Übungsblatt: Satz des Pythagoras und verwandte Sätze (5)

Autor: Roland Schröder

1.17 Rechteck und Pythagoras

Einem rechtwinkligen Dreieck wird ein Rechteck so einbeschrieben, dass dessen Seite x auf der Kathete a, dessen Seite y auf der Kathete b, ein Eckpunkt auf der Hypotenuse c und dessen Diagonale d senkrecht auf der Hypotenuse c steht (siehe Abbildung).Z eigen Sie: ay+bx=cd und \( \frac{y}{a} = \frac{d}{c} = \frac{x}{b} \) und beweisen Sie mit Hilfe dessen den Satz des Pythagoras.

Abbildung: Rechteck und Pythagoras

1.18 Sehnensatz und Höhensatz von Euklid

Der Sehnensatz lautet: Zwei Sehnen AC und BD eines Kreises schneiden sich in S. Dann gilt .

Zeigen Sie: Wenn eine Sehne Durchmesser des Kreises ist und die andere Sehne senkrecht dazu verläuft, dann ist der Sehnensatz identisch mit dem Höhensatz von Euklid.

1.19 Ptolemäus und Pythagoras

Der Satz des Ptolemäus lautet: In einem Sehnenviereck ist das Produkt der Längen der Diagonalen gleich der Summe der Produkte der Längen gegenüberliegender Seiten. In einem Sehnenviereck ABCD gilt also. Beweisen Sie den Satz des Pythagoras mit Hilfe des Satzes von Ptolemäus.

Abbildung: Ptolemäus und Pythagoras

1.20 Pythagoreisches Dreieck aus zwei pythagoreischen Dreiecken

Ein rechtwinkliges Dreieck soll pythagoreisch heißen, wenn alle Seitenlängen natürliche Zahlen sind.

  • a) Zeigen Sie: Wenn das Tripel (a, b, c) aus den beiden Kathetenlängen a und b sowie der Hypotenusenlänge c ein pythagoreisches Tripel ist, dann sind auch (a²,ab,ac) sowie (ab,b²,bc) pythagoreische Tripel mit den Hypotenusenlängen ac bzw. bc.
  • b) Ein rechtwinkliges Dreieck wird entlang seiner Höhe h auf der Hypotenuse in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke zerlegt. Gibt es nun pythagoreische Dreiecke, die sich auf diese Weise in zwei pythagoreische Dreiecke aufteilen lassen?

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