Übungsblatt: Satz des Pythagoras und verwandte Sätze (3)

Autor: Roland Schröder

1.9 Rechtwinklige Dreiecke an einem rechtwinkligen Dreieck

Die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks ABC seien die Hypotenusen dreier zu ABC ähnlicher, rechtwinkliger Dreiecke (siehe Abbildung).

  • a) Zeigen Sie ohne Verwendung des Satzes von Pythagoras, dass die Summe der Flächen der Dreiecke über den Katheten AC und BC gleich der Fläche des Dreiecks über der Hypotenuse AB ist.
  • b) Beweisen Sie mit dem Ergebnis von a) den Satz des Pythagoras.

Abbildung: Rechtwinklige Dreiecke an einem rechtwinkligen Dreieck

1.10 Ein besonderer Punkt im Dreieck

a) Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit den Kathetenlängen 6 cm und 8 cm. Gesucht ist ein Punkt P, sodass die Dreiecke ABP, BCP und CAP den gleichen Flächeninhalt haben. Welche Abstände hat dieser Punkt P von den drei Seiten des gegebenen Dreiecks?

b) Bestätigen Sie: Die Kehrwerte der unter a) ermittelten Abstände sind die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks.

c) Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit beliebigen Kathetenlängen. Gesucht ist ein Punkt P, sodass die Dreiecke ABP, BCP und CAP den gleichen Flächeninhalt haben. Zeigen Sie: Die Kehrwerte der Abstände von P zu den Seiten sind die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks.

1.11 Teppichboden

Ein rechteckiger Raum mit der Länge 7 m und der Breite 6 m soll mit Teppichboden ausgelegt werden, der in einem Stück und aufgerollt angeliefert wird (also als „Läufer"/ als langes Rechteck). Der Teppich-boden wird so verlegt, wie die Skizze zeigt, und es werden nur 5 gerade Schnitte entlang der Raumwände erforderlich. Wie lang und wie breit ist das angelieferte Teppichstück, wenn keine Reste bleiben?

Abbildung: Teppichboden

1.12 Pythagoras und Sekanten-Tangentensatz

Gegeben sind ein Kreis um den Punkt M und ein Punkt P außerhalb des Kreises. Die Sekante durch P schneidet den Kreis in A und in B. Die Tangente durch P berührt den Kreis in T. Dann sagt der Sekanten-Tangenten-Satz: .

Beweisen Sie den Satz von Pythagoras mit Hilfe des Sekanten-Tangenten-Satzes. Hinweis: Legen Sie PA durch M.

Abbildung: Pythagoras und Sekanten-Tangentensatz

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