Übungsblatt: Regelmäßige n-Ecke und n,k-Sterne (1)

Autor: Roland Schröder

Abbildung: 5,2-Stern

Abbildung: 8,2-Stern

Einführung Regelmäßige n-Ecke und n,k-Sterne:

Ein regelmäßiges n-Eck ist ein geschlossener konvexer Streckenzug aus n gleichlangen Strecken mit n gleichgroßen Innenwinkeln.

Ein n,k-Stern entsteht, wenn man n Punkte regelmäßig auf einem Kreis verteilt und die Punkte von A0 bis An-1 im Kreise herum benennt. Dann ergeben alle Verbindungsstrecken \(\overline { {A_i }{A_{ {\rm{i} } + k} } } \) (i=0, 1, 2, 3, …) einen n,k-Stern (für i+k > n ist n zu subtrahieren). Die Abbildungen zeigen einen 8,2-Stern und einen 5,2-Stern.

2.1 Alle Zacken

Welche Bedingung muss für n und k gelten, damit der n,k-Stern mit einem Streckenzug ohne erneut anzusetzen n Zacken hat?

2.2 Zackenwinkel

Seien n und k teilerfremd und k' die kleinere der beiden Zahlen k und n-k.

a) Begründen Sie: Ein Schiff, das den Kurs eines n,k-Sterns durchfährt bis es wieder in seiner Startposition steht, dreht sich dabei k'-mal um seine eigene Achse.

b) Sei α der Zackenwinkel (das ist der an jeder Zacke gleiche Winkel, siehe Abbildung) eines n,k-Sterns. Zeigen Sie: dann gilt \( α = \frac{180°(n-2k`)}{n} \).

Abbildung: Zackenwinkel

2.3 Zwölfeck aus 12 kongruenten Vierecken

Drei Seiten und eine Diagonale eines Vierecks seien gleichlang, die Länge der vierten sei das √2-fache jeder anderen Seitenlänge.

  • a) Zeigen Sie: 12 solche Vierecke parkettieren ein regelmäßiges Zwölfeck.
  • b) Zeigen Sie: 24 solche Vierecke parkettieren ein größeres regelmäßiges Zwölfeck.

Abbildung: Zwölfeck aus 12 kongruenten Vierecken

2.4 Ein 5,2-Stern

Welchen Umkreisradius hat ein aus 10 grauen Drachen (Abbildung) zusammengesetzter 10,3-Stern, wenn r der Umkreisradius des dargestellten 5,2-Sternes ist?

Abbildung: 5,2-Stern

Weitere Aufgaben:

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