ 0,9462 ≈ 94,62 \% \).

b) Auch 37 Kreise lassen sich so anordnen, dass ihre Mittelpunkte einmal auf konzentrischen Kreisen und einmal auf regelmäßigen Sechseckenliegen. Wieviel % der größeren Kreisfläche beträgt dann die kleinere Kreisfläche?

Nehmen wir wieder an, die Mittelpunkte der kleinen Kreise im linken großen Kreis liegen auf einem Einheitskreis, dann ist der Radius r aller kleinen Kreise der halbe Abstand zwischen P(1|0) und \( \mathrm { Q } \left( \left( \cos \left( \frac { \pi } { 9 } \right) , \sin \left( \frac { \pi } { 9 } \right) \right)\right. \). Dann gilt \( r = \sin \left( \frac { \pi } { 18 } \right) \) und der volle linke Kreis hat den Radius S=1+r. Der volle rechte Kreis hat den Radius R=5r. Dann gilt für das Flächenverhältnis \( \frac { \text { kleinere Kreisfläche } } { \text { grofsere Kreisfläche } } = \frac { ( 1 + r ) ^ { 2 } } { ( 7 r ) ^ { 2 } } \approx 0,93226 \approx 93,3 \% \)

9.3 Dosen in einer Kiste mit quadratischer Grundfläche

a) 25 Dosen mit jeweils dem Radius r können in einer Kiste mit quadratischer Grundfläche der Größe 100r² untergebracht werden. Wieviel % der Grundfläche können maximal eingespart werden, wenn man 24 Dosen mit dem Radius r in einer quadratischen Kiste wie dargestellt anordnet?

Abbildung

Für r=1 hat die Diagonale der Kiste die Länge 6√2+2√3+2 und folglich die Seitenlänge 6+√6+√2 sowie den Flächeninhalt (6+√6+√2)². Die Einsparung beträgt dann 100 – (6+√6+√2)² ≈ 2,7. Bezogen auf 100 sind das 2,7 %.

Abbildung

b) Man kann auch 23 Dosen in eine quadratische Kiste packen. Wieviel % Grundfläche spart man jetzt gegenüber einer Kiste mit 25 Dosen?

Abbildung

Diesmal hat die Diagonale die Länge 2·(√2+2√3+2) und die Seitenlänge √2·(√2+2√3+2)=2+2√6+2√2. Die Einsparung beträgt dann 100 – (2+2√6+2√2)²≈5,4. Bezogen auf 100 sind das 5,4 %.

9.4 Der Conway-Kreis

Die Seiten eines Dreiecks werden über jeden Eckpunkt hinaus so ver-längert, wie die Länge der dem Eckpunkt gegen-über-liegende Seite angibt. John Horton Conway hat entdeckt, dass die Endpunkte dieser Verlängerungen auf einem Kreis liegen. Beweisen Sie dies. Hinweis: Die Berührpunkte des Inkreises teilen jede Dreicksseite in zwei Abschnitte, sodass man für den Beweis mit drei Längen-bezeichnungen auskommt.

Abbildung

Die Dreiecke MFS, MQE, MRD, MUD, MFV und MET sind Hypo-tenusen von rechtwink-ligen Drei-ecken mit den Katheten-längen r und a+b+c.

Abbildung

9.5 Kreis im Schustermesser

a) AC sei der Durchmesser eines Halbkreises K1 mit dem Radius 3. B liege auf AC. AB sei der Durchmesser eines Halbkreises K2 mit dem Radius 2. BC sei der Durchmesser eines Halbkreises K3 mit dem Radius 1. Scheidet man aus K1 die Halbkreise K2 und K3 heraus bleibt eine Form stehen, die man als Schustermesser bezeichnet. Welchen Radius hat der größte Kreis (dunkelgrau), den man aus einem Schustermesser heraus schneiden kann?

Abbildung

Zu a) In der Skizze gilt nach Pythagoras:
p²+h²=(r+1)²; (3-p)²+h²=(2+r)² und (2-p)²+h²=(3-r)². Dieses System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten hat die Lösungen \( h = \frac { 12 } { 7 } , p = \frac { 5 } { 7 }, r = \frac { 6 } { 7 } \).

Abbildung

b) Nachdem ein größter Kreis aus den Schustermesser herausgeschnitten wurde, soll aus dem größten verbliebenen Teil der Klinge ein größter zweiter Kreis herausgeschnitten werden (siehe Abbildung). Welchen Radius hat dieser?

Abbildung

In der Skizze gilt nach Pythagoras:
1+(3-s)²=[2+s)² und daher s=0,6.

Abbildung

9.6 Längenverhältnis aus Radius und Tangente

Der Mittelpunkt der Strecke AB sei M und m sei die Mittelsenkrechte auf AB. Eine Gerade g durch A schneide m in N. Der Kreis um N mit dem Radius \( | \overline { M N } | \) schneide g in C und D (siehe Abbildung). Welches Längenverhältnis \( = \frac { \overline { M N } } { \overline { M A } } \) entsteht im Falle \( | \overline { C D } | = | \overline { D A } | \)?

Abbildung

Nach dem Sekanten-Tangenten-Satz gilt: \( | \overline { A D } | \cdot | \overline { A C } | = | \overline { A M } | ^ { 2 } \). Nennen wir den Radius des Kreises r, dann entsteht im Falle \( | \overline { C D } | = | \overline { D A } | : | \overline { A M } | ^ { 2 } = 2 r \cdot 4 r \) oder \( | \overline { A M } | = 2 \sqrt { 2 } \cdot r \) und dann \( \frac { \overline { M N } } { M A } = \frac { r } { 2 \sqrt { 2 } \cdot r } = \frac { \sqrt { 2 } } { 4 } \).

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